概率论期末考试题型、知识点和公式复习

广东商学院华商学院试题题型课程名称概率论（A卷）课程代码课程班号（本科）共 3 页一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，错选、多选或未选均无分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分，错填、不填均无分)三、计算题(本大题共3小题，共40分)四、综合题（本大题共2小题，共20分）课程名称概率论（B卷）课程代码课程班号（本科）共 4 页一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，错选、多选或未选均无分）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分，错填、不填均无分)三、计算题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)四、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）概率论期末复习知识点第一章1.事件的表示2.事件的关系与运算3.概率性质及其应用4.古典概型5.条件概率6.全概率公式7.贝叶斯公式8.事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章1.离散型随机变量的概率分布2.两点分布3.二项分布4.泊松分布5.概率密度函数及其性质6.连续型随机变量的分布函数7.均匀分布8.指数分布9.标准正态分布、正态分布10.随机变量相关的概率计算11.离散型随机变量函数的概率分布重点：○1正态分布，二项分布○2离散型随机变量及函数的概率分布第三章1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质及其应用3.二维连续型随机向量的分布函数4.均匀分布5.二维正态分布6.边缘概率密度7.随机变量的独立性8.二维随机向量的相关概率计算重点：○1联合概率密度○2边缘概率密度○3随机变量的独立性○4二维正态分布第四章1.离散型随机变量的期望2.连续型随机变量的期望3.随机变量函数的期望4.方差5.方差的性质6.协方差、协方差的性质7.相关系数重点：○1数学期望（随机变量及函数的数学期望）○2方差（离散型随机变量的方差）○3协方差和相关系数第五章1.雪比切夫不等式的应用2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用 重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质 1. P (Ø)=0；2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )4.若A ⊂B , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。

古典概率模型中，事件A 的概率基本事件总数中包含基本事件数A A P =)(从n 件商品中取出k 商品，共有)!(!!k n k n C k n -=[即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ]种取法[12)1(!⋅⋅⋅-⋅= n n n ]。

D 1- P (B )>0，称下式为事件B 发生条件下，事件A 的条件概率, )()()|(B P AB P B A P =乘法公式：若P (B )>0，则 P (AB )=P (B )P (A |B ) ；若P (A )>0，则P (AB )=P (A )P (B |A )。

设A 1, A 2,…,A n 是两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n =Ω，且P (A i )>0, i =1, 2,…, n ; 另有一事件B , 它总是与A 1, A 2,…, A n 之一同时发生，则全概率公式：∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜贝叶斯公式：. ,,2 ,1 , )()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B A P nj j j i i i ==∑=｜｜(D 1)定义：称 A , B 独立，如果P (AB )= P (A )P (B )(D )。

定理. 若事件A , B 独立相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。

随机变量 X 的分布函数：F (x )= P (X ≤x ), -∞< x <∞。

性质：P (a 1<X ≤b 1)=F (b 1)-F (a 1).D 2- 定义 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,,,21 x x 且有 。

,2,1,)( ===k p x X P k k 则称p 1 , p 2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。

其中 p 1 , p 2, …满足;,2,1 ,0)1( =≥k p k.1(2))n(1i =∑∞=k p 离散型随机变量的分布函数(累计频率)： ==≤=∑≤xx k k p x X P x F )()(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<+∞x x x x x x x x x x p p p n )(322112111)()(1--=k k k x F x F p ，;,2,1 =kk k n k p x X E )(1)(∞=∑=，kk n k p x X E 2)(12)(∞=∑=，22)]([)()(X E X E X D -=(D 2)。

D 3- X ~ B (n , p )-参数为(n , p )的二项分布:用X 表示 n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，则：n k p p C k X P k n k k n , ,1 ,0 ,)1()( =-==-(D 3). np X E =)(，)1()(p np X D -=.X ～P (λ)-参数为λ的泊松分布：. ,2 ,1 ,0 ,!)();( ====-k k ek X P k p kλλλ其中λ>0 是常数，λ=)(X E ，λ=)(X D 。

X 为连续型随机变量：有密度函数 0)(≥x f 使： , )()(1111⎰=≤<b a dx x f b X a P设其它bx a x h x f <≤⎩⎨⎧=0)()( ，密度函数的性质： 1 )(⎰∞∞-=dx x f 1 )(⎰=b a dx x h 或(D ) 分布函数=≤=)()(x X P x F x b b x a a x dt t h xa ≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧⎰1)(0(常用到的不定积分公式：vdu uv udv x arctg x dx x xdx e dx e k x dx x x xk k⎰-=⎰=+⎰-=⎰-=⎰+=⎰--+,1,cos sin ,,1221αααααα等).在 f (x )的连续点，有：. )()(x f x F ='⎰=b adx x h x X E , )()(⎰=badx x h x X E , )()(2222)]([)()(X E X E X D -=D 4- ),(~2σμN X ：参数为常数μ和σ>0的正态分布：密度函数为∞<<∞-=--x ex f x ,21)(22)(σμσπ,μ=)(X E ，2)(σ=X D 。

标准正态分布，记作)1,0(~N X ，0)(=X E ，1)(=X D ：).( d 21)( 21)(2/2/22可查表得出分布函数：，，密度函数：t e x x e x x t x ⎰∞---=Φ∞<<∞-=ππϕ ，，若) (~ 2σμN X )1,0(~N X σμ-,}{11b X a P <<. 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b }{1b X P <.1⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμb )(1)( 0 x x x Φ-=-Φ>时，当(D 4) X ～U(a , b )-均匀分布，密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0, ,1)(其他b x a ab x f 2/)()(b a X E +=，12/)()(2a b X D -=. X ~E(λ)-参数为λ的指数分布, 密度函数：0)( .0 , 0 , 0 , )(>⎩⎨⎧<≥=-λλλx x e x f x ，λ/1)(=X E ，2/1)(λ=X D .X 1，X 2独立，.2,1),,(~2=i N X i i i σμ a X 1+b X 2+c ~N (a μ1+b μ2+c ，a 2σ12+b 2σ22) E (aX +b )= a E (X )+b ，D (aX +b )= a 2D (X )，E (aX +bY +c )= a E (X )+ b E (X )+c ， X ，Y 独立，D (aX +bY +c )= a 2D (X )+b 2D (X ).二维离散型随机变量(X ,Y )： p ij ),(j i y Y x X P ===≥0，1)(1)(1=∑∑∞=∞=ij m i n j p ，ij n j i p p )(1∞=⋅∑=，ij m i j p p )(1∞=⋅∑=， 分布函数=),(y x F ij y Y x X p ji ≤≤∑∑,2,1.,2,1,===⋅⋅j i p p p j i ij 独立：。

ijj i m i n j p y x g Z E Y X g Z ),()(),,()(1)(1∞=∞=∑∑== ),()()()()(,,,,,2222Y E X E XY E Y E X E Y X XY Y X Z ，，，，可计算：时=)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=等。

独立→不相关：0),(=Y X Cov ，或)()()(Y E X E XY E =。

二维连续型随机变量(X ,Y )密度函数),(),(),(⎩⎨⎧∈=其它D y x y x h y x f [均匀分布时，d y x h 1),(=，d 为D 的面积]， D 是矩形(含正方形)、全部区域、三角形(含大三角形)、圆盘、直线与抛物线所围区域等。

D 5- )),((),(),(),(1)()()()(2121dx y x h dy dy y x h dx dxdy y x h dxdy y x f y y dc x x b a Dϕϕψψ⎰⎰=⎰⎰=⎰⎰=⎰⎰=+∞∞-+∞∞-或 (a 是区域D 左边界的最小值，b 是区域D 右边界的最大值，ψ1(x )是区域D 的下边界函数，ψ2(x )是区域D 的上边界函数；c 是区域D 下边界的最小值，d 是区域D 上边界的最大值，φ1(x )是区域D 的左边界函数，φ2(x )是区域D 的右边界函数)。