四川省成都市第七中学2018届高三上学期半期考试数学(理)试题+PDF版含答案
a a a a 1 ,1), G( , , ) ……………6 分 2 2 3 3 3
因为 EG 垂直于平面 ABD，所以有 EG AB 0 ， EG AD 0 ，解得 a 2 所以 AB 2 2 ……………………………………………9 分 面 ABC 的法向量 n (0,0,1) ，面 ABD 的法向量为 EG , ,
共 4 页，第 1 页
A.
1 cm3 2
B.
2 cm3 3
C.
5 cm3 6
D.
7 cm3 8
π π 9. 把函数 y sin 2 ( x ) cos2 ( x ) 的图像向左平移 ( >0)个单位就得到了一个奇函数的 6 6
图像，则 的最小值是 A.
5π 12
B.
π 6
共 4 页，第 2 页
1 D. , e e
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则 p 14. 已知平面向量 a = (2m+1, 3)与 b = (2, m)是共线向量且 a b 0 ，则 |b| = 15. 刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古 典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》 是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术· 商功》中有这样一段话：“斜 解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注： “此 术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实这里 所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面 都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥 A- BCD 中，AB 垂直于平面 BCD，AC 垂直于 CD，且 AB=BC=CD=1，则三棱锥 A- BCD 的外接球 的球面面积为
OF 1 为半径的圆上，则双曲线的离心率为
A. 3 B.
x e
x
3
C. 2
D.
2
12. 已知 f x
( x R)，若关于 x 的方程 f 2 x mf x m 1 0 恰好有 4 个不相等的实数
解，则实数 m 的取值范围为
1 A. ,2 2, e e 1 B. ,1 e 1 C. 1, 1 e
19 理：(1) 连结 DE ，EF ，FC，则在三角形 A1 AB 中 EF 为中位线，于是 EF // A1 A ， EF
因为 D 为 C1C 中点，所以 EF 平行且等于 DC . 所以在平行四边形 EFCD 中， CF 平行于 DE 因为 DE 在平面 A1BD 上，所以 CF 平行于平面 A1BD ……………………………………………………..……..4 分 (2) 分别以 CA, CB, CC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 设 CA a ，则 A(a,0,0), B(0, a,0), D(0,0,1), A1 (a,0,2), E ( ,
C.
π 12
D.
π 3
π π 10. 函数 y x 2 sin x, x , 的图像大致为 2 2
A.
B.
C.
D.
11. 已知 F1 、 F2 分别是双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、 a 2 b2
右焦点，点 F2 关于渐近线的对称点 P 恰好落在以 F1 为圆心、
成都七中 2017— 2018 学年度上期高 2018 届半期考试
数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一. 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知集合 A x | x 2， B x | x(1 x) 0，则 A B A.
椭圆 C 上三个点， ΔQF1F2 的周长为 4 2 1 ，线段 AB 的垂直平分线经过点 P 1,0 . (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 求线段 AB 长度的最大值. 21. （本题满分 12 分） 已知函数 f x ln ax 1
x 1 ， aR . x 1
(1) 求角 C 的值； (2) 求 sin B cos A 的取值范围.
共 4 页，第 3 页
19. （本题满分 12 分） 如 图 ，在 直三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ，底 面 是等 腰直 角三 角 形 ，
ACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，点 D、E、F 分别为棱 CC1 、 A1 B 、AB
5 3
10 11 , ] 3 3
1 11 1 ……………………….7 分 nn 2 2 n n 2
Tn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ………………9 分 1 (1 ) ( 2 3 2 4 n n2 2 2 n 3 4 n2 1 1 1 1 3 1 ………………….11 分 2 2 n 1 n 2 4
Tn
所以 m 的最小值为 18. (1) cos C
3 ……………………………. …..12 分 4
a 2 b2 c2 2 , a b 2 c 2 2ab cos C ………….1 分 2ab
a 2 b 2 c 2 2ab cos C 1 S ab sin C ………………….……..4 分 2 4 3 4 3
1 2
1 10.2 6. 设 a＝log1 3，b＝ ，c＝23，则 3 2
A. a<b<c
B. c<b<a
C. c<a<b
D. b<a<c
7．曲线 y x 2 2 x 与 x 轴围成的一个封闭图形的面积为 4 A. 1 B. C. 3 D. 2 3 8. 若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是
1 ， bn 的前 n 项和为 Tn ，且对任意的正整数 n 1 log 3 an 3 log 3 an
都有 Tn m ，求 m 的最小值.
18. （本题满分 12 分）
2 2 2 设 ΔABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，ΔABC 的面积 S 满足 4 3S a b c .
π π 16. 已知 ω 是正数，且函数 f ( x) sin ωx 3 cos ωx 在区间 , 上无极值，则 ω 的取值范围 4 2
是
三. 解答题（本大题共 7 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分 12 分） 已知数列 a n 满足 a1 1 ， an 1 2Sn 1 ，其中 S n 为 a n 的前 n 项和， n N * . (1) 求 a n ； (2) 若数列 bn 满足 bn
的中点，ΔABD 的重心为 G，直线 EG 垂直于平面 ABD. (1) 求证：直线 CF // 平面 A1 BD ； (2) 求二面角 A1 BD C 的余弦. 20. （本题满分 12 分）
x2 y 2 2 已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 且离心率为 ，Q、A、B 为 2 a b
tan C 3 π , C ………………………………………………...….6 分 3 6 π π π π 或者 sin A , sin B , cos B ……..9 分 3 6 3 6
(2) sin B cos A cos A
(1) 若 f x 在 x 1 时取到极值，求 a 的值及 f x 的图像在 x 1 处的切线方程； (2) 若 f x ln 2 在 x 0 时恒成立，求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分 . 请考生用 2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑. 22. （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 上 x ＝2＋2cosθ， 2 3 π 两点 M， N 的极坐标分别为(2,0)， . 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数)． ， 3 2 y＝－ 3＋2sinθ (1) 设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； (2) 判断直线 l 与圆 C 的位置关系 23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x )＝m－|x －1|，m ∈R ，且 f (x ＋2)+ f (x －2)≥0 的解集为[－2,4]． (1) 求 m 的值； 1 1 1 (2) 若 a，b，c 为正实数，且 ＋ ＋ ＝m，求证：a＋2b＋3c≥3. a 2b 3c
4. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧河岸选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 米，∠ACB=45° ，∠CAB=105° ，则 A、 B 两点 的距离为 A. 50 2 米 B. 50 3 米 C. 25 2 米 D.
25 2 米 2
5. 若等比数列 an 的前 5 项的乘积为 1， a6 8 ，则数列 an 的公比为 A. 2 B. 2 C. 2 D.
x | x 1
B.
x | x 2
C. x | x 2或x 0 D.
2. 命题“ m 2 ”是命题“直线 2 x my 2m 4 0 与直线 mx 2 y m 2 0 平行”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设 an 为等差数列，公差 d 2 ， Sn 为其前 n 项和. 若 S10 S11 ，则 a1 = A.18 B.20 C.22 D.24
成都七中18届高三理科综合上学期半期考试试卷
2017–2018学年度（上期）成都七中半期考试高2018届理科综合试题答题时间：150分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷的答题卡交回，试卷保存好，以便老师讲评。
4．可能用到的相对原子质量：H—1 B—10.8 C—12 N—14 O—16 Al—27 Fe—56一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列关于细胞的说法中，正确的是（）A.在细胞核内RNA能够传递和表达遗传信息B.线粒体将葡萄糖氧化分解为CO2和H2OC.正常状态下溶酶体对自身机体的细胞结构无分解作用D.发生渗透平衡时半透膜两侧溶液浓度可以不相等2、据图判断，有关叙述错误的是（）A.酶1在此反应中起到催化剂的作用，它也可以作为另一个反应的底物B.甲物质含有的元素为C、H、O、N、PC.乙物质是DNA的基本组成单位之一D.细胞有氧呼吸时不仅有A TP生成，同时还有NADH（还原型辅酶Ⅰ）生成3、下列实验均可以用口腔上皮细胞作为实验材料的是（）A.观察DNA和RNA在细胞中的分布、观察质壁分离和复原B.观察细胞中线粒体的形态和分布、观察细胞的有丝分裂C.低温诱导染色体数目的变化、观察减数分裂D.观察DNA和RNA在细胞中的分布、观察细胞中的线粒体的形态和分布4、已知某植物的株高由位于两对同源染色体上的两对等位基因决定。
A、B决定高茎，每个基因对株高增加效应相同且具叠加性，a、b决定矮茎。
有如下三个种群，种群内部株高的分布如图，X、Y和Z 3个种群分别代表的是（）A.F1、F2、PB.F2、P、F1C.F2、F1、PD.P、F1、F25、下列有关变异和进化的说法中，正确的是（）A.自然选择不能决定基因突变的方向B.若没有外界因素的影响,基因就不会发生突变，C.自然界中即使没有突变发生，生物也会进化D.观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置6.下丘脑体温调节中枢存在冷敏神经元和热敏神经元，它们的放电频率因体温变化而相应改变，如图中实线所示，C、W曲线交于S点，此点对应的温度为正常体温。
2018届四川省成都市第七中学高三上学期模拟测试(1.5)理数试题
四川省成都市第七中学2018届高三上学期模拟测试（1.5）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=-+ii 11（ ） A ．i B ．i - C ．i 1- D ．i 12．设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}4,1{=M ，}5,3,1{=N ，则=)(M C N U （ ）A ．}3,1{B ．}5,1{C ．}5,3{D ．}5,4{3．某城市2017年12个月的PM2.5平均浓度指数如右图所示.根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度4．设21325,2log ,2log e c b a ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．5)1(x -展开式3x 的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．56．棱长为1的正方体经切割之后余下的几何体，其三视图如图所示，则余下几何体体积的最小值为（ ）A ．65B ．31C ．21D ．32 7．当点)2,3(P 到直线021=-+-m y mx 的距离最大时，m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．18．函数)12(-=x e y x 的大致图象是（ ）A. B.C.D. 9．要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（ ） A ．沿x 轴向左平移8π个单位 B ．沿x 轴向右平移8π个单位 C ．沿x 轴向左平移4π个单位 D ．沿x 轴向右平移4π个单位 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，31,4549==-n a S ，若198=n S ，则=n （ ）A ．10B ．11C ．12D ．1311．已知P 为抛物线C ：2x y =上一动点，直线l ：42-=x y 与x 轴、y 轴交于N M ,两点，点)4,2(-A 且AN AM AP μλ+=，则μλ+的最小值为（ ）A ．25B ．47 C ．4 D ．3 12．已知21,F F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与圆222b y x =+相切于点M ，且||3||21MF MF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知α为第二象限的角，53sin =α，则=α2tan . 14．实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x ，则y x z 2-=的最大值是 .15．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系b kx e y +=（e ＝2.718…为自然对数的底数，b k , 为常数）.若该食品在 0℃的保鲜时间为192小时，在 22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在 33℃的保鲜时间为 小时.16．函数 )1(>=a a y x 的图象与二次函数 2x y =的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数a x x x f +++=2sin )22sin(3)(π的最大值为1.（1）求函数)(x f 的周期与单调递增区间；（2）若将)(x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间]2,0[π上的最大值和最小值.18．某商场庆元旦举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6 个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球， 则不获奖．（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列，数学期望．19．如图，四边形PCBM 是直角梯形，090=∠PCB ，2,1,//==BC PM BC PM ，又PC AB ACB AC ⊥=∠=,120,10，直线AM 与直线PC 所成的角为060.（1）求证：AC PC ⊥；（2）求二面角B AC M --的余弦值.20．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个焦点)0,1(2F ，且过点)23,1(-，右顶点为A ，经过点2F 的动直线l 与椭圆交于C B ,两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）)23,1(M 是椭圆E 上一点，21MF F ∠的角平分线交x 轴于N ，求MN 的长；（3）在x 轴上是否存在一点T ，使得点B 关于x 轴的对称点B 落在CT 上？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数111)(-++=x ex x x f λ （1）证明：当0=λ时，0)(≥x f ；（2）若当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数λ的取值范围.22．已知曲线C 是极坐标方程式θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 是参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点)0,(m P ，若直线L 与曲线C 交于两点B A ,，且1||||=PB PA ，求m 的值.23.已知R b a ∈,，|1||2|)(---=x x x f .（1）若0)(>x f ，求实数x 的取值范围；（2）对R b ∈∀，若)(||||x f b a b a ≥-++恒成立，求a 的取值范围.试卷答案 一、选择题1-5：ACBBA 6-10：DDAAB11-12：BC 二、填空题13．724- 1 14．1 15．2416．e e a 21<<三、解答题17．解：（1）∵a x x a x x x f ++=+++=2sin 2cos 32sin )22sin(3)(π1)32sin(2≤++=a x π∴12=+a ，∴1-=a其周期为π=T（2）∵将)(x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴1)322sin(21]3)6(2sin[2)6()(-+=-++==+=ππππx x x f x g ∵]2,0[π∈x ，∴]35,32[322πππ∈+x ∴当32322ππ=+x 时，23)322sin(=+πx ，)(x g 取最大值13- 当23322ππ=+x 时，1)322sin(-=+πx ，)(x g 取最小值3-. 18．（1）记事件=1A ｛从甲箱摸出的1个球是红球｝，=2A ｛从乙箱摸出的1个球是红球｝，=1B ｛顾客抽奖1次获一等奖｝，=2B ｛顾客抽奖1次获二等奖｝，=C ｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且211A A B =，21212A A A A B +=，21B B C += ∵21105)(,52104)(21====A P A P ， ∴512152)()(211=⨯==A A P B P ， 2121)521()211(52)(2=⨯-+-⨯=B P ， 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51， 所以)51,3(~B X ， 于是12564)54()51()0(3003===C X P ，12548)54()51()1(2113===C X P ，12512)54()51()2(1223===C X P ，1251)54()51()3(0333===C X P 故X 的分布列为∴X 的数学期望为53513)(=⨯=X E . 19．（1）∵B BC AB PC AB PC BC =⊥⊥ ,,，∴⊥PC 平面ABC ，∵⊂AC 平面ABC ，∴AC PC ⊥.（2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，建立空间直角坐标系，如图所示设),0,0(z P ∴),23,23()0,21,23(),1,0(),,0,0(z z AM z CP -=--== ∵||3|||||||,cos |60cos 220z z z CP AM CP AM CP AM ⋅+=⋅=><=，且0>z ， ∴2132=+z z， ∴1=z ， ∴)1,23,23(-=AM 设平面MAC 的一个法向量为)1,,(y x n =， 则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0212301232300y x y x CA n AM n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=133y x ∴)1,1,33(--=n 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(=CP ，721||||,cos =⋅>=<CP n CPn CP n 显然，二面角B AC M --为锐二面角所以二面角B AC M --的余弦值为721. 20. 解：（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+114912222b a b a ，解得⎩⎨⎧==32b a ， ∴椭圆方程为13422=+y x （2）依题可得23,2521==MF MF ，由平面几何角平分线定理得 35||||||||2121==MF MF NF N F ，即2135NF N F =，得)0,41(N 所以453)230()141(||22=-+-=MN （3）假设在x 轴上存在一点)0,(t T 满足已知条件，则TC TB k k -= 即0)()(12212211=-+-⇒--=-t x y t x y tx y t x y 0436)1(43920))(1(20)1()1(2221211221=+-⋅-++-⋅⇒=--+⇒=-++-+⇒m m t m m y y t y my t my y t my y整理得：0)4(=-m t ，∵m 任意，∴4=t故存在点)0,4(T 满足条件.21.（1）当0=λ时，1)(-+=-x e x x f ，则x e x f --=1)('，令0)('=x f ，解得0=x当0<x 时，0)('<x f ，∴)(x f 在)0,(-∞上是减函数；当0>x 时，0)('>x f ，∴)(x f 在),0(+∞上是增函数；故)(x f 在0=x 处取得最小值0)0(=f ，即0)(≥x f .（2）由已知0≥x ，∴01≤--x e .（i ）当0<λ时，若λ1->x ，则01<+x x λ，此时0)(<x f ，不符合题设条件； （ii ）当0≥λ时，若0≥x ，01)1(011)(≥-+-+⇔≥-++=---x x x e e x x e x x x f λλ 令1)1()(-+-+=--x x e e x x x g λ，则0)(0)(≥⇔≥x g x f 而x x x x x xe e e xe e x g --------=---+=λλλλ)1)(1()1(1)('. ①当210≤≤λ时，由（1）知，01)(≥-+=-x e x x f ，即x e x -≥-1， 它等价于x e x +≥1，1-≤x e x∴)1()1)(1()1)(1()('----≥---=----x x x x x e e e xe e x g λλλλ 0)1)(12()1()1)(1(≥--=----=---x x x e e e λλλ此时)(x g 在),0[+∞上是增函数，∴0)0()(=≥g x g ，即0)(≥x f . ②当21>λ时，由（1）知，x e x -≥-1，∴x e x --≥1 ∴x e x e xe e x g x x x x λλλλλ-----=---=----)1()1)(1()1)(1()(' )1()1)(1()1)(1(x x x e e x x e x --------≤----=λλλλλλ )1)(12(---=-x e x λλ 当λλλ120-<<时，0)('≤x g ，此时)(x g 在)12,0(λλ-上是减函数，∴0)0()(=<g x g ，即0)(<x f ，不符合题设条件.22. 解：（1）由θρcos 2=，得θρρcos 22=，可得C 的直角坐标方程：x y x 222=+直线L 是参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123（t 为参数），消去参数t 可得m y x +=3 （2）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123（t 为参数），代入x y x 222=+， 得02)33(22=-+-+m m t m t ，由0>∆，解得31<<-m∴m m t t 2221-=.∵||1||||21t t PB PA ==，∴122±=-m m ， 解得21±=m 或1，又满足0>∆，∴实数21±=m 或1.23.解：（1）由0)(>x f 得|1||2|->-x x两边平方得124422+->+-x x x x ， 解得23<x ，故实数x 的取值范围为)23,(-∞. （2）R b ∈∀，若)(||||x f b a b a ≥-++恒成立等价于max min )(|)||(|x f b a b a ≥-++恒成立， ||2||||||a b a b a b a b a =-++≥-++，当且仅当0))((≤-+b a b a 时等号成立， 即||||b a b a -++的最小值为||2a ；1|12||1||2|=-+-≤---x x x x ，当且仅当1≤x 时等号成立， 即)(x f 的最大值为1，故1||2≥a ，解得21≥a 或21-≤a ， 故a 的取值范围是),21[]21,(+∞--∞ .。
2018届四川省成都市第七中学高三上学期半期考试数学(理)试题Word版含答案
∵集合 A x x 2
∴A B
故选 D
2．命题“ m 2”是命题“直线 2x my 2m 4 0 与直线 mx 2 y m 2 0 平
行”的（
）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 即不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 直线 2x my 2m 4 0 与直线 mx 2y m 2 0 平行，根据直线平行的
2017-2018 学年四川省成都市第七中学高三上学期半期考试 数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 A
xx2 , B
x x 1 x 0 ,则 A B
A. x x 1
B. x x 2
C. { x x 2 或 x 0} D.
【答案】 D
【解析】 ∵集合 B x x 1 x 0
∴ B { x | 0 x 1}
充要条件得到：
4 m2 {
2 2 m m 4 2m
m2
{
最终得到 m
m 1,m 2.
2. 故是
充要条件。 故答案选 A 。
3．设 { an }为等差数列，公差 d 2 ， Sn 为其前 n 项和，若 S10 S11 ，则 a1 =（ ）
A. 18 B. 20 【答案】 B
C. 22
D. 24
【解析】 试题分析：由等差数列的前 10 项的和等于前 11 项的和可知，第 11 项的值为
）
A. 2 B. 2 【答案】 B
C. 2
1
D.
2
【解析】 等比数列 an 的前 5 项的乘积为 1， a1a2.....a5 1 a15q10 ,a6 8 a1 * q5
联立以上两式得到：
四川省成都市第七中学2018届高三上学期半期考试数学(理)试题+Word版含答案【KS5U+高考】
成都七中 2017—2018 学年度上期高 2018 届半期考试数学试卷（理科） 考试时间：120 分钟满分：150 分第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2|{>=x x A ，}0)1(|{>-=x x x B ，则=B A （ ）A ．}1|{>x xB ．}2|{>x xC ．2|{>x x 或}0<xD ．∅ 2．命题“2-=m ”是命题“直线0422=+-+m my x 与直线022=+-+m y mx 平行”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3．设}{n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和. 若1110S S =，则=1a （ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．244．如图，设 B A ,两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸选定一点 C ，测出AC 的距离为 50米，045=∠ACB ，0105=∠CAB ，则 B A ,两点的距离为（ ）A ．250米B ．50米C ．25米D ．2225米 5．若等比数列}{n a 的前5项的乘积为1，86=a ，则数列}{n a 的公比为（ ） A ．2- B ．2 C ．2± D ．21 6．设 312.0212,)31(,3log ===c b a ，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 7．曲线x x y 22+-=与x 轴围成的一个封闭图形的面积为（ ） A ．1 B ．34C ．3D ．28．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ） A ．321cm B ．332cm C ．365cm D ．387cm 9．把函数)6(cos )6(sin 22ππ+-+=x x y 的图像向左平移)0(>ϕϕ个单位就得到了一个奇函数的图象，则ϕ的最小值是（ ） A ．125π B ．6π C ． 12πD ．3π 10．函数]2,2[,sin 2ππ-∈-=x x x y 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、||1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 12．已知)(||)(R x ex x f x ∈=，若关于x 的方程01)()(2=-+-m x mf x f 恰好有 4 个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．),2()2,1(e eB ．)1,1(eC ． )11,1(+e D ．),1(e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则=p ． 14．已知平面向量)3,12(+=m 与),2(m =是共线向量且0<⋅b a ，则=|| ． 15．刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥BCD A -中，AB 垂直于平面BCD ，AC 垂直于CD ，且 1===CD BC AB ，则三棱锥BCD A -的外接球的球面面积为 ．16．已知ω是正数，且函数 x x x f ωωcos 3sin )(-=在区间)2,4(ππ上无极值，则ω的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n n S a ，其中n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈. （1）求n a ；（2）若数列}{n b 满足)log 3)(log 1(133n n n a a b ++=，}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的正整数n 都有m T n <，求m 的最小值．18．设ABC ∆三个内角 C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积S 满足22234c b a S -+=．（1）求角C 的值；（2）求A B cos sin -的取值范围．19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱21=AA ，点F E D ,,分别为棱AB B A CC ,,11的中点，ABD ∆的重心为G ，直线EG 垂直于平面ABD ．（1）求证：直线//CF 平面BD A 1； （2）求二面角C BD A --1的余弦．20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为 21,F F 且离心率为22，B A Q ,,为椭圆C 上三个点，21F QF ∆的周长为)12(4+，线段AB 的垂直平分线经过点)0,1(-P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求线段AB 长度的最大值．21．已知函数R a x x ax x f ∈+-+=,11)1ln()(． （1）若)(x f 在1=x 时取到极值，求a 的值及)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）若2ln )(≥x f 在0≥x 时恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x (θ为参数).（1）设P 为线段MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,1|)(，且0)2()2(≥-++x f x f 的解集为]4,2[-． （1）求m 的值； （2）若c b a ,,为正数，且m cb a =++31211，求证332≥++c b a ．试卷答案一、选择题1-5：DABAB 6-10：ABDCD 11、12：CC 二、填空题13．2 14．22 15．π3 16．]311,310[]35,0[ 三、解答题17．（1）121+=+n n S a ，121+=-n n S a ，2≥n ， 两式相减得2,3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 注意到11=a ，1123312a S a ==+=， 于是n n a a n 3,11=≥∀+，所以13-=n n a . （2）)211(21)2(1+-=+=n n n n b n)]214131()1211[(21)2114121311(21++++-+++=+-++-+-=n n n n T n 43)2111211(21<+-+-+=n n T n所以m 的最小值为43.18、（1）C ab c b a abc b a C cos 2,2cos 222222=-+-+=C ab C ab c b a S sin 2134cos 234222==-+=33tan =C ，6π=C .（2）)3cos(cos sin π+-=-A A B 或者)6sin(π-A ，)3sin(π+B ，)6cos(B -π因为)65,0(π∈A ，所以)67,3(3πππ∈+A ，]1,21()3cos(-∈+πA ， 所以]1,21(cos sin -∈-A B .19、(1) 连结 FC EF DE ,,，则在三角形AB A 1中EF 为中位线，于是A A EF 1//，A A EF 121=因为D 为C C 1中点，所以EF 平行且等于DC . 所以在平行四边形EFCD 中，CF 平行于DE因为DE 在平面 BD A 1上，所以CF 平行于平面BD A 1 （2）分别以1,,CC CB CA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系 设a CA =，则)31,3,3(),1,2,2(),2,0,(),1,0,0(),0,,0(),0,0,(1a a G a a E a A D a B a A 因为EG 垂直于平面ABD ，所以有0,0=⋅=⋅， 解得2=a ，所以22=AB面ABC 的法向量)1,0,0(=，面ABD 的法向量为)32,31,31(---=所以36,cos >=< 结合图形知，二面角C BD A --1的预先为36-.20、（1）)12(422+=+c a ，21=a c 2,22,2===b a c ,所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （2）当AB 斜率不存在时，AB 最大值为4 当斜率存在时，设AB ：m kx y +=联立m kx y +=与14822=+y x 得：8)(222=++m kx x ，0824)21(222=-+++m kmx x kAB 中点坐标为)21,212(22k mk km ++-因为AB 的垂直平分线经过点)0,1(-P ，所以k kkm k m 112122122-=++-+（若k 为0，则AB 中垂线为y 轴，这与题意不符） 化简得：k km km k km km k m k 21,221,221122+=-+=--+=-所以22222221221)82)(12(4161||1||km k m k kx x k AB +-+-+=-+= 222221326481kk m k++--+= 2222222221141222148)21(122k k k k k k k kk +-+=++++-+=42221222)21()1)(12(222112122242422222222<<+-+=++-=+-+=kk k k k k k k k k k k所以AB 最大值为4.21、（1）222)1)(1(2)1(21)('x ax a ax x ax a x f ++-+=+-+=， ∵)(x f 在1=x 时取到极值，∴0)1('=f ，解得1=a 故在1=x 处的切线方程为：2ln =y（2）由定义域知：01>+ax 对于0≥x 恒成立，可得0≥a22)1)(1(2)('x ax a ax x f ++-+=①当0=a 时，在),0(+∞上，0)('<x f 恒成立，所以此时)(x f 在),0(+∞递减 注意到2ln 031)2(<<-=f ，故此时2ln )(≥x f 不恒成立 ②当2≥a 时，在区间),0(+∞上，0)('>x f 恒成立，所以此时)(x f 在),0(+∞递增2ln 1)0()(>=≥f x f ，故此时2ln )(≥x f 恒成立③当20<<a 时，)(x f 的单调减区间为)2,0(a a -，单调增区间为),2(+∞-aa)(x f 在a a x -=2处取得最小值，只需2ln )2(≥-aaf 恒成立 设)20(2121)1)2(ln()()2(<<-+--++-==-a aaa aa a a g a a f设),0(2+∞∈-=a at ，tt t t a a f t m +-+++=-=11)112ln()2()(2 0)1()1(4)('222<++-=t t t t m ，)(t m 在),0(+∞递减，又2ln )1(=m 所以1≤t 即12≤-aa，解得21<≤a 综上可知，若2ln )(≥x f 恒成立，只需a 的取值范围是),1[+∞.22、（1）N M ,的平面直角坐标为)332,0(),0,2( 于是P 的坐标为)33,1( 所以OP 的平面直角坐标方程为：)03(33=-=y x x y （2）直线l 的方程为：023=-+y x 圆C 的方程为：4)3()2(22=++-y x ，C 到l 的距离223<=d 所以l 与C 相交.23、解：（1）m x x 2|3||1|≤-++，设|3||1|)(-++=x x x g ，则当1-≤x 时，22)(+-=x x g ； 当31<<-x 时，4)(=x g ； 当3≥x 时，22)(-=x x g 所以3,26)4()2(====-m m g g . （2）331211=++cb a 由柯西不等式，223)3132121()31211)(32(=⋅+⋅+⋅≥++++cc b b a a c b a c b a 所以332≥++c b a .。
【全国百强校】四川省成都市第七中学2018届高三上学期半期考试数学(理)试题
A. x | x 1 B. x | x 2 C. x | x 2或x 0 D.
2. 命题“ m 2 ”是命题“直线 2x my 2m 4 0 与直线 mx 2y m 2 0 平行”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
18. （本题满分 12 分）
设 ΔABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，ΔABC 的面积 S 满足 4 3S a2 b2 c2 . (1) 求角 C 的值； (2) 求 sin B cosA的取值范围.
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成都市西城角巷18号华润lavie峰锦2303（九宁校区） 成都市百草路186号英伦二期四幢3单元205（成外校区）
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书上有路勤为径 有径都在为学溪
19. （本题满分 12 分） 如 图 ，在 直三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ，底 面 是等 腰直 角三 角 形 ，
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成都七中 2017—2018 学年度上期高三数学期中考试参考答案与评分标准
十载毕业班经验
18. (1) cos C a2 b2 c2 , a2 b2 c2 2ab cos C ………….1 分 2ab
【全国百强校】四川省成都市第七中学2018届高三上学期期末考试数学(理)答案
BC (1, 3,0) BE (0, 1, 3) ，平面 ABC 的一个法向量为 n1 (0, 0,1) .................8 分
设平面 BCE 的法向量 n2 (x, y, z)
则 n2 BC 0 ,
x
3y 0
n2 BE 0
2
3
3
23
23
2
(2) 当 e 2 时， c 2 ，∴ c b 2 a ，∴ 2b2 a2 .
2
a2
2
∵ PF2 F1F2 ,∴ PF1 是圆的直径，圆心是 PF1 的中点，.....................5 分
∴在
y 轴上截得的弦长就是直径，∴ PF1
6 .又 PF1
y 3z 0
取 z 1，n2 (3,
3,1)
........................10
分cos(n1, n2 )
|
n1 n1 |
n2 | n2
|
13 ， 13
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角 E BC A的余弦值为 13 . .....12 分 13
y 12
9.
椭圆的右准线方程为 x 4 2 ，, ∵直线 AM , AN 是圆 Q 的两条切线，
∴切点 M , N 在以 AQ 为直径的圆上,设 A 点坐标为 (4 2,t) ，
∴该圆方程为 x(x 4 2) ( y 1)( y t) 0 。
∴直线 MN 是两圆的公共弦，两圆方程相减得： 4 2x (t 1) y 8 t 0 ，这就是直线 MN 的方
最新-四川成都七中2018届高三数学上学期期中考试 理旧
成 都 七 中 高 2018-2018 学年上期2018级半期考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） １．设集合}30|{},01|{<<=<-=x x B x xx A ，则=⋂B A （ ） A ．}31|{<<x x B ．}30|{<<x x Ｃ．}10|{<<x x D ．φ2. 设函数2322,2()42,2x x f x x x x a+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =（ ）A ．12-B ．14-Ｃ．14D ．133．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =( ) Ａ．-11B ．-8 Ｃ．5 Ｄ．114. 设10.23121log 3,(),2,3a b c ===则,,a b c 三者的大小关系是（ ）Ａ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 5.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）Ａ． B ． C ． D ． 6. 已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是 （ ）Ａ．函数)()(x g x f y ⋅=的周期为2π B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1C ．将)(x f 的图象向左平移2π个单位后得到)(x g 的图象 D ．将)(x f 的图象向右平移2π个单位后得到)(x g 的图象7. .函数2()2f x x mx m =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间x(1,)+∞上一定（ ）Ａ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数8. 已知数列}{n a 的前n 项和n S ，前m 项和m S ，前n m +项和n m S +满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a （ ）Ａ．1 B ．9 C ．10 D ．559． 在ABC ∆中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“A cos >B cos ”成立的（ ）Ａ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且对任意x R ∈,都有)3()1(+=-x f x f ,当[4,6]x ∈时,12)(+=x x f , 函数)(x f 在区间[2,0]-上的反函数为)(1x f-，则)19(1-f 为( )Ａ．15log 2 B ．3log 232- C.3log 52+ D ．3log 212-- 11.已知函数()lg(2)(1)x f x b x =-≥的值域是[0,)+∞,则（ ） Ａ．1b ≤ B ．1b < C ．1b ≥ D ．1b =12.设定义在R 上的函数)(x f 满足（1）当R n m ∈,时，);()()(n f m f n m f ⋅=+ （2）0)0(≠f ；（3）当0<x 时，1)(>x f ，则在下列结论中： ①1)()(=-⋅a f a f ； ②)(x f 在R 上是递减函数； ③存在0x ，使0)(0<x f ； ④若21)2(=f ，则,41)41(=f 61)61(=f .正确结论的个数是（ ）Ａ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（本大题共4小题每小题4分，共16分） 13．若复数11aii++是纯虚数，则实数a = 14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos ______________.15. 数列{}1112116,,,*,lim()55n n n n n n a a a a n N a a a ++→∞=+=∈+++=中16．已知下列结论：（1）函数),1()23(log 3221+∞---=在x x y 上单调递增.（2）函数),1(23+∞-=在x x y 上单调递增.（3）若.1033,2,0,0<+=+>>b a b a b a 则 （4）函数xx y 22sin 7sin 2+=的最小值为9. （5）方程lg sin 0x x -=的实根的个数为 1个.其中所有正确的结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项; （Ⅱ）求数列{}2na 的前n 项和nS.18.（本小题共12分）已知函数1)4()sin()2x f x x ππ+-=-． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．19．（本小题满分12分） 已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足:对任意实数x ,都有x x f ≥)(，且当(1,3)x ∈时,有2)2(81)(+≤x x f 成立. （Ⅰ）试求(2)f 的值；（Ⅱ）若(2)0f -=,求()f x 的表达式； （III ）在(II)的条件下,若),0[+∞∈x 时,1()24m f x x >+恒成立，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分12分）设a 为常数,)1()1ln()(+-+=x a x x x f . (I) 若()f x 在[1,)x ∈+∞是增函数，求a 的取值范围； (II) 求1)()(+-'=x axx f x g 有极值的条件及相应的极值. 21．（本小题满分12分）若数列}{n a 的前n 项和n S 是nx )1(+二项展开式中各项系数的和()1,2,3,n =．（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ，且=n c nb a nn ⋅，求数列}{n c 的通项及其前n 项和n T ；（III ）求证：212++<⋅n n n T T T ． 22. （本小题满分14分） 已知函数2()2ln f x x a x =- （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式22ln x a x ≥（a >0）恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：444444ln 2ln 3ln 223n n e++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为2.71828）.。
四川省成都市第七中学2018届高考模拟数学(理)试题一(含答案)
成都七中高2018届高考模拟数学试题一理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}043{},4{2>-=≤=x x B x x x A ，则=B A （ ） A ．)0(，-∞ B ．)34,0[ C ．]4,34( D ．)0(，-∞ 2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i --2为纯虚数，则=a （ ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．-2 3.某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如下图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B ．乙型号平板电脑的拍照功能比较好C ．在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好D ．消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕 4.已知33)67sin(=+απ，则)232cos(απ-=（ ） A ．32-B ．31- C.32 D ．31 5.113)23(x x -展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）A ．121 B ．61 C.112 D ．111 6.函数)1(1)(-+=xx e x e x f 的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7.已知平面向量a 与b的夹角为32π，若)1,3(-=a ，1322=-b a ，则b （ ）A ．3B ．4 C.3 D ．2 8.设20π<<x ，则”“2cos x x <是”“x x <cos 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知⎰=102xdx a ，函数⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0)sin()(πϕωϕωA x A x f 的部分图像如图所示，则函数a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π图像的一个对称中心是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,12π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,127π D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,43π 10.双曲线()0,01:2222>>=-a by a x C 的离心率332=e ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF AOF ∠=∠，AOF ∆的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A ．1123622=-y x B ．161822=-y x C. 13922=-y x D ．1322=-y x11.设函数2ln )(2+-=x x x x f ，若存在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⊆,21],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为)]2(),2([++b k a k ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+42ln 29,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+42ln 29,1 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛+102ln 29,1 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+102ln 29,1 12.如图，在矩形ABCD 中，,6,4==BC AB 四边形AEFG 为边长为2的正方形，现将矩形ABCD 沿过点F 的动直线l 翻折，使翻折后的点C 在平面AEFG 上的射影1C 落在直线AB 上，若点C 在折痕l 上射影为2C ，则221CC C C 的最小值为（ ）A ．1356-B ．25- C.21 D ．32 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤622y x y x xy ，则y x z -=2的最大值为 ．14.执行下面的程序框图，输出的结果为 ．15.已知圆044:22=+--+m y x y x C 与y 轴相切，抛物线)0(2:2>=p px y E 过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线所截得的弦长等于 ．16.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，AD BD CD AC BC CD 2,5,35,===⊥，则AD 的长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，11>a ，且*),2)(12(10N n a a S n n n ∈++=.（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）是否存在*,,N k n m ∈，使得k n m a a a =+)(2成立？若存在，写出一组符合条件的k n m ,,的值；若不存在，请说明理由；18.如图，等腰直角PAD ∆为梯形ABCD 所在的平面垂直，且,//,,BC AD PA PA PD PA ⊥=E ADC CD BC AD ,120,422 =∠===为AD 中点.（1）证明：⊥BD 平面PEC ； （2）求二面角D PB C --的余弦值.19.甲、乙两品牌计划入驻某大型商场，该商场批准两个品牌先进场试销10天.量品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出90件以内（含90件）的产品，每件产品返利5元，超出90件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利a 元，且每卖出一件产品再返利3元.经统计，两家品牌的试销情况的茎叶图如下：（1）现从乙品牌试销的10天中抽取三天，求这三天的销售量中至少有一天低于90的概率.（2）若将频率视作概率，商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.20. 已知圆)0,1(),0,1(,4:2122F F y x O -=+，点D 圆O 上一动点，OE OF OD +=22，点C 在直线1EF 上，且02=⋅EF CD ，记点C 的轨迹为曲线W .（1）求曲线W 的方程；（2）已知)0,4(N ，过点N 作直线l 与曲线W 交于B A ,不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围.21.已知函数),0()3()(R a x xae x xf x ∈>+-=. （1）当43->a 时，判断函数)(x f 的单调性； （2）当)(x f 有两个极值点时，若)(x f 的极大值小于整数m ，求m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32cos2165sin ππt y t x ，在极坐标系中曲线D 的极坐标方程为θθρ2cos sin 22+=. （1）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与曲线D 交于B A ,两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数2)(-=x x f .（1）解不等式2)42()(<+-x f x f ；（2）若m m x f x f 2)3()(2+≥++对R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.成都七中高2018届高考模拟数学试题一理科数学 参考答案一、选择题1-5:CBDBB 6-10:AAACC 11、12：CA二、填空题13.10； 14.854； 15.825； 16.5. 三、解答题17.（1）)2)(12(10111++=a a a ，得0252121=+-a a ，解得21=a ，或211=a . 由于11>a ，所以21=a .因为)2)(12(10++=n n n a a S ，所以252102++=n n n a a S . 故252252101010212111---++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a ，整理，得0)(5)(21221=+--++n n n n a a a a ，即0]5)(2)[(11=--+++n n n n a a a a . 因为}{n a 是递增数列，且21=a ，故0)(1≠++n n a a ，因此251=-+n n a a .则数列}{n a 是以2为首项，25为公差的等差数列. 所以)15(21)1(252-=-+=n n a n . （2）满足条件的正整数k n m ,,不存在，证明如下：假设存在*,,N k n m ∈，使得k n m a a a =+)(2，则)15(211515-=-+-k n m . 整理，得5322=-+k n m ，①显然，左边为整数，所以①式不成立. 故满足条件的正整数k n m ,,不存在.18.【解析】（1）在等腰直角PAD ∆中，PD PA =， 又E 为AD 中点，所以AD PE ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD ， 平面 PAD 平面ABCD =AD ，所以⊥PE 平面ABCD ， 故⊥PE BD .如图，连接BE ，在梯形ABCD 中，BC AD //，且BC ED =， 所以四边形BCDE 为平行四边形，又2==CD BC ，所以四边形BCDE 为菱形， 所以BD EC ⊥. 又E EC PE = ， 所以⊥BD 平面PEC .（2）如图，过点E 作DB EF //，交AB 于F ， 因为EC BD ⊥，所以BC EF ⊥.由（1）知⊥PE 平面ABCD ，故以点E 为坐标原点，分别以EP EC EF ,,所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz E -.在PAD Rt ∆中，2==EA ED ， 又PD PA PD PA ⊥=,，所以2=EP .在梯形ABCD 中，120=∠ADC ，2==DC ED ，故32=EC .60,2=∠==BEF DC EB .所以),60sin 2,60cos 2(),0,32,0(),2,0,0(B C P 即)0,3,1(),0,3,1(-D B .故)0,0,2(),2,32,0(),2,3,1(=-=-=DB PC PB . 设平面PBC 的法向量为),,(111z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧==PCn PB n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+023*********z y z y x .令31=z ，则3,111==x y .所以)3,1,3(=n为平面PBC 的一个法向量. 设平面PBD 的法向量为),,(222z y x m =.由⎪⎩⎪⎨⎧==DBm PB m ，得⎩⎨⎧==-+020232222x z y x . 令32=z ，则2,022==y x .所以)3,2,0(=m为平面PBD 的一个法向量.所以75313323321,cos 2=++⨯+⨯+⨯=⋅⋅=n m n m n m.由图可知，二面角D PB C --为锐二面角，故其余弦值等于75. 19.解（1）方法一：记“乙品牌这三天的销售量中至少有一天低于90”为事件A ， 由题意知抽取的10天中，销售量不低于90的有7天，销售量低于90的有3天.则2417)(310330723171327=++=C C C C C C C A P 方法二：记“这三天的销售量至少有一天低于90”为事件A ， 则A 为：“这三天的销售量都不低于90”，则247)(3103703==C C C A P ， 所以24172471)(1)(=-=-=A P A P （2）①设甲品牌的日销售量为t ，由茎叶图可知t 可取86,87,89,90,92,93. 当t =86时，=X 86⨯5=430； 当t =87时，=X 87⨯5=435； 当t =89时，=X 89⨯5=445； 当t =90时，=X 90⨯5=450； 当t =92时，=X 90⨯5+2⨯7=464； 当t =93时，=X 90⨯5+3⨯7=471.∴X 的所有可能取值为：430,435,445,450，464,471. ∴X 的分别列为X 430 435 445 450 464 471P 5151 51 51 101 101 ∴5.44510147110146451450514455143551430=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX （元）②依题意，乙品牌的日平均销售量为：7.909310192529151895186101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∴乙品牌的日平均返利额为：1.27237.90+=⨯+a a （元）.当5.4451.272>+a ，即4.173>a （元）时，推荐该商场选择乙品牌长期销售； 当5.4451.272=+a ，即4.173=a （元）时，该商场任意选择甲、乙品牌即可； 当5.4451.272<+a ，即4.173<a （元）时，推荐该商场选择甲品牌长期销售. 综上，当4.173>a 元时，推荐该商场选择乙品牌长期销售； 当4.173=a 元时，该商场任意选择甲、乙品牌即可； 当4.173<a 元时，推荐该商场选择甲品牌长期销售.20.解：（1）13422=+y x . （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：),(),,(),,(),4(002211y x Q y x B y x A x k y -=.联立直线与椭圆⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ，消去y 得0126432)34(2222=-+-+k x k x k .341264,343222212221+-=+=+k k x x k k x x ， 又0)1264)(34(4)32(2222>-+--=∆k k k ，解得2121<<-k ， 3412)4(,3416220022210+-=-=+=+=k kx k y k k x x x ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+3412,3416222k k k k Q 所以)(1:00x x k y y l --=-'，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++341613412222k k x k k k y . 化简得：34412++-=k kx k y ，令0=x ，得3442+=k k m ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+344,02k k M ， =MQ ()22242222222341634163416++⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k k k k k MQ ， 令342+=k t ，则)4,3[∈t ，所以]11213[163216434316222222+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=--⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t t t t t t t t MQ ， 所以)5,0[∈MQ .21.（1）由题)0()33()3(])3([)(222>--+-=----+-='x xae x x x a e x x e x e xf x x x x . 方法1：由于43)33(,01,0433322-<-+-<-<-<-≤-+-x x e x x e x x ， 又43->a ，所以0)33(2<--+-a e x x x，从而0)(<'x f ， 于是)(x f 为),0(+∞上的减函数.方法2：令a e x x x h x--+-=)33()(2，则xe x x x h )()(2+-='，当10<<x 时，0)(>'x h ，)(x h 为增函数；当1>x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数. 故)(x h 在1=x 时取得极大值，也即为最大值. 则a e h x h --==)1()(max .由于43->a ，所以0)1()(max <--==a e h x h ， 于是)(x f 为),0(+∞上的减函数.（2）令a e x x x h x--+-=)33()(2，则xe x x x h )()(2+-='，当10<<x 时，0)(>'x h ，)(x h 为增函数；当1>x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数. 当x 趋近于∞+时，)(x h 趋近于∞-.由于)(x f 有两个极值点，所以0)(='x f 有两个不等实根， 即0)33()(2=--+-=a e x x x h x有两不等实根21,x x （21x x <）. 则⎩⎨⎧><,0)1(,0)0(h h 解得e a -<<-3.可知)1,0(1∈x ，由于0)1(>--=a e h ，034343)23(2323<+-<--=e a e h ，则)23,1(2∈x .而0)33()(2222222=--+-='x a e x x x f x ，即332222-+-=x x a e x （#） 所以2222)3()()(x ae x xf x f x +-==极大值，于是332)(22222+--=x x a ax x f ，（*）令)211(2222-<<-+=⇒-=t t x x t ，则（*）可变为a tt a t t t t g 1111)(2++=++=，可得321111-<++<-t t ，而e a -<<-3，则有31111)(2<++=++=a tt a t t t t g ，下面再说明对于任意)23,1(,32∈-<<-x e a ，2)(2>x f .又由（#）得)33(2222-+-=x x e a x ，把它代入（*）得2)2()(22xe x xf -=， 所以当)23,1(2∈x ，2)1()(22x ex x f -='0<恒成立，故2)2()(22x e x x f -=为)23,1(的减函数，所以221)23()(232>=>e f x f .所以满足题意的整数m 的最小值为3.22.解：（1）曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ty tx 121，消去参数t ，得x y 21+=，故曲线C 的普通方程为012=+-y x . 因为θθθθθρsin 12sin 1)sin 1(2cos sin 2222-=-+=+=，即2sin =-θρρ. 所以曲线D 的直角坐标方程为222=-+y y x ，即442+=y x .（2）由⎩⎨⎧+=+=44212y x xy ，消去y ，可得4)21(42++=x x ，即0882=--x x .所以821=+x x ，821-=x x ，所以304)8(482122=-⨯-+=AB .23.解：（1）由题知不等式2)42()(<+-x f x f 即2222<+--x x ，等价于⎩⎨⎧<+++--<22221x x x 或⎩⎨⎧<--+-≤≤-222221x x x 或⎩⎨⎧<--->22222x x x ，解得2-<x 或232≤<-x 或2>x ， ∴原不等式的解集为），（，∞+---∞32)2( . （2）由题知31212)3()(=---≥++-=++x x x x x f x f ， ∴)3()(++x f x f 的最小值为3， ∴322≤+m m ， 解得13≤≤-m ，∴实数m 的取值范围为]1,3[-.。
精品解析：四川省成都市第七中学2018届高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)
成都七中2018届高三上期数学入学考试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A. －15 B. －3C. 3D. 15【答案】B 【解析】 【详解】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ．2. 某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中 2.4b =，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】C 【解析】 【详解】由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C. 3. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43，95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（）A. 60?1x i i ，>=+B. 60?1x i i <=+，C. 60?1x i i >=-，D. 60?1x i i <=-，【答案】A 【解析】【详解】把大于60的数找出来,根据流程图可知当满足条件时输出x,故判断框中应填x>60?， i 的功能是用于技术，故处理框应填i=i+1. 本题选择A 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．4. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213yx -=3，则圆C 的方程为（） A. ()2211x y +-=B. (2233x y +=C. 22312x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ D. ()2224x y +-=【答案】A 【解析】【详解】设圆C 的方程为x 2+(y−a)2=a 2(a>0)，圆心坐标为(0,a)，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为3y x =3∴2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a=1，∴圆C 的方程为x 2+(y−1)2=1. 本题选择A 选项.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5. 已知直线,m n 和平面,αβ，使m α⊥成立的一个充分条件是（） A. ,//m n n α⊥ B. //,m n n α⊥C. ,m n n α⊥⊂D. //,m ββα⊥【答案】B 【解析】【详解】逐一考查所给的选项：A. ,//m n n α⊥是m α⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；B. //,m n n α⊥是m α⊥成立的一个充分条件；C. ,m n n α⊥⊂是m α⊥成立的一个既不充分也不必要条件条件；D. //,m ββα⊥是m α⊥成立的一个必要条件. 本题选择B 选项.6. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为12π+，则正视图中x 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】根据三视图恢复成原几何体，原几何体为上边是正四棱锥下边为圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为x ，体积为224x x ππ⋅= ，正四棱锥的底面边长为22 22325-= ，体积为2185(22)53⋅=，组合体的体积为：8585412x ππ+=+，3x = ，选C.7. 将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（） A. 0 B.12C.3 D. 1【答案】D 【解析】【详解】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后， 可得函数()2sin(2)3g x x πϕ=++的图象，根据所得图象关于原点对称，可得()2,,sin(2)333f x x πππϕπϕ+=∴==+. 在[0,]2π上,42[,]333x πππ+∈ ,故当232x ππ+=时,f(x)取得最大值为1， 本题选择D 选项.8. 6(6ax +的二项展开式的第二项的系数为22ax -⎰d x 的值为( )A. 3B.73C. 3或73D. 3或103-【答案】B 【解析】【详解】6ax ⎛+ ⎝⎭的二项展开式的第二项为15155266()66T C ax C a x =⋅⋅=⋅，由题意，得156C a =1a =-，则132122187d |3333x x x ----==-+=⎰；故选B.9. 某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（ ) A.13B.23C.14D.12【答案】A 【解析】【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则A={（男，女），（女，男），（女，女）}，B={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（女，女）}． 于是可知 P(A)=34，P(AB)= 14．问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生的概率，即求P （B|A ），由条件概率公式，得 P （B|A ）=14÷34 =13． 故选A ．10. 在C AB 中， C 5B =， G ， O 分别为 C ∆AB 的重心和外心，且G C 5O ⋅B =，则 C AB 的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】【详解】试题分析：()1136OG OD DG OD DA OD AB AC =+=+=-+,所以 ()()()()111G C C C C 666OD AB AC OD AB AC AB AC AC AB ⎡⎤O ⋅B =-+⋅B =⋅B -+⋅B =-+⋅-⎢⎥⎣⎦()22156AC AB =--=,所以 2230AB AC -=，即222223025AB AC AC AC BC =+>+=+,所以222cos 02AC BC AB C AC BC+-=<⨯，即解C钝角，所以 ABC 为钝角三角形，故选B.考点：1.向量的几何运算； 2.余弦定理.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算与余弦定理判定三角形类型的问题，属中档题.在向量的几何运算中，通常是选择两个不共线的向量表示要运算的向量，即利用基底思想解决问题，通过这两个不共线的向量的运算达到要求的结果.11. 对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()·n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( ) A. 4n B. 4n -C. ()21n n +D. ()21n n -+【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--， 代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-，故41n nOA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前项和2(1)n n -+.考点：1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.12. 若以曲线()y f x =上任意一点()11,M x y 为切点作切线1l ，曲线上总存在异于M 的点()22,N x y ，以点N 为切点作切线2l ，且12l l //，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，现有下列命题： ①函数()22ln y x x =-+的图象具有“可平行性”；②定义在()(),00,-∞⋃+∞的奇函数()y f x =的图象都具有“可平行性”；③三次函数()32f x x x ax b =-++具有“可平行性”，且对应的两切点()11,M x y ，()22,N x y 的横坐标满足1223x x +=； ④要使得分段函数()()()110x x m x f x x e x ⎧+<⎪=⎨⎪-<⎩的图象具有“可平行性”，当且仅当1m =. 其中的真命题个数有（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【详解】由“可平行性”的定义,可得曲线y=f(x)具有“可平行性”,则方程y′=a(a 是导数值)至少有两个根．①函数y=(x−2)2+lnx,则y′=2(x−2)+1x =2241x x x -+ (x>0),方程2241x x a x-+=,即2x 2−(4+a)x+1=0,当422a =-+②定义在(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,如y=x 3, 则2'3y x =,方程23x a =,当0a =时有两个相等实数根，不符合题意；③三次函数f(x)=x 3−x 2+ax+b,则f′(x)=3x 2−2x+a,满足题意时，12,x x 的一元二次方程2320x x a -+=的实数根，即1223x x +=，命题③正确； ④函数y=ex−1(x<0),y′=ex ∈(0,1)，函数y=x+1x,y′=1−1x2=x2−1x2=1−1x2,由1−1x2∈(0,1),得1x2∈(0,1)，∴x>1，则m=1.故要使得分段函数()()()110x x m x f x x e x ⎧+<⎪=⎨⎪-<⎩的图象具有“可平行性”， 当0x <时，()()'0,1xf x e =∈，且导函数单调递增，当0x >时，()221'11f x x x-=-=-的值域应该是()0,1， 结合幂函数的性质和函数的平移性质可得导函数在()0,∞+上单调递增，且()10f =，21lim 11x x →+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此可得m=1. 真命题个数为2个. 本题选择B 选项.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知0a >，,x y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-，若2z x y =+的最小值为1，则a =【答案】12【解析】【详解】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y ，将最大值转化为y 轴上的截距， 当直线z=2x+y 经过点B 时，z 最小， 由121x x y =⎧⎨+=⎩得：11x y =⎧⎨=-⎩，代入直线y=a(x−3)得，12a =．点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值 14. 若随机变量~(2,1)N ξ，且(3)0.1587P ξ>=，则(1)P ξ>=__________． 【答案】0.8413 【解析】【详解】随机变量()~2,1N ξ，21,1μσ==正态曲线关于2x =对称，(1)(3)0.1587P P ξξ==， 则(1)1(1)10.15870.8413P P ξξ>=-<=-=【点睛】解决正态分布问题要了解正态密度函数和正态密度曲线，2(,)N ξμσ，曲线的对称轴为x μ=，曲线与x 轴所围成的面积视为概率1，可以利用对称性求面积，即概率.15. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”__________．（填有或没有）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】有 【解析】【详解】22100(60101020) 4.76270308020K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 4.762 3.841>，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. 16. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n n c S na a -=+（c 是常数，*n N ∈），26a =，又122n n n a b +-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若22n T m >-对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最大值是__________. 【答案】2 【解析】 【详解】∵12n n n c S na a -=+， 当n=1时,11112S a a c =+-， 解得a 1=2c ，当n=2时,S 2=a 2+a 2−c ， 即a 1+a 2=a 2+a 2−c ， 解得a 2=3c ，∴3c=6， 解得c=2.则a 1=4,数列{a n }的公差d=a 2−a 1=2， ∴a n =a 1+(n−1)d=2n+2.∵112222222n n n n n a n nb ++-+-=== 错位相减可得：222n n nT +=-,则1112121220222n n n n n n n n T T +++++++⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴数列{T n }单调递增,T 1最小,最小值为12， ∴1222m ⨯>-， ∴m<3，故正整数m 的最大值为2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【解析】【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b .试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18. 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是23. （1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及E ξ.( 结果用分数表示) 【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用独立重复试验及对立事件的概率公式求解；(2)借助题设运用随机变量的数学期望公式探求. 试题解析：（1）设命中油罐的次数为X ，则当X 0=或1X =时，油罐不能被引爆521(0)(1)3243P X ==-=,1452210(1)(1)33243P X C ==⨯⨯-=, ∴油罐被引爆的概率2321(0)(1)243P P X P X =-=-==. （2）射击次数ξ的取值为2，3，4， 5.224(2)339P ξ==⨯=,122228(3)(1)33327P C ξ==⨯-⨯=, 1232224(4)(1)33327P C ξ==⨯-⨯=, 4841(5)1(2)(3)(4)1()927279P P P P ξξξξ==-=-=-==-++=.因此，ξ的分布列为：ξ2345P4982742719234592727927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：随机变量的概率及数学期望公式等有关知识的综合运用.19. 如图，PA ⊥平面ADE ，,B C 分别是,AE DE 的中点，AE AD ⊥，2AD AE AP ===.（1）求二面角A PE D --的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：先利用所给的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标（1）判定AD是平面PAB 的一个法向量，求出平面PED 的一个法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三点共线设出点Q 的坐标，利用空间向量的夹角公式得到函数关系式，利用二次函数求其最值． 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底建立空间直角坐标系Axyz ， 则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =．因为(1,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-．设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m PC ⋅=，0m PD ⋅=， 即20,{220.x y z y z +-=-=令1y =，解得1,1z x ==所以(1,1,1)m =是平面PCD 的一个法向量． 从而3cos ,AD m 〈〉=所以二面角A PE D --3 （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设BQ BP λ=(,0,2)(01)λλλ=-≤≤， 又(0,1,0)CB =-，则CQ CB BQ =+(,1,2)λλ=--，又(0,2,2)DP =-， 从而2cos ,102CQ DP CQ DP CQ DPλ⋅〈〉==+设12,[1,3]t t λ+=∈, 则2222229cos ,152********()99t CQ DP t t t 〈〉==≤-+-+当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP 〈〉的最大值为. 因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP =，所以25BQ BP ==考点：空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角、二面角，属于中档题；处理空间角或空间距离时，往往借助空间向量法，即先利用空间中的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用相关公式进行求解，但要注意的是空间角和向量角的区别. 20. 已知定点()1,0F ，定直线:4l x =，动点P 到点F 的距离与到直线l 的距离之比等于12. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴负半轴交于点A ，过点F 作不与x 轴重合的直线交轨迹E 于两点,B C ，直线,AB AC 分别交直线l 于点,M N .试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得0QM QN ⋅=?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y +=；(2)在x 轴上存在定点()1,0Q 或()7,0，使得0QM QN ⋅=.【解析】【详解】试题分析：(1)设出点的坐标，结合题意可得动点P 的轨迹E 的方程是22143x y +=；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，讨论可得在x 轴上存在定点()1,0Q 或()7,0，使得0QM QN ⋅=.试题解析：（1）设点(),P x y 12=，化简整理，得22143x y +=，即为动点P 的轨迹E 的方程.（2）根据题意可设直线BC 的方程为1x my =+，代入22143x y +=，整理得()2234690m y my ++-=，设()()()112201,,1,,,0B my y C my y Q x ++，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又易知()2,0A -，所以直线AB 的方程为：()1123y y x my =++,直线AC 的方程为：()2223y y x my =++，从而得1164,3y M my ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2264,3y N my ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()()()21201236433y y QM QN x my my ⋅=-+++ ()()21202121236439y y x m y y m y y =-++++ ()22022293634496393434m x m m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2049x =--.所以当()2049x -=，即01x =或07x =时，0QM QN ⋅=，故在x 轴上存在定点()1,0Q 或()7,0，使得0QM QN ⋅=. 21. 已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--[1,)+∞单调递增，其中(0,)θπ∈．（1）求θ的值； （2）若221()()x f x g x x -=+，当[]1,2x ∈时，试比较()f x 与1'()2f x +的大小关系（其中'()f x 是()f x 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当0x ≥时，1(1)xe x kg x --≥+恒成立，求k 的取值范围． 【答案】（1）2πθ= （2）略 （3）1k ≤【解析】【详解】试题分析：函数在某区间上单调递增，只需函数的导数大于零在此区间上恒成立，利用恒成立极值原理求出sin θ满足的条件，求出θ的值；第二步比较大小可以转化为研究函数()()f x f x -的单调性和极值问题去解决，第三步可以利用作差法构造函数，通过利用导数研究函数单调性和极值，达到证明不等式的目的. 试题解析：（1）∵()g x 在[)1,+∞单调递增， ∴()1'sin g x x θ=- 0≥在[)1,+∞上恒成立，即1sin xθ≥（[)1,x ∈+∞）恒成立， ∵当1x ≥时，11x≤， ∴sin 1θ≥，又()0,θπ∈，∴0sin 1θ<≤， ∴sin 1θ=，∴2πθ=．（2）由（1）可知()ln 1g x x x =--，∴()()222121ln 1x f x g x x x x x x -=+=-+--，∴()23122'1f x x x x=--+， ∴()()23312'ln 2f x f x x x x x x -=-++--，令()ln h x x x =-，()233122H x x x x=+-- ，∴()1'10h x x =-≥，()24326'x x H x x --+=，∴()h x 在[]1,2上单调递增，∴()()11h x h >=， 令()2326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[]1,2单调递减，∵()11ϕ=，()210ϕ=-，∴()01,2x ∃∈，使得()H x 在()01,x 单调递增，在()0,2x 单调递减， ∵()10H =，()122H =-， ∴()()122H x H ≥=-， ∴()()()()()()min min 1'2f x f x h x H x h x H x -=+≥+=， 又两个函数的最小值不同时取得， ∴()()1'2f x f x ->，即()()1'2f x f x >+． （3）∵()11xe x kg x --≥+恒成立，即()()ln 1110xe k x k x ++-+-≥恒成立，令()()()ln 111xF x e k x k x =++-+-，则()()'11xkF x e k x =+-++， 由（1）得()()1g x g ≥，即ln 10x x --≥（1x ≥），∴()1ln 11x x +≥++（0x ≥）， 即()ln 1x x ≥+（0x ≥），∴1x e x ≥+， ∴()()()'111kF x x k x ≥++-++， 当1k =时，∵0x ≥，∴()()()1'1112011k F x x k x x x ≥++-+≥++-≥++， ∴()F x 单调递减，∴()()00F x F ≥=，符合题意； 当()0,1k ∈时，()()111ky x k x =++-++在[)0,+∞上单调递增，∴()()()()'111101kF x x k k k x ≥++-+≥+-+=+， ∴()F x 单调递增，∴()()00F x F ≥=符合题意，当1k >时，()()2''1xkF x e x =-+，∴()''F x 在[)0,+∞上单调递增， 又()''010F k =-<，且x →+∞，()''0F x >， ∴()''F x 在()0,+∞存在唯一零点0t ，()'F x 在()00,t 单调递减，在()0,t +∞单调递增，∴当()00,x t ∈时，()()''00F x F <=，∴()F x 在()00,t 单调递减，∴()()00F x F <=，不合题意． 综上，1k ≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-.由10AB =得23cos 8α=，15tan 3α=±. 所以l 的斜率为153或153-.23. 已知不等式2｜x －3｜＋｜x －4｜＜2a ． （Ⅰ）若a ＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）8|43x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(I) 当a=1时，采用零点分段法去绝对值分段进行求解，然后再求并集即可；(II)可以构造函数()234f x x x =-+-求出最小值，然后只要2a>f(x)min 即可.【详解】（Ⅰ）,2342x x -+-<，① 若4x ≥，则3102x -<，4x <，舍去． ② 若34x <<，则22x -<，∴34x <<． ③ 若3x ≤，则1032x -<，833x ∴<≤． 综上，不等式的解集为8|43x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）设()234f x x x =-+-，则310,4()2,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩， 可得()f x 的最小值为1，()1f x ∴≥，∴21a >，12a >，即a 的取值范围是1(,)2.。
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理科)试题含答案
成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分 别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、 解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。