北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
解：设A追上B时,所用的时间为 依题意有 t t 2 S A S B 5 即 (3 t 1) d x 1 0 td x 5 0 0
0 0
t0 t0 5t0 5
3 2
t 0 ( t 0 1) 5( t 0 1)
2 2
2
t0
=5 (s) 所以 S A = 5 t 0 5 =130 (m)
x
b
f
a
x dx =
5、定积分的性质： 1d x =
a
b
。
x g x d x =
b
b
kf
a
x d x =
。
b
a
f
。
。 （定积分对积分区间的可加性）a f x d x = 6、如果连续函数 f x 是函数 F x 的导函数， b 即 f x = ，则有 f x d x = 。
（一）、知识闪烁 1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度 趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ； 误差趋于 。2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; n 3 、 lim f i x i = ；其中 叫做 n
；
计算 f x d x 时，若在 a , b 上 f x 0 则 a 。若在 a , b 上 f x 0 f x dx =
b a
b
f
a
x dx =
。 若在 a , c 上
0
f
x 0，
。
c, b 上 f
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前 的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的 图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v= b f 2 x d x 例1、给出以下命题：（1）若
b
a
f ( x )dx 0 ，则f(x)>0；
a
（2）
2
1 x
dx F ( 2 ) F (1 )
1 2
t t at a t
3 2
S f t
1
6
t a t a t 0 t 1
3 2 2
例4、物体A以速度 v 3 t 2 1 在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同 时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 1 0 t 的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
1
, 则F(x)=lnx；
2
（3）应用微积分基本定理，有
a a T
sin x dx 4
0
;
（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函 数，则 f ( x ) dx f ( x )dx
0 T
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B A．1 B．2 C．3 D．4 学生练习，教师准对问题讲评。
故
S
x
t 0
2
2ax dx
t 0
1 2
t
2
2at t
a t
1 3 1 3 1 3 2 2 2 3 2 2 ． t at t t 2at a t t at a t 6 3 修2-2 第四章《定积分》
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义， 理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且 熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似 代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的 计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。 二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意 义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理， 并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是 运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重 点掌握定积分的计算方法。 三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法； 难点：利用定积分的几何意义解决问题。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程
a
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨 公式，F x 是 f x 的 。 7、计算定积分 f x d x F b F a = = 。
b a
8、若 f x 在 a , a 上连续，且是偶函数，则有
a a
f
x d x
a a
x 例2、求由曲线 y x 2 与 y 3 x ，
2
0
x ，
1
2 所围成的平面图形的面积。
y
解 :由 题 意 知 阴 影 部 分 的 面 积 是 : S= 0 ( x 2 3 x ) dx 1 (3 x x 2) dx
2 2 2
( x 2 x x ) |0 ( x x 2 x ) |1 3 2 2 3
i 1
。
a 叫做
b叫做
。
叫
b
;
f
x
4、 f x d x 的几何意义 a 的面积取 ，在x轴下方的面积取
；在x轴上方 。
b
f
a
x d x 的几何意义
f
；
a
b a
x d x 的几何意义
b
；
f
b
f
x d x a
b
f
x d x
b a
x d x 的关系
3 2 1 2 3
1
3
3
1
2
0
x
1
2
1
x t 0 t 1 与曲线 C 、 分别相交于点 C2 1 D 、B ，连结 O D , D A , AB 。写出曲边四边形
系式 S f
例3、如图所示，已知曲线 C 1 : y x 与曲线 2 C 2 : y x 2 a x a 1 交于点 O 、A ， 直线
若 f x 在 a , a 上连续，且是
f
奇函数，
x d x
。
（二）、方法点拨： 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题 步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范 围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积 分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分 清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形 面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求 出定积分。
四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2
（
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
2
A B O D （阴影部分）的面积 S 与 t 的函数关
t 。
解：（Ⅰ）由
O 0, 0 , A a , a
2
．又由已知得 B t , t
1 2 t t
2
y x , 得点 2 y x 2ax,
2
2
2at , D t, t
2
2
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
即 f (x)dx，即 a
a
bb
ba (x x)) dx lim x fi。 (i ) lim f( dx f ( i) n 0 n i 1 i 1
n n
2
定积分的概念 一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1, 2,, n ，作和式：
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.
b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
10
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 时， 上述和式 S n
n n
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区 间 [a, b] 上的定积分。记为： S f ( x)dx
a b
3
定积分的定义： 即
b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：定积分问题
有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这种题目占有超级重要的地位，它能解决很多实际应用问题。
在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。
题型一 用概念求定积分例1、用概念求dx x 301⎰。
分析：利用概念求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<n n n n n n 。
（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= 。
（因为x 3持续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故咱们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。
）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。
（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n 。
） 因此dx x 301⎰＝41。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。
表现的大体思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分大体定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41x x dx ⎰ 分析：按照求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分大体公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以 ()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
高中数学 第四章 定积分章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大版选修2-2.pptx
识 核心要点
整
归纳
合
与测
测
1
2
一、定积分 1．定积分的概念：
b
af(x)dx 叫函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx 表示的是 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
3
3．定积分的性质：
5
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
4
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
6
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
北师版数学高二选修2-2课件 章末复习课 第四章 定积分
类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；
解答
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
证明
反思与感悟
本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值 和证明不等式，考查运算能力、分析问题及解决问题的能力.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x，其中a<0. (1)当a＝－4时，求f(x)的递增区间； 解 当 a＝－4 时，由 f′(x)＝25x－2xx－2＝0 (x>0)，得 x＝25或 x＝2. 由 f′(x)>0，得 x∈(0，25)或 x∈(2，＋∞)， 故函数 f(x)的递增区间为(0，25)和(2，＋∞).
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R上是增加的.
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
2.导数与函数的极值和最值 (1)极值 当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0， 那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. (2)最值 对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]， 使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值.
第四章 定积分章末总结 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．若F ′(x )＝f (x )，⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．求下列定积分：(1)⎠⎛3－39－x 2d x ；(2)⎠⎛e 1e |ln 3xx|d x . 【思路点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解．【规范解答】 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为3的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有⎠⎛3－39－x 2d x ＝π·322＝9π2. (2)∵|ln 3xx |＝⎩⎨⎧－ln 3x x ，1e≤x ≤1，ln 3xx ，1≤x ≤e ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x |d x ＝⎠⎛11e (－ln 3x x )d x ＋⎠⎛1eln 3x x d x .∵(ln 4x 4)′＝ln 3xx ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x|d x ＝－ln 4x 4|错误!＋错误!错误!错误!＝－ln 414＋ln 41e 4＋ln 4e 4－ln 414＝12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【解】 图像如图．⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝＝1＋(2－π)＋(4－0)＝7－π.广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．求由曲线y ＝x 2，y ＝x ，及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．【思路点拨】 画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分【规范解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图阴影部分面积为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝12x 2|10＋x 2|21－13x 3|21＝76. 故所围成的平面图形的面积为76.求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．【解】 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一 选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32⎪⎪⎪ 20＋(223x 32－12x 2＋4x )⎪⎪⎪82 ＝18.法二 选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4(4－y －y 22)d y ＝(4y －12y 2－16y 3)⎪⎪⎪2－4＝18.i i 理学中有“路程＝速度×时间”，“功＝力×位移”等等．故应用定积分可以研究物理学中变速运动物体行驶的路程(位移)、变力做功等问题．图4－1一物体在做变速直线运动，其v －t 曲线如图4－1所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．【思路点拨】 根据图像求出速度函数v (t )后，求定积分，求路程．【规范解答】 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎛612v (t )d t ＝⎠⎛1122t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36(13t ＋1)d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪ 31＋(16t 2＋t )⎪⎪⎪63＝494.即该物体在12～6 s 间的运动路程为494m.一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线，如图4－2所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4处，力F (x )做的功．图4－2 【解】 由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x <2)，3x ＋4(2≤x ≤4)，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x |20＋(3x 2＋4x )|42＝46(J).积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．如图4－3所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．图4－3【思路点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．【规范解答】 S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S (12)＝14.计算由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3围成的平面图形的面积． 【解】 画出直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3.所围成的图形如图所示．∴S ＝||⎠⎛1－1(x －1)3d x＋⎠⎛12(x －1)3d x ＝⎪⎪⎪⎪14(x －1)4|1－1＋14(x －1)4|21＝4.25.综合检测(四) 第四章 定积分(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确． 【答案】 B2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛6－6f (x )d x ＝8，则⎠⎛06f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16【解析】 由f (x )为偶函数，知f (x )的图像关于y 轴对称， 则⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8，∴⎠⎛06f (x )d x ＝4.【答案】 B3．若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( ) A ．2 B.23C ．2或23D ．2或－23【解析】 ∵a >0，⎠⎛0a (2－3x )d x ＝(2x －32x 2)|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2＝－2，解得a＝2.【答案】 A。
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：例谈计算定积分的三种方法
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）. （2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （n i 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i nn i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=. 点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx xx 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x . 点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
高中数学第四章定积分章末小结知识整合与阶段检测课件北师大选修
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
3．定积分的性质：
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
只有不想做的，没有做不到的。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 如果我坚持什么，就是用大炮也不能打倒我。 在幸运时不与人同享的，在灾难中不会是忠实的友人。——伊索 当你劝告别人时，若不顾及别人的自尊心，那么再好的言语都没有用的。 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。 信念是一把无坚不摧的利刃。 嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。 我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。——笛卡儿 君子不可小知而可大受也，小人不可大受而可小知也。——《论语·卫灵公》 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：走出定积分
走出定积分运用的误区通过定积分与微积分大体定理部份知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化进展的意义和价值，培育学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部份知识的特殊性，常常会由于各种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用犯错微积分大体定理为：一般地，若是)(x f 是区间[a ，b]上的持续函数，而且)(x F '=)(x f ，那么⎰ba dx x f )(=)()(a Fb F -． 例1．计算⎰+212)1(dx xx ． 错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629． 错解剖析：错误的原因在于对微积分大体定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而致使错误．按照微积分大体定理，相应的公式是⎰ba dx x f )(=|)(b a x F =)()(a F b F -，而不是⎰ba dx x f )(=)()(b F a F -． 正解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629． 评注：利用微积分大体定理来计算时一般是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以避免发生符号错误．2．几何意义犯错咱们明白，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情形下，定积分⎰b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图象和直线x=a ，x=b 之间各部份面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部份的面积S 为（ ）A ．⎰b a dx x f )(B ．⎰c a dx x f )(－⎰bc dx x f )( C ．―⎰c a dx x f )(―⎰b c dx x f )( D ．―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不睬解或理解得不够透彻而致使犯错．按照微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰b a dx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰ba dx x f )(． 正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部份的面积S =―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(， 故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部份面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用犯错利用定积分能够用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极为普遍，能够用来处置变速直线运动的路程和速度问题，也能够用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以现在为起点，加速度知足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000，即火箭前s 5内的位移为31000． 错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所通过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时刻区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰ba dt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时刻区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰ba dt t a )(． 正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=tdt t t v 02)4100()(=334100t t -， 那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125， 即火箭前s 5内的位移为33125． 评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再按照已求的速度函数，通过定积分求解在对应时刻的位移．。
高中数学第四章定积分章末小结知识整合与阶段检测北师大选修(共6张PPT)
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
3．定积分的性质：
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
பைடு நூலகம்
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．