甘肃省定西市临洮县第二中学2021-2022高二数学开学检测考试试题 理

甘肃省定西市临洮县第二中学2021-2022高二数学开学检测考试试题 理1.一质点运动的速度与时间的关系为2()2v t t t =-+，质点做直线运动，则它在[]1 2，时间内的位移为（ ） A ．176 B ．143 C ．136D ．1162.设函数2()ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点 C ．2x =为()f x 的极大值点 D ．2x =为()f x 的极小值点 3.设,a b 为实数，若复数12i a bab i ，则（ ）A ．31,22a bB ．3,1a bC ．13,22abD ．1,3ab4.曲线2y x =在点(1,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．25.已知函数()ln f x x =，则有（ ） A ．(2)(e)(3)f f f << B ．(e)(2)(3)f f f << C ．(3)(e)(2)f f f << D ．(e)(3)(2)f f f <<6.在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC 对应的复数是68i +，BD 对应的复数是46i -+，则DA 对应的复数是（ ）A ．214i +B ．17i +C ．214i -D ．17i --7.数列1，1，2，3，x ，8，13，21，…中的x 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78.函数()e [0,4]x f x x -=在上的最大值为（ ） A ．0B ．1eC ．24eD ．22e9.用数学归纳法证明“221*11(1,)1n n a a a a a n a++-++++=≠∈-N …”，在验证1n =成立时，左边=（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++10.3是无理数”时，假设正确的是（ ）ABCD 3是有理数11.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是（ ） A ．①B ．②C ． ①②D ．③12.下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:||2P z = 22:2i P z =3:P z 的共轭复数为1i + 4:P z 的虚部为1-A ．23,P PB ．12,P PC ．24,P PD ．34,P P二 填空题13.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 ．14.函数2()ln(1)2xf x x x =+-+的单调递增区间是 ． 15.已知(0)a b μ∈+∞，，，且191ab+=，则使得a b μ+≥恒成立的μ的取值范围是 ． 16．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______________． 三 解答题17 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9． 18.已知点(0,1)M -、(0,1)F ，过点M 的直线l 与曲线31443y x x =-+在2x =处的切线平行．（1）求直线l 的方程．（2）求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程．19 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |． 20.已知f （x ）＝|x －a |＋|x －3|. （1）当a ＝1时，求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）≤3的解集非空，求a 的取值范围．21 圆C ：x 2＋y 2＝1经过变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝2y得到曲线C 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12. (1)写出C 1的参数方程和l 的普通方程．(2)设点M (1，0)，直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，求|MA |·|MB |与|AB |. 22在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t （t 为参数）．（1）若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求A ．参考答案1.【解析】质点在[]1 2，时间内的位移为22322111117(2)d 2326t t t t t t ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰． 【答案】A 2.【解析】∵2()ln f x x x =+(0)x >，∴221()f x x x'=-+． 由()0f x '=解得2x =．当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数． ∴2x =为()f x 的极小值点． 【答案】D 3.【解析】由12i a bab i 可得1,2,ab ab 解得31,22a b ．故选A ． 【答案】A4.【解析】0(1)limx y f x∆→∆'=∆200(1)1lim lim(2)2x x x x x∆→∆→+∆-==+∆=∆． 则曲线在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-， 即21y x =-．则三角形的面积为1111224S =⨯⨯=．【答案】A5.【解析】因为在定义域(0,)+∞上1()0f x x'=+>， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以有(2)(e)(3)f f f <<． 故选A ．【答案】A6.【解析】依据向量的平行四边形法则可得DA DC DB +=，DC DA AC -=， 由AC 对应的复数是68i +，BD 对应的复数是46i -+， 依据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是17i --． 【答案】D7.【解析】采用归纳猜想寻找规律，1＋1＝2，1＋2＝3，…，8＋13＝21，所以2＋3＝x ，所以x ＝5．故选B ． 【答案】B 8.【解析】1()exxf x -'=， 令()01f x x '==得．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 的最大值为(1)f =1e ．【答案】B9.【解析】因为左边式子中a 的最高指数是1n +， 所以当1n =时，a 的最高指数为2，根据左边式子规律可得，当1n =时，左边21a a =++． 【答案】C10.3不是无理数，即3是有理数．【答案】D11.【解析】①是“大前提”，②是“小前提”，③是结论．故选B ． 【答案】B 12.【解析】∵21i z =-+2(1i)1i (1i)(1i)--==---+--，∴||z =22i z =，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-．即24,P P 是真命题． 【答案】C 填空题13.【解析】先求出切线的斜率，然后利用点斜式求切线的方程． 323[(1)(1)3]323()()y x x x x x ∆=+∆-+∆+-=∆+∆+∆，则23223()()23()y x x x x x x x∆∆+∆+∆==+∆+∆∆∆， 所以曲线在点(1,3)处的切线斜率20lim[23()]2x k x x ∆→=+∆+∆=，故切线方程为32(1)y x -=-， 即210x y -+=． 【答案】210x y -+= 14.【解析】22221(2)(2)2(2)12(2)2()(1)1(2)1(2)(1)(2)x x x x x x x f x x x x x x x x '+-+'+-''=+-=-=++++++．在定义域(1,)-+∞内，()0f x '>恒成立， 所以函数的单调递增区间是(1,)-+∞． 【答案】(1,)-+∞15.【解析】∵(0)a b ∈+∞，，且191ab+=，∴a b +=199()()10()1016a ba b a b abb a+++=+++≥≥， ∴a b +的最小值为16，∴要使a b μ+≥恒成立，需16016μμ≥，∴＜≤． 【答案】(016]， 16 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52，y ≤5；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.解答题17 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab＝1a ＋1b＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ·ab＋4＝8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8．(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9． 18.【解】（1）∵33223111()4()4(44)()()4333y x x x x x x x x x x x x ∆=+∆-+∆+--+=∆+∆+∆-∆，∴22201lim(4())43x y x x x x x ∆→'=-+∆+∆=-，∴2|0x y ='=，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为1y =-． （2）∵抛物线以点(0,1)F 为焦点，1y =-为准线， ∴设抛物线方程为22x py =， 则1,22pp ==． 故抛物线C 的方程为24x y =．19 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1； 当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1． 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0．因此|a ＋b |<|1＋ab |．20.解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x －1|＋|x －3|≥|（x －1）－（x －3）|＝2， 故f （x ）的最小值为2，当且仅当1≤x ≤3时取得最小值．（2）f （x ）＝|x －a |＋|x －3|≥|（x －a ）－（x －3）|＝|3－a |，若不等式f （x ）≤3的解集非空， 则|3－a |≤3，即－3≤3－a ≤3， 因此0≤a ≤6，所以a 的取值范围是[0，6]．21 [解] (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′22＝1.即x ′24＋y ′22＝1，即C 1：x 24＋y 22＝1.即C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α为参数)．由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12得 12ρcos θ －32ρsin θ＝12. 则l 的普通方程为x －3y －1＝0.(2)点M (1，0)在直线l ：x －3y －1＝0上，直线l 的倾斜角为π6.所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝12t (t 为参数)．代入C 1：x 24＋y 22＝1得5t 2＋43t －12＝0，所以t 1t 2＝－125，t 1＋t 2＝－435，所以|MA |·|MB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝125.|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4352－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝1225，所以|MA |·|MB |＝125，|AB |＝1225.22解：（1）曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为（3，0），⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. （2）直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点（3cos θ，sin θ）到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.。