几种频谱分析细化方法简介
信号频谱介绍及分析方法
关键词：傅里叶变换 频谱 确知信号 随机信号 频域分析
一 信号频谱的由来
在 LTI 系统中，信号表示成基本信号的线性组合，这些基本信号应该具有以下两 个性质： 1，由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号； 2，LTI 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输 入信号的响应由一个很方便的表示式。 在 LTI 系统中，复指数信号的重要性在于：一个 LTI 系统对复指数信号的响 应也是一个复指数信号，不同的是幅度上的变化，即： 连续时间： e st → H ( s )e st 离散时间： z n → H ( z ) z n 这里 H ( s ) 或 H ( z ) 是一个复振幅因子， 一般来说是复变量 s 或 z 的函数。 对于连续时间和离散时间来说， 如果一个 LTI 系统的输入能够表示成复指数 的线性组合，那么系统的输出也能表示成相同复指数信பைடு நூலகம்的线性组合；并且输出 表达式中的每一个系数可以用输入中相应的系数分别与有关的系统特征值
{e jnω1t : n ∈ Z } ，函数周期为
T1，角频率为 ω1 = 2πf1 = 2π 。
T1
(3) (4) (i)
任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 三角形式的 FS： 展开式： f (t ) = a0 + ∑ (an conω1t + bn sin nω1t )
n =1 ∞
Fn + F− n = an Fn − F− n = bn / j
2 2 2 2 cn = dn = an + bn = 4 Fn F− n = 4 Fn 2
( n ≠ 0)
(iv) (v) (6)
Fn 关于
n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
信号的频谱分析范文
信号的频谱分析范文频谱分析的原理是将信号由时域变换到频域，将信号的振动分解成不同频率的成分。
常用的频谱分析方法包括傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）、小波变换等。
傅里叶变换是频谱分析的基本工具之一、它将一个信号在频域上展开成一系列的正弦波或复指数函数的加法，并且计算出每个频率分量在信号中的幅度和相位。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) · e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率为ω的正弦波上的投影，e^(-jωt)是频率为ω的正弦波的复指数函数。
快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算出信号的频谱。
它通过将信号分解成多个子信号进行递归计算，从而大大减少计算的复杂度。
快速傅里叶变换广泛应用于信号处理、通信系统等领域。
小波变换是另一种常用的频谱分析方法。
它将信号分解成不同频率和不同时间的小波函数，从而能够更好地表示信号在时域和频域上的变化特征。
小波变换的数学表达式为：W(a, b) = ∫[f(t) · ψ(a, t - b)] dt其中W(a,b)表示信号f(t)在尺度参数为a，平移参数为b的小波函数ψ(a,t-b)上的投影。
频谱分析可以帮助我们解析信号的频率分量和振幅分布，从而理解信号的特性和变化规律。
常见的频谱特征包括主频、谐波、频谱峰值、频带宽度等。
通过对信号进行频谱分析，我们可以了解信号的频率成分、频谱能量分布以及与其他信号的相关性等信息。
频谱分析在通信系统中有着重要的应用。
通过对接收信号进行频谱分析，我们可以判断信道的带宽和噪声水平，从而优化信号传输和提高通信质量。
在音频处理领域，频谱分析可以用于音乐合成、语音识别、音频编码等方面。
总之，频谱分析是一种重要的信号分析方法，可以帮助我们了解信号在频域上的特征和变化规律。
通过对信号进行频谱分析，我们可以获得信号的频率成分、频谱能量分布等信息，从而对信号进行更加深入的研究和应用。
CZT和ZFFT频谱细化性能分析及FPGA实现
０ 引 言
在信号处理中，经常需要分析信号的频谱，传统的频谱分 析 方 法 一 般 采 用 快 速 傅 里 叶 变 换 （ｆａｓｔｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ， ＦＦＴ） 算法，ＦＦＴ 算 法 得 到 的 是 整 个 采 样 频 率 上 的 粗 略 的 “全景频谱”，而在实际的应用中，往往只需要对感兴趣的 某 一 段频谱区间进行细微观察和分析，这就需要提高所选区间的频 率 分 辨 率［１］。
频率分辨率表示频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间 隔［２］，用频率间 隔 △犳 来 表 示。 而 频 率 间 隔 等 于 采 用 频 率 犳狊 除以采样点数犖。为了提高频率分辨率，可以采用的方法：一 是降低采样频率，这会使频率分析范围缩小，并且采样频率还 受采样定律限制，不可能太小；二是增加分析的采样点数，这 意味着计算机的存储量和计算量大大增加，由于实际系统软 件、硬件方面的限制，这样做在工程实践中并不总是可能的。
对于长度为 犕 的有限长序列狓 （狀） 的 ＣＺＴ 是：
犡（狕狉）＝ 犆犣犜［狓（狀）］＝
犕－１
∑狓（狀）犃０－狀犲－犼θ０狀犠狀０狉犲－犼φ０狀狉
狀＝０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（１）
其中：θ０ 为初始幅角，φ０ 为 单 位 圆 等 间 隔 增 量。 当 犃０＝
犠０＝１时，即在单位圆上进行采样时，式 （２） 变为：
犕－１
· ２８８ ·
信号处理中的频谱分析技术与应用指南
信号处理中的频谱分析技术与应用指南频谱分析是信号处理中一种重要的技术，用于解析信号的频率成分和谱线特征。
它是一个广泛应用于通信、雷达、音频处理、医学等领域的工具。
本文将介绍频谱分析的基本原理、常见的分析方法和应用指南。
首先，让我们了解一下频谱分析的基本原理。
频谱分析的核心思想是将时域信号转换为频域信号，通过分析频域信号的幅度和相位特性来研究信号的频率成分。
这种转换通常是通过傅里叶变换来完成的，它将时域信号分解为一系列复指数函数的叠加。
具体而言，离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是频谱分析中常用的算法，它们能够高效地计算离散信号的频谱。
在频谱分析中，常见的分析方法包括功率谱密度估计和频域滤波。
功率谱密度估计用于分析信号的能量分布，可以帮助我们了解信号的频率成分和功率强度。
常见的功率谱密度估计方法有周期图法、自相关法和Welch法等。
周期图法基于信号的周期性特征，可以获得较高的频谱分辨率；自相关法用于估计信号的自相关函数，从而获得与周期图法类似的频谱信息；Welch法是一种常用的非周期信号功率谱估计方法，通过将信号分成多个重叠的子段进行功率谱估计，可以减小估计的方差。
另外，频域滤波也是频谱分析的常见应用之一。
频域滤波利用频域上的特点对信号进行滤波操作，可以去除信号中的噪声或者频率成分。
常见的频域滤波方法包括理想滤波器、巴特沃斯滤波器和卡尔曼滤波器等。
理想滤波器是一种理论上的参考滤波器，通过设定截止频率，将低于该频率的部分滤除；巴特沃斯滤波器是一类具有光滑频率响应特性的滤波器，可以实现指定截止频率的滤波；卡尔曼滤波器是一种递推滤波器，可以对由线性动态系统生成的信号进行滤波和预测。
除了以上的基本原理和方法，频谱分析在各个领域都有广泛的应用。
在通信领域，频谱分析可以用于信号调制和解调、信道估计和均衡，帮助提高信号传输的可靠性和性能。
在雷达领域，频谱分析可以用于目标检测、跟踪和成像，提高雷达系统的探测能力和目标分辨率。
频谱分析技术及其在通信领域中的应用
频谱分析技术及其在通信领域中的应用随着科技的发展，无线通信技术的应用越来越广泛。
为了更好地利用频段资源，保障通信的稳定性和安全性，频谱分析技术得到了广泛关注和应用。
本文将简要介绍频谱分析技术的基本原理以及其在通信领域中的应用。
一、频谱分析技术的基本原理频谱分析是指对信号的频谱特征进行分析和识别的一种技术，主要通过将信号进行频谱变换，同时在时间和频率域上对信号进行分析和识别。
频谱分析技术的基本原理是傅里叶变换，其可以将时域的信号转化为以频域为自变量的函数。
在实际应用中，频谱分析主要包括以下几种方式：1.时域采样：将信号从时域中采样出一定点数的样本，然后通过傅里叶变换将其转换到频域中进行分析。
2.频域分析：将频域信号进行傅里叶变换，得到幅度谱和相位谱等频谱信息。
3.功率谱估计：主要是通过信号的自相关函数和互相关函数，计算出信号的功率谱密度。
4.低通滤波器：利用低通滤波器对高频信号进行滤波，得到信号的基频成分。
通过以上手段得到的信号频谱，可以获得信号的频率、幅度、相位、谐波等一系列特征参数。
这些特征参数可以被广泛地应用于频段规划、通信干扰检测等领域。
二、频谱分析技术在通信领域中的应用1.频段规划无线电通信需要占用一定的频率资源，因此频段规划是通信业务部署的关键之一。
频谱分析技术可以对现有的频率资源进行分析，实现对频段的规划和管理，以达到多个无线通信系统之间相互协调和资源共享的目的。
例如，很多地区的2G、3G和4G通信网络之间存在一定重叠，频谱分析技术可以针对这种情况进行分析，优化频段的资源配置和使用，最终使无线通信系统之间达到最优的协调。
2.通信干扰检测通信干扰是无线通信中常见的问题，特别是在频谱资源稀缺的情况下，无线通信系统之间相互干扰的问题愈发严重。
频谱分析技术可以帮助检测无线通信系统中出现的各种通信干扰，具体包括以下三种：（1）自然干扰：指由于自然因素引起的信号干扰，例如雷电、电磁辐射等。
（2）人为干扰：指由于工业设备、家庭电器、广播电视台等人为因素引起的干扰。
信号的频谱分析及DSP实现
信号的频谱分析及DSP实现频谱分析方法有多种，包括傅里叶变换（Fourier Transform），离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），小波变换（Wavelet Transform）等等。
这些方法可以将时域中的信号转换为频域中的信号，从而分析信号的频率特性。
傅里叶变换是最常用的频谱分析方法之一，它将一个连续时间域信号转换为连续频域信号。
傅里叶变换的复杂度较高，因此在实际应用中更多使用快速傅里叶变换（FFT），它是一种高效的离散傅里叶变换算法。
FFT 可以将离散时间域信号转换为离散频域信号，并通过频谱图展示信号的频率成分。
频谱图是频谱分析的可视化展示方式，通常以频率作为横轴，信号幅值、能量、相位等作为纵轴。
频谱图可以直观地表示信号频率成分的分布情况，有助于我们观察和分析信号的频率特性。
在数字信号处理中，频谱分析有广泛的应用。
例如，通过频谱分析可以对音频信号进行音高识别、滤波等处理。
在通信领域，频谱分析可以用于信号调制解调、信道估计与均衡等。
此外，在故障诊断中，频谱分析也可以用于振动信号和机械信号的故障特征提取。
DSP是将连续信号转换为离散信号、用数字技术对信号进行各种处理的一种技术。
数字信号处理器（DSP芯片）是一种专用的处理器，可以高效地执行数字信号处理算法。
在频谱分析中，DSP技术可以用于实现傅里叶变换、快速傅里叶变换等算法，进而对信号频谱进行分析。
通过DSP技术，可以实现信号的快速采集、变换、滤波、功率谱估计等操作，并且具有计算速度快、精度高、灵活性强等优点。
在具体的DSP实现中，通常需要进行信号采集、数模转换、滤波、频谱转换、频谱图绘制等步骤。
首先，需要使用模数转换器将模拟信号转换为数字信号，并通过采样频率确定采样点数。
然后，通过滤波器对信号进行滤波处理，去除不需要的频率成分。
接下来，使用FFT算法进行频谱转换，并通过频谱图对信号进行可视化展示。
频谱混叠、栅栏效应、频谱泄露、谱间干扰 (旁瓣效应、细化技术)
(e) 对滤波后的信号的时间序列进行重采样，此时分析的是一段小频段为原来的1/M。这样在一小频段上采样，采样量还是N，但采样时间加了M倍，提高了分辩率。
细化FFT技术的应用：
一些不能增加总的采样点数而分辨率又要求精细的场合，细化FFT分析是很有用的。例如：（a）区分频谱图中间距很近的共振尖峰，用常规分析不能很好分开时，用细化分析就能得到满意的结果。（b）用于增加信噪比，提高谱值精度，这是由于细化时采用了数字滤波器，混叠与泄漏产生的误差都非常小;(c ) 用于分离被白噪声淹没的单频信号，由于白噪声的功率谱与频率分辨率有关，每细化一个2倍，白噪声的功率谱值降低3dB，若细化256倍，白噪声功率谱值即下降24 dB，而单频信号的谱线就会被突出出来。
解决办法，可以扩大窗函数的宽度（时域上的宽了，频域上就窄了，（时域频域有相对性），也就是泄露的能量就小了），或者不要加矩形的窗函数，可以加缓变的窗函数，也可以让泄露的能量变下。
因为泄露会照成频谱的扩大，所以也可能会造成频谱混叠的现象，而泄露引起的后果就是降低频谱分辨率。
频谱泄露会令主谱线旁边有很多旁瓣，这就会造成谱线间的干扰，更严重就是旁瓣的能量强到分不清是旁瓣还是信号本身的，这就是所谓的谱间干扰。
另外，增加0可以更细致观察频域上的信号，但不会增加频谱分辨率
答案是此时分辨率不变。从时域来看，假定要把频率相差很小的两个信号区分开来，直观上理解，至少要保证两个信号在时域上相差一个完整的周期，也即是相位相差2*pi。举个例子，假定采样频率为1Hz，要将周期为10s的正弦信号和周期为11s的正弦信号区分开来，那么信号至少要持续110s，两个信号才能相差一个周期，此时周期为10s的那个信号经历的周期数为11，而11s的那个信号经历的周期书为10。转化到频域，这种情况下，时域采样点为110，分辨率为1/110=0.00909，恰好等于两个信号频率只差（1/10-1/11）。如果两个信号在时域上不满足“相差一个完整周期“的话，补零同样也不能满足“相差一个完整周期”，即分辨率不发生变化。另外，从信息论的角度，也很好理解，对输入信号补零并没有增加输入信号的信息，因此分辨率不会发生变化。
数字信号处理中的频谱分析算法
数字信号处理中的频谱分析算法数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是一门将连续时间的信号转换为离散时间的信号，并在数字域中进行信号处理的技术。
频谱分析是DSP中的重要任务之一，它用来研究信号的频率特性，在通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍几种常见的频谱分析算法，它们分别是傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换和功率谱密度估计。
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换是频谱分析中最基本的工具之一。
它能将时域信号转换为频域信号，将信号表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而揭示了信号的频率分量。
傅里叶变换的数学表达式为：F(w) = ∫[f(t)e^(-iwt)]dt其中，F(w)是信号在频域上的表示，f(t)是信号在时域上的表示，e^(-iwt)是复指数函数。
2. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散时间域上的推广。
由于数字系统中信号是离散采样得到的，因此必须使用离散傅里叶变换进行频谱分析。
离散傅里叶变换的计算复杂度较高，通常采用快速傅里叶变换算法进行高效计算。
3. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）快速傅里叶变换是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。
通过利用傅里叶变换的对称性和周期性，FFT算法将计算复杂度降低到O(NlogN)，使得频谱分析在实时系统中具备了可能。
4. 功率谱密度估计（Power Spectrum Density Estimation）功率谱密度（Power Spectrum Density，PSD）是频谱分析的重要指标之一，它反映了信号各个频段的功率强度。
而在实际应用中，往往无法直接计算功率谱密度，需要通过估计算法得到近似值。
常见的功率谱密度估计算法有周期图谱法、自相关法、Burg方法、Yule-Walker 方法等。
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高分辨率频谱分析算法实现【摘要】随着电子技术的迅速发展，信号处理已经深入到很多的工程领域，信号频域的特征越来越受到重视。
在信号通信、雷达对抗、音频分析、机械诊断等领域，频谱分析技术起到很大的作用。
基于数字信号处理（DSP）技术的频谱分析，如果采用传统的快速傅里叶（FFT）算法则只能比较粗略的计算频谱，且分辨率不高；但是采用频谱细化技术就能对频域信号中感兴趣的局部频段进行频谱分析，就能得到很高的分辨率。
常见的方法有基于复调制的ZoomFFT 法、Chirp-Z 变换、Yip-ZOOM 变换等，但是从分析精度、计算效率、分辨率、灵活性等方面来看，基于复调制的ZoomFFT 方法是一种行之有效的方法。
实验结果表明该方案具有分辨率高、速度快的特点,具有较高的工程应用价值。
【关键字】频谱分析;频谱细化;Z变换【Abstract】With the rapid development of electrical technology, signal processing has been widely used in many engineering fields and special attention has been paid to the characteristic of signal frequency. The spectrum analyzer technology takes a great part in the fields like signal communication, rador countermeasures, audio analysis, mechanism diagnose. Based on digital signal processing (DSP) technology, the spectrum analysis system, while the use of the fast Fu Liye traditional (FFT) algorithm can calculate the frequency spectrum is rough, and the resolution is not high; but using spectrum zoom technique can analyze the frequency spectrum of the local frequency segment interested in frequency domain signal, can get very high resolution.A common method of complex modulation ZoomFFT method, Chirp-Z transform, Yip-ZOOM transform based on, but from the analysis accuracy, computational efficiency, resolution, spirit Active perspective, Zoom-FFT method based on the polyphonic system is a kind of effective method. Simulation results show that this method is featured by high resolution and high speed, and has high application value. 【Key words】signal processing; spectrum analysis; spectrum zooming; Z-transformation目录1 绪论 (1)1.1 课题研究背景和意义 (1)1.2 国内外的各种研究现状 (1)2 信号的采集和处理 (3)2.1 总体方案 (3)2.2 FFT算法处理 (4)2.3 FFT算法分析 (5)2.3.1 频率分辨率 (6)2.3.2 能量泄露 (6)2.3.3 栅栏效应 (7)3 几种频谱细化分析方法的原理、特性 (8)3.1 Zoom-FFT算法 (8)3.2 CZT算法 (10)3.2.1 CZT算法的基本工作原理 (10)3.2.2 CZT的快速算法 (10)3.3 小波分析的细化原理 (12)4 Zoom-FFT算法的设计和实现 (14)5 关于Zoom-FFT的一些后续改进 (17)1 绪论1.1 课题研究背景和意义自然界的万物都有着自己的固有频率，只要抓住认识到这些频率，了解认知它们的频率，才可以掌握并加以控制。
生活中有很多的真实感触都是由于频率的变化而感受到的，例如人们听到的歌声，用眼睛看到的美丽景色，这都是人体器官对声音和光的频率的感知来呈现的。
频率看不着，摸不到，但是它却一直充斥着我们的生活，并且深刻的影响这我们的生活。
随着科技日益进步，信号处理几乎已经深入到所有工程领域和生活领域。
目前工业控制领域的测试对象越来越多，并且对于系统的性能要求也越来越高，工业测控领域对于频谱分析的需求越来越大。
通过频谱分析可以快速的分析出如速度、压力、噪声等测量参数，，并且可以根据系统运作时的频谱判断系统的运行情况。
频谱分析仪是只是硬件载体，是对信号分析的数据呈现，核心内容是是信号处理的各种算法，因此详细的研究各种频谱分析的方法和其理论是十分有必要和意义的，能够帮助我们解决大量的问题。
1.2 国内外的各种研究现状随着现代工业生产力以及无线电方面的迅速发展，使得信号处理已经成为了很多工作的核心任务，信号主要包含了时域的信息和频域的信息，如时域主要是包含幅度、周期等，频域主要包含频率、功率等。
在19 世纪60 年代中期，J.W.库利和J.W.图基在《计算数学》杂志上发表了快速傅里叶变换(FFT)算法，这篇文章为复杂繁琐的频域计算提供了简便的算法，可以说为今后的频谱计算奠定了理论基础。
在数字信号处理领域, 基于傅里叶变换的频谱分析是最基本的方法, 随着计算机技术的快速发展, 快速傅里叶变换已广泛的应用到各个学科, 并在工程中得到了广泛的应用。
尽管如此, 人们仍然在探索新的方法, 以提高谱分析的精度和计算速度，例如, 现代频谱分析技术和神经网络频谱分析方法等。
如何提高FFT谱分析的分辨率, 仍然是研究的一个重要方向, 基于傅里叶变换的谱分析方法是目前最常用的方法, 标准FFT( 基带FFT) 分析的结果, 其谱线是从零频率到乃奎斯特截止频率范围内均匀分布的。
在频谱细化方面, 目前已有多种改进方法, 这些方法主要有复调制细化法、Chirp-z 变换法、YIP -Zoo m变换, 相位补偿法，Zoom-FFT 变换方法等, 这些方法在处理精度、计算效率, 细化的能力, 频谱的等效性各不相同, 在不同的情况下采用的不同。
小波理论是近年来最新发展起来的进行信号处理的有力工具，其发展非常迅速，在很多方面体现出其巨大的优越性。
小波具有良好的时频局部化特性, 利用小波的频域带通特性, 可以把要分析的频带信号分离出来,这是一种比较理想的方法, 在性能方面优于复调制细化谱。
2 信号的采集和处理2.1 总体方案所谓频谱分析，就是对信号的一种处理方法。
其必须先获得信号，然后才能处理，在实际应用中整个过程是由频谱分析仪来完成的。
了解频谱分析仪的原理，对于频谱细分技术的学习是十分有益的。
一个好的算法，如果无法应用到实践中，或者所需要的硬件平台太复杂，成本过高，这个算法的应用必将受到限制。
随着微处理器的处理速度越来越快, 现在利用计算机对信号进行处理已成为一种趋势。
整个过程是将待测信号通过模数转换变成数字信号然后输入处理器, 然后通过FFT ( 快速傅里叶变换) 转成频域信号, 再通过显示设备显示出来。
在整个过程中，其一般分为四个模块：输入调理模块，模数转换模块，数字信号处理模块，外围存储模块。
(1) 输入调理模块：由于输入信号的不确定性可能引起模数转换的困难，所以需要将输入信号进行放大或幅度限制，使得输入信号在进入模数转换器AD 时，电压处在安全范围内。
(2) 模数转换模块：模数转换主要是将连续模拟信号进行采样与量化，将模拟信号变成DSP 可以识别的数字信号。
(3) 数字信号处理模块：产生整个系统的时钟，控制所有模块的逻辑与时序，并且完成信号的数字处理算法，该模块是整个系统的大脑。
(4) 外围存储模块：由于计算量大，所以芯片自己的存储资源有限，外围的存储模块可以用来存储采样得到的大量数据和计算后的数据。
这是对频谱分析仪的这个简单情况介绍，前面数据的采集直接影响到这个频谱细化分析的结果，其是非常重要的，但是我们在这个论文里对于其他模块不做介绍，仅仅分析对数据的处理过程。
希望能够通过这个环节给大家带来一点有益的思考。
同时作为基础知识这里对FFT算法给予简单的介绍，这是为了后面更好的阐述下面的论述。
2.2 FFT 算法处理FFT 算法是在DFT 算法的基础上得来的，根据 DFT 的奇、偶、实、虚等特性对其进行改进而得到的新的算法。
FFT 与DFT 相比减少了运算量，在现代社会上的得到广泛应用。
根据DFT 的定义，设x(n)为N 点有限长数列，则可以得到公式：x (k )=∑x (n )W N nk N−1n=0, k=0,1,2,…N-1; （2-1）其反变换为:x (n )=1n ∑X (k )W N−nk N−1k=0, n=0,1,…N-1; （2-2） 通常情况下，x(n)和W N nk 都是复数，因为X （k ）也是一个复数，因此在计算一个X （k ）时，要N 次复数的计算，同理（x(n)和W N nk 相乘），另外N-1次的复数加法。
而X （k ）有N 个点。
我们需要完成N 2次复数的乘法及N ( N - 1)次复数加法。
我们可以用实数运算完成复数的计算过程。
所以式（1）可以写作如下形式：X (k )=x (k )=∑x (n )W N nk N−1n=0=∑{Re [x (n )]+jIm [x (n )]}{Re[W N nk ]+Im[W N nk ]}N−1n=0 （2-3）=∑Re [x (n )]Re[W N nk ]−jIm [x (n )]Im[W N nk ]+j(Re [x (n )]Im[W N nk ])+N−1n=0Re[W N nk ]Im [x (n )] （2-4）由式(2-4)可知，完成一次复数的乘法需要四次实数的乘法和二次实数的加法；一次复数的加法需要二次实数的加法。
因此每运算一个 X ( k )需4N 次实数的乘法及2 N+ 2( N -1) +2(2 N-1)次实数的加法。