高考数学一轮复习第九章解析几何9.8.2范围、最值问题课件文新人教A版
(2)已知焦点为 F 的抛物线 y2＝4x 的弦 AB 的中点的横坐标为
6 2，则|AB |的最大值为________ ．
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝4， 那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2， 又|AF|＋|BF|≥|AB |⇒|AB |≤6， 当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6.
(4)利用已知的不等关系构造不等式， 从而求出参数的取值范 围； (5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函 数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 ( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 y＝kx＋m(k≠0， m≠0)与双曲线 C 交于不同的 两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0，－1)，求实 数 m 的取值范围．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
1－3k2≠0， ∴ 2 2 Δ ＝ 12 m ＋ 1 － 3 k >0，
1 可得 m >3k －1 且 k ≠ ，，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 B(x0，y0)， 6km 则 x1＋x2＝ 2， 1－3k x1＋x2 3km ∴x0＝ 2 ＝ 2， 1－3k
§9.8 直线与圆锥曲线
第2课时 范围、最值问题
考点 1 范围问题
[典题 1]
x2 y2 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点与短轴 a b
的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 x＋y＋1＝0 与以 椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C → → → 相交于不同的两点 S 和 T，满足OS＋OT＝tOP(O 为坐标原点)， 求实数 t 的取值范围．
[ 解]
(1)由题意知，以椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半
轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2， ∴圆心到直线 x＋y＋1＝0 的距离 |c＋1| d＝ ＝a.(*) 2 ∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 三角形， ∴b＝c，a＝ 2b＝ 2c，
代入(*)式得 b＝c＝1， ∴a＝ 2b＝ 2， x2 2 故所求椭圆方程为 2 ＋y ＝1. (2)由题意知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)， 将直线 l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝ 0，
∴m
1 的取值范围是－4，0∪(4，＋∞)．
考点 2
最值问题
角度一 利用三角函数有界性求最值 [典题 2] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于
A，B 两点，点 O 是坐标原点，则|AF|· |BF|的最小值是( C ) A．2 C．4 B. 2 D．2 2
[解析]
x2 y2 解：(1)设双曲线 C 的方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b 由已知得，a＝ 3，c＝2， 又 a2＋b2＝c2，得 b2＝1， x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 －y ＝1. 3 y＝kx＋m， 2 (2)联立x 2 － y ＝1 ， 3 整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2) ＝－16k2＋8>0， 1 ∴k <2.
2
设 P(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)， 8k2－2 8k2 则 x1＋x2＝ ，x x ＝ ， 1＋2k2 1 2 1＋2k2 → → → 对于OS＋OT＝tOP，
当 t＝0 时，直线 l 为 x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题 意． 当 t≠0 时，
2 8 k tx0＝x1＋x2＝ 2， 1 ＋2 k 有 ty ＝y ＋y ＝kx ＋x －4＝ －4k ， 0 1 2 1 2 1＋2k2
1 8k2 1 －4k ∴x0＝ · ，y ＝ · . t 1＋2k2 0 t 1＋2k2 ∵点 P 在椭圆上， 32k4 16k2 ∴2 ＋ ＝1 ， t 1＋2k22 t21＋2k22
＝1 右支上的一个动点．若点 P 到直线 x－y＋1＝ 0 的距离大于 c
2 2 恒成立，则实数 c 的最大值为________ ．
[解析]
双曲线 x2－y2＝1 的渐近线为 x± y＝0，直线 x－
y＋1＝0 与渐近线 x－y＝0 平行， 2 故两平行线的距离 d＝ 2 2＝ 2 . 1 ＋－1 由点 P 到直线 x－y＋1＝ 0 的距离大于 c 恒成立，得 2 2 c≤ ，故 c 的最大值为 . 2 2 |1－0|
2 16 k 整理得 t2＝ 2， 1＋2k
1 由 k < 知，0<t2<4， 2
2
∴t∈(－2,0)∪(0,2)， 综上可得 t∈(－2,2)．
[点石成金] 方面
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系， 从而确 定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核 心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式， 从而求出参数的取值范 围；
m ∴y0＝kx0＋m＝ 2. 1－3k 由题意，AB⊥MN， m 2 ＋1 1－3k 1 ∴kAB＝ ＝－ (k≠0，m≠0)． 3km k 1－3k2 整理得 3k2＝4m＋1，② 将②代入①，得 m2－4m>0，∴m<0 或 m>4.
1 又 3k ＝4m＋1>0(k≠0)，即 m>－4.
2
设直线 AB 的倾斜角为 θ，
2 2 可得|AF|＝ ，|BF|＝ ， 1－cos θ 1＋cos θ 2 2 则|AF|· |BF|＝ × 1－cos θ 1＋cos θ 4 ＝ 2 ≥4. sin θ
角度二 数形结合，利用几何性质求最值 [典题 3] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2
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高考数学(理)人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 9-8
-7知识梳理 双基自测
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共 点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个 公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个 公共点.( ) (4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦 长 |AB|= 1 + ������ 2 |y1-y2|. ( ) (5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛 物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( ) 关闭 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
-6知识梳理 双基自测
1 2 3 4
(7)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点, 分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (8)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点, 分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (9)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点, 该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.
2 2
−
������2 ������
2 =1
中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜
������ ������ 率 k=������2 ������0 ;在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线 0 ������ 的斜率 k= . ������0
-5知识梳理 双基自测源自-3知识梳理 双基自测1 2 3 4
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 1 + ������ 2 · |x1-x2| 则所得弦长|P1P2|= 或
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第1课时 圆锥曲线中的最值(或范围)问题
∴|m-3|= 2 -1或 m-3=0,
即
5
m=3或
m=3(舍去,若 m=3,则点 A 在直线 PQ 上).
∴S△PAQ= 2 ×
4 4
×
3 3
=
16 2
.
9
规律方法 直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路
(1)翻译转化:将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子;
或反之将代数关系恰当转化为几何关系.
且点
1
Q(0,2)在线段
AB 上,直线 PA,PB 分别交直线
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
1
y=-2x+3
于 C,D 两点.
解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1
∵Q(0,2)在直线
AB 上,∴设直线 AB 为
1
y=kx+2,
设 E(x,y)为椭圆上除 P 之外的一点且 P(0,1),
交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l 的斜率;
(2)若 tan∠PAQ=2 2,求△PAQ 的面积.
2
C: 2
−
2
=1(a>1)上,直线
2
-1
l
解:(1)∵点 A(2,1)在双曲线
4
∴22C: 22− 2 =1(a>1)上,
-1
1
− 2 =1,解得 a2=2.
(2)由(1)知,直线 l 的方程为 y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,
则12 + 22 =12m2-4,
∴|PQ|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 = 2 · 162 -82 -8=4 2 -1,点
即
5
m=3或
m=3(舍去,若 m=3,则点 A 在直线 PQ 上).
∴S△PAQ= 2 ×
4 4
×
3 3
=
16 2
.
9
规律方法 直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路
(1)翻译转化:将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子;
或反之将代数关系恰当转化为几何关系.
且点
1
Q(0,2)在线段
AB 上,直线 PA,PB 分别交直线
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
1
y=-2x+3
于 C,D 两点.
解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1
∵Q(0,2)在直线
AB 上,∴设直线 AB 为
1
y=kx+2,
设 E(x,y)为椭圆上除 P 之外的一点且 P(0,1),
交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l 的斜率;
(2)若 tan∠PAQ=2 2,求△PAQ 的面积.
2
C: 2
−
2
=1(a>1)上,直线
2
-1
l
解:(1)∵点 A(2,1)在双曲线
4
∴22C: 22− 2 =1(a>1)上,
-1
1
− 2 =1,解得 a2=2.
(2)由(1)知,直线 l 的方程为 y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,
则12 + 22 =12m2-4,
∴|PQ|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 = 2 · 162 -82 -8=4 2 -1,点
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.2
)
×
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
)×
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、
C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(
) √
第八页，编辑于星期六：二十点 十五分。
答案
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
第七页，编辑于星期六：二十点 十五分。
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(
不必要条件，故选A.
1
2
3
4
5
第十页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
2.(教材改编) 已知点 (a,2)(a>0) 到直线 l ： x －y ＋ 3 ＝0 的距离为 1，则a等于
( C )
A. 2
B.2－ 2
C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3|
解析 依题意得
＝1.
1＋1
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.
2
8
l2 的斜率为－
，在 y 轴上的截距为
.
5＋m
5＋m
3＋m
2
又∵l1∥l2，由－ 4 ＝－
得，m2＋8m＋7＝0， 得m＝－1或－7.
5＋m
5－3m
8
m＝－1 时， 4 ＝
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题课件 文
第十页，共三十八页。
解：(1)设 T(x，y)，由题意知 A(－4，0)，B(4，0)，设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2， 则 k1＝x＋y 4，k2＝x－y 4. 由 k1k2＝－34，得x＋y 4·x－y 4＝－34， 整理得1x62＋1y22 ＝1. 故椭圆 C 的方程为1x62＋1y22 ＝1.
第三十二页，共三十八页。
令 f(t)＝3t＋1t (t≥1)，则 f′(t)＝3－t12， 当 t≥1 时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增， 有 f(t)≥f(1)＝4， 所以 S△F1AB≤3， 即当 t＝1，即 m＝0 时，S△F1AB 取得最大值，最大值为 3， 由 S△F1AB＝4R，得 Rmax＝34，所以所求内切圆面积的最大值为 196π. 故△F1AB 的内切圆面积的最大值为196π，此时直线 l：x＝1.
第二十二页，共三十八页。
因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以 f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减， 因此当 k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2176.
第二十三页，共三十八页。
角度四 利用基本不等式求最值 (2019·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个焦
点为 F(－1，0)，左、右顶点分别为 A，B．经过点 F 的直线
l 与椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2|的最 大值．
第二十四页，共三十八页。
【解】 (1)由题意，c＝1，b2＝3， 所以 a2＝4，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
解：(1)设 T(x，y)，由题意知 A(－4，0)，B(4，0)，设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2， 则 k1＝x＋y 4，k2＝x－y 4. 由 k1k2＝－34，得x＋y 4·x－y 4＝－34， 整理得1x62＋1y22 ＝1. 故椭圆 C 的方程为1x62＋1y22 ＝1.
第三十二页，共三十八页。
令 f(t)＝3t＋1t (t≥1)，则 f′(t)＝3－t12， 当 t≥1 时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增， 有 f(t)≥f(1)＝4， 所以 S△F1AB≤3， 即当 t＝1，即 m＝0 时，S△F1AB 取得最大值，最大值为 3， 由 S△F1AB＝4R，得 Rmax＝34，所以所求内切圆面积的最大值为 196π. 故△F1AB 的内切圆面积的最大值为196π，此时直线 l：x＝1.
第二十二页，共三十八页。
因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以 f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减， 因此当 k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2176.
第二十三页，共三十八页。
角度四 利用基本不等式求最值 (2019·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个焦
点为 F(－1，0)，左、右顶点分别为 A，B．经过点 F 的直线
l 与椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2|的最 大值．
第二十四页，共三十八页。
【解】 (1)由题意，c＝1，b2＝3， 所以 a2＝4，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究2 圆锥曲线中的最值与范围问题课件 理
(2)设M(a，b)，则a2＝4b.半径R＝|MD|＝ a2＋（b－2）2 ， 可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.
令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0， 解得x＝a±2.
不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)． ∴l1＝ （a－2）2＋4，l2＝ （a＋2）2＋4，
2py(p>0)上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆
M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求
l1 l2
＋
l2 l1
的最大
值．
12/11/2021
第十九页，共四十七页。
12/11/2021
【解析】 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为 (±4 3 ，12)，代入抛物线方程可得(±4 3 )2＝2p×12，解得p＝ 2.∴抛物线方程为x2＝4y.
12/11/2021
第二十六页，共四十七页。
12/11/2021
∴|MN|＝|m－n|＝ （m＋n）2－4mn
＝ （x04－y021）2＋4（xx00－＋11）. ∵y02＝4x0，|y0|＝2 x0，
∴|MN|＝ （x10－6x10）2＋4（xx00－＋11）
＝2
x（02＋x0－4x10－）12 ，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 A，B 都在椭圆 C 上，且 AB 中点 M 在线段 OP(不包 括端点)上． ①求直线 AB 的斜率； ②求△AOB 面积的最大值．
第三页，共四十七页。
【解析】 (1)离心率e＝ca＝ 22，将P点坐标代入椭圆方程，
可得a42＋b12＝1，
令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0， 解得x＝a±2.
不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)． ∴l1＝ （a－2）2＋4，l2＝ （a＋2）2＋4，
2py(p>0)上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆
M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求
l1 l2
＋
l2 l1
的最大
值．
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第十九页，共四十七页。
12/11/2021
【解析】 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为 (±4 3 ，12)，代入抛物线方程可得(±4 3 )2＝2p×12，解得p＝ 2.∴抛物线方程为x2＝4y.
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第二十六页，共四十七页。
12/11/2021
∴|MN|＝|m－n|＝ （m＋n）2－4mn
＝ （x04－y021）2＋4（xx00－＋11）. ∵y02＝4x0，|y0|＝2 x0，
∴|MN|＝ （x10－6x10）2＋4（xx00－＋11）
＝2
x（02＋x0－4x10－）12 ，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 A，B 都在椭圆 C 上，且 AB 中点 M 在线段 OP(不包 括端点)上． ①求直线 AB 的斜率； ②求△AOB 面积的最大值．
第三页，共四十七页。
【解析】 (1)离心率e＝ca＝ 22，将P点坐标代入椭圆方程，
可得a42＋b12＝1，
2025年高考数学一轮复习 第九章 -第3课时 最值与范围【课件】
（2）设的焦点为,,为上两点, ⋅ = 0,求△ 面积的最小值.
解 因为 1,0 ,显然直线的斜率不可能为零.
设直线: = + , 1 , 1 , 2 , 2 ,
2 = 4,
由ቊ
可得 2 − 4 − 4 = 0,所以1 + 2 = 4,1 2 = −4,
×
2
1
+
2
而 ≥ 3 + 2 2或 ≤ 3 − 2 2,
所以当 = 3 − 2 2时,△ 的面积最小,且min = 2 − 2 2
2
= 12 − 8 2.
规律方法
最值问题常见的处理方法
（1）几何法:通过观察掌握几何量的变化规律,利用几何知识点找到几何量取到最值的
位置,从而求出最值,这需要熟悉常见的几何模型.
设直线: = + ≠ 0 ,联立直线与椭圆方程得ቐ 2 2
+ = 1,
4
3
化简整理可得 32 + 4 2 + 6 + 32 − 12 = 0,
Δ = 6
2
− 4 32 + 4 32 − 12 = 48 ⋅ 32 − 2 + 4 > 0,可得2 < 32 + 4②,
上,求的值及△ 面积的最大值.
解 设 1 , 1 , 2 , 2 ,因为 −1,0 ,∠ + ∠ = π ,
即 + = 0,
1
2
所以
+
1 +1
2 +1
= 0,
化简整理得1 2 + 2 + 2 1 + 1 = 0①.
= + ,
高考数学一轮复习第九章解析几何9.8.2范围、最值问题课件文新人教A
由xy2＝＋x4＋y2t＝，4， 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 则 x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t25－1. ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
§9.8 直线与圆锥曲线
第2课时 范围、最值问题
考 1 范围问题
[典题 1] 已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的两焦点与短轴 的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 x＋y＋1＝0 与以 椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，满足O→S＋O→T＝tO→P(O 为坐标原点)， 求实数 t 的取值范围．
2 恒成立，则实数 c 的最大值为___2_____．
[解析] 双曲线 x2－y2＝1 的渐近线为 x±y＝0，直线 x－
y＋1＝0 与渐近线 x－y＝0 平行，
故两平行线的距离 d＝
12|1＋－－0| 12＝
2 2.
由点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，得
c≤
22，故
c
的最大值为
角度三
利用基本不等式或二次函数求最值
[典题 4] (1)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42＋y2＝1 相交于
A，B 两点，则|AB|的最大值为( C )
A．2
45 B. 5
4 10 C. 5
8 10 D. 5
[解析] 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，
当 t≠0 时， 有ttxy00＝＝xy11＋＋xy22＝＝1k＋8xk12＋2k2x，2－4＝1－＋42kk2，
§9.8 直线与圆锥曲线
第2课时 范围、最值问题
考 1 范围问题
[典题 1] 已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的两焦点与短轴 的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 x＋y＋1＝0 与以 椭圆 C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T，满足O→S＋O→T＝tO→P(O 为坐标原点)， 求实数 t 的取值范围．
2 恒成立，则实数 c 的最大值为___2_____．
[解析] 双曲线 x2－y2＝1 的渐近线为 x±y＝0，直线 x－
y＋1＝0 与渐近线 x－y＝0 平行，
故两平行线的距离 d＝
12|1＋－－0| 12＝
2 2.
由点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，得
c≤
22，故
c
的最大值为
角度三
利用基本不等式或二次函数求最值
[典题 4] (1)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42＋y2＝1 相交于
A，B 两点，则|AB|的最大值为( C )
A．2
45 B. 5
4 10 C. 5
8 10 D. 5
[解析] 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，
当 t≠0 时， 有ttxy00＝＝xy11＋＋xy22＝＝1k＋8xk12＋2k2x，2－4＝1－＋42kk2，
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 第2课时 范围、最值问题教师用
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第2课时范围、最值问题题型一范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点为F（－c,0),离心率为错误!，点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2＋y2＝错误!截得的线段的长为c,｜FM|＝错误!.（1)求直线FM的斜率;（2）求椭圆的方程;(3）设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于错误!，求直线OP（O为原点)的斜率的取值范围．解(1)由已知，有错误!＝错误!,又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2。
设直线FM的斜率为k(k＞0），F（－c，0),则直线FM的方程为y＝k（x＋c)．由已知，有错误!2＋错误!2＝错误!2，解得k＝错误!.（2）由（1）得椭圆方程为错误!＋错误!＝1，直线FM的方程为y＝错误!（x＋c），两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－错误!c或x＝c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为错误!.由|FM｜＝错误!＝错误!。
解得c＝1，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。
(3）设点P的坐标为(x，y），直线FP的斜率为t，得t＝错误!，即直线FP的方程为y＝t（x＋1)（x≠－1)，与椭圆方程联立，错误!消去y,整理得2x2＋3t2（x＋1)2＝6,又由已知，得t＝错误!＞错误!，解得－错误!＜x＜－1或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m,得m＝错误!，即y＝mx（x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝错误!－错误!。
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第2节 两条直线的位置关系
D. 2+1
a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.
(3)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为( C )
1
A.
5
2解析 直线 3x-4y-4=0 即 6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行,
则所求距离为
|-8-(-3)|
62 +82
=
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
题组二 回源教材
4.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:
2 5
2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是__________.
5
解析 利用两平行线间的距离公式得 l1 与 l2 之间的距离 d=
条直线的斜率为0时,l1⊥l2
l1⊥l2⇔__________
k1k2=-1
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,
1
1
1
则 l1 与 l2 重合⇔ = =
2
2
2
l1∥l2⇔__________,且
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 高考解答题专项五 第1课时 定点与定值问题
可知 k≠0,Δ>0.设 A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|= 1 +
在,设点 E 坐标为(x0,y0),则|EM||EN|= 1 +
= 1+
+
=16,解得 y0=0 或
点满足 y2<4x,所以在线段 MN 上.
40
|yA-yB|=4(1+ 2 ).若点
2·
(y0-y1)·
2·
意.综上所述,定点E为(4,0).
方法总结由特殊到一般法求定点问题的方法
由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出
定点,再证明该定点与变量无关.
2 2
对点训练 2(2021 安徽合肥模拟)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点
3
分别为 F1(-1,0),F2(1,0),点 M 1, 为椭圆 C 上一点.
0 (50 +3)
50 +3
x0xM=- 3 +5 ,所以 xM=-3 +5,
0
0
同理 N
50 -3 40
,
30 -5 30 -5
-
所以 kMN=
-
=
,
40 40
30+5 3 -5
50
0
=,
50+3 50-3 40
-3 +5+
30-5
0
所以直线 MN 的方程为
1
2
2
·
[-y
y
-
+(y
+y
)y
]=(1+
在,设点 E 坐标为(x0,y0),则|EM||EN|= 1 +
= 1+
+
=16,解得 y0=0 或
点满足 y2<4x,所以在线段 MN 上.
40
|yA-yB|=4(1+ 2 ).若点
2·
(y0-y1)·
2·
意.综上所述,定点E为(4,0).
方法总结由特殊到一般法求定点问题的方法
由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出
定点,再证明该定点与变量无关.
2 2
对点训练 2(2021 安徽合肥模拟)已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点
3
分别为 F1(-1,0),F2(1,0),点 M 1, 为椭圆 C 上一点.
0 (50 +3)
50 +3
x0xM=- 3 +5 ,所以 xM=-3 +5,
0
0
同理 N
50 -3 40
,
30 -5 30 -5
-
所以 kMN=
-
=
,
40 40
30+5 3 -5
50
0
=,
50+3 50-3 40
-3 +5+
30-5
0
所以直线 MN 的方程为
1
2
2
·
[-y
y
-
+(y
+y
)y
]=(1+