特岗教师数学考试试题(高数)
2020年贵州特岗教师招聘考试《数学》真题含答案解析(学员回忆)
13． 【答案】 |- , |2 020 年贵州特岗教师招聘考试《数学》 真题含答案解析专业知识二、填空题(共 10 题， 每题 2 分，共 20 分) 211． 求极限lim(1+ x 2 )x 2 = ________．x)011． 【答案】 e 2解析： lim (1 + x 2 ) x 22= lim (1 + x 2)(|lim (1 + x 2 )x 12)| 2= e 2 ．x )0 x )0 (x )0)【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学——极限—— 常见极限的类型和求法 12．已知 f (x , y ) = ye sin x，则 2f=________． 12． 【答案】 e sinx . cos x解析： y 2?x f = ?y ? (|( ?x ?f ))| = ?y ? (||( (?x yesin x ) ))|| = ?y ?(ye sin x . cos x ) = e sin x . cos x ． 【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学——导数——偏导数 13．幂级数xw3n. x n 的收敛域是________．n=1「 1 1)L 3 3)一、单选题(共 35 题， 每题 2 分，共 70 分) nyx3n+1解析： x l w im n 3n + 1 = x l w im= 3， 则收敛半径为31， 则收敛区间为(|(一 ))|，当nx = 一 31 时， 幂级数为 n 3n . (|(一 31))|n=(一〈单调不增且 x l w im n 1= 0 ，：(一n 1)n 收敛；当 x = 31时，幂级数为 n 3n. (|(31))|n= n 1，此为调和级数且发散； 「 1 1 )故收敛域为：|L 一 3 , 3)|．【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学——级数——幂级数14．由曲线 y = x 2 与 y = x 所围成的平面图形的面积等于________． 1 14． 【答案】6解析：根据题意，所求平面图形如下图阴影部分：(y = x 2 (x = 0, y = 0求 函 数 的 交 点 〈 亭〈 ， 则 阴 影 部 分 的 面 积 为j 1 (x 一 x 2 )dx = 21 x 2 一 31 x 3 1= 21 一 31 = 61． 【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学——积分——定积分的几何意义15． 已 知 两 个 平 面 2x 一 3y 一 kz = 8 与 kx 一 5y 一 3z = 7 互 相 垂 直 则 k 的 值 是0 0ly = x lx = 1, y = 1________ 15． 【答案】3一解析： 平面 2x 3y kz = 8 的法向量为n 1 = (2, 3, k )， 平面 kx 5y 3z = 7 的一 一 一法向量为 n 2 = (k , 5, 3)， 两平面互相垂直， ：n 1 . n 2 = 0， 则 2k +15 + 3k = 0，则 k =3．【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学——平面——平面的方程高中—— 空间向量与立体几何—— 空间向量的夹角坐标运算—— 空间向量垂直与 平行的坐标表示16．设集合 A 中有 4 个元素， 集合 B 中有3个元素， 则从 A 到 B 有________个映 射．16． 【答案】 99解析： 根据题意， 映射可能存在四对一， 共有 3 种情况； 三对一加一对一， 共有C 3 C 1C 1 = 24 种情况； 二对一加二对一， 共计 C 2 C 1C 1 = 36 种情况； 二对一加一对一 加一对一，共计C 42C 31A 22= 36； 则总计3 + 24 + 36 + 36 = 99． 【难度等级】★【核心考点】高中 —— 函数—— 函数相关概念—— 映射概念17．在一个袋子中有 5 白和3 红球， 随意选出 4 个， 4 个都是白球的概率是________． 117． 【答案】14C 4 C 1 5 1 解析：5 = 5 = = ． C 4 C 4 8 76 5 148 84 3 2 1【难度等级】★【核心考点】高中 ——统计与概率——古典概型与几何概型——古典概型4 3 2 4 3 2 ．18．矩阵 A = (||||(1-1-111---1-1-11))|||| 的秩等于________．18． 【答案】 3 解析：(|| - r 1r1r 3r2(| 1 1 1 1 )|———4) |||()||故矩阵 A = (||||(1-1-111--- 1-1-11))|||| 的秩为 3．【难度等级】★【核心考点】大学 ——线性代数——矩阵——矩阵的秩19． 如果r 0 是一般线性方程组的一个特解， n 是导出组的一个解， 那么这个一般线性方程组的任一个解 r 可以表示为 r = ________．19． 【答案】 r = kn + r 0， k 为任意常数．解析：因为非齐次方程组的通解等于齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特 解 . 由于 Ax = b 的导出组 Ax = 0 的一个解为n ， 所以齐次方程组的通解为 kn ， 故r = kn + r 0， k 为任意常数．【难度等级】★【核心考点】大学 ——线性代数——线性方程组——非齐次线性方程组A =|||(11 -11 --11 -1-11)|||)|||( )|||-r 2 +r (||| ，20．设矩阵 A = ( 2| | 1 - 1 0 0，则 A - 1 = ________．(|| 21 2120． 【答案】 | 20 -21 ( 3 3 解析：) ||| | 3 )( 2( A ：E ) = | 0|( 4 ( 2 |( 0 1 0：1 0 - 1 0：0 10 -3：0 0 0 0： 1 - 1 0：0 0 -3：-2 00)|| — 3 ) 1)| |( 0 -2 -3：-2 0 ( 1 1 0) 1 1 | 1 0 0：2( 3 12 - 1 2 30 ) 0 1 -(|| 21 21故矩阵 A - 1 =( 3 3【难度等级】★0 )| || |3 )【核心考点】大学 ——线性代数——矩阵——矩阵的逆 三、计算题(共 6 题， 每题 4 分，共 24 分) e x - e -x - 2x21．求极限 lim．x )02x - sin 2x121． 【答案】4e x - e -x - 2x e x + e -x - 2 e x - e -x e x + e -x 1x )0 2x - sin 2x x )0 2 - 2cos 2x x )0 4sin 2x x )0 8cos 2x 4解析： lim= lim = lim = lim = ． 0 0 1 1 - - r -r2+r 3 | ——2—1 ) |0 ． ，0) 0 | | 1 0 |2 r 1,-r 2,-3————r 3—) |0 1 0：0 -2 1)| | 0 0 1：2 | | | | |3) 1)| 0 ) || | | 0 (4 -3)【难度等级】★★【核心考点】大学 ——高等数学——极限—— 函数极限 22．计算二重积分jj D(x+1y )2dxdy ，其中 D = {( x , y ) 2 不 x 不 3,1 不 y 不 2}．1622． 【答案】 ln15解析：jj D(x +1y )2 dxdy = j 23dx j 2 dy =j 23(|(x 1 一 x 2))|dx ．= j dx 一 jdx = ln x + 1 23 一 ln x + 2 23= ln 1156 【难度等级】★★【核心考点】大学 ——高等数学——积分——二重积分 23．求函数 f (x ) = e 一x sin x 在区间[0, 2爪 ] 的最值．23． 【答案】 f ( x ) = 2 e 一 4爪 , f ( x ) = 一 2 e 一54爪max 2 min 2解析： f (x ) = e 一x sinx, x =[0,2爪 ]， f’(x ) = e 一x . 2 cos (|(x + 4爪))| , x =[0,2爪 ]， 当f ’(x ) = 0 时， x = 爪 , 5爪 ，则4 4(|(0，4爪))| +f (x)极大 = f (|(4爪))| = e一 4爪sin 4爪= 22 e 一 4爪， f (x )极小 f (0) = f (2爪 ) = 0 ， 一 2 2 ：f ( x ) = 2 e 一 4爪 , f ( x ) = 一 2 e 一54爪．max2 min 2= f (|( 54爪))| = e 一 54爪 sin 54爪(|(54爪，2爪 ))| +5爪 4极小值爪4极大值xf’(x )f (x )2 一 5爪 = 一 e 42 (|(4爪，54爪))| 2 一 5爪 2 一爪 一，【难度等级】★★【核心考点】高中 ——导数——导数的应用——利用导数求最值和极值 24．求出通过点 P (1,0,0) , Q (0,1,0) , R (1,1,2) , T (0,0, 1) 的球面方程．24． 【答案】 (|(x - 65))|2 + (|(y - 65))|2 + (|(z - 65))|2=解析：设球心 (a,b, c ) 和半径R 2，( 5|a 2 +(1- b)2 + c 2 = R 2 |b = 65 〈a 2b2((11--b 2c2- c)2= R 2亭〈5611 636，故球面方程为 (|(x - 65))|2 + (|(y - 65))|2 + (|(z - 65))|2 = 121216．【难度等级】★【核心考点】大学 ——高等数学—— 曲面及曲线方程——球面方程25．求出矩阵 A = (|||( ))|||的特征值，并求重数为1的特征值的特征向量．25．【答案 】特征值为入1 = 1,入2 = 2， 特征向量为 k 飞 ( k 不为零的任意常数)， 其 中飞 = (0,0, 1)T解析：入 E - A = 入 - 1 -1 -2 0 入 - 2 -3 00 入 - 2= (入 - 1)(入 - 2)2= 0 ， 解 得 A 的 特 征 值 为入1 = 1,入2 = 2 ；并求重数为1的特征值为入1 = 1， 当入1 = 1时，|a =((1- a )2 +b 2 + c 2 = R 2 | 6( 0 0 0 )(x 1 )(入E - A ) x =)||| |||(x x 32)|||= 0，解得基础解系飞 = (0,0, 1)T， k 飞 ( k 不为零的任意常数)为对应于 入1 = 1 的全部特 征向量．【难度等级】★★【核心考点】大学 ——线性代数——线性变换——特征值与特征向量(|入x 1 + x 2 + x 3 = 126．当 入 取怎样的数值时，线性方程组〈|lx入1有唯一解．26． 【答案】 入 丰 1解析：(入x 1 + x 2 + x 3 = 1 (入 1 〈|x 1 + 入x 2 + x 3 = 1 ，系数矩阵 A = | 1 入 |l x 1 + x 2 + x 3= 0 |( 1 1 入 1 1 1 1 1 1 1 A 丰 0 时，方程组有唯一解，则 1- 入 丰 0， 即入 丰 1．【难度等级】★【核心考点】大学 ——线性代数——线性方程组——非齐次线性方程 四、证明题(共 1 题， 每题 6 分，共 6 分)26．请应用微分中值定理证明下列不等式： e -b (b - a ) < e -a - e -b < e -a (b - a ) ，其中 0 < a < b ．26． 【答案】见解析解析： 证明： 如需证 e -b (b - a ) < e -a - e -b < e -a (b - a )， 且 0 < a < b ， 只需证1 11- 入 1- 入 = (1- 入)2， 当0 1- 入 1 1 1- 入 = 0 0 0 1 |， 1) 1)| 求 A = 1 入 1 = 入 1 1 = 0 1- 入 1 1 1 1 入 1 0 入 - 1e -b <e -a -e -bb-a < e -a ，即 e -b < e -a -e -b(-a )-(-b )< e -a ；设 f (x ) = e x ， f (x ) 在 x =[-b, -a ] 上 连 续 且 在 x =(-b, -a ) 上 可 导， 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 可 得： 3飞 =(-b, -a ) ，f (飞 ) =e -a -e -b(-a )-(-b )； f (x ) 在 x =[-b, -a ] 上 单 调 递 增 且 飞 =(-b, -a ) ，：e -b < f (飞 ) < e -a ，：e -b <e -a -e -b(-a )-(-b )< e -a ， 即e -b (b - a ) < e -a - e -b < e -a (b - a )．【难度等级】★★【核心考点】大学 ——高等数学——微分——微分的应用教育综合二、简答题(共 2 题， 每题 5 分，共 10 分) 1．简述中小学教师应具备的基本能力．1． 【参考答案】教学组织能力、班级管理能力、获取知识能力、人际交往能力； 课堂教学组织能力是一种综合能力， 需要作为教师灵活运用各种教学技巧， 进而提 高教学质量， 这就需要在课堂上教师能够根据教学规律和学生心理特点， 恰当的运用教 学手段， 对教学内容作出合理安排， 使教学内容具有趣味性和新颖性， 使所讲内容通俗 易懂，营造良好的学习氛围．班级管理能力的高低不但影响着整个班集体的教育教学质量， 更关系到学生的健康 成长， 这首先需要教师在学生心中树立自己的个人威信， 使学生在心理上引起一种尊敬 二信服的态度， 其次就是需要加强自身素养， 做到为人师表， 给学生树立良好的学习榜 样，从而更好的进行教育教学．随着时代的进步， 社会对教师的要求逐渐提高， 因此教师需要具备充分的获取知识 能力， 树立终身学习的理念， 在不断丰富自己的专业知识的同时， 时刻更新自己的授课 风格和教学理念，才能给新时代的学生带来更好更优秀的教育体验．教师是一个团队， 团队可以让平凡人做非凡事， 这便需要教师具备足够的人际交往 能力， 处理好人际交往， 能够快速找到自己的缺点和不足， 进而制定方案查缺补漏， 同一、单选题(共 10 题， 每题 1 分，共 10 分)时也能够学习优秀师资的优点，使自己更好的完成工作．【难度等级】★★【核心考点】教学论2．简述影响中小学生心理健康的主要因素．1．【参考答案】社会环境、家庭氛围、学校环境；社会风气作为一种特殊的社会环境，对中小学生的心理健康也产生着重要影响，中小学生正处于心理成长的关键时期，他们一方面日趋成熟化，另一方面也存在着辨别能力和抵抗能力不强的缺陷，这就需要教师能够积极正确的构建班级学习氛围，同时加强对学生的思想引导，树立正确的人格三观．同时家庭氛围也能够直接的影响到学生的心理健康，例如单亲家庭缺乏对孩子的关爱、父母的子女的过分溺爱、“唯分数论”的错误观念等等，作为教师应积极和家长沟通，使家长意识到家庭教育的重要性，从而进行有效的家校合育，共同培养孩子成长．最后是学校环境，在客观现实存在和暂时不能改变的情况下，作为教育工作者需要尽最大的努力打造好学校的育人环境，如教师师德建设、校园文化建设、班级文化建设等等让孩子能够感受到美好与关爱，成为合格的社会未来接班人．【难度等级】★★【核心考点】教学论三、案例分析题(共1 题，每题 10 分，共 10 分)( 1 )从教师职业道德角度，分析杨老师的教育行为所存在的问题．(2)如果你是该班的班主任，你将如何处理这样事．。
2024年教师资格考试高级中学学科知识与教学能力数学试卷及解答参考
2024年教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力复习试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、三种基本数学思想是：公理化思想、演绎思想和_____ 思想。
A. 数形结合B. 转化C. 推理证明D. 模似2、“七种方法”指的数学研究方法有：观察法， _____ ，类比法，的技能；建模法，科学推理，应用软件法。
A. 转化法B. 比较法C. 分析法D. 实验法3、如果有一个函数f(x)，满足f(x)的图像在x轴上方有凹性，那么f(x)的相关导数具有以下哪个性质：A、f’(x)单调递增B、f’(x)单调递减C、f’’(x)>0D、f’’(x)<04、在高中数学教学中，为了教授梯度这一概念，老师应该如何设计教学活动？A、直接给出梯度的定义并让学生记忆B、使用生活中的实例来类比梯度的概念C、通过计算斜率的方式来解释梯度的概念D、只通过数学的理论推导来教授梯度5、下列哪个集合包含所有整数？A．{x|x是偶数} B．{x|x是奇数} C．N D．Z6、某班学生参加了一次运动会，测定每个学生跑步速度（单位：每分钟跑多少米）。
所有学生的跑步速度的平均值为 200 米/分钟，标准差为 10 米/分钟。
如果该班共有40 个学生，则低于 190 米/分钟速度的学生人数有多少？A．5 B．15 C．25 D．357.下列哪一项性质不属于圆的基本性质？A. 圆内接四边形的对角互补B. 圆的所有半径相等C. 圆内角的度数等于它所对的圆心角度数D. 垂径定理，即垂直于弦的直径把圆分成两个相等的部分8.下列等式中，表示得数等于3的平方的是？A. 3 × 3B. (-3) × (-3)C. (0.3) × (0.3)D. -3 × -37.正确答案应该是A。
圆内接四边形的对角互补是正方形的一个性质，不是所有圆的基本性质。
B项表明了圆的定义，即圆上任意两点的距离计算结果相同，均为半径的长度。
特岗教师数学考试题(全国适用)
特岗教师数学考试题（全国适用）一、选择题（本题共10小题，满分共50分） 1．设i 是虚数单位，则复数2012= （ ）A ．i -B ．-1C ．1D ．i2．右图是一几何体的三视图（单位:cm ）,则这个几何体的体积为 （ ） A ．31cm B ．3cm 3C ．3cm 2D ．3cm 63．下列推理是归纳推理的是 （ ）A ．,AB 为两个定点，动点P 满足2PA PB a AB -=<，(0)a >，则动点P 的轨迹是以,A B为焦点的双曲线；B ．由12,31n a a n ==-，求出123,,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式；C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=；D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇。
4． 同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+5．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D 或6．若输入数据 1236,2, 2.4, 1.6,n a a a ==-=-=4565.2, 3.4, 4.6a a a ==-=，执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为（ ）A ． 0．6B ． 0．7C ． 0．8D ． 0．97．已知02(cos())6a x dx ππ=+⎰，则二项式25()a x x+的展开式中x 的系数为（ ） A ．10 B ．-10C ．80D ．-808．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=．那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时t 的值为（ ）A ． 1B ．12CD ．10．设33,,2x yx y M N P ++===0x y <<），则,,M N P 大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M << 二、填空题（本题共5小题，满分共25分）11．已知20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，且22x y +-的最大值为log 3a ，则a = ．12．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅ 最小值为 ．13．将一根长为10厘米的铁丝用剪刀剪成两段，再将每一段剪成相等的两段，然后将剪开的4段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6的概率等于 ．14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ． 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A ．（极坐标与参数方程选讲选做题）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上的动点(,)P x y 到直线l 距离的最大值为 ．B ．（不等式选讲选做题）若存在实数x 满足不等式2|3||5|x x m m -+-<-,则实数m 的取值范围为 ．C ．（几何证明选讲选做题）如图，PC 切O 于点C ，割线PAB经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．三、解答题（本题共6小题，满分共75分）16．（本小题满分12分）已知,,A B C 分别为ABC ∆的三边,,a b c所对的角，向量)sin ,(sin B A m = ，)cos ,(cos A B n = ，且.2sin C n m =⋅（1）求角C 的大小；（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且18CA CB ∙=，求边c 的长．17． （本小题满分12分） 已知数列{}{},n n a b ，其中112a =，数列{}n a 的前n 项和2()n n S n a n +=∈N ，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==． （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意n +∈N ，2n ≥，有121111814n m b b b --+++< 恒成立？若存在，求出m 的最小值；18．（本小题满分12分）如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3AB =，4BC =，作1BB 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1B ，P ，作1CC 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1C ，Q ，将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积； （3）求平面PQA 与平面BCA 所成角的余弦值．BC 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A19．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是11,32．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望． 20．（本小题满分13分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求ANB ∆面积的最小值；（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB ∆面积的最小值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤． 参考答案11 12． 2- 13．1514．[2,)+∞，[1,1]-15，A ．3 B ． (,1)(2,)-∞-+∞C ．94,5三．解答题：16． 解：（I ）)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅…………2分,0,,ππ<<-=+∆C C B A ABC 中 ,s i n )s i n (C B A =+∴C n m s i n=⋅∴…………3分又.3,21cos ,sin 2sin ,2sin π===∴=⋅C C C C C n m…………6分（II ）由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，得,sin sin sin 2B A C +=由正弦定理得.2b a c +=,18=⋅.36,18cos ==∴ab C ab 即………10分由余弦定理,3)(cos 22222ab b a C ab b a c -+=-+=.6,363422=∴⨯-=∴c c c…………12分17． （1）因为2()n n S n a n +=∈N ．当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-； 所以2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--． 所以1(1)(1)n n n a n a -+=-．即111n n a n a n --=+． 又112a =， 所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅ 123211111432(1)n n n n n n n n ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-+ ． 当1n =时，上式成立． 因为112,2n n b b b +==，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n b =； ----- 6分 （2）由⑴知，2n n b =． 则21112111111111122222n n n b b b ---++++=++++=- ， 假设存在自然数m ，使得对于任意,2n n +∈N ≥，有121111814n m b b b --++++< 恒成立， 即118224n m ---<恒成立，由824m -≥，解得16m ≥， 所以存在自然数m ，使得对于任意,2n n +∈N ≥，有121111814n m b b b --++++< 恒成立，此时，m 的最小值为16． ---- 12分 18．C 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A（1）在正方形11ADD A 中，因为5CD AD AB BC =--=， 所以三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． 因为3AB =，4BC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥． 因为四边形11ADD A 为正方形，11AA BB ， 所以1AB BB ⊥，而1BC BB B = ， 所以AB ⊥平面11BCC B ．----------- 4分（2）因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AB 为四棱锥A BCQP -的高． 因为四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=， 所以梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=． 所以四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCQP V S AB -=⨯=．-----------8分（3）由（1）（2）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直．以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,3A ，()0,0,0B ，()4,0,0C ，()0,3,0P ，()4,7,0Q ，所以(0,3,3)AP =- ，(4,7,3)AQ =-， 设平面PQA 的一个法向量为1(,,)x y z =n ．则1100AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即3304730y z x y z -=⎧⎨+-=⎩．令1x =-，则1y z ==．所以1(1,1,1)=-n ． 显然平面BCA 的一个法向量为2(0,1,0)=n ． 设平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角为θ，则121212cos cos ,θ⋅===n n n n n n ． 所以平面PQA 与平面BCA． ------- 12分 19．（1）记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A ．由题意，得122()339P A =⨯=答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29………5分 （2）由题意ξ的可能有取值为0，1，2，3，且 212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=．1122(2)33327P ξ==⨯⨯=， 1111(3)33327P ξ==⨯⨯=． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望512116012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分20．（1）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．-------3分∴124y y =- ∴()1,0N - 1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ----------6分 （2）12NAB S y y ∆=-=4． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． -----------11分 （3）推测：①NA NB k k =-；②ANB∆面积的最小值为4． ----------- 13分 21．（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x'=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分（2）由于21()ax f x x +'=． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数． 当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a =-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．----------- 10分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负．------- 12分 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．--------- 14分。
新疆巴州特岗教师招聘高中数学真题
新疆巴州特岗教师招聘高中数学真题一、该知识点的具体如下：(一)教师的权利《中华人民共和国教师法》第二章第7条规定以下教师权利：1.教育教学权：“进行教育教学活动，开展教育教学改革和实验”;2.科学研究权：“专门从事科学研究、学术交流，出席专业的学术团体，在学术活动中充份发表意见”;3.指导评定权：“指导学生的学习和发展，评定学生的品行和学业成绩”;4.薪资报酬权：“按时以获取工资报酬，享用国家规定的福利待遇以及寒暑假期的带薪休假”;5.提议民主权：“对学校教育教学、管理工作和教育行政部门的工作提出意见和建议，通过教职工代表大会或者其他形式，参与学校的民主管理”;6.深造培训权：“出席深造或者其他方式的培训”。
(二)教师的义务《教师法》第二章第8条对教师的义务做出了规定，具体表现在以下几个方面：1.遵守宪法、法律和职业道德，为人师表;2.贯彻落实国家的教育方针，严格遵守规章制度，继续执行学校的教学计划，履行职责教师可巧，顺利完成教育教学工作任务;3.对学生进行宪法所确定的基本原则的教育，爱国主义、民族团结的教育，法制教育以及思想品德、文化、科学技术教育，组织、带领学生开展有益的社会活动;4.关心、爱惜全体学生，认同学生人格，推动学生在品德、智力、体质等方面全面发展;5.制止有害于学生的行为或者其他侵犯学生合法权益的行为，批评和抵制有害于学生健康成长的现象;6.不断提升思想政治觉悟和教育教学业务水平。
二、真题再现1.【判断题】教师的基本权利就是管理学生权。
（）2.《中华人民共和国教师法》规定，“教师故意不完成教育教学任务，给教育教学工作造成损失的”属于违法行为。
（）3.【简答题】63.详述教师的义务包含哪些方面。
【参考答案】1.【答案】×。
解析：根据《中华人民共和国教师法》第七条的规定，教师拥有以下六方面的权利：①教育教学权，这就是教师最基本的权利；②科学研究权；③管理学生权；④薪资放假权；⑤民主管理权；⑥深造培训权。
特岗数学教师考试试题
特岗数学教师考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a与b的夹角的余弦值是（）。
A. 1/2B. 1/√2C. -1/√2D. -13. 直线l的方程为x+2y-3=0，点P(1,2)到直线l的距离是（）。
A. √5/2B. √5C. 3√5/2D. 5/24. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，那么a5的值是（）。
A. 486B. 243C. 81D. 545. 对于函数f(x)=sin(x)+cos(x)，其在区间[0, π/2]上的最大值是（）。
A. √2B. 1C. 2D. 06. 已知抛物线y=x^2-2x+1，其顶点坐标是（）。
A. (1,0)B. (1,1)C. (0,1)D. (2,1)7. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-1,2)上是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减8. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±(√2)x，则a与b的关系是（）。
A. a=bB. a=√2bC. b=√2aD. b=2a9. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=9，圆心到直线x-y+1=0的距离是（）。
A. √2B. 2√2C. √5D. 3√210. 函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的定积分是（）。
A. 8B. 4C. 6D. 2二、填空题（每题3分，共15分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a4+a5=9，则S5的值为______。
12. 函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则m的取值范围是______。
13. 已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，焦点在x轴上，则椭圆C的离心率为______。
2019年陕西省特岗教师招聘数学试卷考试真题解析
2019年陕西省特岗教师招聘考试一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分） 1.【答案】B【考点】数与代数——集合——集合运算【解析】本题主要考查集合的相关知识。
由题意知，A={x |x −1≤0}={x |x ≤1}，B={0,1,2}，所以A∩B={0,1}。
故正确答案为B 。
2.【答案】A【考点】数与代数——复数——复数的运算【解析】本题主要考查复数的相关知识。
由(3+4i)z=25，得|3+4i ||z |=25，即5|z |=25，所以|z |=5。
故正确答案为A 。
3.【答案】D【考点】数与代数——三角函数——三角函数计算【解析】本题主要考查三角函数的相关知识。
cos2x=2cos 2x -1=29-1=-79. 故正确答案为D 。
4.【答案】D【考点】高等数学——导数与微积分——导数的应用【解析】本题主要考查导数的应用的相关知识。
y′=a e x +(ax+1) e x =(ax+a+1)e x ，所以y′∣x=0=a+1=-2，即a=-3。
故正确答案为D 。
5.【答案】A【考点】数与代数——数列——等差数列【解析】本题主要考查数列的相关知识。
由S 6=3(a 3+a 4)=24，知a 3+a 4=8，与a 4+a 5=12相加得，a 4=5，进而解得a 3=3，则公差d=a 4−a 3=2。
故正确答案为A 。
6.【答案】D【考点】统计与概率——排列与组合——二项式定理 【解析】本题主要考查二项式定理的相关知识。
(1+1x )(1+x)6=(1+x)7x，所以(1+1x)(1+x)6展开式中x3的系数为(1+x)7展开式中x4的系数，为C74=35。
故正确答案为D。
7.【答案】A【考点】数与代数——函数——函数概念【解析】本题主要考查函数的相关知识。
函数f(x)=√3x+13的定义域为全体实数R。
故正确答案为A。
8.【答案】A【考点】图形与几何——解析几何——直线与圆【解析】本题主要考查直线与圆的相关知识。
特岗考试数学试题及答案
特岗考试数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3, -1)，向量b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为（）。
A. 10B. 8C. 6D. 43. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. y=x^2B. y=x^3C. y=x+1D. y=x^2+14. 计算定积分∫(0到1) (x^2+1)dx的结果是（）。
A. 2/3B. 3/2C. 2D. 15. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=2，则该数列的第5项a5是（）。
A. 16B. 32C. 64D. 1286. 以下哪个选项不是二次方程的根（）。
A. x=1B. x=-1C. x=2D. x=37. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的结果是（）。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+38. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则该双曲线的渐近线方程为（）。
A. y=±x/2B. y=±2xC. y=±xD. y=±1/2x9. 以下哪个选项是二项式定理的应用（）。
A. (x+y)^2B. (x-y)^3C. (x+y)^5D. (x-y)^410. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的结果是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y=f(x)=x^3的导数是________。
2. 已知等差数列{bn}的首项b1=3，公差d=2，则该数列的第4项b4是________。
3. 函数y=f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标是________。
4. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x)dx的结果是________。
5. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的结果是________。
山西小学数学特岗教师考试真题及答案
山西小学数学特岗教师考试真题及答案一、在小学数学教学中，以下哪种方法最能帮助学生理解分数的概念？A. 大量背诵分数定义B. 通过实际操作，如分苹果等实物C. 反复做分数计算题D. 仅通过课堂讲解（答案）B二、对于小学三年级的学生来说，以下哪个教学活动更有助于培养他们的空间想象力？A. 死记硬背几何公式B. 通过拼图游戏构建二维和三维图形C. 反复抄写几何图形的定义D. 只观看教师展示的几何模型（答案）B三、在小学数学课堂上，教师想要检查学生对乘法口诀的掌握情况，以下哪种方式最为有效？A. 让学生集体背诵乘法口诀B. 通过口头提问个别学生C. 设计小游戏，如乘法接龙D. 让学生默写乘法口诀表（答案）C四、以下哪种教学策略最能激发学生的学习兴趣，提高他们解决数学问题的能力？A. 单纯讲解数学概念，不做实际应用B. 将数学问题与日常生活紧密联系C. 只做课本上的练习题D. 强调数学考试的分数重要性（答案）B五、在小学数学教学中，为了帮助学生更好地理解应用题，教师应该怎么做？A. 直接给出答案，让学生记住B. 引导学生分析题目，找出已知条件和求解目标C. 让学生反复抄写应用题D. 只讲解应用题的解题步骤，不做实际练习（答案）B六、对于小学数学中的“鸡兔同笼”问题，以下哪种教学方法最有助于学生理解和掌握？A. 直接给出公式，让学生套用B. 通过画图或实物演示，帮助学生理解问题背景C. 让学生死记硬背问题类型和答案D. 只讲解问题的数学原理，不做直观展示（答案）B七、在小学数学课堂上，为了提高学生的参与度，教师应该怎么做？A. 只讲解知识点，不做互动B. 设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作等C. 让学生独自完成所有练习题D. 强调课堂纪律，限制学生的自由活动（答案）B八、以下哪种评价方式最能全面反映学生在小学数学学习中的表现？A. 仅通过期末考试分数评价B. 结合课堂表现、作业完成情况和平时测验C. 只看学生的作业是否完成D. 仅通过学生自评来评价学习效果（答案）B。
特岗教师考试试题数学
特岗教师考试试题数学一、选择题（每题2分，共10题）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333...（3无限循环）B. √2C. 1/2D. 0.752. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. -5D. 53. 一个圆的半径为5厘米，求其周长。
A. 10π厘米B. 20π厘米C. 30π厘米D. 40π厘米4. 一个等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 13B. 15C. 17D. 195. 一个二次函数的顶点为(2, -1)，开口向上，求其一般形式的表达式。
A. y = (x-2)^2 - 1B. y = -(x-2)^2 - 1C. y = (x-2)^2 + 1D. y = -(x-2)^2 + 16. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}7. 一个三角形的三个内角分别为50°，60°和70°，判断这个三角形的类型。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8. 已知等式a^2 - 5a + 6 = 0，求a的值。
A. 2和3B. 1和6C. 2和-3D. -2和-39. 一个长方体的长、宽、高分别为4cm，3cm和2cm，求其体积。
A. 24立方厘米B. 36立方厘米C. 48立方厘米D. 72立方厘米10. 已知函数y = 3x - 2，当x=1时，求y的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题3分，共5题）1. 一个数的相反数是-5，这个数是_________。
2. 一个数的绝对值是7，这个数可以是_________或_________。
3. 一个等腰三角形的底角为45°，顶角为_________。
4. 一个数列的前三项为2，4，8，这是一个_________数列。
2019年湖南省特岗教师招聘考试数学试卷
湖南省特岗教师招聘考试数学试卷一、选择题。
（24分） 1. 1=x 是12=x 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 椭圆1422=+y x 的离心率是（ ） A.21B.23C.3D.23. 已知a ，+∈R b ，且4=+b a ，则ab 的最大值为（ ） A.8 B.4 C.2 D.14. 如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么小正方体积木个数为（ ）主视图 左视图俯视图A.12B.8C.6D.45. 已知xx f sin )(=，则)(x f '=（ ）A.x sinB.x sin -C.x cosD.x cos -6. ⎩⎨⎧==10z y 表示（ ）A.一个点B.两条直线C.两个平面的交线，即直线D.两个点7. 当0→x 时，xxsin 是（ ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量8. 不是正交矩阵的是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0111 D.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321 二、填空题。
（24分）9. “难度”即试题对被试者的难易程度的数量指标。
某地去年中考数学卷面满分为120分，全体平均分为84分，则该份数学试题的整体难度为____________。
10. =-++-∞→4536222lim x x x x x ____________。
11. ⎰=edx x11____________。
12. 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→，),,(321c c c c =→，则 （→a ，→b ，→c ）=（→→⨯b a ）·→c =____________。
13. 平面与三坐标轴分别交于A （a ，0，0），B （b ，0，0），C （c ，0，0），则 平面方程为____________。
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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，Barctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M≤），反之不成立，（如(){}11n--有12界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，21sin n 与1kn 为等价无穷小，则k = （ ）A12B 1C 2D -2 解：2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+ 9．函数44log log 2y =的反函数是 解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -= （2）互换,x y 位置，得反函数214x y -=10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k=解：左式=5lim ()510n kn k nee e →∞---== 故2k =312．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：当n →∞时，2sin n ～2n∴原式=2532lim 53nn n n →∞+⋅+= 65 三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsin71x y x -=-的定义域解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x解:（1）求22():1x g x y x +=- ∴反解出x：22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()f x (2ln 1x x =+的奇偶性。
解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称()(2ln 1x x x f -=-++211xx =++4(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法（2）：()()f x f x +-(ln(ln x x =++-)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()11f xg x x +=-，求()f x 及()g x解： 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f x g x x -+-=--即有1()()1f xg x x --=+()2⋯()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故21()1f x x =-()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =- 18．设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭，求a 的值。
解：3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭lim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19．求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭解：（1）拆项，11(1)(1)k kk k k k+-=++111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+51111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+（2）原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-==⎪+⎝⎭20．设()()0,1,x f x a a a =>≠ 求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解： 原式=()122ln 1lim nn a a a n→∞⋅⋯ []2ln 2ln ln 1limn a a n a n →∞=++⋯+2ln 12limn a nn→∞⋯+=⋅++2(1)ln 2limn n n a n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分）21．设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。
解：（1）求()3f x()()2f x f x f x()()32f x f f x ===⎡⎤⎣⎦（2）讨论()3f x的奇偶性()()33f x f x -==-()3f x ∴为奇函数（3）讨论()3f x 的有界性6()3f x =<=()3f x ∴有界 22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=213r h π2h R r R π==ϕ 2224R r hπ2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅=（2）函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ< ()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题（每小题9分，共18分）23．设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数，证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证：(1)()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f x gx x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕ()x ∴ϕ为奇函数（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数724 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x，证明()f x 为奇函数。
证：（1）()()1121f x f x x⎛⎫+=⋯⋯ ⎪⎝⎭令()11,2t f f t t x t ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭（2）消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==（3）()f x 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==--()f x ∴为奇函数＊选做题 1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=，求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解:222312n n n++⋯++2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n→∞++⋯++()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim 6(1)3n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知，原式13=82 若对于任意的,x y ，函数满足：()()()f x y f x f y +=+，证明()f y 为奇函数。
解 (1)求()0f ：令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A ．sin lim1x x x→∞= B ． sin limsin x x xx x →∞-+不存在 C ．1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞= 解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→= ∴选C 注：sin 1sin 10lim0;lim 1sin 101x x xx x A B x x x→∞→∞--===++2． 下列极限正确的是（ ） A ．10lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→=C ．sec 0lim(1cos )x x x e →+=D ．1lim(1)xx x e →∞+=解：11lim 0xx e e e--∞∞→=== ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ）A ．()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ．()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ．()()1lim0x x f x g x →=+D ．()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D94．若()02lim2x f x x→=， 则()lim3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323limlim 32x t tx x tf x f t →→= ()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2解：sin lim 1,x xx→== 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴=选C6．当0x+→时，()1f x =是比x 高阶无穷小，则 （ ）A ．1a> B ．0a >C ．a 为任意实数D ．1a<解：00112lim 01a x x x a a x++→→>=∴>故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxxx e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭10解：原式()()()112lim11x x x x →∞-∞+--+111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ 解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10．已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a = 解：()1lim 10x x →-=()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x-→→≤=∴=又00arcsin limlim 1x x x xxx →→== 故 原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n = 解：()22220ln 1limlim sin nnx x x x x x xx→→+⋅=20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-11解： 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+-sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭sin 21lim0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭∴原式022033+==--14．求0x→解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim (1cos )2x x x x x →-=⋅- 0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+[]10lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t ttee →∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价12注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解： 原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 00000lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→++= 18．设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。