2017-2018届河南省洛阳市高三上学期期末考试理科数学(A卷)试题及答案
河南省洛阳市2017-2018学年高三毕业班三练理数试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学试卷（理A ） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(1)(1)z i ai =+-是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．1±2.下列正确的个数为（ ） （1）“2000,||0x Rx x ∃∈+<”的否定是“2,||0x R x x ∀∈+≥”；（2）若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；（3）a b >是33()()44a b>的充分不必要条件.A ．3B ．2C ．1D ．03.执行如图所示的程序框图，输出的S 是下列哪个式子的值（ ）A ．11112310S =++++ B ．111124620S =++++C ．11112311S =++++D ．111124622S =++++4.若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．172 B ．334C ．314D ．152 5.已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，若3z x y =+的最小值为4，则实数k =（ ） A ．2 B ．1 C ．125 D ．45 6.函数||()32ln 2x f x x =-的图象可能是（ ）7.牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（ ） A ．15种 B ．30种 C ．90种 D ．180种8.已知,A B 为抛物线24y x =上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则ABO ∆重心的纵坐标为（ ）A ．2B ．43 C ．23D ．1 9.已知函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间(,)42ππ上单调递增10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．2 B ．6 C ．43 D ．8311.已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -= ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3]12.已知'()f x 为函数()f x 的导函数，且2'11()(0)(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，则方程2()0x g x x a--=有且仅有一个根时a 的取值范围是（ ）A ．(,0){1}-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：由计算机产生随机数0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表抛掷三次的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数： 101 111 010 101 100 001 101 111 110 000011 001 010 100 000 101 101 010 011 001由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 .14.已知(cos ,sin )66a ππ= ，55(cos,sin )66b ππ= ，则||a b -= . 15.已知函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .16.已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3ABCS ∆=，06AB AC ≤∙≤，函数2()2sin ()24f πθθθ=+.（1）求角A 的取值范围； （2）求()f A 的值域. 18. （本小题满分12分）今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：日期 天气2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销 售 量上午 42 47 58 60 63 下午5556626567由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天. （1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为25，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗? 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等边三角形.（1）证明: AB SD ⊥；（2）求二面角A SB C --的正弦值.20. （本小题满分12分）已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ∙=. （1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）已知函数()2(,0)kxf x e x k R k =-∈≠.（1）若对任意的x R ∈，都有()1f x ≥，求k 的值；（2）对于函数()f x 的单调递增区间内的任意实数123,,x x x （123x x x <<），证明：'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，//BF CD 且交ED 于点F .（1）证明：BCE ∆∽FDB ∆；（2）若BE 为圆O 的直径，EBF CBD ∠=∠，2BF =，求AD ED ∙.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换''12x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题ABBCC BBCDA DA 二、填空题[9,)-+∞ 三、解答题17.解：（1）∵3ABC S ∆=，1sin 32bc A =. ① ∵06AB AC ≤∙≤，∴0cos 6bc A ≤≤，②由①②可得：cos 01sin A A ≤≤，即tan 1A ≥，∴[,]42A ππ∈.∴1sin(2)[,1]32A π-∈，∴()[2,3]f A ∈. 18.解：（1）由已知得如下茎叶图，中位数为5860592+=.（2）设明年庙会期间下雨天数为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X ～2(5,)5B ， ∴2()525E X =⨯=， 所以估计明年庙会期间，可能有2天下雨，3天不下雨，据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为10021253575⨯+⨯=. （3）设庙会期间该摊位获得的利润为L ，则[100125(5)](139)10001500100L X X X =+-⨯--=-，所以由150********X ->，得3X <. 又*X N ∈，所以0,1,2X =，而0051142235552424242133(0)(1)(2)()()()()()()0.65555553125P X P X P X C C C =+=+==++=>故可认为“值得投资”.19.解：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥，∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥.∵SE DE E = ，∴AB ⊥平面SED ，SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥.（2）由（1）知，DE DC ⊥，过D 作DF ⊥平面ABCD ，则,,DE DC DF 两两垂直，分别以,,DE DC DF的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)D A B C -，∵1,2,SD DE SE === ∴SD SE ⊥，∴SD ⊥平面SAB ，∴1(2S ，1(2DS = . 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =.∵1(,1,2SC =- ，(2,0,0)BC =- ，∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+=⎪⎩，∴0x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩. 取1z =，则n = ，设二面角A SB C --为θ，则|cos |||||||DS n DS n θ∙===∴sin θ=20.解:（1）设||AM m = ，||BM n =，∵||4AB =且24||||cos AM BM θ∙=，∴2cos 4mn θ=， 在ABM ∆中，由余弦定理得22242cos 2m n mn θ+-=222(2cos 1)4cos 2mn mn mn θθ=-=-，∵22224cos 1632m n mn mn θ++=+=，∴m n +=||||AM BM +=又||||||AM BM AB +>，所以M 的轨迹是椭圆，且2a c ==，∴24b =，∴22:184x y C +=. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得 222(12)4280k x kmx m +++-=，∵0∆>，∴22840k m -+>，且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+， 22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+.∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++， ∴22388m k -=，由23808m -≥和22840k m -+>，得283m >即可， 因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， 存在圆2283x y +=符合题意. 21.解：（1）()f x 的定义域为R ，'()2kx f x ke =-， 当0k <时，'()0f x <恒成立，()f x 在R 上单调递减， 当0x >时，()(0)1f x f <=，不合题意.当0k >时，由'()0f x <，得12ln x k k<， ∴()f x 在12(,ln )k k-∞上单调递减， 由'()0f x >，得12ln x k k >，∴()f x 在12(ln ,)k k +∞上单调递增.∴min 12222()(ln )ln f x f k k k k k==-，只需222ln 1k k k-≥成立.令()ln (0)g x x x x x =->，则'()1ln 1ln g x x x =--=-， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1g x g ≤=，当且仅当1x =时，()g x 取得最大值1， 所以21,2k k==. （2）先证明'21221()()()f x f x f x x x -<-，由（1）知，'21221()()()f x f x f x x x -<-22121()()2kx f x f x ke x x -⇔<--，∵210x x ->， ∴'21221()()()f x f x f x x x -<-22121()()(2)()kx f x f x ke x x ⇔-<-- 21212()2121()1()kx kx kx k x x e e k x x e e k x x -⇔-<-⇔-<-.12()12()10k x x e k x x -⇔--->.由（1）知，0k >，12()0k x x -<.令12()x k x x =-，()1(0)x h x e x x =--<，则'()10x h x e =-<，()1x h x e x =--在(,0)-∞上单调递减， 所以()(0)0h x h >=，即'21221()()()f x f x f x x x -<-. 同理可证：'32232()()()f x f x f x x x -<-，∴'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--. 22.解：（1）因为//BF CD ，所以EDC BFD ∠=∠，又EBC EDC ∠=∠，所以EBC BFD ∠=∠，又BCE BDF ∠=∠，所以BCE ∆∽FDB ∆.（2）因为EBF CBD ∠=∠，所以EBC FBD ∠=∠，由（1）得EBC BFD ∠=∠，所以FBD BFD ∠=∠，又因为BE 为圆O 的直径，所以FDB ∆为等腰直角三角形，2BD BF == 因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB AB ⊥，即22AD ED BD ∙==.23.解：（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =，20y -=.由2ρ=，得24ρ=，∴224x y +=.（2）∵''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=.∴设(2cos ,sin )M θθ，则2cos x θ=，sin y θ=.∴222224cos cos 2sin 2cos(2)33x y πθθθθθ+=-+=++ ∴当cos(2)13πθ+=-，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.即当(1,2M或(1,2M --时，222x y +的最小值为1. 24.解：（1）由||1|2|5x -+<，得5|1|25x -<-+<， ∴7|1|3x -<-<，解得24x -<<.∴不等式的解集为(2,4)-.（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()|2||23||(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-， 所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.。
河南省洛阳市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省洛阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．122．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( )A．B．C．D．﹣4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π6．已知f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．执行如图的程序，则输出的结果等于( )A．B．C．D．8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( )A．B．C．D．9．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( )A．B．2 C．D．10．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4+2B．2C．2 D．5+211．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣）12．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，点F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=__________．14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为__________．15．将函数y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为__________．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}，{b n} 均为等差数列，前n项和分别为S n，T n．（1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合．18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上．（1）求圆S的方程（2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2．（1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长．21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x（1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．12考点：集合的表示法．专题：集合．分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题．2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞}考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，∴===﹣i；∴，解得﹣6＜a＜，∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题时应注意虚数单位i2=﹣1，是基础题．3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( )A．B．C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可．解答：解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=，∴sinθ﹣cosθ==．故选：A．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点：演绎推理的意义．专题：推理和证明．分析：根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．解答：解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B点评：本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可．解答：解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2，∴正方体的内部挖空了一个圆锥，∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8，故选：D点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度．6．已知f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，则tanπ＜﹣1，＜sinπ，＜cosπ＜0，则tanπ＜﹣sinπ＜cosπ，则f（tanπ）＜f（﹣sinπ）＜f（cosπ），即f（tanπ）＜f（sinπ）＜f（cosπ），故c＜a＜b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．7．执行如图的程序，则输出的结果等于( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T 的值．解答：解：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查．8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件，，能够分别用表示为：，k∈R，，所以带入便可得到，=，所以根据平面向量基本定理即可得到，解不等式组即得λ的值．解答：解：如图，B，F，D三点共线，∴存在实数k使，；∴==；=；∵；∴；∴，解得．故选C．点评：考查向量加法运算及向量加法的平行四边形法则，共面向量基本定理，以及平面向量基本定理．9．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( )A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；从而求出|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；再出和即可．解答：解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）﹣（|F1P|﹣|F2P|）2=2×8﹣4=12；故|F1P|+|F2P|=2；则|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为+==；故选D．点评：本题考查了圆锥曲线的应用，考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．10．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4+2B．2C．2 D．5+2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用导数求出函数y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值．解答：解：由y=，得，则，∴曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣x0）．整理得：．取y=0，得：x=2x0，取x=0，得．∴|AB|==2．∴△OAB的周长为=（x0＞0）．当且仅当x0=1时上式等号成立．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0等价为λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0，则，解得，即直线过定点D（0，﹣6）作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（2，1），B（5，2），此时AD的斜率k==，BD的斜率k==，当直线过A时，λ=9，当直线过B时，λ=﹣，则若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则满足直线的斜率≤≤，解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（9，+∞），故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．12．在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，点F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( )A．B．C．D．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|ST|的最小值．解答：解：设M坐标为M（x，y），由MP⊥l知P（﹣，y）；由“点Q为PF的中点”知Q（0，）；又因为QM⊥PF，QM、PF斜率乘积为﹣1，即，解得：y2=2x，所以M的轨迹是抛物线，设M（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y2﹣3）2+2y2=y4﹣4y2+9=（y2﹣2）2+5，∴y2=2时，d mln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=；∴|ST|的最小值为；故选A．点评：本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=0.2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据正态分布的性质求解．解答：解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2．点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为（6﹣2）π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：运用分割思想，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，根据正四棱锥的性质，求出斜高，即可求出球的半径r，从而得到球的表面积．解答：解：设球的半径为r，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥它们的高均为r，则V P﹣ABCD=V O﹣PAB+V O﹣PAD+V O﹣PBC+V O﹣PCD+V O﹣ABCD即×2×22=r（4×S△PBC+4），由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到，斜高为，∴S△PBC=×2×=，∴r=，则球的表面积为4π×（）2=（6﹣2）π．故答案为：（6﹣2）π．点评：本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键．15．将函数y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为2．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（ωx﹣）+将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（ωx﹣ω﹣）+，所得图象关于y轴对称，可得﹣ω﹣=k，k∈Z，从而可解得正数ω的最小值．解答：解：∵y=sin（x）sin（X+）=sin2+sinωx==sin（ωx﹣）+，∴将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin[ω（x﹣）﹣]+=sin（ωx ﹣ω﹣）+，∵所得图象关于y轴对称，∴﹣ω﹣=k，k∈Z，∴可解得：ω=﹣6k﹣4，k∈Z，∴k=﹣1时，正数ω的最小值为2，故答案为：2．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到．解答：解：由于b=1，a=2c，由余弦定理，可得，cosC====（3c+）≥=，当且仅当c=，cosC取得最小值，即有C取最大值，此时a=，则面积为absinC==．故答案为：．点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}，{b n} 均为等差数列，前n项和分别为S n，T n．（1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合．考点：数列与向量的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值；（2）根据等差数列的求和公式得到====31+，继而求出正整数n的集合．解答：解：（1）∵A，B，C三点共线．∴∃λ∈R，使=λ，=λ（），即=（1﹣λ）+λ，又平面向量的基本定理得，，消去λ得到a3+a15=1，∵a3+a15=a1+a17=1，∴S17=×17×（a1+a17）=即存在n=17时，S17为定值．（2）由于====31+根据题意n+1的可能取值为2，4，所以n的取值为1或3，即使为整数的正整数n的集合为{1，3}点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；解三角形．分析：（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积；（2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值．解答：解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上．（1）求圆S的方程（2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），由此能求出圆S的半径|SA|．（2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），∵A（7，8），∴圆S的半径|SA|==5．∴圆S的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．（2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，令△=（2m）2﹣8（m2﹣8m+7）＞0，得，设点C，D上的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=m，，依题意，得＜0，∴x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＜0，m2﹣8m+7＜0，解得1＜m＜7．∴实数m的取值范围是（1，7）．点评：本题考查圆的半径的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2．（1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，利用EF⊥平面ACD1，求出y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，即可得出结论；（2）设|DD1|=2k（k＞0），求出平面ACK的法向量、平面ACD1的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求出k，即可求DD1的长．解答：解：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D1（2，2，2），若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，=（﹣2，y﹣1，z﹣1），=（2，﹣1，0），=（0，2，2），∵EF⊥平面ACD1，∴，∴y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，∴不存在满足条件的点F；（2）设|DD1|=2k（k＞0），则K（0，0，k），D1（2，2，2k），=（0，﹣1，k），=（2，1，2k），设平面ACK的法向量为=（x，y，z），则，取=（k，2k，2），同理平面ACD1的法向量为=（﹣k，﹣2k，2），则=∴k=±或（负值舍去），∴DD1的长为或．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B 的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x（1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导数，通过f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，得到m的范围；（2）由题意得：ln（x+1）＜x，令g（x）=sinx﹣x，通过函数的单调性得sin1＜1，sin＜，…，sin＜，从而ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，进而证出结论．解答：解：（1）∵f（x）=mln（1+x）﹣x，∴f′（x）=﹣1，∵函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，∴f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，∵x∈（0，+∞），∴m≥1+x不能恒成立，而1+x＞1，∴m≤1时，f（x）为单调递减函数，综上：m≤1；（2）由（1）得m=1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，x∈（0，+∞），∵sin1•sin…sin＞0，∴ln（1+sin1）＜sin1，…，ln（1+sin）＜sin，令g（x）=sinx﹣x，x∈（0，），则g′（x）=cosx﹣1＜0，∴g（x）在（0，）上是减函数，∴g（x）＜g（0），即sinx＜x，x∈（0，），∴sin1＜1，sin＜，…，sin＜，∴ln（1+sin1）+ln（1+sin）+…+ln（1+sin）＜sin1+sin+…+sin＜1++…+＜1+++…+=1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣＜2，即ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，∴（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2．点评：本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查了不等式的证明问题，考查转化思想，有一定的难度．。
河南省洛阳市2017-2018学年高三考前综合练习(二)理数试题 Word版含解析
2017-2018学年第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数212ii+-（ ） A ．i B ．i - C ．42i + D ．1i + 【答案】D 【解析】 试题分析：()()21225511255i i i ii i +-++===+-，故选D. 考点：复数的运算 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ． 既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件 【答案】D 考点：逻辑命题3.将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-【答案】B 【解析】考点：y=Asin （ωx+φ）的图象变换 4.若110(1)xS edx =-⎰，120S xdx =⎰，130sin S xdx =⎰，则（ ）A ．231S S S >>B ．132S S S >>C ．213S S S >>D ．123S S S >> 【答案】D 【解析】 试题分析：111001(1)|22x x S e dx e x e =-=-=->⎰， 12120011|22S xdx x ===⎰ ，113001sin cosx |1cos12S xdx ==-=-<⎰， 123S S S ∴>>，故选D.考点：定积分；比较大小5.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤【答案】B【方法点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．考点：程序框图6.设,x y满足约束条件3020x y ax yx y--≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数z x y=+的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】【解析】试题分析：先作出不等式组20x yx y-≥⎧⎨+≥⎩的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由02x y x y -=+=⎧⎨⎩ 得x=1,y=1, 即A （1，1），同时A （1，1）也在直线3x-y-a=0上， ∴3-1-a=0，则a=2，故选：A ．考点：简单的线性规划7.如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（ ） A ．192种 B ．128种 C ．96种 D ．12种【答案】C考点：排列组合及简单的计数问题8.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=（ ）A ． 6B ．7C ．8D ．9 【答案】D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质9.设双曲线22221x y a b -=的两渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若006090AFB <∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B ．(1,2) C． D．)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：双曲线的两条渐近线方程为2y x b a a c x ±=＝，时，aby c =±，2260901FB a ab a ab A B AFB k c c c c ∴︒<∠<︒<< （，），（，-），，，2222211111132333ab a a c e e a b c a c c<<<<∴<<∴<-<<<--，，，，． 故选B考点：双曲线的简单性质10.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．32π D ．36π 【答案】 【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB =∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R R =∴= ， ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是2412S R ππ== ，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体11.设,a b为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=- ，则c 的最大值是（ ）A．． 2 C．1 【答案】A考点：平面向量的几何性质12.已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足11()1()1n nf a f a +=+，（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142015()()f a f a <【解析】试题分析：∵()()()f x f y f x y ∙=+恒成立， ∴令x =-1，y =0，则101f f f -=-（）（）（）， ∵当x<0时，11001f x f f >∴-≠∴=（），（），（），()()1111011111n n n n f a f a f f a a f ++=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴== ，（） ，111110011n n n nf a f a a a a ++∴+==∴+=++（）（），，111n na a +=-+∴，2341212a a a =-=-=∴，，， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，2013320141201522016312122a a a a a a a a ∴==-====-==-，，，，故选：B ．考点：抽象函数的应用【方法点睛】1. 换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2. 方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；3. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5. 转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6. 递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7. 模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】13π+ 【解析】试题分析：由题根据所给三视图易知该几何体为水平放置的半个圆柱与一个直三棱锥，故所求几何体的体积为211112211323ππ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+. 考点：三视图求体积14.已知对任意实数x ，有6270127()(1)m x x a a x a x a x ++=++++ .若135732a a a a +++=，则m =________.【答案】0考点：二项式定理【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．15.已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，,A B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________. 【答案】2 【解析】考点：直线和圆的位置关系；点到直线的距离公式16.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=（*n N ∈），设n S 为{}n b 的前n 项和，若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值为________. 【答案】16 【解析】试题分析：设{a n }的公差为d ，由1251125376810 0855n a a a d a a d a n d ⎛⎫=∴=-∴∴<∴=-⎭<⎪> ⎝,，，，，从而可知116n ≤≤时，017n a n >≥，时，0n a <．从而121417181515161716161718000b b b b b b a a a b a a a =>>>>>><>=> ，，， 故1413114151516S S S S S S S >>>>< ，，．1518151815161617151869694000055555a d a d a a d d db b a a a a =->=<∴+=-+=<∴+=+> ，，，（），所以1614S S >，故S n 中S 16最大． 考点：数列的函数特性【方法点睛】数列与函数的特性问题主要是通过研究数列通项的单调性、周期性，最值来解决有关数列的问题，属于综合性题目，一定要注意数列单调变化对项的正负的影响，决定了数列求和的最值问题.三、解答题 ：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25sin sin cos 3a A Bb A a +=.（1）求ba；（2）若22285c a b =+，求角C .【答案】(1)53b a =；（2）23C π=（2）设5(0)b t t =>，则3a t =，于是222222889254955c a b t t t =+=+∙=. 即7c t =.由余弦定理得222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-===-∙∙. 所以23C π=. 考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系 18.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。
(全优试卷)河南省洛阳市高三第三次统一考试数学(理)试题Word版含答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．4 B． 8 C． 16 D．322.）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3.）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4.）Nμσ(,Xμ<<+A5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）A B升 D6.不正确．．．的是（）AD7.则该双曲线的离心率为（）A．2 B8.）A．3 B．9.2017+）20172018A．1 C. 0 D10.接球的表面积为（）A11.）A12.4个不同的交点，的取值范围是（）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.的值为．14.的最大值为 ．15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1（218..（1（2.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2答对一题得15分，乙答对一题得10.20.（1（2.21.（1（2）证明：. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC 二、填空题三、解答题17.（1（218.（1）（2直角坐标系，如图所示.由（1(23,n ||||m n19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率（21，2，3.(3,)320.（1（2.21.（112①②..（2...从而原不等式成立.22.解：（1（2..23.解：（1.（2.所以{|y y=-31|x+|(3≥由（1。
河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题(解析版)
洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由，得，即；由，得：，即∴，∴故选：C2.已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得：，∴故选：B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．．3.如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】略4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=,高为1,则体积V=，故选C.考点：本题考查的知识点是由三视图求体积.点评：根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键.5.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c【答案】D【解析】试题分析：，，；且；.考点：对数函数的单调性.6.如图的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入, , 则输出的的值为( )A. 0B. 11C. 22D. 88【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；结束循环，输出，故选B.考点：循环结构流程图.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.7.在等比数列中，，是方程的根，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】由，是方程的根，可得：，显然两根同为负值，可知各项均为负值；.故选：B8.已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵O是锐角△ABC的外心，∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，又，∴||=||，可得=++2mn⋅，而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1.∴1=++2mn⋅<+2mn，∴<−1或>1，如果>1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴<−1，故选：C.9.设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P，则=∴故选：B10.已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为4∴正方体的棱长为∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为∴球O的体积为故选：A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A. 函数是周期函数且最小正周期为B. 函数是奇函数C. 函数在区间上的值域为D. 函数在是增函数【答案】C【解析】对于A，，命题错误；对于B，，命题错误；对于C，令，命题正确；对于D，，令在上单调递增，，但外层函数在上并不具有单调性，故命题错误.故选：C12.已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令f（x）=0，分离变量可得a=，令g（x）=，由g′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，满足条件则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出可行域：∵设z==1+，令s=S 表示动点与定点连线的斜率当点在B时，s最小，即z的最小值为；当点在A时，s最大，即z的最大值为.故答案为：[3，9]．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.已知随机变量，，若，，则__________．【答案】【解析】∵随机变量服从，∴，解得：.又，∴故答案为：0.115.已知（，为常数，）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数，的最小值为__________．【答案】2【解析】由题意结合二项式定理知（1+b）n=243又b∈N*，探究知，仅有当b=2时，35=243，由此得n=5.，令，则，即，显然其在上单调递增，∴最小值为2.故答案为：216.已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由得：，令，则的奇数项和偶数项分别成首项为，且公差为的等差数列，所以，,，故，，，因为对恒成立，所以恒成立，同时恒成立，即恒成立，当时，，而时，所以即可，当时，恒成立，综上，故填．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图, 在△中, 点在边上, .（Ⅰ）求；（Ⅱ）若△的面积是, 求.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ)在△中, 因为,由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ) 法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以.所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18.如图，在直角梯形中，点是边的中点，将沿折起，使平面平面,连接得到如图所示的几何体.（1）求证;平面；（2）若二面角的平面角的正切值为求二面角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）由平面与名垂直的性质定理可得⊥平面.由折叠前后均有⊥，∩,可得⊥平面；(Ⅱ) 由（Ⅰ）可得二面角的平面角为∠，又依题意，可得，依次求得.，以下由两种解法：1.建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，则问题可求：2.利用相关的立体几何知识，证明二面角的平面角为，然后利用面几何知识求得二面角的余弦值为.试题解析：(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，又⊥，所以⊥平面.因为平面，所以⊥.又因为折叠前后均有⊥，∩,所以⊥平面.(Ⅱ)由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角为∠.又⊥平面，平面，所以⊥.依题意.因为，所以.设，则.依题意△～△，所以，即.解得，故.法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，，，所以，.由（Ⅰ）知平面的法向量.设平面的法向量由得令，得,所以.所以.由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.法2：因为⊥平面，过点作//交于，则⊥平面.因为平面，所以⊥.过点作⊥于，连接，所以⊥平面，因此⊥.所以二面角的平面角为.由平面几何知识求得，，所以.所以cos∠=.所以二面角的余弦值为.19.随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为，其中，.【答案】(1) 2017年4月份(即时)的市场占有率为.(2)A【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用回归方程恒过定点的事实进行求解；（2）依据题设条件借助数学期望的计算公式进行分析求解：（1）由折线图中所给的数据计算可得，∴．∴．∴月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为．当时，．故公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．（2）由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，∴每辆款车可产生的利润期望值为（元）．由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，∴每辆款车可产生的利润期望值为：（元），∵，∴应该采购款单车．20.如图，点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，的斜率分别为，.(1)求抛物线的方程；(2)若，点是，处切线的交点，记的面积为，证明是定值.【答案】(1) (2)32.【解析】试题分析：(1)设，由得带入抛物线方程，解得p值；(2)设，，利用，又，得到，然后求出，，而，带入易得为定值32.试题解析：（1）设，由题知，所以，所以代入（）中得，即，所以抛物线的方程是．（2）过作轴平行线交于点，并设，，由（1）知，所以，又，所以，直线：，直线：，解得因直线方程为，将代入得，所以．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数，．（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．【答案】（Ⅰ）的取值范围是；（Ⅱ）正整数的最大值为5．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导函数，有3个极值点等价于方程有3个根；令，根据的单调性可知有3个零点，则，解出的取值范围即可；（Ⅱ）不等式，即，分离参数得．转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立；构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数的最大值．试题解析：（Ⅰ）∵有3个极值点，∴有3个根令在上递增，上递减．∴有3个零点，∴，∴（Ⅱ）不等式，即，即．转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立．即不等式在上恒成立．即不等式在上恒成立设，则．设，则，因为，有．故在区间上是减函数；又故存在，使得．当时，有，当时，有．从而在区间上递增，在区间上递减又，．所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.考点：1、导数的运算；2、利用导数研究闭区间上函数的极值和最值．【思路点晴】本题主要考查的是零点问题、实数的取值范围的求法、转化化归、函数与方程的数学思想方法，属于难题；利用导数知识把零点及实数的取值范围问题转化为闭区间上函数的极值和最值问题，此类问题的难点在于构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，得出极值与最值，从而达到解决问题的目的．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．【答案】（1）（2）椭圆的内接矩形的周长取得最大值．【解析】试题分析：(1)由直线的参数方程为（为参数）消去参数t，得到直线的普通方程；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），则周长为，利用辅助角公式“化一”求最值即可.试题解析：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由，得，即且，分类讨论去掉绝对值符号，求得实数的取值范围；（2）由于，所以存在实数，，使，即，结合绝对值三角不等式易得，即，易得所求结果.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴且．①若，则，∴；②若，则，∴，此时无解；③若且，则，∴，综上所述，的取值范围为或，即.（2）∵，显然可取等号，∴，于是，若存在实数，，使，只需，又，∴，∴，∴，即．。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
河南省洛阳市2017-2018学年高三高考考前综合练习(五)数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 理科数学（五） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1.已知全集{}(){}2,|20,|y lg 1U R A x x x B x x ==->==-集合，则集合()U C A B =（ ）A ．{}|0,2x x x <>或 B ．{}|12x x << C ．{}|12x x <≤ D ．{}|12x x ≤≤ 2.如图，复平面上的点1234,Z ,,Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z3.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于（ ）A ．．4 C ．12 D ．164.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于（ ）A B 5.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π6.已知(){},|1,1x y x y Ω=≤≤，A 是由直线y x =与曲线3y x =围成的封闭区域，用随机模拟的方法求A 的面积时，先产生[]0,1上的两组均匀随机数，12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得N 个点()(),1,2,3,,N i i x y i =，据统计满足3(1,2,3,,)i i i x y x i N ≤≤=的点数是1N ，由此可得区域A 的面积的近似值是（ ）A ．1N N B ．12N N C ．14N ND ．18N N 7.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ）A ．29B ．31C ．33D ．358.已知函数()1xf x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[],2a b 上的最大值为1e -，则b 为（ ）A ．12 B ．1ln 2 C ．13 D ．1ln 39.已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．6n <？B ．7?n <C ．8?n ≤D ．9?n ≤10.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D - 中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．三棱锥P QEF -的体积C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角D ．二面角P EF Q --的大小 11. ()10a b c ++展开并合同类项后的项数是（ ） A ．11 B ．66 C ．76 D ．13412.已知函数()()0ln 1,0x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______________．14.若曲线2x y e =在点()0,1处的切线的斜率为k ，则直线y kx =与2y x =围成的封闭图形的面积为___________．15.已知实数,x y 满足条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式()()222m x y x y +≤+恒成立，则实数m的最大值是____________．16.如图，从点()0,4M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222c a b -=． （1）证明：2cos 2cos c A a C b -=； （2）若11,tan 3a A ==，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了对某班学生的数学、物理成绩进行分析，从该班25位男同学，15位女同学中随机抽取一个容量为8的样本．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式，不必计算出结果）；（2）若这8人的数学成绩从小到大排序是：65，68，72，79，81，88，92，95．物理成绩从小到大排序是：72，77，80，84，86，90，93，98．①求这8人中恰有3人数学、物理成绩均在85分以上的概率（结果用分数表示）； ②已知随机抽取的8人的数学成绩和物理成绩如下表：若以数学成绩为解释变量x ，物理成绩为预报变量y ，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；并求数学成绩对于物理成绩的贡献率（精确到0.01）． 参考公式：相关系数()()22niix x y y r R r --==∑，回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆ,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑参考数据：80,85x y ==，()()()()22111868,518,66422.8ssii i i siii x x y yx x y y ===-=-=--=≈≈∑∑∑19.（本小题满分12分）在三棱柱中111ABCA B C -中，侧面11ABB A 为矩形，12,AB AA D ==是1AA 的中点，BD与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yM a b a b +=>>，,B C 分别为M 的上、下顶点且()4,,2BC T t<为M 外的动点，且(),2T t 到M 上点的最近距离为1．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）当0t ≠时，设直线,TB TC 分别与椭圆M 交于,F E 两点，若TBC ∆的面积是TEF ∆的面积的k 倍，求k 的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数()()ln xf x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数． （1）求实数a 的值；（2）若()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、延长线相交于点,E F 为BA 延长线上一点，且BD BE BA BF =，求证：（1）EF FB ⊥；（2）090DFB DBC ∠+∠=．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，曲线C的方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 7ρθρθ+=．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 距离的最小值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.A9.D 10.C 11.B 12.C 二、填空题 13.223 14．43 15．251316．6 三、解答题17．（1）证明 ：因为22222c a b -=，所以2222222cos 2cos 2222b c a a b c c A a C c a bc ab+-+--=-又cos cos 0A C ≠，所以tan 3tan 1C A ==，故045C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分再由正弦定理及sin 10A =得sin sin a C c A ==，于是()22228,b c a b =-==1sin 12S ab C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）应选男生825540⨯=位，女生815340⨯=位，可以得到不同的样本个数为532515C C ．．．．．3分 （2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均在85分以上，则需要先从物理的4个85分以上的成绩中选出3个与数学85分以上的成绩对应，种数是34A ，然后将剩下的5个数学成绩和物理成绩任意对应，种数是58A ．根据乘法原理，满足条件的种数是3545A A 这8位同学的数学成绩和物理成绩分别对应的种数共有88A ，故所求的概率354588114A A P A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②根据所给的数据，可以计算出6640.76,850.768024.2868b a ≈≈=-⨯≈， 所以y 与x 的回归方程是0.7624.2y x =+， 变量y 与x 的相关系数是6640.9929.522.8r ≈≈⨯，220.98R r =≈，故数学成绩对于物理成绩的贡献率为0.98．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）由题意11tan ,tan 22AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==， 又10,2ABD AB B π<∠∠<，∴1ABD AB B ∠=∠，∴1112AB B BAB ABD BAB π∠+∠=∠+∠=，∵2AOB π∠=，∴1AB BD ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，∴1ABCO ⊥， ∵BD 与CO 交于点O ，∴1AB ⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ， ∴1AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,,B ,,A C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，262323236,,0,0,,,,0,333333AB AC CD ⎛⎫⎛⎫⎛=-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB nAC ⎧=⎨=⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则1,2z x =-=，所以12n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则()2,1,10132sin cos ,1022CD n CD n CD nα⎛⎫⎛⎛-++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=====20．（1）由于()0,2T 到椭圆上点的最近距离21b -=，∴1b =，又222c a b c a ==+，解得2,a c == 所以椭圆方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解法一：12TBC S BC t t ∆==， 直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得284t x t ε-=+，所以22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:30TC x ty t --=的距离2212t t d +==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以(221236t TF t +===+ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以()()()()()()2222222221292121211223636494TEF t t t t t t S TF d t t t t t ∆++++===+++++，所以()()()222236412TBC TEFt t S k S t ∆∆++==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令21212t m +=>，则()()2282416192413m m k m mm -+==+-≤，当且仅当24m =，即t =±时，取“=”，所以k 的最大值为43．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得284t x t ε-=+，直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22436F t x t =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分1sin 2sin 2TBC T CT B TEFT E T F TB TC BTCS x x x x TB TC TB TC K S TE TF TE TF x x x x TE TF ETF ∆∆∠--=====--∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分()()()()2222224368241212436t t ttt t t t t t t t ++==+++-++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分令21212tm +=>，则()()2282416192413m m k m mm -+==+-≤， 当且仅当24m =，即t =±时，取“=”， 所以k 的最大值为43．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）∵()()ln xf x e a =+是奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()ln ln x xe a e a -+=-+恒成立， ∴()()1xxe aea -++=，∴211x x ae ae a -+++=，即()0x xa e e a -++=恒成立，故0a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由（1）知()()sin g x f x x λ=+，∴()[]cos ,1,1g x x x λ'=+∈-，∴要使()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，则有()0g x '≤恒成立，∴1λ≤-． 又∵()()max 1sin1g x g λ=-=--，∴要使()21g x t t λ≤++，在[]1,1x ∈-上恒成立，只需2sin11t t λλ--≤++在1λ≤-时恒成立即可．∴()21sin110t t λ++++≥（其中1λ≤-）恒成立即可．令()()()21sin1101h t t λλλ=++++≥≤-，则()1010t h +≤⎧⎨-≥⎩，即210sin10t t t +≤⎧⎨-+≥⎩，而2sin10t t -+≥恒成立，∴1t ≤-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）由（1）知方程()2ln 2xx ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x =-+， 令()()212ln ,2xf x f x s ex m x ==-+， ∵()121ln xf x x -'=，当(]0,x e ∈时，()10f x '≥，∴()1f x 在(]0,e 上为增函数； 当[),x e ∈+∞时，()10f x '≤，∴()1f x 在[),e +∞上为减函数； 当x e =时，()1max 1f x e=， 而()()22222f x x ex m x e m e =-+=-+-，当(]0,x e ∈时，()2f x 是减函数，当[),x e ∈+∞时，()2f x 是增函数， ∵当x e =时，()22min f x m e =-．故当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无实根； 当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根；当21m e e -<，即21m e e>+时，方程有两个根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）证明：连接AD ，在ADB ∆和EFB ∆中， ∵BD BE BA BF =，∴BD BFBA BE=， 又DBA EBF ∠=∠，∴ADBEFB ∆∆，则090EFB ADB ∠=∠=，∴EF FB ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）在ADB ∆中，090ADB ADE ∠=∠=，又090EFB ∠=， ∴,,E F A D ，四点共圆；∴DFB AEB ∠=∠，又AB 是O 的直径，则090ACB ∠=，∴090DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）点P的直角坐标为(，由2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去ϕ得，(224x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为(224x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的普通方程为270x y +-=，设()2cos ,2sin Q ϕϕ则3cos ,sin 2M ϕϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的距离为111d ===≥=所以点M 到直线l 1-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）0a =时，()1,1121,101,0x f x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩，∴当1x <-时，()10f x =-<符合题意， ∴当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得102x -≤<； 当0x ≥时，()10f x =>符合题意， 综上所述，()0f x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设()()1,u x x x y u x =+-=的图像和y x =的图像如图所示：易知()y u x =的图像向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图像始终有3个交点，从而10a -<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
河南省洛阳市2017-2018学年高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含解析
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12，{}95＜x x B ≤=，则=⋂B A （ ） A ．),5[2e B.]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{2．复数i i++12的共扼复数是（ ） A ．i 2123+- B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+3．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若α//m ,β//m ，则βα// B ．若α//m ，βα//，则β//m C ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥ D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m 4．函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是（ ）A ．)8,85(ππ--B ．)8,83(ππ--C ．)8,8(ππ--D ．)83,8(ππ- 5．O 为△ABC 内一点，且02=++OC OB OA ，AC t AD =，若D O B ,,三点共线，则t 的值为（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D.32 6．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A ．121 B ．31C ．42D.217.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A ．12ln + B ．2ln 2- C ．212ln - D.212ln +8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝51，则BAC ∠sin ＝（ ）A ．22 B ．23 C ．13133 D.22或13133 9．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则方程182)(+-=x x x f 在),0(+∞解的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D.6 10．已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S （ ） A ．22252- B ．22253- C ．221008- D.222016-11．已知三棱锥ABC P -中，1===AC PB PA ，⊥PA 面ABC ，∠BAC ＝32π，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π5 D.π8 12．定义在R 上的函数)(x f 满足：x e x x f x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1 D.2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若21cos sin cos sin =+-αααα，则α2tan 的值为 ．14．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若105=a ，305=S ，则20163211...111S S S S ++++＝ ．15．等腰△ABC 中，底边BC ＝23,-，则△ABC 的面积为 ． 16．b a ,为正数，给出下列命题：①若122=-b a ，则1＜b a -；②若111=-ab ，则1＜b a -； ③1=-bae e ，则1＜b a -； ④若1ln ln =-b a ，则1＜b a -．其中真命题的有 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）数列{}n a 中， 11=a ，11++=-n n n n a a a a ，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为{}n a 的前n 项和，n b ＝n n S S -2，求n b 的最小值．18.（本小题满分12分）函数))2,2(0)(sin(ππϕωϕω-∈+=，＞x y 的一条对称轴为3π=x ，一个对称中心为)0,127(π，在区间]3,0[π上单调． （1）求ϕω,的值； （2）用描点法作出)sin(ϕω+=x y 在],0[π上的图像．19．（本小题满分12分）锐角△ABC 中，其内角A 、B 满足：B B ocsA cos 3sin 2-=．（1）求角C 的大小；（2）D 为AB 的中点，CD ＝1，求△ABC 面积的最大值．20．（本小题满分12分） 函数x e x x f ∙=)(．（1）求)(x f 的极值； （2）x x x f k +≥⨯221)(在),1[+∞-上恒成立，求k 值的集合．21．（本小题满分12分）等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，将△EFC 沿EF 折起，使得C 到P ，得到四棱锥P —ABFE ，且AP ＝BP ＝3．（1）求证：平面EFP ⊥平面ABFE ； （2）求二面角B-AP-E 的大小．22．（本小题满分12分） 已知函数xkx x f -=ln )(有两个零点1x 、2x ． （1）求k 的取值范围； （2）求证：ex x 221＞+．2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•洛阳期中）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A． C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A，再求A∩B的值．【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016秋•洛阳期中）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016秋•洛阳期中）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ∥α，α∥β，则m ∥βC ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，m ∥β或m ⊂β；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m ⊥与β相交、平行或m ⊂β．【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；在C 中，若α⊂m ，m ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 在D 中，若α⊂m ，α⊥β，则m ⊥与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．（5分）（2016秋•洛阳期中）函数y=lncos （2x+）的一个单调递减区间是（ ） A ．（﹣，﹣） B ．（﹣，﹣） C ．（﹣，﹣） D ．（﹣，）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的关系进行求解即可． 【解答】解：设t=cos （2x+），则lnt 在定义域上为增函数，要求函数y=lncos （2x+）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos （2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos （2x+）＞0，即2k π≤2x+＜2k π+，k ∈Z ， 即k π﹣≤x ＜k π+，k ∈Z ，当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，﹣），故选：C【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及对数函数和三角函数的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2016秋•洛阳期中）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC 的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．（5分）（2016秋•洛阳期中）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•洛阳期中）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用定积分的几何意义，首先表示平面图形，然后计算定积分．【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．【点评】本题考查了定积分的应用；关键是将曲边梯形的面积正确利用定积分表示，然后正确计算．8．（5分）（2016秋•洛阳期中）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．或【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=，得出AE=5k，AD=k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+，然后根据AC的长度不变得出AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解方程求出x=k，或x=k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力，考查了转化思想和数形结合思想，计算量较大，属于难题．9．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】确定f（x）是以4为周期的周期函数，关于直线x=1对称，作出相应函数的图象，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数关于直线x=1对称，在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查数形结合的数学思想，属于中档题．10．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；整体思想；等差数列与等比数列．【分析】由S n为等比数列{a n}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．【点评】本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值．11．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，进而可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．12．（5分）（2016秋•洛阳期中）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【考点】导数的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016秋•洛阳期中）若=，则tan2α的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．14．（5分）（2016秋•洛阳期中）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+= ．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得S n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•洛阳期中）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积•AB•AC•sin120° 的值．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin120°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．16．（5分）（2016秋•洛阳期中）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有①③．【考点】不等式的基本性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣e x，x＞0，y′=1﹣e x＜0，函数单调递减，∵e a﹣e b=1，∴a＞b，∴a﹣e a＜b﹣e b，∴a﹣b＜e a﹣e b=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2016秋•洛阳期中）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：b n=S2n﹣S n=+…+．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得a n=．（2）由（1）可得：S n=1++…+．∴b n=S2n﹣S n=+…+．∴b n+1﹣b n=+…+++﹣（+…+）=+﹣=﹣＞0，∴数列{b n}单调递增，∴b n的最小值为b1=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•洛阳期中）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在上的图象．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈，所以2x﹣∈，列表：画图：【点评】本题主要考查三角函数的周期，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．19．（12分）（2016秋•洛阳期中）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（﹣B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（﹣α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S△ABC=2sin（2α+）﹣，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B），…2分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα•sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，综合性较强，属于中档题．20．（12分）（2016秋•洛阳期中）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21．（12分）（2016秋•洛阳期中）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】转化思想；运动思想；空间角；立体几何．【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明．取EF中点O，连接OP、OC．等腰三角形CEF 中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE．（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则⇒取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E为90°．…12分【点评】证面面垂直，找对线面垂直是解决问题的关键，求二面角转化为向量角是解决问题方向．考查了空间位置关系，用勾股定理确定垂直关系，求二面角大小的空间向量法，平面法向量的求解方法．考查了折叠问题的运动思想，空间想象能力，分析问题解决问题的能力，化归与转化的能力．属于中档题．22．（12分）（2016秋•洛阳期中）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）问题转化为函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，求出g（x）的单调性，画出函数图象，从而求出k的范围即可；（2）设x1＜x2，根据函数的单调性得到x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，x=是极小值点，g（）=﹣，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣＜k＜0，（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），h′（x）=ln，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．。
河南省洛阳市2018届高三上学期第三次统一考试数学(理)试卷
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集个数为（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B，得到，可求的子集个数详解：，的子集个数为故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求的共轭复数即可．详解：则的共轭复数对应的点在第四象限.故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.“”是“”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出m，n的大小关系，进而判断出结论．详解：，，∴“”是“”的的充分不必要条件．故选C．点睛：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）注：若，则，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．详解：∵，∵则，∴阴影部分的面积为．∴正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选D．点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题．5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为公差为，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴，解得，∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：（升）．故选B．点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是A. B. 在区间上是增函数C. 是图象的一条对称轴D. 是图象的一个对称中心【答案】D【解析】分析：利用三角函数的图象平移求得，然后逐一分析四个选项得答案．详解：把函数的图像向平左移个单位，得到函数图象的解析式故A正确；当时，在区间是增函数，故B正确；不是图象的一条对称轴，故C正确；，∴是图像的一个对称中心，故D错误．故选D．点睛：本题考查型函数的图象和性质，是基础题．7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据，可得为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出详解：∵，∴为的中点，由题意可得直线方程为当时，设∴即即整理可得即解得。
洛阳市2017-2018学年高三第二次统一考试理数
洛阳市2017-2018学年高三第二次统一考试理数一、选择题1. 已知集合1{|ln },{|0}3x A x y x B x x +===≤-，则B A = （）A.(0,3)B.(0,3]C.(-1,0)D.(3,)+∞答案：A解析：考查分式不等式B 集合中，(1)(3)0,(3)[1,3)x x x x +-≤≠⇒∈-因此交集为(0,3)2. 若复数z 满足(3)3i z i +=-，则|z|=（）A.√13B.3C.4D.5答案：D解析：考查共轭复数运算及模的计算(3)343||5z i i i z =---=--⇒=3. 在△ABC 中，“A>B ”是sin sin A B >的（）A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要 答案：A解析：考查三角函数单调性及分类讨论当A 为锐角时，由正弦函数单调性等价互推sinA>sinB当A 为钝角时，sin()sin sin A B A A B ππ+<⇔-=>4.若m,n 是不同直线，α,β是不同平面，则下列命题正确的是（）A.,m n αβ⊥⊥且αβ⊥则m//nB. ,//m n αβ⊥且//αβ则m ⊥nC. //,m n αβ⊥且αβ⊥则m//nD. //,//m n αβ且//αβ则m//n答案：B解析：考查线面关系选项A 、C 结论应该是m ⊥n选项D 中，m 与n 没有确定关系5. 在25(1)(1)x x +- 展开式中，含5x 项的系数是（）A.－5B.－1C.1D.5答案：B解析：考查二项式展开定理完全平方式展开有三项212x x ++，因此含有5次项的共有三项分别是554433555(),(),()C x C x C x ---，系数和为152101-+⨯-=-6. 数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，若为偶数，就把它除以2；若为奇数，就把它乘以3再加上1。
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河南省洛阳市2017-2018届高三上学期期末
考试
数学理（A 卷）试题
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分．共60
分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z ＝2＋i 2i －1（i 为虚数单位）的共轭复数是
A ． -i
B ． i
C ．53i
D ．-53i
2．函数()
f x =
的定义域是
A ． （-3，0）
B ． （-3,0 ]
C ．（-∞，-3）∪（0，+∞）
D ．（-∞，-3）∪（-3，0）
3．执行右图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．3
4 B ．45
C ．114
D ． 14
5
4．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ,则事件“3
201
81
x dx >⎰”发生的概率为
A ．89
B ．19
C ．23
D ．13
5．已知数列{}n a 是等差数列，且365a a +=，数列{}n b 是等比数列，且
5b =，则28b b ⋅=
A ．1
B ．5
C ．10
D ．15
6最大长度是
A ．4 2
B ．27
C ．2 6
D ．2 5
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F （c, 0）直
线
x c + y
b
=1与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为
A ．3+
C ．
12
+ D ．18．设n 为正整数，2(n x
展开式中存在常数项，则n 的一个可
能取值为
A ．16
B ．10
C ．4
D ．2
9．已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，且当(,)22
x ππ
∈-时，()e sin x f x x =+，
则
A ．(1)(2)(3)f f f <<
B ．(2)(3)(1)f f f <<
C ．(3)(2)(1)f f f <<
D ．(3)(1)(2)f f f << 10．已知向量→a ,→b ,→c 满足|→a |=|→b |= 3 , →a ·→b =32 ,|→c -→a -→b |=1, 则|→c |的最大值为
A ．4
B ．1＋ 3
C ．3＋ 3
D ．2
11．若正数,,x y z 满足2243x y z xy +=+ ，则当
xy z 取最大值时，111
2x y z
+-的最大值为
A ．2
B ．3
2 C ．1
D ．12
12．已知函数2()43f x x x m =--+恰有学科网两个不同的零点，则实数
m 的取值范围是
A ．（-6,6）∪（254,+∞）
B ．（254,+∞）
C ．（-∞,-25
4）
∪（-6,6） D ．（-25
4
,+∞） 二、填空题：本题共4个小题, 每小题5分, 共20分． 13．函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大值为_____________．
14．已知a ＞0, ,x y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2
x ＋y ≥1x －ay ≤1
, 若3z x y =+ 的最大值
为11，则实数a 的值___________．
15．椭圆22
143
x y += 的上，下顶点分别为A 1，A 2 ,左顶点为B 1 ，左焦
点为F 1，若直线A 1F 1交直线A 2B 2于点D ， 则cos ∠B 1DF 1=____________．
16．已知三棱锥D-ABC 中，AB=BC=1，AD=2，BD= 5 ,AC= 2 ,BC ⊥
AD, 则三棱锥的外接球的体积为 =_____________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,cos2C+22cosC+2=0．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若b=2a ，∆ABC 的面积为2
2sinAsinB, 求sinA 及c
的值．
18．（本小题满分12分）
在某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每
天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生必须参加三项活动. 其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余的三天的活动随机选择两项参加. 乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.
（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；
（2）设X表示甲，乙，丙三名同学选择周三的活动的人数之和，求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= 3 ,AD=1，M是线段AD的中点.
(1)试过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l,说明理由，并证明：l⊥平面AA1D1D；
（2）若（1）中的直线l交直线AC于点N，且二面角A-A1N-M的余
弦值为15
5
，求AA1的长.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F （ 3 ,0）,且椭圆C
经过点P （ 3 ,1
2 ）．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x =m(m>a )于M 点，若,,PA PM PB k k k 成等差数列，求实数m 的值.
21．（本小题满分12分） 已知函数22()e x f x ax e x =+- ．
（1）若曲线在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；
（2）若(0,1)x ∈ 时，总有2(1)x xe e x f x -+＞, 求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题记分．做答时, 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲．
在圆内接四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ， 过点A 作圆的切线交CB 的延长线于点F ．若AB=AD,AF=18， BC=15，求AE 的长.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系. 设曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧x=2cos αy=3sin α (α是参数)，直线
l 的极
坐标方程为cos()6
π
ρθ+= （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．
已知函数()21
=+-．
f x x x
（1）求不等式()0
f x>的解集；
（2）若存在x∈R，使得()
f x≤m成立，求实数m的取值范围．。