导数及其应用(选修1-1) 第11节 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性含解析

第11节导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性【选题明细表】由单调性理解导函数图象 1基础巩固(时间:30分钟)1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( B )解析:由导函数的图象知,在[-1,1]上f′(x)>0,故函数f(x)在[-1,1]上是单调递增的.又因为在[-1,0]上f′(x)的值逐渐增大,在[0,1]上f′(x)的值逐渐减小,所以在[-1,0]上,f(x)的增长率逐渐增大,在[0,1]上 f(x) 的增长率逐渐变小.故选B.2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A )(A)(0,1) (B)(0,+∞)(C)(1,+∞) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1. 所以单调递减区间是(0,1).3.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( D )(A)f(2)>f(3)>f(π) (B)f(3)>f(2)>f(π)(C)f(2)>f(π)>f(3) (D)f(π)>f(3)>f(2)解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).4.(2018·山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( B )(A)(-∞,-2] (B)[,+∞)(C)[2,+∞) (D)(-∞,)解析:f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.所以k≥,而y=在区间(2,+∞)上单调递减,所以k≥,所以k的取值范围是[,+∞).5.(2018·湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x),再两边同时求导得·y′=g′(x)ln f(x)+g(x)··f′(x),于是得到y′=f(x)g(x)[g′(x)ln f(x)+g(x)··f′(x)],运用此方法求得函数y=的单调递增区间是( C )(A)(e,4) (B)(3,6)(C)(0,e) (D)(2,3)解析:由题设,y′=·(-·ln x+)=·(x>0).令y′>0,得1-ln x>0,所以0<x<e.所以函数y=的单调递增区间为(0,e).故选C.6.已知函数f(x)=(-x2+2x)e x(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为.解析:因为f(x)=(-x2+2x)e x,所以f′(x)=(-2x+2)e x+(-x2+2x)e x=(-x2+2)e x.令f′(x)>0,则(-x2+2)e x>0,因为e x>0,所以-x2+2>0,解得-<x<,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).答案:(-,)7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是.解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).答案:(-3,0)∪(0,+∞)8.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′().(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f′(x)=3x2+2ax-1.所以a=f′()=3×()2+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),令f′(x)>0,解得x>1或x<-;令f′(x)<0,解得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是(-,1).能力提升(时间:15分钟)9.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e=2.718 28…,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( A )(A)f(x)=2-x(B)f(x)=x2(C)f(x)=3-x(D)f(x)=cos x解析:若f(x)具有M性质,则[e x f(x)]′=e x[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-x ln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意.经验证,选项B,C,D均不符合题意.故选A.10.(2018·惠州调研)已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln)<2f(1)的解集为( D )(A)(e,+∞) (B)(0,e)(C)(0,)∪(1,e) (D)(,e)解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,所以f(ln )=f(-ln x)=f(ln x),所以f(ln x)+f(ln )<2f(1)可变形为f(ln x)<f(1).f′(x)=xcos x+2x=x(2+cos x),因为2+cos x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(ln x)<f(1)等价于-1<ln x<1,所以<x<e.11.(2018·重庆市一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x) <f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( A )(A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)(B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)(C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)(D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=<0,故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0).12.(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)=x2-9l n x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因为f(x)=x2-9ln x在[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2.答案:(1,2]13.(2018·天津滨海新区八校联考)设函数f(x)=x2e x.(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围. 解:(1)因为f′(x)=x2e x+2xe x,所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).切线方程为3ex-y-2e=0.(2)令f′(x)>0,即x(x+2)e x>0,得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,f min(x)=f(0)=0.当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,须2a+1≥f min(x),即2a+1≥0,故a≥-.故a的取值范围为[-,+∞).14.已知函数f(x)=e x ln x-ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=e x ln x+e x·-ae x=(-a+ln x)e x,f′(1)=(1-a)e,由(1-a)e·=-1,得a=2.(2)由(1)知f′(x)=(-a+ln x)e x,若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0在x>0时恒成立,即-a+ln x≤0在x>0时恒成立.所以a≥+ln x在x>0时恒成立.令g(x)=+ln x(x>0),则g′(x)=-+=(x>0),由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,+∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.若f(x)为单调递增函数,则f′(x)≥0在x>0时恒成立,即-a+ln x≥0在x>0时恒成立,所以a≤+ln x在x>0时恒成立,由上述推理可知a≤1.故实数a的取值范围是(-∞,1].。