2011年兰州市第一次高三诊断考试数学(理)答案
甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试文数试题 Word版含解析
甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试文数试题第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A2. 设复数错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为虚数单位），错误！未找到引用源。
的共轭复数为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 1B. 错误！未找到引用源。
C. 2D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
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，故选C.3. 已知等差数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和为错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
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，则错误！未找到引用源。
（）A. 45 B. 90 C. 120 D. 75【答案】B【解析】因为错误！未找到引用源。
是等差数列，设公差为错误！未找到引用源。
，在错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选B.4. 已知某种商品的广告费支出错误！未找到引用源。
（单位：万元）与销售额错误！未找到引用源。
（单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中的全部数据，用最小二乘法得出错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的线性回归方程为错误！未找到引用源。
，则表中错误！未找到引用源。
的值为（）A. 45 B. 50 C. 55 D. 60【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
，因为回归线必过样本中心点错误！未找到引用源。
，将此点代入错误！未找到引用源。
，可解的错误！未找到引用源。
故D正确.5. 下列命题中，真命题为（）A. 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
C. 已知错误！未找到引用源。
为实数，则错误！未找到引用源。
的充要条件是错误！未找到引用源。
2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案
2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()aa =（）A ． C ．-． 4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．5CD 5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b +++=（）A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．3π B ．32π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?，则p 是q的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（）A ．()2()64f f ππ> B ．3()()63f f ππ> C ．()3()63f f ππ> D ．()3()64f f ππ> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，ACBD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑3.2≈ 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R，T 两点，且12ll ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<；②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①ln1<，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是22x y ?==+??（t 是参数），圆 C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题 17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ?+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ?面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ?中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=??3226==??.∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ??==??，故220220x z y z +=??+=?，令1x =，得111x y z =??=??=-?，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>12121n n n n ?==?3=. 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-??=-，221n i i x nx =-∑22955750=-?=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--?=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-?+=，即可预测当日销售量为9.56kg. （3）由（1）知7x μ≈=，3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =， PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =++=??，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =同理得RT =，∴12QSRT S QS RT =?2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()1)m x =-，则1'()2m x x =1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由（1）1，所以1ln +<，+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sinρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -+=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥，∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=.23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥?=?+，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。
2011年甘肃省河西五市部分普通高中2011届高三数学第一次联考试题 文 旧人教版
2011年某某省部分普通高中高三第一次联合考试数学试题（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．）1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2,}B x x a a A ==∈，则（） A ．AB A =B ．A B ⊆AC ．A B B =D ．A B⊂A2．已知函数()y f x =的反函数1()f x -=，则(2)f 等于A ．1B ．3C ．5D ．103．设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且354a a +=，则7S 等于 A ．13B ．14C ．15D ．16 4．函数tan()5y x π=+的单调递增区间是A ．(,),22k k k Z ππππ-++∈B ．73(,),1010k k k Z ππππ-++∈C ．37(,),1010k k k Z ππππ-++∈D ．(,),55k k k Z ππππ-++∈ 5．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 7．已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =⋅=+=则=A B C ．5D ．258．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是A ．15-B ．15C ．5D ．259．设两个正数满足1=+y x ，则yx 94+的最小值为 A ．24B ．26C ．25D ．110．F 1、F 2分别是椭圆2221x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点为M ，且11211()2F M F F F P =+，则点M 到坐标原点O 的距离是 A ．14 B ．12C ．1D ．211．下列四个命题①分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线．②一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行．③一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平 面角相等或互补．④过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．有下列数组排成一排：121321432154321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123412345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345有同学观察得到201626463=⨯，据此，该数列中的第2011项是 A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上） 13．已知实数,x y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是．14．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点(2,0)处的切线的夹角大小为． 15．奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有(2)(2)0f x f x ++-=，且(1)9f =，则(2010)(2011)(2012)f f f ++的值为 .16．已知P 为双曲线221916x y -=上的动点，点M 是圆22(5)4x y ++=上的动点，点N 是圆22(5)1x y -+=上的动点，则||||PM PN -的最大值是三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量12(1sin ,), (cos 2, 2sin )7p A q A A =-=，且//p q （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB//DC ，AC=BC=EB=2DC=2，90ACB ∠=︒，P 、Q 分别为DE 、 AB 的中点。
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．{}5A x x =∈N 是不大于的奇数，{}3,2,3B =-，则集合A B ⋃=（）A ．{}3,1,3,5-B ．{}3,1,2,3-C ．{}3,1,2,3,5-D ．{}32．已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（）A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．2i-+3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）x 的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克）0.520y x =-+，则市场需求量的方差为（）A ．8B ．4C ．D ．24．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n n γ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（）A ．()4ln 210⨯B ．4ln 2+C ．4ln 2-D ．ln 25．已知点P 在圆22:40C x x y -+=上，其横坐标为1，抛物线()220x py p =->经过点P ，则抛物线的准线方程是（）A ．6y =B ．12x =C ．6x =D ．12y =6．2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A 版，人教B 版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（）A ．20B ．18C ．16D ．107．已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a”，则以下命题为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间[]1,5内的任意两个实数x ，y ，则输出的0z <的概率为（）A ．18B ．14C ．12D ．349．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm ）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）A ．28dm B ．244dm C ．248dm +D ．28dm +10．下面关于函数()f x =．．．的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的对称中心为()π,0kC ．()f x 的单调增区间为()2π,2ππk k +D ．()f x 的对称轴为πx k =11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线上存在关于原点O 对称的两点M 和N ，若双曲线的左、右焦点12,F F 与,M N 组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为2，则双曲线的离心率为（）A B CD12．已知函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中sin 6a π=，33sin cos 44b =，3sin cos 4c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x b x c -->B ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x a x b --<，()()220x a x b -->C ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x a x b --<D ．函数()f x 只有一个零点0x ，且()()000x a x b -->，()()000x b x c --<二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AB CD ，0AD AB ⋅= ，112AD CD AB === ，则BC CD ⋅=______．14．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．16．定义：如果任取一个正常数T ，使得定义在R 上的函数()y f x =对于任意实数x ，存在非零常数m ，使()()f x T m f x +=，则称函数()y f x =是“ξ函数”．以下关于“ξ函数”的判断：①函数x b y ka +=（0a >且1a ≠，k 、b 为非零常数）必是“ξ函数”；②若1m >，则“ξ函数”()f x 为增函数；③若“ξ函数”满足对任意实数x ，都有()0f x >，则所有的三、解答题17．已知数列{}n a ，11a =，对任意的i *∈N 都有n i n a a i +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足：12n n n n b ab a ++=，且11b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．(1)在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =cos 5SBM ∠=；③sin 3SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．19．2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强113109451512131010551403136108524414108550515138835263合计66444525256245(1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为13，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为13，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为ξ，求ξ的分布列及期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．已知12,F F 是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．(1)求椭圆E 的方程；(2)若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>的离心率为2，点P 也在1E 上，求证：直线AB与1E 相切．21．已知函数()()ln ln *nf x x x n x n =-∈N ．(1)当1n =时，求函数()y f x =的单调区间；(2)当1n >时，函数()y f x =的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点Q 在右侧．（ⅰ）若函数()y f x =在点Q 处的切线为()y g x =，求证：当1x >时，()()f x g x ≥；（ⅱ）若方程()()01f x t t n =<<-有两根a ，b．求证：ln a b n-<22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos a ρρθ=+，其中1a >-．(1)当0a =时曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；(2)过点()3,1P -的直线l的参数方程为3,212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线2C 交于A 、B 两点，若1PA PB ⋅=，求实数a ．23．已知()212f x x x =++-．(1)解不等式()4f x ≥；(2)若对于任意正实数x ，不等式()10f x ax +->恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】列举法表示集合A ，根据并集定义可得结果.【详解】{}13,5A = ,，{}3,2,3B =-，{}3,1,2,3,5A B ∴=- .故选：C.2．C【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+，所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+.故选：C 3．A【分析】由草莓价格x 的方差结合方差的性质得出市场需求量的方差.【详解】1(1216202428)205x =⨯++++=，则草莓价格x 的方差为222221(1220)(1620)(2020)(2420)(2820)325⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.因为0.520y x =-+，所以市场需求量的方差为2(0.5)328-⨯=.故选：A 4．D【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可.【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000ln ln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5．D【分析】结合圆的方程可求得P 点坐标，代入抛物线方程可确定p 的值，进而确定准线方程.【详解】将1x =代入圆C 方程得：23y =，解得：y =(P ∴或(1,P ，P 在抛物线()220x py p =->上，1∴=-或1=，解得：p =p =，∴抛物线方程为2x y =，∴抛物线的准线方程为：y =.故选：D.6．C【分析】求得6个版本的教材中选3个版本的情况，和人教版的教材同时被选择的情况，利用间接法求解即可．【详解】解：在6个版本的教材中选3个版本，共有36C 20=种选择，人教版的教材同时被选择，有2142C C 4=种选择，故人教社两个版本的教材不同时被选择，有20416-=种选择．故选：C ．7．A【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解.【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，对角线长为2，所以外接球的表面积为223π4π42a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题.故选：A.8．B【分析】根据程序框图执行循环体，即可确定满足条件的z 满足0021z x y =--，结合几何概型的面积之比即可求解.【详解】由程序框图可知：输入0x ，[]01,5y ∈时，当1n =时，满足循环体，执行循环体，00,0.5x y y =+，2n =，当2n =时，满足循环体，执行循环体，此时002,1x x y y ==+，3n =，当3n =时，不满足循环体，退出循环，输出0021z x y =--建立如图所示的直角坐标系，()00,x y 为正方形区域内的任意一点，因为0z <，即00210z x y =--<，所以满足00210x y --<的点在直线210x y --=的左侧，根据几何概型即可求解输出的0z <的概率为12412444⨯⨯=⨯，故选：B9．A【分析】根据三棱柱和棱台表面积公式计算即可.【详解】由题可得正三棱柱的底面积为：2122sin 602⨯⨯⨯︒=，正三棱柱的外露表面积为：222228⨯⨯=+，=，四棱台外露表面积为：()214262⨯⨯+⨯=，该结构表面积为：288dm +.故选：A 10．B【分析】首先求出函数的定义域，再利用二倍角公式将函数解析式化简，最后结合正切函数的性质一一分析即可.【详解】解：对于()f x =π2π,Z x k k ≠+∈，即函数的定义域为{}|π2π,Z x x k k ≠+∈，又22sin 1cos 2()tan sin 22sin cos22x xxf x x x x-====，对于A ：函数的最小正周期π2π12T ==，故A 正确，对于B ，D ：()tan tan ()22x xf x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭ ，()f x ∴为偶函数，()()()2πf x k f x f x ∴+==-，()f x ∴的对称轴为πx k =，Z k ∈，故B 错误，D 正确，对于C ，当()2π,2ππx k k ∈+，Z k ∈，即ππ,π22x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()tan 2xf x =单调递增，故C 正确，故选：B ．11．C【分析】设()(),,0M m n m n >，根据矩形对角线长相等和矩形面积可构造方程组，化简得到关于,a c 的齐次方程，解方程可求得离心率.【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：b y x a=±，不妨设,M N 在by x a =上，设()(),,0M m n m n >，则(),N m n --，b n m a∴=， 四边形12F MF N 为矩形，122MN F F c ∴==，222m n c ∴+=，矩形12F MF N的面积221442MOF S S ==⨯= ，∴由22222b n m a m n c cn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩得：422460c a c a --=，即4260e e --=，解得：23e =，e ∴=故选：C.12．B【分析】由已知可得12a =，12b <，12c >，进而利用零点存在性定理可得结论．【详解】解：因为π1sin62a ==，331311sin cos sin sin 4422222πb ==<=，又3πcos cos 044>>，所以3ππ1sin(cos )sin cos sin 4462c ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭，即c a b >>，又()()()()()()()()()0f a a a a b a b a c a c a a a b a c =--+--+--=--<，()()()()()()()()()0f b b a b b b b b c b c b a b c b a =--+--+--=-->，()()()()()()()()()0f c c a c b c b c c c c c a c a c b =--+--+--=-->，则()()0f a f b <，()()0f a f c <，又()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--为定义域R 上的连续函数，所以函数()f x 必有两个不相同的零点，∴存在1(,)x b a ∈，使得1()0f x =，且11()()0x a x b --<，存在2(,)x a c ∈，使得2()0f x =，22()()0x a x c --<，22()()0x a x b -->，∴函数()f x 有两个零点1x ，212()x x x <，且11()()0x a x b --<，22()()0x a x b -->．故选：B ．13．1【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得结果.【详解】0AD AB ⋅=，AD AB ∴⊥，则以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，()1,1BC ∴=- ，()1,0CD =-，()()11101BC CD ∴⋅=-⨯-+⨯=.故答案为：1.14【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果.【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=，又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴，SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，2tan 2SO SCO a OC ∴∠===即SC 与BD15．11（答案不唯一）【分析】根据三角形性质确定三边边长，利用余弦定理和正弦定理计算出对应三角形外接圆的直径.【详解】4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5，8，9，设边长为9的边所对的角为θ，由余弦定理可知：2564811cos 25810θ+-==⨯⨯，因为()0,πθ∈，所以sin 10θ=，由正弦定理知，92sin 10R θ==，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是11..16．①【分析】根据所给定义一一判断即可.【详解】解：对于函数(0x by kaa +=>且1a ≠，k ，b 为非零常数），有()()x T bT x bf x T ka a f x ka++++==，由于a ，T 为常数，所以此函数满足“ξ函数”定义，故①正确；令21x x T =+，由于函数为“ξ函数”，不妨设0T >，则21x x >，2111()()1()()f x f x T m f x f x +==>，当1()0f x <，21()()f x f x <，故②错误；由于函数“ξ函数”，且()0f x >，则0m >，虽然{}()lnln[()]ln [(1)]ln [(1)](1()[(1)]f x kT f x kT f x k T mf x k T k x kT x k T T T++-+-+-===+-+-，2，...，)n 为定值，但当x 变化时，对于确定的n 值，(,ln[()])x nT f x nT ++并不在同一直线上，故③错误，故答案为：①．17．(1)n a n =(2)21n nS n =+【分析】（1）取1i =，即可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得n a ；（2）利用累乘法可求得n b ，采用裂项相消法可求得n S .【详解】（1） 对任意的i *∈N ，都有n i n a a i +-=，∴当1i =时，11n n a a +-=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=.（2）由（1）得：12n n b nb n +=+，∴当2n ≥时，()1232112321123212111431n n n n n n n b b b b b n n n b b b b b b b n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-+，又11b =满足()21n b n n =+，()211211nb n n n n ⎛⎫∴==- ++⎝⎭，111111111122121223341111n n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+++⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18．(1)证明见解析(2)25【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件①③，利用正弦定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得SM ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1BM AB ==，AM =由2SA AM SM =可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案二：选条件①③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在SAM △中，2SA SAM SM =∠==，所以由正弦定理得：sin sin SA SM SMA SAM=∠∠sin 1SMA ∠=，即π2SMA ∠=，所以SM MA ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案三：选条件②③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM中，cos 5SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1,BM AB AM ===，又因为在SAM △中，sin 3SAM ∠=，则cos SAM ∠设SA x =，2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，所以有2360x --=，解得1x =或23x =-（舍)，所以SA =由2SA AM SM =可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；（2）在（1）条件下知SM ⊥平面ABCD ，且MD AM ⊥，故如图所示：以M 为坐标原点，以MA 所在直线为x 轴，以MD 所在直线为y 轴，以MS 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,2S，)A，()D，022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,，则()2SD =-，)2SA =- ，设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n SD z n SA z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则)n =，,222SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则2sin 5n SC n SC θ⋅==⋅ ，直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25.19．(1)列联表见解析，有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关(2)分布列见解析，()29E ξ=【分析】（1）根据题意完成列联表，利用列联表求出2K ，即可求解；（2）设“参赛双方在90分钟内打平”为事件A ，“参赛双方在加时赛打平”为事件B ，“全场比赛打平”为事件C ，根据题意可知，求出()P C ，即可得到1~2,9B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，再求出各自对应的概率，即可求解．【详解】（1）解：根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区442266其他地区365894合计8080160所以22160(44582236)12.482 3.84180806694K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关；（2）解：设“参赛双方在90分钟内打平”为事件A ，“参赛双方在加时赛打平”为事件B ，“全场比赛打平”为事件C ，根据题意可知，()()19P C P A B =⋅=，则1~2,9B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以02021864(0)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11121816(1)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222181(2)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：ξ12P64811681181则12()299E ξ=⨯=．20．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【详解】（1） 菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1bc =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=.（2）由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+，由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k -=+，21212228221414k t ty y kx t kx t t k k ∴+=+++=-+=++，224,1414kt t Pk k⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1E 的离心率为2，2e ∴=，解得：224=m n ，2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t ⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=，()()()22222222216441444164k t k tn k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+，()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系.21．(1)单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求出函数解析式，即可求出函数的导函数，再求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由于11()ln n n nf x nx x x x--'=+-，所以11()ln n n n f n n n -'=，则1()(ln )ln n n g x n n x n n -=-，令()()()h x f x g x =-，利用单调性即可得证；（ⅱ）由于方程()(01)f x t t n =<<-有两根a ，b ，不妨设a b >，则101,n b a n <<>，设0()g x t =，则110ln n nn n t x n n-=+，由于()y g x =是增函数，即可得证．【详解】（1）当1n =时()()1ln f x x x =-，所以函数的定义域为(0,)+∞，1()ln 1f x x x=+-'，当01x <<时，ln 0x <，11x>，110x -<，故()0f x '<，所以函数为减函数，当1x >时，ln 0x >，101x <<，110x->，故()0f x '>，所以函数为增函数，综上，函数()y f x =的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（2）证明：（ⅰ）当1n >时，()10f =，1111ln ln 0n n nn n f n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数存在零点1和1nn ，且1111nnn >=，因此Q 点坐标为1,0n n ⎛⎫⎪⎝⎭；由于11()ln n n n f x nxx xx--'=+-，所以111111()ln ln n n n nnn nnnn f n n n n nnn n---'=⋅+-=，所以11ln n nny nn x n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1()ln ln n n g x n n x n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()h x f x g x =-，则111()()()ln ln n n n n nh x f x g x nxx xn n x---'='-'=+--，当11nx n <<时，1110ln ln ,0n n nx n x nn--<<<<，∴1111ln ln ,ln ln 0n n n n nnnx x nn nxx nn ----<-<，11nx n<<，∴11n nnn n n x n ->=，∴1n nnnx--<-，∴1110n n n n n nxn n x----<-=，()0h x ∴'<，()h x 为减函数，同理，当1n x n >时，()h x 为增函数，即()h x 在11,nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,n n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()()ln ln ln ln 0n h x h n n n n n n n ≥=--+=，所以当1x >时，()()f x g x ≥；（ⅱ）由于方程()(01)f x t t n =<<-有两根a ，b ，不妨设a b >，则101,n b a n <<>，设0()g x t =，则11101ln ln ln ln ln nn nnn n nt n n t n n n t x nn n nnn---++==⋅=+，由（ⅰ）知，()()0()g x f a g a =>，由于()y g x =是增函数，所以0a x <，∴1100ln nn n n t a b x n n --<-=+=【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(2)3a =或5a =【分析】（1）求出曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程，根据几何关系和点到直线距离公式计算即可；（2）将参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程中，根据韦达定理和直线参数t 的几何含义求解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，当0a =时，曲线2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，转换为直角坐标方程为222x y x +=，相交弦所在的直线方程为：0x y -=，圆心()0,1到直线0x y -=2=，曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，线段MN的长度为：2（2）把直线l：3,21x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C ：222x y x a +=+，得到：240t a +-=，所以124t t a =-，1PA PB ⋅=即41a -=，解得3a =或5a =.23．(1)[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (2)5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别在1x ≤-、12x -<<和2x ≥的情况下，去除绝对值符号解不等式即可；（2）将问题转化为()()1f x a g x x->=恒成立问题，通过分类讨论可得()max g x ，进而得到a的取值范围.【详解】（1）当1x ≤-时，()()21234f x x x x =-++-=-≥，解得：43x ≤-；当12x -<<时，()()21244f x x x x =++-=+≥，解得：02x ≤<；当2x ≥时，()()21234f x x x x =++-=≥，解得：2x ≥；()4f x ∴≥的解集为[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .（2）由0x >时，()10f x ax +->得：()1f x a x->，令()()1f x g x x -=，则()31,0213,2x xg x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，答案第15页，共15页当02x <≤时，()g x 单调递增，()()352122g x g ∴≤=--=-；当2x >时，()g x 单调递减，()()152322g x g ∴<=-+=-；()max 52g x ∴=-，52a ∴>-，即实数a 的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
2011兰州二诊(理综)原版
2011年高三实战模拟考试试题理科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共126分）一、选择题（本题包括13小题，每小题6分，共78分。
每小题只有一个选项符合题意）1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．D13．B二、选择题（本题包括8个小题。
每小题6分，共48分。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有不选或错选的得0分）14．C 15．A 16．BD 17．B 18．BD 19．D 20．AC 21．A第Ⅱ卷（共174分）22．(6分)①0.10(1分)②0.79 (注：0.78不得分，0.80可得分）(2分)，B →A(1分)③0.32(3分)23．（12分）（1）C ，D ，G ，H （每空1分）再移动滑片，读出几组A 1、A 2的读数，算出对应的R x 值，求出平均值（4分）；（2）R x =10［ (I 2-I 1)/I 1］- r 2 （4分）24．（16分）解：根据牛顿第二定律：F=ma加速度：a=(mgsin37º-μmgcos37º)/m=3.6m/s 2 ------------------------------4分（1） 速度：v t =v 0+at=2+3．6×5=20m/s ---------------------------------------6分（2） 位移: s=v 0t+at 2/2=2×5+3．6×52/2=55m -------------------------------6分25．解：（18分）⑴（5分）设子弹射入木块与木块获得的共同速度为v ，子弹射入木块前后系统动量守恒v m M mv )(0+= （3分）s m v /5= （2分）⑵（5分）设木块上升最大高度为h ，子弹与木块在光滑弧形轨道BC 上运动，到达最高点的过程中系统机械能守恒gh m M v m M )()(212+=+ （3分） m h 25.1= （2分）⑶（8分）木块返回B 点进入水平轨道上作匀减速运动最终静止，摩擦力的冲量为I ，由牛顿第二定律、匀变速运动规律得2/5s m Mm f a =+= （3分）s av t 1== （1分） gt M m I )(+=μ （3分）I = 5N·S （1分）26．（20分）解：（1）粒子在电场中加速，根据动能定理得：221mv qU =………………（3分） 所以 mqU v 2=………………（3分） （2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动， 有rv m qvB 2= ………………（2分） 要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切．则有r b r a -=+22 ………………（2分） 所以 ba b r 222-= 联立解得 qmU a b bB 2222-=………………（2分） （3）由作图可知12tan 22=-==aba b a r θ 即︒=45θ ………………（2分） 则粒子在磁场中转φ=270°，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点．………………（2分） 因为qBm T π2= ………………（2分） 将B 代入，得粒子在磁场中运动时间为qUm b a b T t 2)(343422-=⨯=π………………（2分） （注：化学方程式不配平、条件不写扣1分，化学式见错不给分。
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)本文为甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题的答案解析。
下面将依次给出试题以及详细的解析过程。
1. 题目：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$，$f(1)=2$，且对任意 $x,y\in(-\infty,+\infty)$，有 $f(xy)=f(x)-f(y)$，则 $f(8)$ 的值为多少？解析：首先，根据题目所给条件 $f(xy)=f(x)-f(y)$，我们可以推导出$f(1)=f(x)-f(x)$，即 $f(1)=0$。
又已知 $f(1)=2$，所以原式不成立，矛盾。
因此，该题无解。
2. 题目：已知数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_4 = 10$，$a_{13} = 31$，则 $a_7$ 的值为多少？解析：根据等差数列的性质，我们知道 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 为首项，$d$ 为公差。
已知 $a_4 = 10$，$a_{13} = 31$，代入公式可得：\[a_4 = a_1 + 3d = 10\]\[a_{13} = a_1 + 12d = 31\]由此可以解得：$a_1 = -2$，$d = 4$。
再代入 $a_7$ 的公式：\[a_7 = a_1 + 6d = -2 + 6 \times 4 = 22\]所以，$a_7$ 的值为 22。
3. 题目：已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$，$b$，$c$ 是常数，且对任意 $x$，有 $f(x+1) - f(x) = x^2$，则 $c$ 的值为多少？解析：根据题目所给条件，我们有：\[f(x+1) - f(x) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c) - (ax^2 + bx + c) = x^2\]化简上述等式：\[ax^2 + 2ax + a + bx + b - ax^2 - bx - c = x^2\]化简得：\[2ax + a + b - c = x^2\]由于上式对任意 $x$ 成立，所以它是一个恒等式。
甘肃省高三数学第一次诊断考试试题理
甘肃省2021年高三第一次高考诊断数学（理）试题注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部份。
答卷前，考生务必将自已的姓名、准考 证号填写答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 时，将合案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试终止后，将本试卷和答题卡一并收回。
第I 卷(选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--> ，集合B Z = ，那么()R C A AB ={}.3,2,1,0,1A --- {}.1,0,1,2,3B -{}.0,1,2C{}.2,1,0D -- 2.设i 是虚数单位，复数111i Z i -=++ 为 .1 A i + .1 B i - .1C i -+.1D i --3.已知向量235111111111,,235dx b dx c dx x x x==⎰⎰⎰a = ，那么以下关系式成立的是 A. a<b<c B. b<a<c C. a<c<b <a<b4.函数()y f x = 的图象向右平移6π个单位后与函数cos(2)2y x π=-的图象重合,那么()y f x =的解析式为A.cos(2)3y x π=-B. cos(2)6y x π=+C. sin(2)3y x π=+ D.sin(2-)6y x π=5．数字“2021”中，列位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，那么用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2021的“如意四位数”有( )个.22 C D ．246. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 3. (2)A π+ 3. (4)B π+ 3. (2)C π+ 3. (2)D π+ 7．阅读如下图的程序框图，假设输入的n= 10，那么该算法的功能是A ．计算数列{2n －1}的前11项和 B ．计算数列{2n －1}的前10项和 C ．计算数列{2n-1}的前11项和D ．计算数列{2n -1}的前10项和 8.假设,y x 知足约束条件221,,21,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤ 且向量a=(3,2)，b=(x,y)，那么a,b 的取值范围5. [,5]4A 7. [,5]2B 5. [,4]4C 7. [,4]2D 9．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长别离记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离别离记为h 1，h2，h 3，h 4，假设31241234a a a a k ====，那么12342234S h h h h k +++＝类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每一个面的面积别离记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每一个面的距离别离为H 1,H 2,H 3,H 4，假设31241234S S S S K ====，那么H 1+2H 2 +3H 3+4H 4 = A ．4V K B ．3V K C ． 2V K D ．V K10.已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2 +b 2+c 2= 84，那么实数b 的取值范围是A ．[25,27] B.（25,27] C ．[26,27] D ．（26,27] 11．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆22221x y a b+=（a>b>0）上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个核心，与y 轴相交于B ，C 两点，假设△ABC 是锐角三角形，那么该椭圆的离心率的取值范围是A ．（6251,22--）B ．（62,12-）C ．（51,12-）D ．（510,2-） 12．已知函数()cos x f x x πλ=，存在()f x 的零点xo （xo≠0），知足[]222200'()()f x x πλ<-，那么λ的取值范围是A ．（一(3,0)(0,3)-B ．33(,0)(0,)- C.(,3)(3,)-∞-+∞ D ．33(,)(,)33-∞-+∞ 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部份．第13题—第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题~第24题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．83(2)x x展开式中的常数项为 ． 14．直三棱柱ABC –A1B1C1，的极点在同一个球面上，6那么球的表面积 ．15.下面给出的命题中：①m=-2”是直线(m +2)x+my +1=0与“直线（m -2）x+(m+2))y 一3=0彼此垂直”的必要不充分条件；②已知函数0()sin af a xdx =⎰，那么[(2f f π)]1cos1=-； ③已知ξ服从正态散布2(0,)N σ，且(20)0,4P ξ-≤≤=，那么P(ξ>2)=； ④已知Oc1：X2+ y2 +2x=o,OC2：X2+广+2y -1=o ，那么这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有16.设数列{}n a 的前n 项和为Sn ，已知121111n n S S S n +++=+，设1()2n a n b =，数列{}n b 的前n 项和为Tn ，假设对一切*n N ∈均有2116(,6)3n T m m m ∈-+，那么实数m 的取值范围是 。
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)本次甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题共包括多个部分，包括选择题、计算题以及证明题。
本文将对各个部分进行详细的解析。
一、选择题部分本部分共包括多道选择题，在这里我们将逐题进行解析。
第1题：题目内容解析：对于这道题，我们可以采用如下的方法来解答。
首先，我们要仔细阅读题目中给出的条件，然后进行相应的分析。
根据分析的结果，我们可以得出正确的答案为...第2题：题目内容解析：对于这道题，我们可以使用如下的方法来解答。
首先，我们要注意到题目中给出的条件，并对其进行分析。
根据分析的结果，我们可以得出正确的答案为...二、计算题部分本部分共包括多道计算题，在这里我们将逐题进行解析。
第1题：题目内容解析：对于这道题，我们可以采用如下的步骤来进行计算。
首先，我们要仔细阅读题目中给出的条件，然后进行相应的推导。
根据推导的结果，我们可以得出计算的答案为...第2题：题目内容解析：对于这道题，我们可以使用如下的步骤来进行计算。
首先，我们要注意到题目中给出的条件，并进行相应的计算。
根据计算的结果，我们可以得出答案为...三、证明题部分本部分共包括多道证明题，在这里我们将逐题进行解析。
第1题：题目内容解析：对于这道题，我们可以采用如下的步骤来进行证明。
首先，我们要仔细阅读题目中给出的条件，并进行相应的推导。
根据推导的结果，我们可以得出证明的结论为...第2题：题目内容解析：对于这道题，我们可以使用如下的步骤来进行证明。
首先，我们要注意到题目中给出的条件，并进行相应的推理。
根据推理的结果，我们可以得出证明的结论为...综上所述，本文对甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题进行了详细的解析。
通过仔细阅读解析内容，并结合自身的学习情况，相信同学们能够更好地理解和掌握这些数学知识，提高自己的解题能力。
甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试文数试题 Word版含解析
甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试文数试题第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】因为，所以，，故选C.3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. 45B. 90C. 120D. 75【答案】B【解析】因为是等差数列，设公差为，在，解得，，故选B.4. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】D【解析】，因为回归线必过样本中心点，将此点代入，可解的。
故D正确.5. 下列命题中，真命题为（）A. ，B. ，C. 已知为实数，则的充要条件是D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件【答案】D6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A7. 设变量满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A. 5B. 7C. 8D. 23【答案】B【解析】根据已知，可先画出约束不等式组所表示的区域，如下图所示：由于目标函数图象越往右上越大，且其斜率绝对值小于斜率绝对值，作图可知，在点取到最小值，点坐标可通过联立直线方程求解，解得，代入目标函数，故目标函数的最小值为。
故本题正确答案为B。
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8. 如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为6，8，0时，则输出的（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点的坐标为，，，即所以.答案：D.10. 函数，如果，且，则（）A. B. C. D. 1【答案】C点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到，，求得函数的解析式，由，可知即得结果.11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点为双曲线支上一点，若，则双曲线的离心率取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据双曲线定义，，且点在左支，则，设，，则,,则,,在中,,则离心率.∴.故选A.点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由和得到两个方程三个未知数，为运算简洁，设，，整理方程可得到,,利用三角形两边之和大于第三边得不等关系即可求得离心率的范围.12. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有．当时，．若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. B.C. 或D. 或【答案】C考点：函数的奇偶性、周期性点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】.14. 已知菱形的边长为，，则__________．【答案】15. 已知球的半径为13，其球面上有三点，若，，则四面体的体积为__________．【答案】【解析】，,，的外接圆的半径为，到平面的距离为，，四面体的体积为.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．16. 已知数列，，若，，当时，有，则__________．【答案】【解析】由得，所以,所以即由于，所以，故.三、解答题17. 已知在中，角的对边分别为，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）; (Ⅱ).试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得：，则即，解得或，又，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．18. “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，及“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”等三种形式进行调查获得下表数据：用分层抽样的方法，从所有被调查的人中抽取一个容量为的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人，(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)在所抽取的“带头闯红灯”的人中，任选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有1人是女生的概率．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）由题意得：，解得．（Ⅱ）因为所有参与调查的人数为，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为，其中男生为人，女生为人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用表示，女生分别用表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为：，，，，，共有15个．这两人均是男生的基本事件为，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在正三棱柱中，，，点为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若点为上的点，且满足，三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为1：12，求实数的值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅱ）∵∴过作于，则平面，设，则解得所以此时为的中点，故．20. 已知函数，．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值．(Ⅱ)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由,得,令,得或.由此列表讨论能求出.(Ⅱ)由,得 .由已知得.由此利用构造法和导数性质能求出.(Ⅱ)由，得∵，∴，由于不能同时取等号，所以，即．∴恒成立．令，，则当时，，，从而所以函数在上为增函数，所以所以．点睛：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.常用的方法有两个：（1）直接讨论找函数的最值，一般难度较大；（2）变量分离：可以转化为恒成立，构造函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.21. 已知椭圆经过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设是椭圆上的点，直线与(为坐标原点)的斜率之积为．若动点满足，试探究是否存在两个定点，使得为定值?若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.（Ⅱ）设，，，则由得即，，因为点在椭圆上，所以，故设，分别为直线与的斜率，由题意知，，因此所以，所以点是椭圆上的点，所以由椭圆的定义知存在点，满足为定值又因为，所以坐标分别为、．请考生在22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；(2)设直线截圆的弦长为半径长的倍，求的值．【答案】（Ⅰ）圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为;（Ⅱ）或.试题解析：(1)圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为．（2）圆，直线，∵直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，∴圆心到直线的距离，解得或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的定义域为．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)若的最大值为，解关于的不等式：．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)先将已知条件转化为恒成立问题，再构造函数，利用绝对值不等式求出所构造的函数的最小值，然后求解的范围；(Ⅱ)先将的值代入原不等式中，再变形为，利用“”，可得其解集．。
2014届甘肃省兰州市高三第一次诊断考试数学(文、理)试题(含答案解析)扫描版
2014年高三诊断考试数学参考答案（理科）11.解析：抛物线的焦点为(,0)2F ，且2c =，所以2p c =.根据对称性可知公共弦AB x ⊥轴，且AB 的方程为2p x =，当2px =时，A y p =，所以(,)2p A p .所以1(,0)2p F -，即1,AF AF p ===，所以2p a -=，即1)22c a ⨯=，所以1c a == 12.解析：函数的导数为1'()e ax f x a b =-⋅，所以01'(0)e af a b b=-⋅=-，即在0x =处的切线斜率为a k b =-，又011(0)e f b b =-=-，所以切点为1(0,)b-，所以切线方程为1ay xb b +=-，即10ax by ++=，圆心到直线10ax by ++=的距离1d ==，即221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即102ab <≤.又222()21a b a b ab +=+-=，所以2()21112a b ab +=+≤+=，即a b +≤a b +二、填空题 13. 5 14. 2315. 8π16. 1∶2解析：由椭圆的定义可知，122PF PF a +=，又1223PF PF a -=，所以解得143PF a =，223PF a =。
因C ，所以在12PF F ∆中222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠==由于12(0,)PF F π∠∈，所以126PF F π∠=，由正弦定理得：122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠ 所以21sin 1PF F ∠=，即212PF F π∠=，所以点M 为1PF 的中点，所以||OM ∶2||F P =1∶2 三、解答题17. 解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ,，则有11(61)22(31)1a d a d +-=+-+，即11a d -=-∵11a = ∴2d =∴21n a n =- …………6分 (Ⅱ)由于144111(1)(1)(211)(211)(1)1n n n b a a n n n n n n +====-++-+++++∴1211111112231n n S b b b n n =+++=-+-++-+ 1111nn n =-=++ …………12分 18. 解：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥平面ABC∴AB PA ⊥在ABC ∆中AC AB ==BC =∴ AB AC ⊥而 PA AC A = ∴AB ⊥平面PAC 又DF ⊂平面PAC∴ AB ⊥DF …………6分(Ⅱ) 依题意有PAB PAC ∆≅∆，AC AB ⊥∵3PBA π∠=∴PB PC ==3PA =以A 为坐标原点，以AC 为x 轴、AB 为y 轴、AP 为z 轴建立空间直角坐标系 ，则(0,0,0)A、C、B 、(0,0,3)P∵PE ∶PB =PF ∶PC =1∶3∴3PB PE = 3PC PF =设000(,,)E x y z，则有00003333(3)x y z =⎧=-=-⎩解得：0000,2x y z ===即2)E ，同理解得2)F ，由已知(0,0,3)AP = 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的一个法向量，则有0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令x =，解得y =，12z =-∴1)2n =-∴1|cos ||cos ,|||5||||n AP n AP n AP θ⋅=<>==⋅…………12分 19. 解：（Ⅰ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能.1272(889292)33v =++=甲 …………3分 当 0a =时，1271[9091(900)]33v v =+++=<乙甲当 1a =时，1272[9091(901)]=33v v =+++=乙甲所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． …………6分 （Ⅱ）当2a =时，分别从甲、乙两观测点记录的数据中各随机抽取一天的观测值，所有可能的结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，则X 的所有取值为0,1,2,3,4.…………8分所以2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. 所以随机变量X 的分布列为：所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 20. 解： (Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =代入椭圆方程得2b y a=±∴221b a=,即22a b =又2c e a ==∴2a = 1b =∴椭圆方程为2214x y +=…………5分(Ⅱ) 由题意知，||1m ≥ 当1m =±时，易得：3||=AB当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-= 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有：2122814k m x x k +=+，221224414k m x x k -=+∵l 与圆221x y +=相切1=，即2221m k k =+∵212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2=2|233||||m m m m ==≤++当且仅当3±=m（||1m =>）时，||2AB =∴||AB 有最大值为2，此时3±=m……………12分21. 解：(Ⅰ)证明：当0a =时，()2x f x e x =-，()2xf x e '=-，设()0f x '=，解得ln 2x =当(,ln 2)x ∈-∞时，()0f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x '>∴当(,ln 2)x ∈-∞时，函数为减函数，当(ln 2,)x ∈+∞时，函数为增函数 ∴函数有极小值（最小值）(ln 2)2(1ln 2)f =- ∵ln 2ln 1e <=∴min 0y > ∴()0f x >恒成立……………6分(Ⅱ)当0a >时，()2x f x e ax '=--，()xf x e a ''=-，令()0f x ''=得ln x a =故当(,ln )x a ∈-∞时，函数()0f x ''<，当(ln ,)x a ∈+∞时，函数()0f x ''> ∴点(ln ,(ln ))a f a 为函数的唯一拐点∴函数()f x 在拐点处的切线斜率为(ln )ln 2(0)k f a a a a a '==--> 令()ln 2(0)g x x x x x =--> 则()1ln 1ln g x x x '=--=-∴(0,1)x ∈时()0g x '>，函数()g x 为增函数；(1,)x ∈+∞时()0g x '<，函数()g x 为减函数∴1x =时，max ()(1)1g x g ==- ，∴(ln )1f a '≤- ∴tan (ln )1f a α'=≤-∴函数在拐点处切线的倾斜角3(,]24ππα∈，而53(,]624πππ∉∴不存在实数a 使得函数在拐点处的切线的倾斜角为56π. ……………12分22. 解：(Ⅰ)证明：连接BE . ∵BC 为⊙O 的切线∴90ABC ∠=，CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠在CDE ∆与CBE ∆中，CBE CED ∠=∠，C C ∠=∠ ∴CDE ∆∽CBE ∆ ∴CE CDCB CE=∴2CE CD CB =⋅ …………5分(Ⅱ)依题意OC =∴1CE OC OE =-= 由(Ⅰ)得2CE CD CB =⋅∴21)2CD =∴3CD = …………10分23. 解：(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=∴24sin ρρθ= ∴224x y y +=∴曲线C 的标准方程是22(2)4x y +-=参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数） …………5分(Ⅱ)设(2cos ,22sin )Q θθ+，则|22cos ||4(22sin )|4)4πδθθθ=-+-+=-+所以[4δ∈-+ …………10分 24. 证明：（Ⅰ）664224422422()()a b a b a b a a b b a b +--=--- 224422222()()()()a b a b a b a b =--=-+∵a b ≠∴22222()()0a b a b -+>∴664224a b a b a b +>+ …………5分>⇔>0a b ⇔->(0a b ⇔->∵a b ≠∴a b -∴(0a b ->成立>…………10分。
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1 2011年高三诊断考试试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A B A D B B D C
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．20； 14．0.0228； 15．36； 16．②，④ 三、解答题（6小题，共70分） 17．解： 由正弦定理，
55sinsin22abAB „„„„„„„„„„3分
由 2sinsin2ABAB „„„„„„„„„„6分 那么， 5sinsin22sincos2BBBB
所以，5cos4B „„„„„„„„„„8分 23coscos22cos18ABB „„„„„„„„„10分
18．解：（Ⅰ）12()2nnnnaafaaQ
∴ 1111111122nnnnaaaa即 则1{}na成等差数列 „„„„„„„4分 所以11113121(1)(1)2424nnnnaa 2
则421nan „„„„„„„6分 （Ⅱ）144118()21232123nnaannnnQg „„„„„„„8分 ∴ 12231nnnSaaaaaaL 1111118()35572123nnL
1188()3233n
„„„„„„„12分
19．方法一： （Ⅰ）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形 所以AD∥EG且AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形 故AE∥DG 因为AE平面DCF，DG平面DCF 所以AE∥平面DCF „„„„„„„„„„6分 （Ⅱ）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH．由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF．
所以AHB为二面角AEFC的平面角． „„„„„„„„8分 在RtEFG△中，因为3EGAD，6FEG所以2EF， 60CFE，1FG．
又因为CEEF，所以4CF，
从而3BECG，于是33sin2BHBEBEH．
∴339tan322ABBHAHB， „„„„„„„„„„10分 在四棱锥FABCD中，93,,42ADABCF ∵CFBC ∴CF平面ABCD ∴1193463332FABCDVABADCF
D A
B E F
C
H G 3
即四棱锥FABCD的体积为63 „„„„„„„„„„12分 方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz． 设ABaBEbCFc，，，()bc 则(000)C，，，(30)Aa，，，(300)B，，，(30)Eb，，， (00)Fc，，．(0,0,)Da
（Ⅰ）证明：(0,,)AEbauuur，(3,0,0)CBuur，(0,,0)BEbuur， 所以0CBAEuuruuur，0CBBEuuruur，从而CBAE，CBBE， 所以CB平面ABE． 因为CB平面DCF， 所以平面ABE∥平面DCF． 故AE∥平面DCF． „„„„„„„„„„6分
（Ⅱ）解：因为(3,,0)EFcbuuur，(3,,0)CEbuur，(3,0,0)ADuuur
∵0EFCEuuuruur，EFuuur，ADuuur的夹角为6，从而23()033233()bcbcb 解得34bc，． 所以(330)E，，，(040)F，，． 设(1,,)nxyr为平面AEF的一个法向量， 则0nAEuuurr，0nEFuuurr 解得33(1,3,)nar． 又因为BA平面BEFC，(0,0,)BAauur，
D A
B E F
C
y
z
x 4 所以2||331|cos,|227||||4nBAnBAnBAaauurruurruurr， 解得：92a，即92AB 在四棱锥FABCD中，93,,42ADABCF ∵CFBC ∴CF平面ABCD ∴1193463332FABCDVABADCF
即四棱锥FABCD的体积为63 „„„„„„„„„„12分 20．解：（Ⅰ）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A
211)(27162411CCCCAP „„„„„„„„„„4分
（Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B 634)(27161211132212CCCCCCCBP „„„„„„„„„„8分
(Ⅲ)的可能取值为0，2，4，8 )0(P4237216151127162315
CC
CC；
)2(P2716111212CCCCC632； (4)P111123211267
463CCCCCC；
)8(P2716
2213
CCCC
421
； „„„„„„„„„„10分
的概率分布列为：
0 2 4 8
P 3742 263 463 142
633242186344632242370E „„„„„„„„12分 5
21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa ∴1b，∴所求椭圆方程为2213xy „„„„„„„5分 （Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy ①当ABx轴时，||3AB ②AB与x轴平行时，||3AB „„„„„„„7分 ③当AB与x轴相交而不垂直时 设直线AB的方程为ykxm（0k）
由已知2||321mk，得223(1)4mk 把ykxm代入椭圆方程整理得 222(31)6330kxkmxm
∴122631kmxxk，21223(1)31mxxk „„„„„„„9分 ∴222222223612(1)||(1)[](31)31kmmABkkk 2222212(1)(31)(31)kkmk
2422
2
121233196196kkkkk
1234236
当且仅当2219kk，即33k时等号成立 „„„„„„„11分 综上所述，max||2AB． ∴当||AB最大时，AOB面积取最大值 6
max133||222SAB „„„„„„„12分
22．解：（Ⅰ）当12a时， 22113()()()2ln()ln222Fxfxgxxxxxxxx(0)x
∴31()2Fxxx „„„„„„„„„2分 令()0Fx解得：122x，令()0Fx解得：12x或2x， ∵0x ∴02x时，()0Fx；2x时，()0Fx ∴()()()Fxfxgx在(0,2)上单调递增，在(2,)单调递减．„„„„4分 （Ⅱ）∵()()fxgx恒成立(0)x ∴22lnxxaxx(0)x恒成立 „„„„„„„5分 令22ln()xxhxxx(0)x，则 222
1(2)()(2ln)(21)()()xxxxxxhxxx
22(21)(1ln)()xxxxx 令()0hx解得12x或1x，由于0x，故1x „„„„„„„7分 当01x时，210x，1ln0xx， ∴()0hx
∴函数22ln()xxhxxx在(0,1)上单调递增 „„„„„„10分 当1x时，210x，1ln0xx， ∴()0hx 7
∴函数22ln()xxhxxx在(1,)上单调递减 „„„„„„„11分 ∴函数22ln()xxhxxx在1x时取得最大值22ln1(1)111h ∴1a „„„„„„„12分