《选修11：导数的应用：单调性与极值、最值》教案

④列表考察f′(x)的符号,进而确定ｆ(ｘ)的单调区间(必要时要进行分类讨论)、
题型二求函数的极值
求函数ｆ(x)的极值的步骤是:
①计算导数f′(x);②求出方程ｆ′(x)=0的根;
③列表考察f′(x)=0的根左右值的符号:假如左正右负,那么ｆ(ｘ)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值、
(1)求的值;
(2)求的单调区间。
２。设函数(为常数,是自然对数的底数)、
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围、
ﻬ
答案与解析
1.【答案】见解析。
【解析】(１)由而
(2)令,
当时,;当时,、
∴的单调增区间是;单调减区间是、
2.【答案】见解析、
【解析】(1)=
当时,,令,则,
(1)设是定义在区间上的函数,且在内可导,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行:
①求在内的极值;
②将在各极值点的极值与、比较,来确定函数的最大值与最小值。
（2）若函数在上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值、
注意:有时极大(小)值也是最大(小)值,有时不一定,需要具体问题具体分析。
【总结与反思】本题考查闭区间上的值域问题,依照求函数最值的方法,能够求出结果,属于容易题。
设,假如在处取得最小值,求的解析式。
【解析】依照题意,求导可得,又,在处取极值,则,且处取最小值-5,则,、
【总结与反思】本题是通过函数极值来确定函数的解析式,解题中必须明确极值点,极值与已知函数的关系,属于容易题。
当x〉时,ｆ′(ｘ)〈０;当0〈x＜时,f′(x)〉０;
当x＝时,ｆ(ｘ)＝＝, ＝＜1,不合题意、
∴ｆ(ｘ)mａｘ=f(1)= ＝,解得a=-1。
ﻬ
1、已知函数,若函数有两个极值点,则实数m的取值范围__。
2、若函数在上有两个零点,则实数的取值范围是__＿_＿_＿＿、
3。若函数在区间上单调递减,则实数的范围是＿＿＿__＿＿＿
2.【答案】
【解析】,令
列表:
1
＋
0
-
↗
↘
∴函数的最大值为
3.【答案】
【解析】函数定义域为,,故单调增区间是、
4.【答案】
【解析】,令解得,则的单调增区间是、
ﻬ
１、若函数在是增函数,则的取值范围是___。。。、、＿______、
２。当函数取到极值时,实数的值为、
３、已知函数在上不单调,则的取值范围是＿___＿＿＿__＿__、
1、已知函数当时,则函数的最小值为__＿_＿＿＿_、
2、函数(为自然对数的底数)的最大值是、
3、函数的单调递增区间为＿＿______、
4、函数的单调递增区间是＿＿_______＿_＿__＿、
ﻬ
答案与解析
1.【答案】
【解析】定义域为,,令
列表如下:
＋
0
-
↗
↘
∴在区间上单调减、
当时,函数单调减,∴函数的最小值为
【总结与反思】正确求解函数的导数,利用列表分析法清楚的写出函数的单调性以及极值情况。要注意的是一个函数的极大值或极小值不一定只有一个、
类型三利用导数研究函数的最值
求曲线在上的值域。
【解析】依照题意,求导,解得,该函数在上单增,在上单减,由函数的单调性,当,,２为函数的极大值;当,为函数的极小值;当,,因此曲线在闭区间上的值域为。
教学难点
用导数求函数单调区间的步骤;函数极值的求法
【知识导图】
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态、
导入的方法特不多,仅举两种方法:
1情境导入,比如讲一个与本讲内容有关的生活现象;
2温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生建立知识网络、
(2)因为f(—2)＝８+1２—１8＋ａ=２+a,f(2)=—8+12+１8+a=22+a,
因此f(2)>ｆ(—2)、因为在(—1,3)上ｆ′(x)〉0,因此f(x)在[—1,2］上单调递增,
又由于f(x)在［－2,－１］上单调递减,因此ｆ(２)与f(—1)分不是
f(x)在区间[－2,2］上的最大值与最小值、因此有22+a=２0,解得ａ=-２、
ｙ
＋
0
-
0
—
０
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
由表可知:又5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=２、
(２)当ａ〈0时,同理可得ａ=—３,ｂ＝－5,ｃ=2。
ﻬ
１、已知函数f(x)=4x3+ａｘ２+bx＋5的图像在x=１处的切线方程为y=－1２ｘ、
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(ｘ)在[-３,１］上的最值、
3.【答案】
【解析】由,得,由得,∴的减区间是、由得、
4。【答案】见解析
【解析】f′(x)=5ax4－３ｂｘ２=x2(５ax２—３b)、
由题意,f′(x)=0应有根x=±1,故５a=3ｂ,
因此ｆ′(x)=５ax2(x２－１)
(1)当a＞0时,
x
(—∞,—１)
－1
(-１,0)
０
(0,1)
1
(１,+∞)
∴当时,单调递减;当时,单调递增、
(2)由(1)知,时,函数在内单调递减,故在内不存在极值点,
时,令,则,因此
∵ ,。
,综上,的取值范围为、
ﻬ
本节讲了２个重要内容:
题型一利用导数求函数的单调区间
求函数f(ｘ)的单调区间的步骤是:
①确定ｆ(ｘ)的定义域(这一步必不可少,单调区间是定义域的子集);
②计算导数f′(ｘ);③求出方程f′(x)＝0的根;
２、已知函数f(x)=x3+ａx2+bｘ(a,b∈R)的图像过点Ｐ(１,2),且在点P处的切线斜率为８、
(1)求a,b的值;ﻩ(2)求函数f(x)的单调区间、
３、已知函数ｆ(x)=—x3＋3x２＋9x＋a、
(１)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值、
适用学科
高中数学
适用年级
高二
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
知识点
１、函数的单调性与极值;
2、函数中含参数的单调性与极值、
教学目标
１、能利用导数研究函数的单调性,会用导数法求函数的单调区间。
２、了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件、
３、会用导数求函数的极大值与极小值
教学重点
利用导数研究函数的单调性;函数极值的概念与求法
ﻬ
答案与解析
1.【答案】
【解析】,因为在上为增函数,即当时,、即,则,令,而在上为减函数,因此,故、
2.【答案】1
【解析】,令
列表:
1
－
0
＋
↘
↗
∴函数有极小值为、
3.【答案】或
【解析】,由得函数的两个极值点１,３,则只要这两个极值点在区间内,函数在区间上就不单调,由或,解得或、
ﻬ
１、已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行、
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特不重要的、通过研究函数的这些性质,我们能够对数量的变化规律有一个基本的了解、函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【总结与反思】本题考查函数的极值,完全依照求函数极值的思路来解就能够,属于简单题。
求函数的极值
【解析】y′＝x２－4=(x+2)(ｘ—2),令ｙ′=０,解得ｘ1＝—2,x2＝２、
列表分析如下:
x
(—∞,—2)
－２
(－２,2)
２
(2,＋∞)ｙ’＋ Nhomakorabea0
—
０
+
ｙ
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此当x=－２时,y有极大值;当x＝2时,y有极小值
答案与解析
1．【答案】见解析
【解析】(1)(x)=1２x2+２ax+b,(1)=1２＋2a＋b=—1２。ﻩﻩﻩﻩ①
又ｘ＝1,y=-１2在ｆ(x)的图像上,
∴4+a+ｂ＋５=－１2、ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ②
由①②得a=-3,ｂ=－18,
∴f(x)=4ｘ３—3x2—18x+5、
(2)(x)=1２x２－6ｘ—18＝０,得x＝—１, ,f(－1)=16,ｆ()=—,ｆ(—3)=-76,f(1)＝—1３、
∴f(ｘ)的最大值为１6,最小值为—7６、
2、【答案】见解析
【解析】(１)
(2),
令,得,列表分析如下
x
(—∞,—3)
－３
(—3,)
(,＋∞)
y'
+
０
—
０
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
３、【答案】见解析
【解析】(１)f′(x)＝－３x２+6x+9、令f′(x)<０,解得x＜-１或x＞3、
因此函数ｆ(x)的单调递减区间为(-∞,—１),(3,＋∞)、
１、函数ｆ(x)=ｘ３－３ａｘ2+２bｘ在x=1处取得极小值－１,则a+b＝_＿＿_＿＿
2、函数f(ｘ)=ｘ3+aｘ－2在区间［1,＋∞)上是增函数,则实数ａ的取值范围是＿______、