浙江诸暨中学2019届高三期中考试数学试题
2019年浙江省绍兴市诸暨浣纱中学高三数学文测试题含解析
2019年浙江省绍兴市诸暨浣纱中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=sin(ωx+)-1最小正周期为,则的图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}参考答案：C3. 设过点且斜率为1的直线与圆相切,则的值为A. B. C. D.参考答案：C略4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对数运算将变形为和，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.【详解】；又本题正确选项：【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.6. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）]=sin（2x）=﹣cos2x．令2x=，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得对称中点为（，0）．故选：D．7. 为正实数，的等差中项为A；的等差中项为；的等比中项为，则（）A． B． C． D．参考答案：B略8. 已知点（x1，y1）在函数y=sin2x图象上，点（x2，y2）在函数y=3的图象上，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：C【分析】要求（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值，只需（x1﹣x2）2的值最小，（y1﹣y2）2的值最小即可．【解答】解：由点（x2，y2）在函数y=3的图象上，可知：无论x2的值是多少，y2=3．要使（x1﹣x2）2最小，只需x1=x2，（y1﹣y2）2的值最小，只求函数y=sin2x到直线y=3的距离最短，即函数y=sin2x的最大值到直线y=3的距离最短．∴y1﹣y2的最小值为2．那么：（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为4．故选C9. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于( )．A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}参考答案：D10. 函数的图象大致是A. B. C. D.参考答案：C由题意，，排除A；，，，排除B；增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （不等式选做题）不等式的解集是．参考答案：略12. 已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，则公比q=．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，且S4=16，S8=17，∴=1+q4=，解得q=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13. 某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．参考答案：;.【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．14. 已知非零向量满足|+|=|﹣|=3||，则cos＜，﹣＞= ．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=3||，∴|+|2=|﹣|2=9||2，∴=0，||2=8||2，即||=2||，∴（﹣）=﹣（）2=﹣8||2，∴cos＜，﹣＞=﹣=﹣，故答案为：﹣．15. 在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l 上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，∴圆C与圆D相切，∴|CD|=1或CD=3，∵|CD|=，∴解得a=0或a=．∴圆心C的非零横坐标是．故答案为：．16. （极坐标与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线：(t为参数)与曲线：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.参考答案：17. 已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，可得x+3y=1．===≥=．当且仅当x=，x+3y=1，即y==，x==时取等号．的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江诸暨中学2019-2020年下学期高一数学期中试题(含答案)
诸暨中学2019学年新高一期中考试数学试卷2020.5一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)1、 下列4个关系中，正确的是 ( ) A .R ∉2 B . *∈N 0 C . Z ∈5.0 D . Q ∈-12、 已知全集{}3-≥=x x S ，集合{}3>=x x A ，则=A C S ( ) A . {}3≤x x B . {}3<x x C . {}33≤≤-x x D . {}33<≤-x x 3、R x ∈，则 “21<<x ”是“12<-x ”的 ( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4、 已知()()R x x f ∈=π，则 ()=2πf( )A . 2π B .π C . π D . 不确定5、 若10<<a ，则关于x 的不等式0112<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x a a x 的解为 ( ) A . a x a 1<< B . a x a <<1 C . a x a x 1><或 D . a x ax ><或16、 下面四个条件中，使b a >成立的必要不充分条件是 ( )A . b a >-1B . b a >+1C . b a >D . 33b a >7、 已知2,1>>n m 且4=+n m ，则2411-+-n m 的最小值为 ( ） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 8、 已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-321x x ，则不等式 02<++a bx cx 的解集为 ( ）A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213x x x 或C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312x x D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312x x x 或9、 若集合A 具有以下性质：()A ∈01，A ∈1；()2若A y A x ∈∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.下列命题正确的个数是 ( ) ①集合{}1,0,1-=B 是“好集”； ②有理数Q 是“好集”； ③设集合A 是“好集”，若A x ∈，A y ∈，则A y x ∈+ A . 0 B . 1 C . 2 D . 310、 已知实数c b a ,,满足0≠a ，c b a ≥≥，0=++c b a ，则()c bx ax x f ++=2 被x 轴所截得的弦长的取值范围为 （ ）A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,49 C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,26D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 二、填空题(共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分)11、已知集合{}2,x x A =，若A ∈1，则=x ________；集合A 的真子集有________个.12、 已知函数()112+=x x f ，则()x f 的值域为________，()1+x f 的定义域为________. 13、命题“所有菱形的对角线相等”是__________命题（填“真”或“假”）；并写出此 命题的否定： .14、m x x R x ≤--+∈∃3212,，则实数m 的取值范围为_______________. 15、已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的值域为[)+∞,0，若关于x 的不等式()c x f <的解集为()6,+m m ，则实数=c ___________.16、 函数{}{}3,2,13,2,1:→f 满足()x f x +为偶数，则这样的函数有__________个. 17、 已知R d c b a ∈,,,,()()()22222bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时取等号.利用此结论可得函数x x y 3322++-=的最大值为____________.三、解答题(共4大题，共46分)18. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02652x x x xA ，{}12+<<=m x m xB ，全集R U = （1）若1=m ，求()()BC A C R R ⋃; （2）若B B A =⋂，求实数m 的取值范围.19、（1）已知()n mx x f -=2，()114-≤≤-f ，()521≤≤-f ，求()3f 的取值范围.（2）已知正数b a ,满足111=+b a ，求141-+-b b a a 的最小值，并求出取到最小值 时b a ,的值.20、设()422+-=ax ax x f ，R a ∈（1）若R x ∈∀，()0>x f ，求实数a 的取值范围； （2）当1<a 时，解关于x 的不等式()x x f 2<.21、已知函数()()m x m x x f ++-+-=2232，R m ∈（1）若()x f 在[]1,1-∈x 上的最小值为()1f ，求实数m 的取值范围； （2）求()x f 在[]m ,0上的最大值()m h ； （3）若210≤<m ，记()x f 在[]1,1-上的最大值为()m g ，求()m g 的最小值.诸暨中学2019学年新高一期中考试数学参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DCABABBCCD二、填空题18、 -1 3 19、 (]1,0 R20、 假 存在菱形对角线不相等 21、 4-≥m 22、 9 23、 4 24、 1011、 解答题22、（1）{}621≤<-≤=x x x A 或，()3,1=B ()()()(][)+∞⋃∞-=⋂=⋃,32,B A C B C A C R R R20、由已知的A B ⊆若 φ=B ,则12+≥m m ，即1-≤m若 φ≠B ,则⎩⎨⎧-≤++<11212m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-<612212m m m m ，得无解或252≤≤m 综上： 2521≤≤-≤m m 或19、（1）()()()()()[]20,12381354383593-∈+-=-+--=-=f f n m n m n m f()()91415141,1,1112≥-+-+=-+--==+b b b b a a b b a b a 则得由当且仅当23,3==a b 时取等号。
浙江省诸暨中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(平行班)【含答案】
浙江省诸暨中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（平行班）1、选择题(每小题5分,共50分)1、已知,下列不等式成立的是 ( )0<<b a A ． B ． C ． D ． 22b a <ab a <233b a <b a 11<2、下列各函数中，最小值为的是 ( )2A B ，1y x x =+x x y sin 4sin +=(0,2x π∈C Dy =x x y 1+=3、等差数列中，已知，则为 ( ){}n a 33,314,31531==+=n a a a a n A ．48 B ．49 C ．50 D ． 514、数列的前2020项的和为 ( )(){}n n ⋅-12020S A ．1010 B ． C ． D ． 20171010-2017-5、已知函数的最小值为 （ ）42-+-=x x y A ．6 B ． C ． D ．22-6-6、若不等式的解集为R ，则a 的取值范围是 ( )2(2)2(2)40a x a x -+--<A. B. C. D. 2a ≤22a -<≤22a -<<2a <7、关于的不等式的解集为 ( )x ()()()1011><--a x ax A. B. C. D.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,1()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11, a ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,11,a 8、坐标满足,且,则的最小值为 ( ) ()1,1-1=-ny mx 0,0>>n m nm 41+ A.9 B.6 C.8 D.249、数列中,,且,则为 ( ){}n a 2,121==a a n n n a a a -=++12()*∈N n 2020a A. 2 B.1 C. D.1-2-10、为数列的前n 项和，,对任意大于2的正整数n S }{n a 17,10,5,24321====a a a a ,有恒成立,则使得n 033211=+-+---+m S S S S n n n n成立的正整数的最小值为 ( )422521212121132≥-+-+⋅⋅⋅+-+--k k a a a a k A.7 B.6 C.5 D.4二、填空题(每小题4分,共28分)11、已知数列的，前项和为，且，则的通项为 ．{}n a n n S 132-+=n n S n n a 12、已知等差数列的前项和为，若则 ．{}n αn n S 5418a a -==8S 13、已知等比数列前项和为,若,则 ．n n S 63,763==S S =9S 14、已知数列满足,则数列的通项为 ．{}n a 23,211+==+n n a a a {}n a 15、不等式的解集为 ．()()0612<-+-x x x 16、不等式解集是 ．431≥-+-x x 17、等差数列的前项和为,且,若,则 {}n a n n S 14131413,0,0a a a a ><>01<+k k S S =k ．三、解答题(共72分)18、若不等式的解集为042≤+-bx ax {}21≤≤x x (1)求值b a ,(2)求不等式的解集.111<-+ax bx19、为等差数列的前n 项和，且,已知．n S }{n a 0>d 15,544132-=+=a a a a (1)求的通项公式和的最小值;{}n a n S (2)设 ,求数列的前n 项和．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=9,99,923n n n S b n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b n T 20、已知函数()233-+=x x x f (1)当时,求函数的最小值;2>x ()x f (2)若存在,使得成立,求取值范围.()+∞∈,2x ()tt x f 24-≤t21、正项等比数列中，，且是和的等差中项.}{n a 11=a 621a 5a 42a (1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和.⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n n T (3)设,求的最小项．n a b n n 8-=n b 22、已知数列的前n 项和为,,,且,,}{n a n S 01>a *++∈+-=N n a S n n n ,122111a 5成等比．2a (1)求值; (2)证明:为等比数列,并求;1a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a n a (3)设,若对任意,不等式恒成立.()n n n a b 2log 3+=*∈N n ()()01212<+-+-n n b b λλ试求取值范围．λ 诸暨中学2019学年高一期中考试(平行班)数学参考答案2、选择题(每小题5分,共50分)CDCAD BCACB二、填空题(每小题4分,共28分)11、()()⎩⎨⎧≥+==22213n n n a n 12、7213、51114、13-=nn a 15、()()2,13, -∞-16、(][)+∞∞-,40, 17、26三、解答题(共72分)18、(1)6,2==b a (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2119、(1),的最小值为153-=n a n n S 3054-==S S (2),,()n n S n -=923n b n =1+=n n T n 20、(3)()()122min ==f x f (4)2≥t 21、(1)12-=n n a (2)1224-+-=n n n T (3)最小项为2454-==b b22、(1) (2)首项为,11=a 23n n n a 23-=(3)对恒成立,()()0121,2<+-+-=n n n b n λλ*∈N n ()()[]0111<+-+n n λ,,所以()011<+-n λ11+>n λ2>λ。
【水印已去除】2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学平行班高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学平行班高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．2．（4分）在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A．40B．42C．43D．453．（4分）已知正三角形ABC的边长为2，设，则（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形5．（4分）已知||＝1，||＝6，•（﹣）＝2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m7．（4分）若，则的值是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，，则＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．510．（4分）平面向量，满足，，则与夹角的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，题每题4分，共28分．11．（4分）已知向量若，则m ＝．12．（4分）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝．13．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，，则a3＝．14．（4分）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x+y ＝．15．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，＝3，则△ABC的面积为．16．（4分）数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2019等于．17．（4分）△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC＝．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若f（α）＝1，且（0＜α＜π），求cosα的值．19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π（1）若|+|＝，求与的夹角；（2）若⊥，求tanα的值．20．已知数列{a n}的前n项和为．（Ⅰ）当λ＝2时，求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）当λ＝0时，令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求边c的长．（Ⅲ）若c＝2，求a+2b的最大值．22．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足：a2•a3＝45，a1+a4＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列{b n}．若{b n}也是等差数列，求非零常数c；（Ⅲ）求（n∈N*）的最大值．2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学平行班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°＝．故选：D．2．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，得d＝3，a5＝14，∴a4+a5+a6＝3a5＝42．故选：B．3．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，，取AB中点D，设＝，∴AD＝BD＝BE＝1，∠EBC＝120°，∴||＝＝，故A错误；，的夹角为120°，故B错误；＝＝4×1×2×cos120°+4＝0，∴4（）⊥，故C正确；＝1×2×cos120°＝﹣1，故D错误．故选：C．4．【解答】解：由正弦定理得：＝＝2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴变形为：＝，化简得：2sin B cos B＝2sin A cos A，即sin2B＝sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．5．【解答】解：∵＝＝2．又，∴＝3．即cos＜a，b＞＝3＝1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞＝，∴a与b的夹角为，故选：C．6．【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．7．【解答】解：设θ＝﹣α，则α＝﹣θ，且sinθ＝，则＝cos[2（﹣θ）﹣]＝cos（﹣2θ）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×＝，故选：A．8．【解答】解：＝故选：D．9．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：＝＝＝＝＝＝7+，验证知，当n＝1，2，3，5，11时为整数．故选：D．10．【解答】解：∵；∴＝；∴；∴＝；∴＝；∵；∴；∴与夹角的最大值为．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，题每题4分，共28分．11．【解答】解：∵，∴，又，∴1×2+1×（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于E，F为三等分点，所以AE＝EF＝BF＝，又△ACE≌△BCF，在△ACE中有余弦定理得：CE2＝AC2+AE2﹣2AC•AE cos45°⇒＝CF，在△CEF中，利用余弦定理得：＝，在△ECF中利用同角间的三角函数关系可知：．故答案为：13．【解答】解：数列{a n}中，a1＝1，，则：当n＝1时，，当n＝2时，．故答案为：14．【解答】解：∵，∴又∵AC⊥AB∴设|AB|＝1，则|DE|＝|BC|＝又∵∠BED＝60°∴显然，BD与AB的夹角是45°∴∴同理，，两边同时乘以，由数量积可得，∴15．【解答】解：由cos＝，得到＝AB•AC cos A＝AB•AC（2﹣1）＝AB •AC＝3，所以AB•AC＝5，由A∈（0，π）得到∈（0，），cos＝，所以sin＝＝，则sin A＝2sin cos＝，则△ABC的面积S＝AB•AC sin A＝×5×＝2．故答案为：216．【解答】解：数列{a n}的通项公式，则：当n＝1时，，当n＝2时，a2＝2•cosπ＝﹣2，当n＝3时，，当n＝4时，a4＝4•cos2π＝4，…a1+a2+a3+a4＝2，a5+a6+a7+a8＝2，…，S2019＝S2020﹣a2020，＝505×2﹣2020＝﹣1010故答案为：﹣1010．17．【解答】解：如图设AC＝b，AB＝c，CM＝MB＝，∠MAC＝β，在△ABM中，由正弦定理可得＝，代入数据可得＝，解得sin∠AMB＝，故cosβ＝cos（﹣∠AMC）＝sin∠AMC＝sin（π﹣∠AMB）＝sin∠AMB＝，而在RT△ACM中，cosβ＝＝，故可得＝，化简可得a4﹣4a2b2+4b4＝（a2﹣2b2）2＝0，解之可得a＝b，再由勾股定理可得a2+b2＝c2，联立可得c＝，故在RT△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＝，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠BBM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠B cos（α+∠B）＝sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα＝，若，则cos∠BAM＝，tan∠BAM＝，解得tan∠B＝，cos B＝易得sin∠BAC＝．另解：作MD⊥AB交于D，设MD＝1，AM＝3，AD＝2，DB＝x，BM＝CM＝，用△DMB和△CAB相似解得x＝，则cos B＝，易得sin∠BAC＝．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【解答】解：（Ⅰ）＝sin+cos+sin（+）＝++＝（Ⅱ）f（x）＝sin x+cos x+sin（x+）＝sin x+cos x+sin x+cos x＝sin x+cos x，＝3（sin x+cos x）＝3sin（x+）若f（α）＝1，则3sin（α+）＝1，即sin（α+）＝，∵0＜α＜π，∴＜α+＜，∵sin（α+）＝∈（0，），∴0＜α+＜（舍）或＜α+＜π，则cos（α+）＝﹣＝﹣，则cosα＝cos（α+﹣）＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣×+＝．19．【解答】解：（1）∵＝（2+cosα，sinα），||＝∴（2+cosα）2+sin2a＝7，∴cosα＝又α∈（0，π），∴α＝，即∠AOC＝又∠AOB＝，∴OB与OC的夹角为；（2）＝（cosα﹣2，sinα），＝（cosα，sinα﹣2），∵AC⊥BC，∴＝0，cosα+sinα＝①∴（cosα+sinα）2＝，∴2sinαcosα＝﹣∵α∈（0，π），∴α∈（，π），又由（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝，cosα﹣sinα＜0，∴cosα﹣sinα＝﹣②由①、②得cosα＝，sinα＝，从而tanα＝﹣．20．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为①．当λ＝2，n＝1时，，当n≥2时，②，①﹣②得：，（首相不符合通项），所以：（Ⅱ）当λ＝0时，①，当n≥2时，②，①﹣②得：，所以：令b n＝＝，＝，所以：，则：21．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得：a（c•﹣b）＝c2﹣b2，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴可得：cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝；（Ⅱ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴2sin C＝sin A+sin B，由正弦定理可得：2c＝a+b，①又∵，可得：＝ab cos C＝ab＝2，可得：ab＝4，②∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝4c2﹣12，∴解得：c＝2．（Ⅲ）∵C＝，c＝2，∴由正弦定理可得：＝＝．∴a＝sin A，b＝sin B，∴a+2b＝sin A+2×sin B＝sin A+2×sin（﹣A）＝（2sin A+cos A）＝sin（A+θ），∵A∈（0，），θ＝arctan．∴sin（A+θ）≤1，∴a+2b的最大值为．22．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是等差数列，∴a2+a3＝a1+a4＝14．又a2a3＝45，∴，或．（2分）∵公差d＞0，∴a2＝5，a3＝9．∴d＝a3﹣a2＝4，a1＝a2﹣d＝1．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝4n﹣3．（4分）（Ⅱ）∵，∴．（6分）∵数列{b n}是等差数列，∴2b n+1＝b n+b n+2．∴．去分母，比较系数，得．（9分）∴．（10分）（Ⅲ）＝≤．（12分）当且仅当，即n＝5时，f（n）取得最大值．（14分）。
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一(实验班)下学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1. 在平面直角坐标系中,3则此直线的倾斜角等于（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【详解】设此直线的倾斜角为θ,θ∈[0°,180°）, ∵tanθ3=∴θ＝60°. 故选：B.【点睛】本题考查了直线的倾斜角、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2. 已知直线()12:20:240l x ay l ax a y ++=+++=，，若12//l l ，则实数a 的值是（ ） A. 2或1- B. 2-或1C. 2D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】：两直线平行，斜率相等，可求参数a【详解】：两直线平行，斜率相等可知20a a a ⨯--=，解得21a =-，，当2a =时，2:20l x +=不满足题意舍去．故选D【点睛】：直线方程一般式平行的充要条件：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，，若12//l l ,等价于1221A B A B =．所解的值要进行验证．3. 已知直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，且点A ∈直线m ，点A ∈平面α，则直线m ，n 的位置关系不可能是（ ） A. 垂直 B. 相交C. 异面D. 平行【答案】D 【解析】【分析】推导出直线n ⊂平面α，m ∩α＝A ，从而直线m ，n 的位置关系不可能是平行直线． 【详解】解：∵直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，且点A ∈直线m ，点A ∈平面α， ∴m ∩α＝A ，∴直线m ，n 的位置关系不可能是平行直线． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．4. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A. 22+ B.12C.22+ D. 12+【答案】A 【解析】 【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.5. 已知,a b 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则a b ⊥B. 若,,,a b αβαβ⊂⊂不平行，则,a b 为异面直线C. 若,a b b α⊥⊥，则//a αD. 若//,,//a b αβαβ⊥，则a b ⊥ 【答案】D 【解析】分析：由题意结合所给的条件和立体几何的相关判断定理、性质定理逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则,a b 有可能垂直，也有可能平行， 也可能异面但不垂直，也可能相交不垂直，故A 错误，B 也错误； 若,a b b α⊥⊥，则a 有可能在α内，故C 错；由//,//a ααβ可得//a β或a 在β内，又,b β⊥所以a b ⊥，故D 正确. 本题选择D 选项.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 6. 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA==，则异面直线1BA 与1AC所成的角等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．7. 已知,,,m n a b R ∈，且满足346,341m n a b +=+=的最小值为 （ ）C. 1D.12【答案】C 【解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，显然最小值即两平行线间的距离：d 1==.故选C 8. 已知圆:()2()21(0)C x a y a a -+-=>与直线2y x =相交于P Q、两点，则当CPQ∆的面积为12时，实数a 的值为（ ） A.52B. 102C. 54D.104【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，圆:()2()21(0)C x a y a a -+-=>的圆心(,)C a a ，半径为1r =，所以圆心到直线2y x=的距离为5d a=，所以弦长为||2222125PQrda=-=-，所以CPQ∆的面积为|122125SPQ da=⋅=⨯-⨯，解得102a =，故选B ．考点：圆的弦长公式的应用及三角形的面积计算．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的弦长、弦长公式的应用及三角形的面积的计算，属于基础性试题，同时着重考查了学生的运算能力和分析、解答问题的能力，本题的解答中由圆的方程确定圆心(,)C a a ，半径为1r =，得到圆心到直线的距离5d a=，可得弦长||2125PQa=-，可得三角形的面积12||12S PQ d =⋅=，可求解a 的值．9. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）A. 2B. 3C. 3D. 22【答案】B 【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且23AC =，故选B ．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．10. 在三棱锥A ﹣BCD 中，BCD 3的等边三角形，3BAC π∠=，二面角A ﹣BC ﹣D的大小为θ，且13cos θ=，则三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为（ ） A.364 6 C.32D.36【答案】B 【解析】 【分析】设AB ＝x ，AC ＝y ，由余弦定理及基本不等式求出xy 的最大值为3，过A 作AO ⊥平面BCD ，∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，求出AO 的最大值，进而求出三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值． 【详解】解：设AB ＝x ，AC ＝y ，3BAC π∠=，由余弦定理得：BC 2＝x 2+y 2﹣2xycos 3π=x 2+y 2﹣xy ≥xy ，当且仅当x ＝y 3=又BC 3=xy ≤3，过A 作AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，则AO BC ⊥，作AE ⊥BC ，连接OE ，AO AE A ⋂=，BC ⊥平面AEO ，OE ⊂平面AEO ，则BC OE ⊥， ∴∠AEO 为二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角，大小为θ， 又11223BC AE xysin π⋅=，所以AE 12xy =， 所以AO ＝AEsinθ21121()223xy xy =-=≤由1136333A BCD BCDV S AO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤， 故选：B ．【点评】本题考查了二面角的应用，还考查了余弦定理，基本不等式，体积公式等，中档题． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共34分 11. 若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】22(1)1y x +-= 【解析】【详解】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为：22(1)1y x +-=，故答案为22(1)1y x +-=. 考点：圆的标准方程.12. 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (03为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________.【答案】(3 【解析】 【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可. 【详解】如图示：当直线l 过点B 时设直线l 斜率为1k ， 则130301k ==- 当直线l 过点A 时设直线l 斜率为2k ， 则210121k -==-， ∴要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 斜率的取值范围是(3 故答案为：(3]∪[1，＋∞).【点睛】本题考查了两点求直线的斜率，考查了数形结合的思想，属于基础题.13. 已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B两点，则直线AB 所在直线方程为_______________；线段AB 的长度为____________． 【答案】 (1). 240x y -+= (2). 5【解析】分析：将两圆的方程作差可得两圆公共弦的直线方程，利用几何法，首先求得圆心到弦的距离，然后利用弦长公式可得弦，即线段AB 的长度.详解：由两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，圆的方程作差可得两圆1C ，2C 公共弦AB 所在直线方程为240x y -+=， ∴圆1C 的标准方程为：()()221550x y -++=， 则圆心()1,5-到公共弦的距离为1104355d ++==.∴弦长222(52)(35)25=⨯-=.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 14. 过点(1,2)M 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________. 【答案】x+y=3或y=2x 【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ， 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0． 综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0 考点：直线方程15. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,2）,B （﹣2,0）,C （1,0）,分别以AB ,AC 为边向外作正方形ABEF 与ACGH ,则点H 的坐标为_____,直线FH 的一般式方程为_____.【答案】 (1). ()2,3 (2). 4140x y +-= 【解析】 【分析】分别过H 、F 作y 轴的垂线,垂足分别为M 、N .根据正方形的性质证出Rt △AHM ≌Rt △CAO ,利用对应边相等及A 、C 两点的坐标,算出H ()2,3,同理得到F （﹣2,4）.由此算出直线FH 的斜率,利用直线方程的点斜式列式,化简即可得到直线FH 的一般式方程. 【详解】解：分别过H 、F 作y 轴垂线,垂足分别为M 、N , ∵四边形ACGH 为正方形,∴Rt △AHM ≌Rt △CAO ,可得AM ＝OC ,MH ＝OA , ∵A （0,2）,C （1,0）,∴MH ＝OA ＝2,AM ＝OC ＝1,可得OM ＝OA +AM ＝3, 由此可得H 坐标为()2,3,同理得到F （﹣2,4）,∴直线FH 的斜率为k 431224-==---,可得直线FH 的方程为y ﹣314=-（x ﹣2）,化简得4140x y +-=.故答案为：()2,3；4140x y +-=【点睛】主要考查了直线的一般式方程与直线的性质,需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识,属于中档题. 16. 设M ()22{|20}x y y a x a ==->，，，N ()()(222{|130}x y x y a a =-+-=>，，，则MN ≠∅时，实数a 的最大值是_____，最小值是_____．【答案】 (1). 222 (2). 222 【解析】 【分析】先根据方程得到半圆和圆的圆心和半径，再由题得到半圆和圆相交或相切，得到2||2a a OA a a -≤≤+,222a a a a -≤≤+即得解.【详解】解：2222+2(0)y a x y a y =∴=≥，它表示以原点O 2a 为半径的上半圆.()(22213x y a -+-=，它表示以点A 3)为圆心，以a 为半径的圆. ∵MN ≠∅时，∴半圆与圆相交或相切， 所以2||2a a OA a a -≤≤+，(当半圆与圆内切时2||a a OA -=，当半圆与圆外切时，||2OA a a =+.)所以2221+32a a a a -≤≤+，所以222a a a a -≤≤+，∴实数a 的最大值是222+，a 的最小值是222-． 故答案为：222+；222-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查两圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D （包括边界）上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围为_____．【答案】[1133，． 【解析】 【分析】作出平面MNQB 1∥平面DEF ，推导出P 的轨迹是线段QN ，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值，P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值，由此能求出tan ∠ABP 的取值范围．【详解】解：如下图所示,1AA 上取一点Q ，使得12AQ AQ =, 在11D C 上取中点M ,连1B M ，与11A D 交于G ， 则111B C M GD M ≅△△，所以11111GD B C A D ==， 即1D 为1A G 中点，连QG 交1DD 于N ，因为11//D N AQ ，所以1D N 为1AQG △中位线，1112D N AQ = 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点， 则11,B MDE B M ⊄面,DEF DE ⊂面DEF ，1B M∴面DEF ，1//QB DF ，同理可证1QB 面DEF ，又111QB B M B =，∴平面MNQB 1//平面DEF ，∵PB 1∥平面DEF ，∴P 的轨迹是线段QN ， 设正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，P 在Q 处，tan ∠ABP 取最小值tan 13ABP ∠=， P 在N 处，tan ∠ABP 取最大值tan ∠ABP 4913+==． ∴tan ∠ABP 的取值范围为[11333，]． 故答案为：[1133，]．【点睛】本题考查角的正切值的取值范围的求法，考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共76分18. 如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：（1）该几何体的体积． （2）截面ABC 的面积． 【答案】（1）6（26． 【解析】 【分析】（1）以同样大的几何体进行补形，得一直三棱柱，计算直三棱柱的体积，可求出该几何体的体积；（2）求出△ABC 的各边长，判断△ABC 为等腰三角形，再计算截面△ABC 的面积． 【详解】（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A 1B 1C 1，高为4+2＝6，∴所求几何体的体积为V 111111222A B C S h =⨯=⨯⨯2×2×6＝6； （2）△ABC 中，AB 22215=+BC 22215=+=AC 2222=+=2，∴△ABC 为等腰三角形，底边AC 的高为：h ()()22523=-=∴截面ABC 的面积为S △ABC 12=⨯236= 【点睛】本题考查了求几何体的体积与截面面积的应用问题，其中合理补形是解题的关键，属于中档题．19. 已知直线120()l kx y k k R -++=∈： （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）见解析（2）最小值为4，直线l 的方程为24=0x y -+【解析】 【分析】（1）直线l 过定点，说明定点的坐标与参数k 无关，故让k 的系数为0 和1可得定点坐标． （2）求出,A B 的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k 值，从而得到直线方程． 【详解】（1）证明：由已知得(2)(1)0k x y ++-=，无论k 取何值，∴=0k 时，1y = ，=1k 时，2110x ++-=，2x =-∴ 直线过定点(21)-，．（2）令=0y 得A 点坐标为120k-（-，）令=0x 得B 点坐标为0210k k +>(，)() ∴11==22111221221=222AOBSk k k k k k-++++⨯⨯+-()() 122242k k≥⨯+= 当且仅当122k k=，即12k =时取等号．即AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为11102x y -++=．即24=0x y -+． 【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．20. 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2．（1）求证：CE ∥面ABF ；（2）求直线DE 与平面BDF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）3． 【解析】 【分析】（1）取AF 中点记为G ，连EG ，证明EGBC 为平行四边形，得到CE ∥BG ，再用线面平行的判定定理证明即可.（2））根据四边形ABCD 为矩形，得到BA AD ⊥ ，由平面ABCD ⊥平面ADEF ，得到BA ⊥平面ABCD ，且 1AB =，设点E 到平面BDF 的距离为h ，由V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，求出3h =，然后由θ=hsin DE求解． 【详解】（1）如图所示：取AF 中点记为G ，连EG ， ∵//EG AD ，且EG AD =， 又//BC AD ，且BC AD =， 所以//EG BC ，且EG BC =， ∴EGBC 为平行四边形， ∴CE ∥BG ，又∵CE ⊄面ABF ，BG ⊂面ABF ， ∴CE ∥面ABF ；（2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BA AD ⊥ ，又因为平面ABCD ⊥平面ADEF ， 所以BA ⊥平面ABCD ， 1AB =， 设点E 到平面BDF 的距离为h ， 因为V B ﹣DEF ＝V E ﹣BDF ，所以1133DEFBDFSBA S h ⋅⋅=⋅⋅，因为AF ∥DE ，AF ⊥EF ，AF ＝AD ＝2AB ＝2DE ＝2． 所以()223EF AD AF DE =--=，所以1131322=⨯=⨯⨯=DEFSDE EF ， 又因为52BD BF DF ===，，所以S △BDF ＝22111222222DF BF DF ⎛⎫⨯-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得3h =， 设直线DE 与平面BDF 所成角为θ， 所以34h sin DE θ==． 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题． 21. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(Ⅰ)若圆C 与直线1y x =-相交于M ，N 两点，且2MN =C 的横坐标a 的值；(Ⅱ)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程． 【答案】(Ⅰ) 4a =或2;(Ⅱ) 切线为：0y =或334y x =-+. 【解析】分析：（Ⅰ）设圆心(),24C a a -，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a 的方程，解方程可得4a =或2.（Ⅱ）由题意可得圆心为C (3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率0k =或34k =-．则所求切线为：0y =或334y x =-+． 详解：（Ⅰ）设圆心(),24C a a -， 圆心C 到直线1y x =-的距离2d ==， 得：4a =或2.（Ⅱ）联立：124y x y x =-⎧⎨=-⎩，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3y kx =+，1d r ===,得：0k =或34k =-．故所求切线为：0y =或334y x =-+． 点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 22.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD-中，侧棱PD ⊥底面ABCD，且PDCD=，过棱PC 的中点E，作EF PB⊥交PB 于点F ，连接,,,.DED FBDBE⊥平面．试判断四面体（Ⅰ）证明：PB DEFD BE F是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】【详解】【分析】（解法1）（Ⅰ）因为PD⊥底面A B C D，⊥，所以PD BC由底面ABCD为长方形，有⋂=，⊥，而PD CD DB C C D⊂平面，所以所以．而DE PCD⊥．B C D E=，点E是PC的中点，所以又因为PD CD⊥．D E P C⋂=，所以D E⊥平面而PC BC CPBC．而P B P B C ⊂平面，所以PB DE⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E⋂=，所以PB ⊥平面 D E F．由DE ⊥平面P B C，PB ⊥平面D E F，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBD E F ∠∠，，EFB DFB∠∠，．（Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长 B C与FE 交于点G，则DG 是平面 DE F与平面ABCD的交线．由（Ⅰ）知，PB DEF⊥平面，所以PB DG⊥．又因为PD ⊥底面 A B CD，所以PD DG ⊥．而PDP BP⋂=，所以DG PBD⊥平面．故BDF ∠是面D E F与面ABCD所成二面角的平面角，设1PD DC ==，B C λ=，有12BD λ=+，在Rt△PDB 中, 由DF PB⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则tanπ3tan 123DPF BD PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以122.DC BC λ== 故当面DEF与面AB C D所成二面角的大小为π3时，22DCBC=． （解法2） （Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,D ADCDP分别为,,x y z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，B Cλ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ→=-，点E 是PC的中点，所以(0,12,12)E ，(,12,12)DE→=， 于是PBDE →⋅→=，即PB DE⊥．又已知EF PB ⊥，而DEEFE⋂=，所以PB DEF⊥平面．因(0,1,1)PC →=-,DEPC →⋅→=,则DE PC ⊥, 所以．由DE ⊥平面P B C，PB ⊥平面DE F，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，∠∠D E B D E F，．EFB DFB∠∠⊥平面，所以（Ⅱ）由PD ABCDDP→=是平面(0,0,1)A B C D 的一个法向量；⊥平面，所以由（Ⅰ）知，PB DEF→=--是平面BPλ(,1,1)D E F 的一个法向量．若面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3，则→⋅→→|| BP DP，λ=．所以解得2D C B Cλ==122.故当面DEF与面A B C D所成二面角的大小为π3时，DC BC=22．考点：四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角．。
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2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一（上）期中数学试卷一、选择题：1．把一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是（）A．120°B．﹣120°C．240°D．﹣240°2．设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|﹣|＝（）A．0B．1C．D．24．若α∈（0，π），且，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝sin2x+bsin x+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关6．为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝（）A．2B．C．D．9．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为（）A．B．C．4D．5二、填空题：11．化简（+）+（+）+＝．12．在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），则角A等于．13．若cos（﹣α）＝，则cos（+α）＝．14．＝．15．函数的最大值为．16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是．17．已知O为锐角△ABC的外心，，若，则m＝．三、解答题：18．已知平面向量，且（1）求向量的坐标；（2）若向量，求向量与向量的夹角．19．函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求m的取值范围．20．已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）＝?的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+c＝8，b＝7，f（）＝，求△ABC的面积．21．已知＝（2cosx，1），＝（sinx+cosx，﹣1），函数f（x）＝．（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）＝，x0∈[]，求cos2x0的值；（3）若函数y＝f（ωx）在区间（）上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．把一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是（）A．120°B．﹣120°C．240°D．﹣240°【解答】解：一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是﹣240°故选：D．2．设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由分别是与同向的单位向量，则与不一定相等，也不一定相反，也不一定共线，但||＝||＝1，所以||+||＝2．故选：C．3．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|﹣|＝（）A．0B．1C．D．2【解答】解：设AC边的中点为D，则|﹣|＝＝．∵在△ABC中，||＝||＝||＝1，∴＝．∴|﹣|＝2×＝．故选：C．4．若α∈（0，π），且，则cos2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：（cosα+sinα）2＝，而sinα＞0，cosα＜0cosα﹣sinα＝﹣，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝﹣＝，故选：A．5．设函数f（x）＝sin2x+bsin x+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）＝sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b＝0时，f（x）＝sin2x+bsinx+c＝﹣cos2x++c的最小正周期为T＝＝π，当b≠0时，f（x）＝﹣cos2x+bsinx++c，∵y＝cos2x的最小正周期为π，y＝bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵y＝cos2x＝sin（2x+），∴y＝sin（2x+）y＝sin[2（x﹣）+）]＝sin（2x），故选：D．7．在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：因均为非零向量，且，得?，又?，∴[﹣（）]?（）＝0?，得||＝||，同理||＝||，∴||＝||＝||，得△ABC为正三角形．故选：D．8．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝（）A．2B．C．D．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：＝，∠ADB＝45°，A＝180°﹣120°﹣45°，可得A＝30°，则C＝30°，三角形ABC是等腰三角形，AC＝2sin60°＝．故选：C．9．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞0，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．故选：B．10．已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为（）A．B．C．4D．5【解答】解：由||＝1得||＝1，由||＝3得||＝3，令，，则||＝1，+2﹣2＝1；||＝3，2+2+2＝9，可得2+2＝5，||+||≤×＝，故选：B．二、填空题：11．化简（+）+（+）+＝．【解答】解：（+）+（+）+＝（+）++（+）＝+＝．故答案为：12．在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），则角A等于．【解答】解|：因为在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），所以a2﹣c2＝b2﹣bc，即a2＝c2+b2﹣bc，符合余弦定理，∴cosA＝，A是三角形的内角，所以A＝．故答案为：．13．若cos（﹣α）＝，则cos（+α）＝﹣．【解答】解：∵，∴＝cos[π﹣（﹣α）]＝﹣cos（﹣α）＝﹣．故答案为：﹣14．＝．【解答】解：由tan60°＝tan（70°﹣10°）＝＝，∴tan70°﹣tan10°＝（1+tan70°tan10°），∴tan70°﹣tan10°﹣tan70°tan10°＝（1+tan70°tan10°）﹣tan70°tan10°＝．故答案为：．15．函数的最大值为3．【解答】解：原式可化为：y（2﹣cosx）＝2+cosx，∴cosx＝，∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣1≤≤1，解得：≤y≤3，故y的最大值为3，故答案为：3．16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6?＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵?＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：17．已知O为锐角△ABC的外心，，若，则m＝．【解答】解：如图所示：O是锐角△ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，设△ABC外接圆半径为R，则，由图，，则＝，同理，，得，得，﹣2r2（cosBsinC+sin BcosC）＝2mr2，﹣2sinA＝﹣2＝2m，m＝，故答案为：．三、解答题：18．已知平面向量，且（1）求向量的坐标；（2）若向量，求向量与向量的夹角．【解答】解：（1）∵；∴3x﹣36＝0；∴x＝12；∴；∵；∴；∴y＝﹣3；∴；（2），；∴，设的夹角为θ；则：；∵θ∈[0，π]；∴；即向量与向量的夹角为．19．函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的部分图象，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2，再根据五点法作图可得2?+φ＝π，∴φ＝，∴函数．（2）不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，即≤x≤时，m﹣2＜f（x）＜m+2 恒成立．当≤x≤时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，]，f（x）∈[﹣，1]，∴，求得﹣1＜m＜2﹣．20．已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）＝?的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+c＝8，b＝7，f（）＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）则：f（x）＝?＝＝＝由最小正周期是π及ω＞0得到：解得：ω＝1所以：f（x）＝令：解得：所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）（2）由已知f（）＝得：解得：由于B是三角形的内角，所以：由于：a+c＝8，b＝7，所以：b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac所以：ac＝521．已知＝（2cosx，1），＝（sinx+cosx，﹣1），函数f（x）＝．（1）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）＝，x0∈[]，求cos2x0的值；（3）若函数y＝f（ωx）在区间（）上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝＝2cosx（sinx+cosx）﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以≤2sin（2x+）≤1，所以f（x）max＝2，f（x）min＝1．（2）因为f（x0）＝，所以2sin（2x0+）＝，所以sin（2x0+）＝，因为x0∈[]，所以≤2x0+≤，所以cos（2x0+）＝﹣＝﹣，所以cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）+sin（2x0+）＝×（﹣）+×＝．（3）f（ωx）＝sin（2ωx+）令2kπ≤2ωx+≤2kπ+，k∈Z，得﹣≤x≤+，因为函数函数y＝f（ωx）在区间（）上是单调递增函数，所以存在k0∈Z，使得（）?（﹣，+）所以有即，因为ω＞0所以k0＞﹣又因为﹣≤﹣，所以0＜ω≤，所以k0，从而有﹣＜k0≤，所以k0＝0，所以0＜ω≤．。
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x|2x 2−9x +9≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}2. 已知复数z =2i1−i +i ，则z ⋅z =( )A. √5B. 3C. 1D. 53. 已知函数f(x)是奇函数(x ∈R)，则( )A. f(x)⋅sinx 是奇函数B. f(x)+cosx 是偶函数C. f(x 2)⋅sinx 是奇函数D. f(x 2)+sinx 是偶函数4. “函数f(x)在x 0处取得极值”是“f′(x 0)=0“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X 表示任选4个球中红球的个数，则E(X)为( )A. 169B. 259C. 1613D. 25146. 已知函数f(x)=x α的图像在点(1,1)处的切线方程为y =12x +12.令a n =1f(n+1)+f(n)，n ∈N ∗，若数列{a n }的前k 项和为10，则k 的值为( )A. 121B. 120C. 100D. 997. 将函数f(x)=2sin(3x +π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，所得图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A. 5π6B. 5π18C. π6D. π188. 已知a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，a ⃗ =(1,1)，|b ⃗ |=1，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为( ) A. √22B. √62C. 12D. √329. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)10. 设a =cos2π5，b =sin 3π5，c =tan 2π5，则( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. b <a <c二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若正数a ，b 满足2a +b =1，则4a 2+b 2+√ab 的最大值为______． 12. 若√2cos2θcos(π4+θ)=√3，则sin(3π4−θ)=______．13. 已知(x +2)5(2x −5)=a 0+a 1x +⋯+a 6x 6，则a 0=______；a 5=______．14. 在△ABC 中，cos∠ABC =13，AB =2，点D 在AC 上，AD =2DC ，BD =4√33，△ABC 的面积为________．15. 五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有________种(用数字作答)． 16. 已知平面向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为__________． 17. 数列{a n }中，若a n +a n+1=7n +5，n ∈N ∗，则a 1+a 100= ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cos(x +π3).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值、最小值及取得最值时的x 值．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n ，求(n −8)b n ≥nk 对任意n ∈N ∗恒成立的实数k 的取值范围．20.求曲线f(x)=x3−x+3在点(1,f(1))处的切线方程．21.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=32，a3=54，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n−1．(1)证明：数列{a n+1−12a n}为等比数列；(2)求S n．22.已知函数f(x)=a+lnxx,g(x)=mx．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若a=1，求证：当x>1时，(x+1)(x+1e x )f(x)>2(1+1e)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：本题考查复数的运算以及共轭复数的概念，属于简单题．由复数的运算法则求出z，得到共轭复数，再由乘积的运算求得结果．解：z=2i1−i +i=2i(1+i)(1−i)(1+i)+i=−1+i+i=−1+2i，所以z⋅z=(−1+2i)(−1−2i)=5，故选D．3.答案：C解析：本题考查了函数奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的前提下，只要判断−x与x的函数值的关系即可．四个函数定义域都是R，所以只要利用奇偶函数的定义，判断−x与x的函数值的关系即可．解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，对于A，f(−x)⋅sin(−x)=−f(x)(−sinx)=f(x)⋅sinx，是偶函数；对于B，f(−x)+cos(−x)=−f(x)+cosx≠f(x)+cosx，−f(x)+cosx≠−[f(x)+cosx]，是非奇非偶的函数；对于C，f((−x)2)⋅sin(−x)=−f(x2)⋅sinx是奇函数；对于D，f((−x)2)+sin(−x)=f(x2)−sinx≠f(x2)+sinx，是非奇非偶的函数；故选C．4.答案：A解析：解：若“函数f(x)在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′(x0)=0”成立，反之，“f′(x0)=0”，还应在导数为0的左右改变符号时，“函数f(x)在x0处取得极值”．故选A．根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f′(x0)=0”，还应在导数为0的左右改变符号时，“函数f(x)在x0处取得极值”.故可判断．本题以函数为载体，考查极值的定义，属于基础题．5.答案：A解析：解：盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=C54C94=5126，P(X=1)=C41C53C94=40126，P(X=2)=C42C52C94=60126，P(X=3)=C43C51C94=20126，P(X=4)=C44C94=1126，∴E(X)=0×5126+1×40126+2×60126+3×20126+4×1126=169．故选：A．X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E(X)．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：本题考查导数的几何意义和数列的裂项求和法．解：因为函数f(x)=xα的图像在点(1,1)处的切线方程为y=12x+12，∴f′(x)=αxα−1,f′(1)=α=12，∴f(x)=√x，因为a n=1f(n+1)+f(n)=√n+1+√n=√n+1−√n，n∈N∗，设数列{a n}的前k项和为S k，所以S k=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√k+1−√k=√k+1−1=10,k=120.故选B．7.答案：B解析：解：将函数f(x)=2sin(3x+π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，可得y=2sin(3x−3θ+π3)的图象，再根据所得图象关于y轴对称，则−3θ+π3=kπ+π2，k∈Z，即θ=−kπ3−π18，故θ的最小值为5π18，故选：B．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得θ的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．8.答案：C解析：解：根据题意，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，且|b⃗ |=1，则b⃗ 在a⃗方向上的投影|b⃗ |cosπ3=12；故选：C．根据题意，由向量数量积的计算公式可得b⃗ 在a⃗方向上的投影为|b⃗ |cosπ3，计算即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握数量积的计算公式，注意排除题目的干扰条件．9.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2， f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)， x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0， 故g(t)在[1,2)单调递增， ∴g(t)∈[2,3)． 故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x 1=log 2x =t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1， 令g(t)=2t −t +1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．10.答案：B解析：本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数线是解决本题的关键． 作出角的三角函数线，利用三角函数线进行比较即可．。
浙江诸暨中学2019届高三期中考试数学答案
, ,当 时，
(2)
①当 为奇数时，
.
②当 为偶数时，
.
20.（1）（Biblioteka ）当 时， ，令 ，则 ，
当 时，
当 时， ，则当 时， ，当 时， ， ，
综上，
21.（1）
， 是以首项为 ，公比为 的等比数列。
， ， 是首项为 ，公差为2的等差数列， ， ，
（2）
,
,
,
.
等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的 ，使得 成等差数列.
浙江诸暨中学2019届高三期中考试
数学参考答案
一：选择题(每题4分)
ADBAA DADAC
二：填空题（多空题每题 分，单空题每题 分）
11. ； 12. ；
13. ； 14. ；
15. 16.
17.
三：解答题
18.(1). ， ,
单调递增区间为 ；
(2).
当 时， ， .
当 时， ， .
19.(1) ,
22.
（1）① ， 即 在 单调递增；
② ， 单调递减； 单调递增；
(2). 在 单调递增，得 ； 恒成立， 。
.
此时 ，
在 单调递减； 单调递增。
有唯一零点。
(3).设
,
恒成立，
单调递增， ， 单调递减，
记 ， ， 单调递减函数， ，
， 。
浙江省绍兴市诸暨中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(平行班)
浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（平行班）一、选择题(每小题4分，满分40分)1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ）A ． {}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ． {}42．函数3lg )(-+=x x x f 的零点所在区间为 （ ）A ．()3,2B ．()4,3C ．()2,1D ．()1,03．已知函数)(x f y =的图象如下图所示，则函数|)(|x f y =的图象为 （ ）4．已知5.1log ,53,5.05.23131=⎪⎭⎫⎝⎛==--c b a ，则,,a b c 的大小关系 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<5.若方程()0522=-+-+m x m x 的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(]4,55,---∞-B ．(]4,-∞-C ．(]2,-∞-D ．(]4,5--6.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()3()6(4)(x x f x x x f ，则)2(f 为 （ ）A.2B.3C.4D.5 7．函数()()1log 122-=x x f 的定义域是 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. ()+∞,2 C. ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 D. [)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,08.定义在R 上的函数)(x f 满足对任意)(,2121x x x x ≠都有0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则下列关系恒成立的是 （ ）A ．)2()(a f a f >B ．)()(2a f a f <C ．)2()1(2a f a f <+D ． )2()2(2a f a f <+9.已知函数()⎩⎨⎧-≤-=0,120,2＞x x x a x f x R a ∈，若函数()x f 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,-∞- B ．(]1,-∞- C ．[)0,1- D ．(]1,0 10. 设函数()3222++-=x x x f ，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩若对于函数()3222++-=x x x f 定义域内的任意x ，恒有()()K f x f x =，则 ( )A ．K 的最小值为4B ．K 的最大值为4C ．K 的最小值为1D ．K 的最大值为1二、填空题(每小题4分，满分28分) 11.计算=++⎪⎭⎫⎝⎛-2log 23log 278121232 .12.幂函数nx x f =)(的图象过点)8,2(且f (a -1)<1,则a 的取值范围是_________.13.函数()352log 21.0--=x x y 的递减区间是 .14.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品月利润最好，则应将每件商品定价为 元.15.已知函数)3(log )(ax x f a -=在[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________ .16.对于函数),(x f 若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称点()00,x x 为函数的不动点，对于任意实数b ，函数b bx ax x f -+=2)(总有相异不动点，实数a 的取值范围是_______ _．17.已知函数()21f x x x =+--， 233()ax x g x x-+= (0)a >，若对任意),1[+∞∈s ，任意),0[+∞∈t ，恒有()()g s f t ≥成立，实数a 的取值范围 .三、解答题(满分52分)18.已知全集{},|3U R A x x ==≥， (){}12log 2＜-=x x B ，{}3x 2+=a a x C ＜＜（1）求集合AB 和()B AC U ；（2）若Φ=C B ，求实数a 的取值范围．19.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，若()+∞∈,0x 时，()x x f lg = （1）求()x f 在R 上的解析式； （2）求满足()0＜x f 的x 的取值范围．20.已知函数()0,124)(1＞a b a a x f x x-+⋅-⋅=+在区间]2,1[上有最大值9和最小值1（1）求b a ,的值；（2）若使关于x 的方程04)(=⋅-xk x f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围．21．已知函数R a x a ax x f ∈++-=，1)1()(2． (1)求证：函数()f x 的图象与x 轴恒有公共点；(2)当0a >时，求函数y 的定义域；(3)若存在0m >，使关于x 的方程1()f x m m=+有四个不同的实数根，求实数a 的取值范围．诸暨中学2019学年高一期中考试（平行班）数学试卷参考答案一、选择题(每小题4分，满分40分)DABBD CCDDA二、填空题(每小题4分，满分28分)11.143 12.2＜a13.()∞+，3 14. 70 15. ()3,1 16. ()1,0 17.3≥a三、解答题(满分52分)18.（1）{}4x 3x ＜≤=B A (){}4x x ＜=B A C U（2）1-≤a 或2≥a 19.（1）()()⎪⎩⎪⎨⎧==0,x -lg -0x 00,lg ＜，＞x x x x f（2）()()()1,01-- ，∞ 20.（1）0b 1,a == （2）10≤≤k21．(1)求证：略(2),1=a 定义域R10＜＜a ，定义域(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞,a 11- ，1＞a ，定义域[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞,1a 1- ，(3)22-3-＜a。
浙江省诸暨中学2019_2020学年新高一数学下学期期中试题
浙江省诸暨中学2019-2020学年新高一数学下学期期中试题一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)1、 下列4个关系中，正确的是 ( ) A . R ∉2 B . *∈N 0 C . Z ∈5.0 D . Q ∈-1 2、 已知全集{}3-≥=x x S ，集合{}3>=x x A ，则=A C S ( ) A . {}3≤x x B . {}3<x x C . {}33≤≤-x x D . {}33<≤-x x 3、R x ∈，则 “21<<x ”是“12<-x ”的 ( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4、 已知()()R x x f ∈=π，则 ()=2πf( )A . 2π B . π C . π D . 不确定5、 若10<<a ，则关于x 的不等式0112<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x a a x 的解为 ( ) A . a x a 1<< B .a x a <<1 C . ax a x 1><或 D . a x ax ><或16、 下面四个条件中，使b a >成立的必要不充分条件是 ( )A . b a >-1B . b a >+1C . b a >D . 33b a >7、 已知2,1>>n m 且4=+n m ，则2411-+-n m 的最小值为 ( ） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 8、 已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-321x x ，则不等式 02<++a bx cx 的解集为 ( ）A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213x x x 或C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312x x D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312x x x 或9、 若集合A 具有以下性质：()A ∈01，A ∈1；()2若A y A x ∈∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.下列命题正确的个数是 ( ) ①集合{}1,0,1-=B 是“好集”； ②有理数Q 是“好集”； ③设集合A 是“好集”，若A x ∈，A y ∈，则A y x ∈+ A . 0 B . 1 C . 2 D . 310、 已知实数c b a ,,满足0≠a ，c b a ≥≥，0=++c b a ，则()c bx ax x f ++=2被x 轴所截得的弦长的取值范围为 （ ）A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,49 C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,26D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 二、填空题(共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分)11、已知集合{}2,x x A =，若A ∈1，则=x ________；集合A 的真子集有________个.12、 已知函数()112+=x x f ，则()x f 的值域为________，()1+x f 的定义域为________.13、命题“所有菱形的对角线相等”是__________命题（填“真”或“假”）；并写出此 命题的否定： .14、m x x R x ≤--+∈∃3212,，则实数m 的取值范围为_______________. 15、已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的值域为[)+∞,0，若关于x 的不等式()c x f <的解集为()6,+m m ，则实数=c ___________.16、 函数{}{}3,2,13,2,1:→f 满足()x f x +为偶数，则这样的函数有__________个.17、 已知R d c b a ∈,,,,()()()22222bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时取等号.利用此结论可得函数x x y 3322++-=的最大值为____________.三、解答题(共4大题，共46分)18. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02652x x x x A ，{}12+<<=m x m x B ，全集R U =（1）若1=m ，求()()B C A C R R ⋃; （2）若B B A =⋂，求实数m 的取值范围.19、（1）已知()n mx x f -=2，()114-≤≤-f ，()521≤≤-f ，求()3f 的取值范围.（2）已知正数b a ,满足111=+b a ，求141-+-b b a a 的最小值，并求出取到最小值 时b a ,的值.20、设()422+-=ax ax x f ，R a ∈（1）若R x ∈∀，()0>x f ，求实数a 的取值范围； （2）当1<a 时，解关于x 的不等式()x x f 2<.21、已知函数()()m x m x x f ++-+-=2232，R m ∈（1）若()x f 在[]1,1-∈x 上的最小值为()1f ，求实数m 的取值范围； （2）求()x f 在[]m ,0上的最大值()m h ； （3）若210≤<m ，记()x f 在[]1,1-上的最大值为()m g ，求()m g 的最小值.诸暨中学2019学年新高一期中考试数学参考答案 一、选择题二、填空题 18、 -1 3 19、 (]1,0 R20、 假 存在菱形对角线不相等 21、 4-≥m 22、 9 23、 4 24、 10 11、 解答题22、（1）{}621≤<-≤=x x x A 或，()3,1=B()()()(][)+∞⋃∞-=⋂=⋃,32,B A C B C A C R R R20、由已知的A B ⊆若 φ=B ,则12+≥m m ，即1-≤m若 φ≠B ,则⎩⎨⎧-≤++<11212m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-<612212m m m m ，得无解或252≤≤m综上： 2521≤≤-≤m m 或 19、（1）()()()()()[]20,12381354383593-∈+-=-+--=-=f f n m n m n m f()()91415141,1,1112≥-+-+=-+--==+b b b b a a b b a b a 则得由 当且仅当23,3==a b 时取等号。
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1 绝密★启用前
浙江诸暨中学2019届高三期中考试
数学试卷
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)
1. 已知集合}22|{≤≤-=x x A ，集合}032|{2≤-+=x x x B ，则=B A （ ）
A. }12|{≤≤-x x
B.}21|{≤≤x x
C. }21|{≤≤-x x
D.}23|{≤≤-x x
2. 复数z 满足i z i +=⋅2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 ( )
A ． 12i -+
B ．12i --
C ． 12i -
D ． 12i +
3. 若函数()f x （x R ∈）是奇函数，函数()g x （x R ∈）是偶函数，则 （ ）
A ．函数()()f x g x +是奇函数
B ．函数()()f x g x ⋅是奇函数
C ．函数[()]f g x 是奇函数
D ． 函数[()]g f x 是奇函数
4.已知函数)(x f 是定义域为R 上的可导函数，则“)(x f 在1=x 处取得极值”是0)1(='f 的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ,则)(X E 为 （ ）
A ． 98
B ． 78
C ．12
D ． 6256 6.已知函数2()f x x bx =+的图象在点))1(,
1(f A 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）
A ．20172016
B ．20182017
C ．20192018
D ．2020
2019。