《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
(完整版)流体力学NS方程推导过程
流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
圆柱坐标系连续性方程推导
圆柱坐标系连续性方程推导在流体力学中，连续性方程是描述流体在空间中连续流动的重要方程之一。
它表达了质量守恒的原则，即单位时间内通过一给定区域表面的流体质量的净流入率等于该区域内流体质量的减少率。
本文将推导圆柱坐标系下的连续性方程。
圆柱坐标系简介圆柱坐标系是一种常见的三维坐标系，特点是以一个固定点O为原点，以一根固定轴作为z轴，然后引入以原点为中心的极坐标系。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用径向距离r、极角ϕ和z坐标来表示。
圆柱坐标系下的流体流动考虑一个在圆柱坐标系下的流体流动问题。
假设流体在该坐标系下的速度场为V(r, ϕ, z)，其中V分别表示径向、极角和z方向的速度分量。
为了推导连续性方程，我们需要考虑一个控制体，即一个包围着流体的任意闭合曲面。
控制体的内部可以包含若干流体微团。
质量守恒原理根据质量守恒原理，单位时间内通过控制体表面的净流入率等于控制体内部质量的减少率。
在圆柱坐标系下，我们将质量守恒原理表达为如下形式：$$\\frac{\\partial M}{\\partial t} + \\oint \\rho V \\cdot \\vec{n} ds = 0$$其中，M表示控制体内部质量，$\\rho$表示流体的密度，V表示流体速度，$\\vec{n}$表示控制体表面的法向量，ds表示控制体表面的面积元素。
连续性方程推导根据质量守恒原理，我们可以将控制体内部质量表示为质量密度与体积的乘积：$$M = \\iiint_V \\rho dV$$其中，$\\iiint_V$表示对整个控制体内部进行体积积分。
将质量守恒原理中的控制体内部质量代入上式，并利用散度定理将面积积分转化为体积积分，可以得到如下形式的连续性方程：$$\\frac{\\partial}{\\partial t} \\iiint_V \\rho dV + \\iiint_V \ abla \\cdot(\\rho V) dV = 0$$其中，$\ abla \\cdot (\\rho V)$表示流体速度矢量的散度。
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
流体力学的基本方程
z
(vz)dxdydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化量：
tCVdvt dxdydz
故 ： tdx d x (v x y ) dd x z d y (v y y ) d d x z d z (v z y ) dd x z 0 dydz
t
xkuku
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动 0
t
xk
uk 0
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
2.不可压缩流体
D 0
Dt
uk 0 xk
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
左面微元面积流 入的流体质量：
右面微元面积流出 的流体质量：
( xd 2)xv(x vxxd 2)d x ydz ( xd 2)xv (x vxxd 2)d x ydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
D D ttuk xk 0 但
0
xk
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
2
1
第二章 流体力学的基本方程
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。
本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。
[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分[中图分类号]：O13 [文献标识码]：A [文章编号]: 1672-1452(2015)**-****-041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。
在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。
在电动力学课本[3]中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。
但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。
现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。
本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。
此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。
建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。
2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的分量()z y x ,,与柱坐标系的分量()z ,,ϕρ有如下的转换关系：222y x +=ρ（1） x =ϕρcos （2） y =ϕρsin（3） z z =（4）（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得ϕρρcos ==∂∂xx（5）ϕρρsin ==∂∂yy（6）（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得1sin cos =∂∂-∂∂xx ϕϕρϕρρϕϕsin -=∂∂x（7）同理可知， ρϕϕcos =∂∂y（8）假设所研究的函数为),,(z y x f f =由于z 关于x ，y 是独立的变量，故ρϕϕϕρϕϕρρsin cos ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f x f x f x f （9）同理 ρϕϕϕρϕϕρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f y f y f y f（10）利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导2222222222222222222cos sin 2sin sin cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ρϕϕϕρϕρρϕϕρϕϕϕρϕρρϕρϕϕρϕϕϕϕρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂f f f f f f f f f f f f x f x x f x xf （11）类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。
流体力学柱面坐标连续性方程质量守恒方程
(注意极坐标系下向量量场的散度为 ∇
⋅
A
⃗=
1 r
∂ ∂r
(r A r⃗ )
+
1 r
∂ ∂θ
(
A
⃗
θ
)
+
∂ ∂z
(
A
z⃗ )
)
参考文文献：
'SBOL.8IJUF 'MVJE.FDIBOJDT .D(SBX)JMMɼ/FX:PSL
+%"OEFSTPO $PNQVUBUJPOBM'MVJE%ZOBNJDT5IF#BTJDT
z
d
r
=
∂ρ ∂t
r
d
θ
d
z
d
r
1 (r
ρvr +
∂ ∂r
(ρvr)) +
∂ ∂z
(
ρ
vz)
+
1 r
∂ ∂θ
(
ρ
vθ
)
+
∂ρ ∂t
=
0
1 r
∂ ∂r
(rρvr) +
∂ ∂z
(
ρ
vz
)
+
1 r
∂ ∂θ
(
ρ
vθ)
+
∂ρ ∂t
= 0
整理理得
∇(ρ V )⃗ +
∂ρ ∂t
=
0
或
Dρ Dt
+ ρ∇ ⋅
V⃗=
0
XJUI"QQMJDBUJPOT .D(SBX)JMM /FX:PSL
+
r
∂ ∂r
(ρvr)drd zdθ
球柱坐标的推导
传热学论文一邓佳丽1102610103论文一 对柱坐标、球坐标系中导热微分方程的推导邓佳丽 1102610103哈尔滨工业大学市政环境工程学院 建筑环境与设备工程摘要：在傅里叶定律基础上，借助热力学定律，把物体内个点的温度联系起来，建立起温度场通用的微分方程，即导热微分方程，它也是我们专业的基础公式之一，是极其重要的。
Abstract ：In YeDingLv FFT basis ，With the laws of thermodynamics ，Within a point of the object of temperature connected ，Establish temperature field of general differential equation, namely heat conduction differential equation, it is also the foundation of our professional formula one, is extremely important.关键词：球坐标系 柱坐标系 推导 应用Key words ：Ball coordinate system Cylindrical coordinate system Derivation Application 引言 ：在傅里叶定律中确定了热流密度矢量和温度梯度的关系，但要确定热流密度矢量的大小 ，还应进一步知道物体内的温度场，即t=f(x,y,z,τ)。
为此目的像其他数学问题一样，首先要找到描述上式的微分方程。
从进行导热过程的物体中分割出一个微元体dxdydz dv =，微元体的三个边分别平行于 x ，y 和z 轴，根据能量守恒，转化定律和傅里叶定律，对微元体进行热平衡分析，便建立在直角坐标系中的导热微分方程式：λρρλτv v aq t a c q z t y t x t c t +∇=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222222 式中： ca ρλ= 为扩散率， v q 为内热源强度， 所以从柱体，球体中取出一个微元体，进行导热微分方程式的推导。
fluid1-20连续性方程
M
d dt ( ) 0
由质量守恒定律，对系统（固定的物质团）有
dM dt
连续性方程
d dt
( ) 0
此即为对系统的积分形式的连续性方程 （质量守恒定律） 由物质积分的随体导数(雷诺输运公式)，有
d dt
( )
CV
t
系统和控制体 系统是指某一确定流体质点集合的总体。 系统的边界把系统和外界分开，系统随流体运动而运动， 其边界形状和所包围空间的大小随流动而变化。 系统始终由同一些流体质点组成—Lagrange观点. 控制体CV：是指流场中某一确定的空间区域，控制体的 边界称为控制面CS，控制面上可以有流体流进或流入。
微元体推导
连续性方程
先看与x轴垂直的两个面，质量流量 t时间内，ABCD面上流入 t时间内，EFGH面上流出
udydzt
udydz t
( udydz t ) x
dx
t时间内， 通过ABCD面和EFGH面上的净流出为
( udydz t ) x dx ( u ) x dxdydz t
CS v n S
连续性方程
d dt
( )
CV
t
CS
v nS 0
CV
t
CS
v n S 0
即是积分形式的流体力学基本方程组
连续性方程
对系统的微分形式 在流体中取一微元系统，其体积为，则系统内 的流体质量m=随时间不变
连续性方程
流体的连续性方程的基本形式 1 从描述流体运动的Euler方法（场描述）的角度， 由质量守恒定律,导出连续性方程。 如图，取任意的封闭控制面CS以及其所包围的 空间区域CV（控制体）为研究对象， 则在任意瞬时t前后的一段无穷小的时间dt内 单位时间内从面积元S流出的流体质量是
曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导
一、曲线坐标系下连续性方程的推导曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导一、曲线坐标系下连续性方程的推导首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。
在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则m τρδτ=⎰()1.1为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。
根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立()0dm ddt dtτρδτ==⎰()1.2根据公式：()()d div dttττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.3，得 ()()0dm ddiv dt dtt ττρρδτρδτ∂⎛⎫==+= ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.4因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：()0div tρρ∂+=∂v()1.5()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。
下面将写出它在曲线坐标下的形式。
因为()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a()1.6所以()()()()1232313121231231v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦v()1.7将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：()()()12323131212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦()1.8二、曲线坐标系下N S -方程的推导首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。
水力学3.2流体运动的连续性方程
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
如图3.8,若出现支流时,则 Q1+Q2=Q3=Q4+Q5
图3.8
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
例3.3
主流流程不一定是直线,多数是曲线.
u2
δA2
u1
左图,取一微小流管,设流 动为恒定流, 流管形状不随时间而变 化.据流线的性质,没有 液体从四周出入.
δA1
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
δA较小,u 看成均匀分布,所以dt 时段, u2 从δA1流入的质量: δA2 u1dtδA1ρ1=ρ1u1δA1dt 从δA2流出的质量: ρ2u2δA2dt u1 因为是不可压缩的恒定流,所以流管内 δA1 的质量不随时间变化 ρ1u1δA1dt=ρ2u2δA2dt ρ1u1δA1=ρ2u2δA2 (3.24)
( u y ) ( u x ) ( u z ) xyzt xyzt xyzt x y z ( t )xyz t
即得
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
u y u x u z 0 x y z
(3.23)
不可压缩流体的欧拉连续性微分方程,对于恒定 流和非恒定流均适用.
注:除特别指出外,以后研究的,都是不可压缩的均质 流体
3.2.2 元流和总流的连续性微分方程
主流方向: 工程实际中,流体流动多数都是在某些 固定界面所限定的空间内沿某一方向 的流 面上的各点在t 时刻的流速和 密度,可用泰勒级数展开,并略 去二阶以上的微分来表示,于 是,abcd, a'b'c'd'面上中心点 1,2的流速和密度分别为:
3.2.1 流体的连续性微分方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《流体力学》连续方程推导的巧方法
施春华,高庆九,李忠贤
(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)
摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系
在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]
对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式
流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”
(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1]
(1)
一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之
则增大。
其算子形式的通用表达式[1]
(2)
两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
(3)
2 柱坐标系欧拉连续方程
基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简单的 欧拉连续方程的推导见图1。
如图1所示,柱坐标系体积元控制体ABCDEFGH,径向方向r,圆周切向方向θ,垂直方向z,径向速度Vr,圆周切向速度V θ,垂直速度w,则径向线微元AB 表达为dr,切向线微元AD 表达为rd θ,垂直微元GC 为dz,体积微元dV=rd θdrdz 。
由径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF(面积rd θdz)所引起的质量通量均可表达为ρVr* rd θdz,但r 坐标值在两个面元处有差异。
这使得质量通量沿径向r 方向不尽相同
就表达了质量通量在穿越面元ADHE 和BCGF 时沿径向r 方向的梯度,乘以
dr 后得它表示了径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即径向速度Vr 引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,由切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE(面积rdθdr )所引起的质量通量均可表 达为ρV θdrdz,但θ坐标值在两面元处不同,质量通量沿切向θ方向的梯度描述为∂(ρV θdrdz)/θ∂,而（∂(ρV θdrdz)/θ∂）d θ则描述了切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量,即切向速度V θ引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,垂直速度w 垂直穿越面元EFGH 和ABCD(面积rd θdr)所引起的质量通量均可表达 为ρwrd θdr,但z 坐标值在两面元处不同,质量通量沿z 方向的梯度描述为∂(ρwrd θdr)/∂z,
而（∂(ρwrdθdr)/∂z）dz则描述了垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量,即垂直速度w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在3个正交的方向r、θ和z上运动,所以流体单位时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为
,式中r、θ和z相互独立,密度ρ则是空间的函数,体积微元dV=rdθdrdz,故有
(4)对于该控制体单位时间的质量变化,又可以描述为（∂ρ/t∂）dV,由于在质量通量的表达中,把流出控制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因此
即(5)
表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。
3 球坐标系欧拉连续方程
球坐标系中取一体积元控制体ABCDEFGH如图2所示[4] 。
坐标系中经度λ,纬度φ,球径向r;沿纬圈方向线微元AB为rcosφdλ,速度为u;沿经圈方向线微元DA为rdφ,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。
体积元ABCDEFGH为
dτ=r^2*cosφdλdφdr。
沿纬圈方向穿越面元AEHD和BFGC的质量通量均可表达为
ρurdφdr,这两个面元上质量通量沿λ方向的梯度表示为∂(ρurdφdr)/∂λ,乘以dλ后（∂(ρurdφdr)/∂λ）dλ就描述了纬圈速度u穿越面元AEHD和BFGC后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
由于λ、φ和r相互独立,且体积元ABCDEFGH为dτ=r^2*cosφdλdφdr,故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(6)
同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(7)
沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(8)
根据质量守恒,整个体积元单位时间内净流失的质量是沿3个方向流失质量之和,应等于该体积元单位时间的质量减小量（∂ρ/t∂）dτ，故
即(9)表达式(9)即球坐标系中欧拉连续方程的表达式。
4 小结
通过欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一个物理量,在各独立方向上偏微分推导后,可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程,该方法过程简单,物理意义明确,有利于对连续方程的理解。