《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法
施春华,高庆九,李忠贤
(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)
摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系
在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123]
对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式
流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”
(流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1]
(1)
一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之
则增大。其算子形式的通用表达式[1]
(2)
两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
(3)
2 柱坐标系欧拉连续方程
基于柱坐标系把“质量通量”整体作为一物理量的考虑,物理意义明确,数学理解简单的 欧拉连续方程的推导见图1。
如图1所示,柱坐标系体积元控制体ABCDEFGH,径向方向r,圆周切向方向θ,垂直方向z,径向速度Vr,圆周切向速度V θ,垂直速度w,则径向线微元AB 表达为dr,切向线微元AD 表达为rd θ,垂直微元GC 为dz,体积微元dV=rd θdrdz 。
由径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF(面积rd θdz)所引起的质量通量均可表达为ρVr* rd θdz,但r 坐标值在两个面元处有差异。这使得质量通量沿径向r 方向不尽相同
就表达了质量通量在穿越面元ADHE 和BCGF 时沿径向r 方向的梯度,乘以
dr 后得它表示了径向速度Vr 垂直穿越面元ADHE 和BCGF 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即径向速度Vr 引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,由切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE(面积rdθdr )所引起的质量通量均可表 达为ρV θdrdz,但θ坐标值在两面元处不同,质量通量沿切向θ方向的梯度描述为∂(ρV θdrdz)/θ∂,而（∂(ρV θdrdz)/θ∂）d θ则描述了切向速度V θ垂直穿越面元DCGH 和ABFE 后导致体积元ABCDEF2GH 内质量通量的变化量,即切向速度V θ引起的体积元ABCDEFGH 内单位时间净流出的质量。
同理,垂直速度w 垂直穿越面元EFGH 和ABCD(面积rd θdr)所引起的质量通量均可表达 为ρwrd θdr,但z 坐标值在两面元处不同,质量通量沿z 方向的梯度描述为∂(ρwrd θdr)/∂z,
而（∂(ρwrdθdr)/∂z）dz则描述了垂直速度w垂直穿越面元EFGH和ABCD后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量,即垂直速度w引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
该柱坐标中,流体所有运动可以分解为在3个正交的方向r、θ和z上运动,所以流体单位时间净流出控制体ABCDEFGH的质量就表达为
,式中r、θ和z相互独立,密度ρ则是空间的函数,体积微元dV=rdθdrdz,故有
(4)对于该控制体单位时间的质量变化,又可以描述为（∂ρ/t∂）dV,由于在质量通量的表达中,把流出控制体的方向作为正方向,和实际控制体内质量变化的符号相反,但两者的量值相等,因此
即(5)
表达式(5)即柱坐标系下欧拉形式的连续方程。
3 球坐标系欧拉连续方程
球坐标系中取一体积元控制体ABCDEFGH如图2所示[4] 。
坐标系中经度λ,纬度φ,球径向r;沿纬圈方向线微元AB为rcosφdλ,速度为u;沿经圈方向线微元DA为rdφ,速度为v;球径向线微元为dr,速度为w。体积元ABCDEFGH为
dτ=r^2*cosφdλdφdr。沿纬圈方向穿越面元AEHD和BFGC的质量通量均可表达为
ρurdφdr,这两个面元上质量通量沿λ方向的梯度表示为∂(ρurdφdr)/∂λ,乘以dλ后（∂(ρurdφdr)/∂λ）dλ就描述了纬圈速度u穿越面元AEHD和BFGC后导致体积元ABCDEFGH内质量通量的变化量(略去高阶小量,下同),即沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量。
由于λ、φ和r相互独立,且体积元ABCDEFGH为dτ=r^2*cosφdλdφdr,故沿纬圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(6)
同理,沿经圈方向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(7)
沿径向的质量通量所引起的体积元ABCDEFGH内单位时间净流出的质量为
(8)
根据质量守恒,整个体积元单位时间内净流失的质量是沿3个方向流失质量之和,应等于该体积元单位时间的质量减小量（∂ρ/t∂）dτ，故
即(9)表达式(9)即球坐标系中欧拉连续方程的表达式。
4 小结
通过欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一个物理量,在各独立方向上偏微分推导后,可以便捷地得到柱坐标和球坐标下欧拉形式的连续方程,该方法过程简单,物理意义明确,有利于对连续方程的理解。
《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式 1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρ p=-1dV Vdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-Vdpdp dV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdV T=1 VdT=-1dρ ρdT 2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0 t=ρ 1+βt，其中β=1 273。 3T=±μAdu dy 或τ=Tdu A=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631 E)?10-4 f1?p? x-ρ?x=0?fr-1?p=0? ?ρ?r?? 4．欧拉平衡微分方程式： f? y-1?p ρ?y=0??和fθ-1?p ρ=0? f1?p?r?θ ρ?z=0?? ??f1?p? z-z-ρ?z=0?? 欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0 frdr+fθrdθ+fzdz=0 6p γ+z=C 或 p1 γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2 相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz2 7p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式： ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。 1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r2 2g-z)；等压面方程式：ω2r2 2-gz=C；自由液面方程式：ω2r2 2-gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。 10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)A Ixc ycA或yD-yc=Ixc ycA。当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+ 矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc= 圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 64 11．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。 12 ?ux?ux?ux?ux?+ux+uy+uz?τ?x?y?z???uy?uy?uy?uy?+ux+uy+uz直角坐标系：ay=? ?τ?x?y?z??u?uz?uz?uz?az=z+ux+uy+uz?τ?x?y?z??ax= ?ur?ur?ur?uruθ2ar=+ur+uθ+uz-?τ?rr?θ?zr ?u?u?u?uuu圆柱坐标系：aθ=θ+urθ+uθθ+uzθ+rθ ?τ?rr?θ?zr ?u?uz?uz?uzaz=z+ur+uθ+uz?τ?rr?θ?z????????? 流体质点的压力、密度等流动参量对时间的变化率计算式： dp?p?p?p?p=+ux+uy+uzdτ?τ?x?y?z dρ?ρ?ρ?ρ?ρ=+ux+uy+uz?τ?x?y?z dτ 13 drrdθdzdxdydz==== 及uxuyuzuruθuz2 ?ρ?(ρux)?(ρuy)?(ρuz)14．三维连续性方程式的一般式：+++=0 ?τ?x?y?z ?ρρur?(ρur)?(ρuθ)?(ρuz)++++=0 ?τr?rr?θ?z ?ux?uy?uz15．不可压缩流体的三维连续性方程式：++=0 ?x?y?z ur?ur?uθ?uz+++=0?rr?θ?z r 16M=ρ11A1=ρ22A2 对于不可压缩流体： Q=1A1=2A2
流体力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程 例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体τ有0d d dt τ ρτ=?。根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有 0 CV CS d v ds t ρτρ?+?=????——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。 由奥高公式得 () CS CV v ds v d ρρτ?= ????? ，于是有 ()0 CV v d t ρρτ???+??=???? ??。 考虑到τ的任意性，故有 ()0 v t ρρ?+??=?，即 0 d v dt ρρ+??= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1） dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动 0=??t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。 2）由 0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ?? =流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体 0d dt ρ=，故有 0v ??= 。 由奥高公式有 CV CS v ds vd τ?=?????，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0 CS v ds ?=??。 不可压缩流动满足的0v ??= 或 CS v ds ?=??是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由 CS v ds ?=??易知： 222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则 1122V S V S =。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有2 4(,)()r V r t m t π=， 即2 ()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。 例2、均质不可压缩流体（密度为ρ）从圆管（半径为R ）入口端以
流体力学部分知识
第四章 流体动力学的基本原理 本章学习目标： 掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程，动量定理，动量矩定理，能量守恒方程，重点是关于控制体的欧拉型方程。 质量守恒，牛顿第二定律和能量守恒原理都是对包含确定物质的“系统”写出来的，而流体力学问题的实际研究中，更多地采用“控制体”的概念，这中间存在一个变换。 研究流体和运动物体的相互作用，常运用动量定理。 伯努利方程是能量守恒关系的一种表现形式。 质量守恒常用以给出物理参数的相互关系式，配合方程求解。 步进教程： 第一节 质量守恒原理----连续方程 一．积分形式连续方程. 在流场中任取一有限体积τ，作为控制体，如图示，控制体的边界以A 表示。 在运动流场中，流体不断地流进流出控制体，控制体中所包含的质量也可能随时间 变化。但总体上说质量不能产生，也不能消灭。 质点守恒原理：单位时间内通过控制面静流入的流体质量之和等于单位时间控制体 中的质量的增量. dA dA d t A A ?????????? ? ??-??? ???=??21ρρτρτV n V n 21 所谓“净流入”是流入的质量减去流出的质量。即方程右端两项之差。1n 是流入表 面1A 的内法线单位向量；2n 是流出表面2A 的外法线单位向量。 上式可写成 dA d t A ???????? ? ??-=??ρτρτV n 式中n 为外法线单位向量，A 为封闭控制面。 上式称为质量守恒方程，又称连续方程。 对于定常流动， 0=?? t ，故连续方程为： dA dA A A ??????? ? ??=??? ???21ρρV n V n 21 对于不可压流体，由于const =ρ，故有： dA dA A A ??????? ? ??=??? ???212211V n V n 此式既适用于定常流动，也适用于非定常流。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法 施春华,高庆九,李忠贤 (南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044) 摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。 关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系 在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123] 对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。 1 连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。 由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质” (流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1] (1) 一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之 则增大。其算子形式的通用表达式[1] (2) 两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。 在直角坐标系中,通过建立三维空间微元控制体(图略,很多教科书都详细给出,且易于理解),很容易得到(2)式在三维直角坐标系下连续性微分方程的一般表达式
柱坐标流体连续性方程
柱坐标流体连续性方程 柱坐标系是一种常见的坐标系，在流体力学中常用于描述旋转对称问题。在柱 坐标系中，流体连续性方程也有对应的形式，称为柱坐标流体连续性方程。 流体连续性方程是流体力学的基本方程之一，描述了质量守恒的原理。它可以 用来描述流体在空间中的流动，无论是在笛卡尔坐标系中还是在其他坐标系中。 在柱坐标系中，流体连续性方程的形式如下： ∂(ρr^2u_r)/∂r + ∂(ρru_θ)/∂θ + ∂(ρru_z)/∂z + ρu_r/r = ∂ρ/∂t 在方程中，ρ表示流体的密度，u_r表示速度在r方向上的分量，u_θ表示速度在θ方向上的分量，u_z表示速度在z方向上的分量，t表示时间。 方程的左边是对流项，右边是时间变化项。对流项表示了流体的质量流动，其 分别描述了速度在r、θ和z方向上的梯度。时间变化项表示了流体密度随时间的 变化。 柱坐标系中的速度分量与笛卡尔坐标系中的速度分量之间存在一定的关系。柱 坐标系中的速度分量可以通过笛卡尔坐标系中的速度分量进行计算。 速度分量u_r表示流体在r方向上的运动速度，速度分量u_θ表示流体绕z轴 旋转的速度，速度分量u_z表示流体在z方向上的运动速度。 柱坐标系中的流体连续性方程与笛卡尔坐标系中的流体连续性方程在形式上有 所不同。在柱坐标系中，由于存在旋转对称性，流体在θ方向上的速度分量u_θ 与r无关，因此在对θ求导时，u_θ的导数为0。 在柱坐标系中，流体连续性方程可以简化为： ∂(ρr^2u_r)/∂r + ∂(ρru_z)/∂z + ρu_r/r = ∂ρ/∂t 这个方程描述了质量在柱坐标系中的流动和密度随时间的变化之间的关系。 流体连续性方程是流体力学中一个非常重要的方程，可以用于研究流体的运动、流量和压力分布。在工程和科学领域中，流体连续性方程被广泛应用于各种问题的研究和解决。 总结起来，柱坐标流体连续性方程是流体力学中描述柱坐标系下流体质量守恒 的方程。它是流体力学研究中的基本方程之一，可以用于描述流体在空间中的流动和密度随时间的变化。在柱坐标系中，流体连续性方程的形式与笛卡尔坐标系中的流体连续性方程有所不同，但其物理意义相同。通过对流项和时间变化项的分析，可以获得关于流体流动和密度变化的重要信息。
柱坐标下的连续方程
柱坐标下的连续方程 在物理学和工程学中，我们经常需要研究和解决涉及流体力学、电场和磁场等问题。当我们在描述这些问题时，常常会使用不同的坐标系来建立方程。而柱坐标系是一种常见且广泛应用的坐标系之一。本文将介绍柱坐标下的连续方程，并探讨其应用和解决方法。 柱坐标系简介 柱坐标系是一种常见的二维极坐标系，其中包含两个独立变量，即径向变量和角度变量。在柱坐标系中，我们使用(ρ, φ, z) 表示一个点的位置，其中ρ 是极径，φ 是极角，z 是高度。这种坐标系常常应用于具有柱对称性的物理问题，如圆柱体内的流体运动、电场和磁场分析等。 连续方程的表示 连续方程描述了物质在空间中不断流动和变化的规律。在柱坐标系下，连续方程可以用以下形式表示： ∂(ρvρ)/∂ρ + ∂(vφ)/∂φ + ∂(vz)/∂z + vρ/ρ = 0 其中vρ、vφ 和 vz 分别表示速度场在径向、角向和高度方向的分量。 连续方程的物理意义 连续方程的物理意义是质量守恒。它告诉我们在柱坐标系中，流体的质量在空间中不会被创建或消失，而是始终保持不变。连续方程说明了当流体通过某个截面时，流体的流入量和流出量必须保持相等。这个原理在很多实际应用中都是非常重要的。 连续方程的应用 连续方程在许多物理和工程学领域都有广泛的应用。以流体力学为例，我们可以利用连续方程来研究和分析圆柱体内的流体运动。在电场和磁场的分析中，我们也可以使用连续方程来描述电流和磁场的分布情况。 在实际应用中，解决连续方程往往需要借助数值计算方法。通过将连续方程离散化，可以将其转化为一个数值求解问题。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。这些方法可以有效地解决各种复杂的连续方程问题。
在球坐标系中的波动方程和在柱坐标系中的波动方程
在球坐标系和柱坐标系中的波动方程是物理学和工程学领域中重要的基础知识。波动方程描述了波动现象在不同坐标系中的行为，对于理解声波、光波以及电磁波在不同媒质中传播的规律有着重要的意义。本文将从球坐标系和柱坐标系的定义、波动方程的推导和物理意义等方面来探讨这两个坐标系中的波动方程。 一、球坐标系的定义和波动方程 1. 球坐标系的定义 球坐标系是一种常用于描述球面上的点的坐标系，它由径向距离r、极角θ和方位角φ三个坐标参数组成。在球坐标系中，波动现象的描述往往涉及到球面上的波动传播，比如声波在球形空间中的传播等。 2. 球坐标系中的波动方程 在球坐标系中，波动方程的表达形式会有所不同。通过对波动现象的物理特性进行分析和推导，可以得到球坐标系中的波动方程。这个波动方程将考虑到球坐标系的几何特性和坐标变换。 二、柱坐标系的定义和波动方程 1. 柱坐标系的定义
柱坐标系是一种常用于描述圆柱面上的点的坐标系，它由径向距离ρ、极角φ和轴向距离z三个坐标参数组成。在柱坐标系中，波动现象的 描述往往涉及到圆柱面上的波动传播，比如水波在圆柱容器中的传播等。 2. 柱坐标系中的波动方程 在柱坐标系中，波动方程的表达形式也会有所不同。通过对波动现象 的物理特性进行分析和推导，可以得到柱坐标系中的波动方程。这个 波动方程将考虑到柱坐标系的几何特性和坐标变换。 三、波动方程的物理意义和应用 波动方程描述了波动现象在不同坐标系中的行为规律，对于理解波动 传播的特性有着重要的意义。在物理学和工程学中，波动方程被广泛 应用于声学、光学、电磁学等领域，用于研究声波、光波以及电磁波 在不同媒质中的传播规律，为相关领域的理论研究和实际应用提供了 基础。 总结 在球坐标系和柱坐标系中的波动方程是物理学和工程学领域中重要的
流体力学 坐标变换
流体力学坐标变换 一、什么是坐标变换 坐标变换是指将一个坐标系中的点的位置转换到另一个坐标系中的过程。在流体力学中，常用的坐标系包括笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系等。由于流体力学中的流动往往具有多种运动形式，因此需要在不同的坐标系下进行分析和描述。 二、坐标变换的重要性 坐标变换在流体力学中具有重要的意义。首先，不同坐标系下的流动方程形式不同，选择合适的坐标系可以简化流动方程的形式。其次，坐标变换可以将复杂的流动问题转化为简单的几何形状，便于进行数值模拟和实验研究。此外，坐标变换还有助于分析流体力学现象的特征和规律，提供有关流动场的宏观和微观信息。 三、常用的坐标变换 在流体力学中，常用的坐标变换有以下几种： 1. 笛卡尔坐标系到柱坐标系的变换 柱坐标系适用于具有旋转对称性的流动问题。通过将笛卡尔坐标系中的点的位置转换为柱坐标系中的位置，可以简化流动方程的形式，并提供有关流动场径向和周向分布的信息。
2. 柱坐标系到球坐标系的变换 球坐标系适用于球对称流动问题的分析。通过将柱坐标系中的点的位置转换为球坐标系中的位置，可以更好地描述流动场的球对称特性，并提供有关流动场径向、周向和纬度方向分布的信息。 3. 旋转坐标系的变换 旋转坐标系适用于非惯性系中的流动问题。通过将惯性坐标系中的点的位置转换为非惯性坐标系中的位置，可以考虑到旋转对流动的影响，提供有关非惯性系中流动场的信息。 四、坐标变换的应用举例 坐标变换在流体力学中有广泛的应用。例如，在飞行器气动力学中，通过将飞行器坐标系中的点的位置转换为地面坐标系中的位置，可以研究飞行器在地面坐标系中的运动特性和气动力学性能。在海洋工程中，通过将地球坐标系中的点的位置转换为船体坐标系中的位置，可以分析船体在不同海况下的运动特性和海况对船体的影响。五、总结 坐标变换是流体力学中的重要概念，通过将不同坐标系下的点的位置进行转换，可以简化流动方程的形式，提供流动场的宏观和微观信息，并应用于实际工程中。在流体力学研究和应用中，合理选择
柱坐标导热微分方程推导
柱坐标导热微分方程推导 导热微分方程是描述物质内部热传导过程的数学模型，它在热力学、工程学、物理学等领域有着广泛的应用。在柱坐标系中，导热微分方程可以通过考虑柱坐标系中的热传导过程来推导得出。 我们考虑一个柱坐标系中的圆柱体，假设其半径为r，长度为L。我们希望推导出该圆柱体内部的导热微分方程。 在柱坐标系中，我们可以将温度表示为T(r,θ,z)，其中r表示径向距离，θ表示角度，z表示轴向距离。为了推导导热微分方程，我们需要考虑热量的传导过程。 根据热传导定律，热量的传导速率与温度梯度成正比。在柱坐标系中，热量的传导速率可以表示为： q = -k · ∇T 其中，q表示单位时间内通过单位面积的热量，k表示热导率，∇T 表示温度梯度。 在柱坐标系中，温度梯度可以表示为： ∇T = (∂T/∂r)er + (1/r)(∂T/∂θ)eθ + (∂T/∂z)ez 其中，er、eθ、ez分别表示径向、角度和轴向上的单位矢量。
将温度梯度代入热传导定律的表达式中，我们可以得到： q = -k[(∂T/∂r)er + (1/r)(∂T/∂θ)eθ + (∂T/∂z)ez] 根据高斯定理，单位时间内通过单位面积的热量与热源的总热量之差相等。因此，我们可以通过对柱坐标系内部的一个闭合曲面进行积分，将热量的传导速率转化为热源的总热量。 在柱坐标系中，闭合曲面可以表示为一个圆柱体的侧面加上两个圆盖面。由于圆柱体的侧面趋于无穷小，我们可以忽略其对热量的贡献，只考虑两个圆盖面的影响。 对于圆盖面上的热量传导，根据对称性，我们可以假设温度沿圆盖面的法向方向不变。因此，在圆盖面上的热量传导速率可以表示为：qg = -k(∂T/∂n) 其中，∂T/∂n表示温度在圆盖面上的法向导数。 根据高斯定理，单位时间内通过单位面积的热量与热源的总热量之差相等。因此，我们可以得到： ∫qg · dS = -∫(∂T/∂n) · k · dS 其中，dS表示圆盖面上的面积元素。 将圆盖面的面积元素表示为dS = r · dθ · dz，我们可以得到：
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的 推导及分析 哈尔滨工业大学市政学院 摘要:运用热力学第一定律，建立温度场,利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题 关键词:柱坐标球坐标导热微分方程 1.柱坐标系下导热微分方程 假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源.用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3）表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体,如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即 导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能的增加(Ⅲ）
下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项： 在 dτ时间内，沿 r 轴方向： τϕdzd rd q r r =Φ τϕλτϕλdzd rd r t d dzd rd q r r t r ∂∂-=Φ∴-=∂∂ τϕλdzd drd r t r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ 错误! 在 dτ时间内，沿 ϕ轴方向： τϕλϕ λ τ ϕϕϕϕdrdzd t r t r q drdzd q ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ11 τϕϕ λϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕϕdzd drd t r d d d )1(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ 错误! 在 dτ时间内，沿 z 轴方向: τϕλ λτ ϕdrd rd z t z t q drd rd q z z z z ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ τϕλdzd drd z t r z z dz dz z z z z dz z )(∂∂∂∂=ΦΦ∴∂Φ∂=Φ-Φ+-+ 错误!
柱坐标下的连续性方程推导
柱坐标下的连续性方程推导 在流体力学中，连续性方程是描述流体运动的基础方程之一。在柱坐标系下， 连续性方程可以通过密度、速度和流体体积之间的关系推导得到。 设在柱坐标系下有一个流体体积元素，其半径为r，角度为$\\theta$，高度为ℎ，密度为$\\rho$。流体在该体积元素上的速度为$\\vec{V} = V_r\\vec{e}_r + V_{\\theta}\\vec{e}_{\\theta} + V_z\\vec{e}_z$，其中$\\vec{e}_r$、 $\\vec{e}_{\\theta}$和$\\vec{e}_z$分别是r、$\\theta$和z方向上的单位矢量。 考虑体积元素在时间t内的流入和流出，根据连续性原理，单位时间内通过上 表面流出的流体质量应该等于单位时间内通过下表面流入的流体质量，即$$ \\int_0^{2\\pi}\\int_0^r\\rho V_r r d\\theta dr dz = \\int_0^{2\\pi}\\int_0^r\\rho (V_r + \\frac{\\partial V_r}{\\partial r}dr) r d\\theta dr dz $$ 展开右侧的积分式并忽略高阶项，可以得到 $$ \\int_0^{2\\pi}\\int_0^r\\rho V_r r d\\theta dr dz = \\int_0^{2\\pi}\\int_0^r(\\rho V_r r + \\frac{\\partial}{\\partial r}(\\rho V_r r)dr) d\\theta dr dz $$ 进一步计算右侧的积分，有 $$ \\int_0^{2\\pi}\\int_0^r\\rho V_r r d\\theta dr dz = \\int_0^{2\\pi}(\\rho V_r r^2\\theta|_0^r - \\int_0^r \\frac{\\partial}{\\partial r}(\\rho V_r r) dr) d\\theta dz $$ 化简上式，得到 $$ \\int_0^{2\\pi}\\rho V_r r^2 d\\theta dz = \\int_0^{2\\pi}\\rho V_r r^2 d\\theta dz $$ 最后可得到柱坐标下的连续性方程为 $$ \\frac{\\partial(\\rho r^2 V_r)}{\\partial r} + \\frac{1}{r}\\frac{\\partial(\\rho V_{\\theta})}{\\partial \\theta} + \\frac{\\partial(\\rho V_z)}{\\partial z} = 0 $$ 这就是在柱坐标系下的流体连续性方程，描述了流体在柱坐标系中的运动。在 实际问题中，我们可以利用这一方程推导出具体流体问题的解析表达式，从而更好地理解流体的运动规律。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析柱坐标和球坐标是常见的坐标系，导热微分方程（heat conduction equation）描述了物体内部的温度分布随时间的演化规律。本文将介绍柱 坐标和球坐标下导热微分方程的推导及分析。 1.柱坐标下的导热微分方程推导： 在柱坐标系下，空间点由径向坐标$r$、轴向坐标$z$和角度坐标 $\theta$表示。设物体的温度分布为$u(r,z,t)$，其中$t$为时间。 首先考虑物体内部的导热传导，可以利用热传导定律得到： $$\mathbf{q} = -k\nabla u$$ 其中，$\mathbf{q}$为热流密度矢量，$k$为导热系数。 将柱坐标系下的梯度算子运算展开，并考虑到$u$仅与$r$和$z$有关，导热传导方程可以表示为： $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial u}{\partial t}$$ 2.球坐标下的导热微分方程推导： 在球坐标系下，空间点由径向坐标$r$、极角坐标$\theta$和方位角 坐标$\phi$表示。设物体的温度分布为$v(r,\theta,\phi,t)$。 同样考虑物体内部的导热传导，应用热传导定律可得： $$\mathbf{q} = -k\nabla u$$
展开梯度算子运算后可得： $$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial v}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial v}{\partial t}$$ 3.导热微分方程的分析： 导热微分方程是一个二阶偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时 间的演化规律。 针对导热微分方程，可以进行一系列的数学分析和求解。常见的方法 包括分离变量法、变换法、格林函数法等。这些方法的具体应用与选择取 决于方程的形式、边界条件和初值条件等。 此外，对于具体的物体和问题，还可以利用导热微分方程进行温度分 布的数值模拟和计算。常见的方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。 通过求解导热微分方程，可以得到物体内部温度分布随着时间变化的 解析解或数值解。这些解对于设计和优化热工系统、预测和控制物体内部 温度分布具有重要的理论和实际意义。 综上所述，柱坐标和球坐标下的导热微分方程通过对导热传导方程的 坐标变换和梯度算子运算推导得到。这些微分方程描述了物体内部温度分 布随时间的演化规律，对于研究热传导、设计热工系统具有重要的理论和 实际应用价值。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续 方程推导的巧方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《流体力学》连续方程推导的巧方法 施春华,高庆九,李忠贤 (南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京?210044) 摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。 关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系 在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。目前,很多参考书[123] 对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。 1?连续方程的一般算子形式 流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。 由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质” (流体)中的应用。一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。其算子形式的通用表达式[1] (1) 一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之 则增大。其算子形式的通用表达式[1] (2)
柱坐标流线方程
柱坐标流线方程 柱坐标是一种常见的坐标系，常用于描述绕轴旋转的物理现象。流线是指流体力学中描述流体运动的一种曲线，也可以理解为流体粒子在给定时间内的运动轨迹。柱坐标流线方程即是用柱坐标描述流线的方程。 柱坐标系是由径向、轴向和角度三个坐标轴构成，通常用(r, θ, z)表示。其中，r是指从原点到点P的径向距离，θ是极角，表示径向与x轴正向的夹角，z表示点P在z轴上的垂直距离。 流线方程是通过流体的速度场来描述流线的方程。速度场是指流体中每一点的速度矢量，用(vr, vθ, vz)表示。根据柱坐标系 的特点，速度矢量可以分解为径向速度、角向速度和轴向速度三个分量。 柱坐标流线方程的推导过程相对复杂，需要用到流体力学和偏微分方程等相关知识。下面将简要介绍柱坐标流线方程的推导思路和一些基本概念。 假设某点P(x, y, z)上的速度矢量为(vr, vθ, vz)，其中vr表示径 向速度，vθ表示角向速度，vz表示轴向速度。由于流体是连 续的，所以在点P附近的所有点上的速度矢量也满足相同的 关系。 上面提到的速度场是一个矢量场，它在某一点上的矢量可以用矢量形式表示，即(vr, vθ, vz)。流线是指速度矢量在空间中的 轨迹，也可以看作是速度场的等速线。
为了求解柱坐标流线方程，我们需要找到满足速度场条件的曲线方程。设流线曲线上任意一点处的坐标为(r(t), θ(t), z(t))，其中t是曲线参数。沿着流线曲线方向的切向量为(drdt, dθdt, dzdt)，与速度场方向相同。 由于流线曲线是在速度场中的轨迹，所以速度矢量在流线曲线上的投影与切向量平行。即有： vr = drdt vθ = r*dθdt vz = dzdt 上述三个方程可以看作是柱坐标速度场与流线方向的关系。根据这个关系，我们可以得到流线方程的一般形式。 首先，对于径向速度vr = drdt，我们可以将其写为： dr/r = dt 对上述方程两边积分，可以得到： ln|r| = t + C1 或者，用指数形式表示： r = e^(t+C1) = Ce^t 其中C是一个常数。
流体力学
第1章 绪论 1.1 若某种牌号的汽油的重度γ为7000N/m 3，求它的密度ρ。 解：由g γρ=得，3 32 7000N /m 714.29kg/m 9.8m /m γρ= = =g 1.2 已知水的密度ρ=997.0kg/m 3，运动黏度ν=0.893×10-6m 2/s ，求它的动力黏度μ。 解：ρ μ= v 得，3624997.0kg/m 0.89310m /s 8.910Pa s μρν--==⨯⨯=⨯⋅ 1.3 一块可动平板与另一块不动平板同时浸在某种液体中，它们之间的距离为0.5mm ，可动板若以 0.25m/s 的速度移动，为了维持这个速度需要单位面积上的作用力为2N/m 2，求这两块平板间流体的动力黏度μ。 解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度可计算为 1 3 du u 0.25500s dy y 0.510 --== =⨯ 由牛顿切应力定律d d u y τμ=，可得两块平板间流体的动力黏度为 3 d 410 Pa s d y u τμ-==⨯⋅ 1.4上下两个平行的圆盘，直径均为d ，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩T 的表达式。 题1.4图 解：圆盘不同半径处线速度 不同，速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小面积上可视为常量。在半径r 处，取增量dr ，微面积 ，则微面积dA 上的摩擦力dF 为 du r dF dA 2r dr dz ω μπμδ == 由dF 可求dA 上的摩擦矩dT 3 2dT rdF r dr πμωδ ==
积分上式则有 d 4 3 20 2d T dT r dr 32πμω πμωδ δ = = = ⎰ ⎰ 1.5 如下图所示，水流在平板上运动，靠近板壁附近的流速呈抛物线形分布，E 点为抛物线端点，E 点处0d d =y u ，水的运动黏度ν=1.0×10-6 m 2 /s ，试求y =0，2，4cm 处的切应力。（提示：先设流速分布C By Ay u ++=2，利用给定的条件确定待定常数A 、B 、C ） 题1.5图 解：以D 点为原点建立坐标系，设流速分布C By Ay u ++=2，由已知条件得C=0,A=-625,B=50 则2u 625y 50y =-+ 由切应力公式du dy τμ =得du (1250y 50)dy τμ ρν==-+ y=0cm 时，221510N /m τ-=⨯；y=2cm 时，22 2 2.510N /m τ-=⨯；y=4cm 时， 30τ= 1.6 某流体在圆筒形容器中。当压强为2×106N/m 2时，体积为995cm 2；当压强为 1×106N/m 2时，体积为1000cm 2。求此流体的压缩系数k 。 解：由V 0 V 1dV k ()lim V P V dP ∆→∆=- =- ⋅ ∆得 63 81 6 3 6 2 6 2 1V 1(1000995)10m k 0.510Pa V P 99510m 210N/m 110N/m ----∆-⨯=- ⋅ =- ⋅ =⨯∆⨯⨯-⨯ 1.7 当压强增量为50000 N/m 2时，某种液体的密度增长为0.02%，求此液体的体积弹性模数β。 解：由体积弹性模数公式V 01 V p dp dp V lim k V dV d βρρ∆→∆⎛⎫ = =-=-= ⎪ ∆⎝⎭得 2 8 p p 50000N /m 2.510Pa 0.02% βρ ρ ρρ ∆∆====⨯∆∆
流体力学 7章讲稿
第七章 粘性流体动力学基础 粘性是流体的属性,真实流动都是具有粘性的流动。本章包括： (1) 粘性流体动力学问题的建立； (2) 粘性流动的基本特性； (3) 若干具体问题的解析求解和近似求解。 §7.1 流动的粘性效应 一、圆柱绕流 (参讲义) 二、管内流动 §7.2 层流与湍流 §7.3 广义牛顿粘性应力公式 流体作直线层流运动时，试验得到切应力与变形速率之间的关系式为： dy du μτ =)(212x v y u ∂∂+∂∂=μ 牛顿粘性应力公式 yx p yx με2= 流体作非直线层流动运动时,无法由试验给出应力p ij 与变形速率ε ij 的 关系 一、应力张量 由第四章，粘性流体的应力是二阶对称张量 p xx p xy p xz P={p ij }= p ij e i e j = p yx p yy p yz p zx p zy p zz p yx =p xy p zx =p xz p zy =p yz p n ＝n ﹒P ＝-e j n i p ij 另外，在静止或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力p n 的方向， 都与该平面的单位法线向量n 的方向相反，且法向应力的数值p 与n 无关，即 P n ＝-p n 式中p 只是位置及时间的函数p ＝p(x,y,z,t)。这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。 在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。因此，严格说来，并不存在平
衡态意义上的压力。但定义一平均压力 p m ,它是球形流体微团(也可取任意 形状的流体微团)表面所受法向应力p nn 的平均值的负值，即 ⎰⎰ →-=A nn a m dA p a p 0 2 41lim π 式中 a 为球形微团的半径。 球面上的法向应力p nn 和球面微元面积可写成 p nn =n ﹒p n =n i n j p ij n 1＝sin θcos ε n 2＝sin θsin ε n 3＝cos θ dA ＝a 2 sin θd θd ε 于是 ⎰⎰ - =ππ εθθπ0 20 sin 4d d n n p p j i ij m 此式右侧包括9项，分别积分之，最后得 3 )(31 332211ij m p p p p p - =++-= 即：流场中任意一点的平均压力 p m ，等于过此点的三个坐标面上的法 向应力p 11、p 22、p 33的算术平均值的负值。 把平均压力与平均态压力之差p m -p 称作平均压力偏量。 二、变形速率张量 由第二章，流体变形速率二阶对称张量E E={ε ij }=ε ij e i e j =⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211εεεεεεεεε 式中 )(21i j j i ij x v x v ∂∂+∂∂=ε
柱坐标系和球坐标系下NS方程的直接推导
Derivation of 3D Euler and Navier-Stokes Equations in Cylindrical Coordinates Dingxi Wang School of Engineering, Durham University Contents 1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinates 2. Derivation of Euler Equation in Cylindrical coordinates moving at ω in tangential direction 3. Derivation of 3D Navier-Stokes Equation in Cylindrical Coordinates 1. Derivation of 3D Euler Equation in Cylindrical coordinates Euler Equation in Cartesian coordinates 0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z G y F x E t U (1.1) Where U → Conservative flow variables E → Inviscid/convective flux in x direction F → Inviscid/convective flux in y direction G → inviscid/convective flux in z direction And their specific definitions are as follows ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=E w v u U ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hu wu vu p uu u E ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Hv wv p vv uv v F ρρρρρ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=Hw p ww vw uw w G ρρρρρ ()ww vv uu CvT E +++ =2 1 ()ρ p E ww vv uu CpT H +=+++ =21 H → Total enthalpy
《流体力学》_合肥工业大学_胡小春_曾亿山_答案
流体力学
第1章 绪论 1.1 若某种牌号的汽油的重度γ为7000N/m 3，求它的密度ρ。 解：由g γρ=得，3 32 7000N /m 714.29kg/m 9.8m /m γρ= = =g 1.2 已知水的密度ρ=997.0kg/m 3 ，运动黏度ν=0.893×10-6m 2 /s ，求它的动力黏度μ。 解：ρ μ= v 得，3624997.0kg/m 0.89310m /s 8.910Pa s μρν--==⨯⨯=⨯⋅ 1.3 一块可动平板与另一块不动平板同时浸在某种液体中，它们之间的距离为0.5mm ， 可动板若以 0.25m/s 的速度移动，为了维持这个速度需要单位面积上的作用力为2N/m 2 ，求这两块平板间流体的动力黏度μ。 解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度可计算为 1 3 du u 0.25500s dy y 0.510 --== =⨯ 由牛顿切应力定律d d u y τμ=，可得两块平板间流体的动力黏度为 3 d 410 Pa s d y u τμ-==⨯⋅ 1.4上下两个平行的圆盘，直径均为d ，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩T 的表达式。 题1.4图 解：圆盘不同半径处线速度 不同，速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小面积上可视为常量。在半径r 处，取增量dr ，微面积 ，则微面积dA 上的摩擦力dF 为 du r dF dA 2r dr dz ω μπμδ == 由dF 可求dA 上的摩擦矩dT 3 2dT rdF r dr πμωδ == 积分上式则有