经典奥数专题：数与形(试题)数学六年级上册人教版

经典奥数专题：数与形（试题）数学六年级上册人教版一、选择题1．用小木棒按下图方式摆放图形，第⑧个图形需要（）根小木棒。

A．33B．30C．36D．272．如下图，第5个图形是由（）个小正方形拼成的。

A．16B．20C．25D．363．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（）个点。

A．29B．31C．334．观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是（）。

A．B．C．D．5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。

从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。

下列等式中，不符合这一规律的是（）。

A．25＝9＋16B．36＝15＋21C．49＝21＋28D．64＝28＋366．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（）根小棒。

A．151B．179C．180二、填空题7．观察下图，这样的5张桌子连在一起可以坐( )人，按此规律连下去，坐96人需要( )张桌子。

8．请根据下图中的规律，按要求回答问题。

(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。

(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。

9．下面图形按一定规律排列，这样第⑥幅图中一共有( )个小正方形。

10．根据图中四幅图的规律，第5幅图中有( )个●，第n幅图中有( )个△。

……13．下面图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律摆成的，第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有( )个实心圆。

14．用一根长48厘米的绳子在地上摆正方形。

当这根绳子摆出4个正方形时，正方形的总面积是( )平方厘米，当这根绳子摆出n个正方形时，正方形的边长是( )厘米。

三、解答题248163218．当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。

她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。

由此得出：图①：12＋1×3×2＋32＝42图②：22＋2×5×2＋52＝72图③：42＋4×6×2＋62＝102（1）根据当当发现的规律填空：32＋3×5×2＋52＝（）。

162＋16×19×2＋192＝（）。

（2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？（）＝9220．探索规律。

（1）观察上面的图，发现：图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1图②空白部分小正方形的个数是22＝4＋343图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（）＋（）（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（）。

（3）运用规律计算。

202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。

参考答案：1．D【分析】第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要（6＋3）根小木棒，第3个图形需要（6＋3×2）根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒，第n个图形需要[6＋3×（n－1）]根小木棒，最后求出n＝8时式子的值，据此解答。

【详解】第n个图形需要小木棒的数量：6＋3×（n－1）＝6＋3n－3×1＝6＋3n－3＝3n＋6－3＝（3n＋3）根当n＝8时。

3n＋3＝3×8＋3＝24＋3＝27（根）所以，第⑧个图形需要27根小木棒。

故答案为：D【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。

2．C【分析】观察图形，第1个图形是由1×1＝1＝12个小正方形拼成的，第2个图形是由2×2＝4＝22个小正方形拼成的，第3个图形是由3×3＝9＝32个小正方形拼成的，依次类推，可以看出第5个图形是由52个小正方形拼成的。

据此解答。

【详解】52＝5×5＝25（个）即第5个图形是由25个小正方形拼成的。

故答案为：C【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。

3．A【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。

据此解答。

【详解】第⑧个方框里应画的点数为：4n－3＝4×8－3＝32－3＝29（个）则第⑧个方框里应画29个点。

故答案为：A【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

4．C【分析】观察可知，方框中的圆点数量如，中间4圆点可以呈现出一定的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。

【详解】如图，具有一定的规律性。

故答案为：C【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

5．A【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45…，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。

【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是正方形数，9和16不是三角形数，不符合规律，符合题意；B．36＝15＋21；36＝62，是正方形数，15和21是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；C．49＝21＋28；49＝72，是正方形数，21和28是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；D．64＝28＋36；64＝82，是正方形数，28和36是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意。

故答案为：A【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。

6．A【分析】摆1个六边形需要156+=根小棒，摆2个六边形需要12511011+⨯=+=根小棒，摆3个六边形需要13511516+⨯=+=根小棒，，摆n 个六边形需要()15n +根小棒，据此解答即可。

【详解】摆30个六边形要用：1530+⨯1150=+151=（根）所以摆30个六边形要用151根小棒。

故答案为：A【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。

7． 24 23【分析】把左右两边的4人单独看，则一张桌子对应4个人，一张桌子坐4＋1×4＝8 （人） ， 2张桌子坐4＋2×4＝12人，3张桌子坐4＋3×4＝16（人），则n 张桌子可以坐（4＋4n ）人，据此解答即可。

【详解】这样的5张桌子连在一起可以坐的人数为： 4＋4n ＝4＋4×5 ＝4＋20 ＝24则这样的5张桌子连在一起可以坐24人； 4＋4n ＝96解：4＋4n －4＝96－4 4n ＝92 4n÷4＝92÷4 n ＝23则坐96人需要23张桌子。

【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。

8．(1)10【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。

13．16【分析】由图可知：第1个图中有4＝2×（1＋1）个实心圆，第2个图中有6＝2×（2＋1）个实心圆；第3个图中有8＝2×（3＋1）个实心圆……第n个图中有2×（n＋1）个实心圆；将n＝7代入计算即可。

11111＝18（个）当n＝10时，有10个绿色小正方形；蓝色小正方形有：2n＋6＝2×10＋6＝20＋6＝26（个）答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。

第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。

道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。

【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。

18．（1）82，352（2）22＋2×7×2＋72图见详解【分析】根据题意，用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。

这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积，由此可知：图①：12＋1×3×2＋32＝（1＋3）2＝42图②：22＋2×5×2＋52＝（2＋5）2＝72图③：42＋4×6×2＋62＝（4＋6）2＝102也就是说a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，据此规律解答即可。

【详解】（1）根据当当发现的规律填空：32＋3×5×2＋52＝（3＋5）2＝82162＋16×19×2＋192＝（16＋19）2＝352（2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，用算式表示出来如下：22＋2×7×2＋72＝92；图如下：（2）白色三角形的个数：1＋2＋……＋9＝45（个）黑色三角形的个数：1＋2＋……＋10＝55（个）答：照这样的规律画下去，第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。

【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。

20．（1）5；4（2）72－62＝7＋6（3）210【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。

【详解】（1）52－42＝5＋4（2）72－62＝7＋6（答案不唯一）（3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1＝（20＋1）×20÷2＝21×20÷2＝420÷2＝210【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。