数学物理方法快速学习资料及练习题

现代远程教育《数学物理方法》课程学习指导书作者：先林08年2月课程学习方法指导为便于学员尽快进入本课程的学习，下面将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。

一、课程的性质、目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下良好的基础。

二、课程教学的基本要求通过本课程的教学,学员应达到下列基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在积分中的应用2.掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程3. 初步学会确定边界条件和初始条件4.熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法5.了解特殊函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。

针对课前预习时存在的问题，通过上课时认真的学习，并尝试运用上课时所学容解决这些问题，或者通过课外指导书，仔细研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，从而对课程容有进一步认识。

此外，每章结束后，做好阶段性总结。

还要制定学习计划，善于自主学习。

学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反思。

此外，为方便大家自主学习，现将教材及参考书罗列如下：（一）教材：《高等数学》（第四册）．大学．高等教育（二）参考书：1、《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育，第三版2、《数学物理方法教程》，志旺，高等教育3、《数学物理方法学习指导》，端正，科学希望各位学员善于这些教参书，能取得一个良好的成绩。

课程学习进度安排课程学习课时分配第一章复数和复变函数一、 章节学习目标1. 熟练掌握复数的运算。

2.掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，了解共轭复数的性质。

3.理解复数的几何意义。

4. 了解各种区域。

5. 理解复函的极限与连续。

6. 知道复函极限存在与连续的充要条件。

二、 章节重点本部分学习的主要容包括复数、复变函数的基本概念、复球面与无穷远点三个部分。

掌握复数的几种表示方法。

分别为以下三种：1.复数的代数表示；2.复数的几何表示；3.复数的指数表示。

其中复数的几何表示与指数表示可以使有关复数的运算简化，从而达到能够正确解题的要求。

例如计算复数的乘幂及复数的方根时，运用复数的几何表示和指数表示就能快速计算出结果。

对复数的运算规则也需掌握，需明确实数中的运算规则在复数中同样是适用的。

本部分学习的主要容还包括复变函数的基本概念。

其中所涉及复变函数的极限与连续问题，是首先要了解的。

对于复函的极限定义与连续定义需要知道。

并且需要知道复变函数极限存在与连续的充要条件，即函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=连续的充分必要条件是二元实函数),(),,(y x v y x u 于),(00y x 连续。

这是本章的重中之重，一定要掌握它的定义、定理以及应用，对这一部分书本上的例题要会计算。

三、 章节考试大纲第一节 复数 复数域 复平面 复数的模与幅角 复数的乘幂与方根 第二节 区域与约当曲线 复变函数的概念 复变函数的极限与连续性 第三节 复球面 闭平面上的几个概念四、 章节练习题（一） 选择题1.z 为复数，则（）。

A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。

2．由对数函数的定义有（）。

A()1212Ln z z Lnz Lnz +=•B ()22Ln z Lnz = C1122z Ln Lnz Lnzz ⎛⎫=-⎪⎝⎭D 0Lnz Lnz -=（二）填空题1.复数1i +的幅角为，模为。

2．函数zw R =，将z 平面的图形；以原点为中心，R 为半径的圆，变为w 平面的图形为。

第二章解析函数一、章节学习目标1 理解复函的导数的概念、解析函数的概念。

2 掌握复变函数解析的充要条件，并能应用函数解析的充要条件判别函数的解析性和可导性。

3 了解解析函数与调和函数的关系；掌握从已知调和函数求出解析函数的方法。

4 了解指数函数、对数函数、三角函数、幂函数的定义和性质.二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括解析函数的概念及哥西－黎曼条件、解析函数与调和函数的关系、初等解析函数三个部分。

知道解析函数的概念，并且要深入掌握哥西－黎曼条件，哥西－黎曼条件是本章容的重要部分。

哥西－黎曼条件为下列公式,.u v u vx y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂，记为C －R 条件。

知道C －R 条件后，对函数可微的充分必要条件能更进一步了解。

即函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=可微的充分必要条件是二元实函数),(),,(y x v y x u 于),(00y x 可微并满足C －R 条件。

这是本章的重点，要掌握它的定义、定理以及应用。

掌握解析函数和调和函数之间的关系。

知道任何一个在区域D 上解析的函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。

即满足条件0022222222=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂yvx v y u x u ，。

对已知实虚部，再求解函数的习题，或已知函数，虚部的题要掌握，要学会计算。

对于初等解析函数部分，一些基本的解析函数，如幂函数nz ，指数函数ze ，三角函数sin ,cos ,z z 双曲函数sinh ,cosh ,z z ，等等。

它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广。

要掌握·如何将相应实变函数推广到复数域 ·这些函数的解析性·这些函数作为复变函数所特有的性质 并且掌握初等多值函数的计算。

三、章节考试大纲第一节 导数的定义 哥西－黎曼条件 解析函数的定义 第二节 共厄调和函数的求法 共厄调和函数的几何意义 第三节 初等单值函数 初等多值函数四、章节练习题（一）计算题1.已知1)(,332-=-=i f y y x u ，求解析函数iv u z f +=)(。

2.设ω=0arg(1)2z π≤-<，求(2),(),(0),()i i ωωωω-。

第三章哥西定理 哥西积分一、章节学习目标1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。

2.记住并能熟练地运用公式()2,10,1nli n dzn z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰。

3.牢固地掌握哥西定理及其推广定理。

4．掌握哥西积分公式及其推广定理。

5．掌握解析函数的任意阶导数的存在性。

6．熟练地运用哥西积分公式和柯西导数公式计算复变函数的围道积分。

7．解析函数在平面场中的应用。

二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括复变积分的概念及其简单性质、哥西积分及其推广、哥西积分公式及其推广、解析函数再平面场中的应用四个方面。

会计算一般的积分，并且要掌握哥西积分定理，知道哥西定理的使用条件和围。

若函数()f z 在单连通区域D 上解析，C 是D 的任意一条分段光滑的围线，则()0cf z dz =⎰。

在运用哥西定理解题的时候，要分清积分路径所包含的围，注意函数()f z 在区域D 是否解析。

只有当满足所有条件时，才能运用哥西定理。

对于哥西定理的推广这一部分的容是一样的运用原理。

此外，书本上例题5也是很重要的容，通过此例题的结论()2,10,1nli n dzn z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰也可求积分的值，是很重要的结论。

因此需要将此结论深入理解并记住，并将书上例题掌握。

对于哥西积分公式⎰-=c d zf i z f ξξξπ)(21)(可以改写成()2()c f z dz if a z a π=-⎰这个公式表明，对于在某界闭域上解析的函数，它在区域一点的值可用它在边界上的值表示出来。

这是解析函数的一个基本性质。

借用此公式可以计算某些围线积分。

对解析函数在平面场中的应用部分需要掌握复位势的定义概念，并会计算例题。

三 、章节考试大纲第一节 哥西积分的定义及其计算方法 复变积分的简单性质第二节 哥西积分定理 不定积分 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节 哥西积分公式 解析函数的无限次可微性 模的最大值原理 哥西不等式 维尔定理 摩勒纳定理第四节 什么叫平面场 复位势 举例四、章节练习题（一）选择题1．下列积分不为零的是（）。

A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰；C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。

（二） 填空题1.15z dzz ==+⎰。

（三）计算题1.计算积分⎰czdz Re ，其中积分路径如右图示，（1）C 为连结O 点到i +1点的直线段（2）C 为连结O 点到1点再到i +1点的折线2.计算cos .xx e dx x -∞-⎰3.计算积分⎰-=c z dzI 12， 此处C 是2=z 。

第四章解析函数的幂级数表示一、章节学习目标1.了解在复数围级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛及有关性质，会使用收敛判据。

2. 正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。

3. 掌握泰勒级数与解析函数的关系及泰勒展开的方法。

4. 掌握罗朗级数与奇点存在的关系。

5. 罗朗级数展开的方法。

6. 理解其收敛半径与孤立奇点的关系。

7. 孤立奇点的类型。

8. 精确地判断孤立奇点的类型，掌握其特点。

二、章节重点、要点本部分学习的主要容包括函数项级数的基本性质、幂级数与解析函数、罗朗级数、单值函数的孤立奇点四个方面。

了解幂级数与解析函数的关系，知道解析函数可以表示成幂级数。

根据解析函数的解析围，有两种展开方法可将解析函数表示成幂级数。

(一) 泰勒定理设()f z 在区域D 解析, a D ∈，只要圆:K z a R -<含于D ，则()f z 在K能展成幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑，其中系数()(),0,1,2,,!n n f a c n n ==并且展式是唯一的，此展式称为是()f z 在a 点的泰勒展式，这样确定的系数称为泰勒系数。

可通过上述定理将一个解析函数展开成幂级数。

泰勒展开总结：1、泰勒级数在解析圆域进行展开。

2、展开式是唯一的，可用各种方法展开。

3、展开式在其可展区域是收敛的。

（二）罗朗定理 在圆环:(0,)H r z a R r R <-<≥<∞的解析函数()f z 必可展成级数()()nn n f z c z a ∞=-∞=-∑其中11(),0,1,2,2()n n f c d n i a γζζπζ+==±±-⎰称为罗朗系数,右边的级数称为罗朗级数。