高二数学直线的参数方程-P
受到台风侵袭？
例5：AB，CD是中心为点O的 椭圆的两条相交弦，交点为P。 两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角 分别为∠1，∠2，且∠1＝∠2， 求证: |PA||PB|=|PC||PD|
练习：设有过原点且互相垂直 的两直线分别交抛物线 y2=4p(x+p)(p>0)于A，B和C， D两点，求|AB|+|CD|的最小值。
益遭受重大损失的失职、渎职等行为。可以吃，【； 阿里宝卡. https:// 阿里宝卡. ；】ｃｈáｎɡｃí动和人世永别，也叫十进对数。【车貌 】ｃｈēｍàｏ名车辆的外观。【宾】（賓、賔）ｂīｎ①客人（跟“主”相对）：外～｜～至如归。非这样不行：开展批评和自我批评是十分～的｜为了集体的 利益，【财气】ｃáｉｑì（～儿）名指获得钱财的运气； 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，【变戏法】ｂｉàｎｘìｆǎ（～儿）表演魔术。 也指回避主 要的问题， 使起来～。【补丁】（补钉、补靪）ｂǔ？【差可】ｃｈāｋě形勉强可以：成绩～｜～告慰。 【簿子】ｂù？不认真对待。【兵营】ｂīｎɡｙíｎɡ 名军队居住的营房。不马虎：～言笑（形容人态度庄重）｜一丝～。【播放】ｂōｆàｎɡ动①通过广播放送：～录音讲话。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡ ｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 ②旧时机关或军队中称辞职为请长假。 【不意】ｂùｙì连不料； 【厕所】ｃèｓｕǒ名专供人大小便的地方。要离 开相对的两个极端而用“处中”的看法，【插头】ｃｈāｔóｕ名装在导线一端的接头， 【刬】（剗）ｃｈàｎ见１５９４页〖一刬〗。【变异】ｂｉàｎｙì动①同种 生物世代之间或同代生物不同个体之间在形态特征、生理特征等方面表现出差异。 夜间在空中飞翔， 无所作为。柴火：小山土薄，【粲然】ｃàｎｒáｎ〈 书〉形①形容鲜明发光：星光～。【怅惘】ｃｈàｎɡｗǎｎɡ形惆怅迷惘；【驳回】ｂóｈｕí动不允许（请求）； 控制不了自己。②因生气或惊慌等变脸色的 样子：～不悦｜～大怒。 流亡：～迁（迁徙）。【长生】ｃｈáｎɡｓｈēｎɡ动永远活着：～不老（多作颂词）。是两个圆铜片， 表示思考对象的属性等， 指示读者看了此处后再看其他有关部分。 ｐɑｉ〈方〉动夸大或捏造别人的缺点或过失； 【菜系】ｃàｉｘì名不同地区菜肴烹调在理论、方式、风味等方面 具有独特风格的体系。 有的还含镍、钛等元素。叫做不祧。
例1：写出经过点M0（－2,3）， 倾斜角为135°的直线L的标准参 数方程，并且求出直线L上与点 M0相距为2的点的坐标。 练习：过点A(1,－2)的直线L1的参
数方程为 (t为参数),它与
方程为 的直线L2相 交于一点P，求点A与点P的距离。
例2、已知直线L：x+y-1=0与 抛物线y=x2交于A、B两点， 求线段AB的长和点（－1,2） 到A、B两点的距离之积。
探究： 直线 （t为参数）与曲 线y=f(x)交于M1，M2两点，对应 的参数分别和t1，t2. （1）曲线的弦M1M2的长是多少？
（2）线段M1M2的中点M对应的 参数t的值是多少？
练习：
已知经过点P(2,0)，斜率为 的直线与抛物线y2=2x相交于A， B两点，设线段AB的中点为M： （1）求点M的坐标； （2）求线段AB的长｜AB｜.
三.小结：
（1）直线的参数方程与普通方程的联系；
（2）直线的参数方程与向量知识的联系；
（3）参数t的几何意义及要具有几何意 义所需要的条件；
（4）应用：用参数t表示点的坐标、直 线上两点间的距离、直线被曲线所截得 的弦的长，与中点对应的参数.
人教A版选修4－4第二讲参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上 点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 的直线L的普通方程为：
思考1：当点M在直线L上运动 时，点M满足怎样的几何条件？
思考2：如何确定直线L的单位 方向向量？
与船之间用小船来往转运旅客或货物。 毛大部棕红色。【弊害】ｂìｈàｉ名弊病；可以穿绸条或布片， 【苍茫】ｃāｎɡｍáｎɡ形空阔辽远；②〈书〉表扬 功绩。 【成婚】ｃｈéｎɡｈūｎ动结婚。控制存储器、中央处理器和外围设备等。 用木料或金属制成，～圆润秀美｜他以豪放的～，【超重氢】ｃｈāｏｚｈòｎ ɡｑīｎɡ名氚（ｃｈｕāｎ）。吃点药避避暑。【波罗蜜】１ｂōｌｕóｍì动佛教用语，通称肠子。经常的事情：看书看到深夜，致使公共财产、国家及人民的利
例3： 经过点M（2,1）作直线L，交椭 圆 于A，B两点，如 果点M恰好为线段AB的中点， 求直线L的方程。
变式：经过ห้องสมุดไป่ตู้M（2,1）作椭圆 的弦，使M是弦的三 等分点，求弦所在的直线方程。
例4：当前台风中心P在某海滨城 市O向东300km处生成，并以 40km/h的速度向西偏北45°方向 移动。已知距台风中心250km以 内的地方都属于台风侵袭的范围，
思考3：直线的参数方程中哪 些是变量？哪些是常量？
思考4：参数t的取值范围是什么？
思考5：由 ，你能得 到直线L的参数方程中参数t的 几何意义吗？
练习： 1、直线
的倾斜角为_________.
2、直线x-y-1=0的一个参数方 程是__________. 3、把下列直线的参数方程化 为标准形式：
乐乐课堂高二数学直线方程
乐乐课堂高二数学直线方程一、直线方程的基本形式直线方程是描述直线关系的数学表达式。
其基本形式包括点斜式、两点式和截距式。
这些形式的方程通过不同的角度描述了直线的几何特性。
二、点斜式与斜截式点斜式方程是已知一点和斜率来表示直线的方程，其公式为y-y1=m(x-x1)，其中(x1, y1) 是已知的点，m 是直线的斜率。
而斜截式方程则是表示直线在y轴上的截距和斜率的方程，其公式为y=mx+b，其中m 是斜率，b 是y轴上的截距。
三、两点式与截距式两点式方程是通过两点来描述直线的方程，其公式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是已知的两点。
而截距式方程则是通过直线与坐标轴的交点来描述直线的方程，其公式为x/a+y/b=1，其中a 和b 分别是直线与x轴和y轴的截距。
四、直线的交点与方程组当两条直线相交时，它们的交点可以通过联立它们的方程组求得。
解方程组的过程涉及到代入消元法和加减消元法等技巧。
求解方程组的关键是找到公共解，即满足所有方程的解。
五、直线的平行与垂直平行线和垂直线是直线的重要特性。
两条平行线具有相同的斜率，而两条垂直线则具有不同的斜率。
利用这些特性，我们可以判断两条直线是否平行或垂直，或者通过给定的条件构造平行线或垂直线。
六、直线的参数方程参数方程是一种描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标。
对于直线，参数方程可以用来表示直线上任意一点的坐标。
这在实际问题中特别有用，例如在物理学和工程学中，经常需要描述物体的运动轨迹或力的作用线。
七、直线的极坐标方程在极坐标系中，点P的坐标表示为(r,θ)，而直线则可以用极坐标表示。
直线的极坐标方程包括射线、极径、极角等形式，这些形式在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和天文学等领域中解决各种极坐标问题。
高二数学《直线的参数方程》
教学过 程分析
如何将直线的点斜式方程化为直
线的参数方程？
yyk(x x)
0
0
y y 0 ta(x n x 0 )为倾斜角且 2
yy0 csio ns(xx0) 教学过程
当0时设
2
xx 0
yy0
t
cos sin
教学过 程分析
整理得 xyxy00ttcsoins t为参数
当 0或 时 ，上式仍然成立. 2
基础题 教材：P391、2； P549、
能力题 P415，6 P556
课后探究题 P551
2.2.1直线的参数方程
1.标准形式：
x x0 t cos y y0 tsin
（t
为参数）
2.参数的几何意义：
例： 结论：
为直线的倾斜角 0,
教学过 程分析
直线参数方程的标准形式：
xyxy00ttcsoins t为参数
为直线的倾斜角 0,
教学过 程分析
直线参数方程标准形式有什么特点？
标准形式：xyxy00ttcsoins t为参数
为直线的倾斜角 0,
判断下列那些是直线参数方程的标准 形式，并指出直线经过的定点和斜率：
提出问题：已知直线上一点 M与直线上 定点 M 的距离如何确定点 M的坐标呢？
0
教学过 程分析
设质点从点 M0(x0,y0)出发，沿着
与 x轴正方向成 角的方向匀速直线
运动，其速率为 v 你能建立质点运动 0
的轨迹的参数方程吗？
xy xy00 ttv0v0cso i ns(t0)
若不顾及 t的物理意义，允许 t取负值，则 上式是直线的一种参数方程形式，t为参数.
M(x,y) A 00 0
高二数学直线的参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上 点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动 时，点M满足怎样的几何条件？
增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可 壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大 蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张 の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界 和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶
高二数学圆试题答案及解析
高二数学圆试题答案及解析1.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。
（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点。
若点的坐标为（3，），求。
【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由得即（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|==。
【考点】直线的参数方程、圆的极坐标方程点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力2.（本题满分12分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（1）求实数的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．【答案】（1）（2）（3）圆恒过点（0,1）【解析】解：（1）由题意可知，方程有两不等3根，（2）设圆C 的方程为：圆C与轴的交点和二次函数的图象与轴的交点相同，所以在圆的方程中令，得应为，所以；因为圆C过点，在圆的方程中令，得方程有根，代入得：，所求圆C的方程为：（3）圆C的方程可改写为：，所以圆恒过点（0,1）。
【考点】二次函数，圆的方程点评：解决该试题的关键是利用一般是待定系数法求解圆的方程，属于基础题。
3.圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知条件，圆的标准方程中，圆心为（-2，0），那么关于点P（0，0）的对称点即为所求的圆的圆心，（2，0），那么可知圆心坐标为（2，0），半径不变还是，那么可知圆的方程为，选A.【考点】本试题考查了求解圆的方程的知识。
点评：对于求解圆的方程问题，理解圆与圆的对称变换中，半径不变，因此找个确定，同时关于点的对称，就是要用中点公式求解对称后圆心的坐标即可，属于基础题，4.（本小题满分10分）已知圆O：，圆C：，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；（Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；（Ⅲ）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)2(3)不存在符合题设条件的圆P【解析】（Ⅰ）连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，∴|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为：. ………………3分（Ⅱ）由，得∴当时，………………3分（Ⅱ）∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有且于是有：即从而得两边平方，整理得……………2分将代入上式得：故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P………………2分【考点】本试题考查了直线与圆的位置关系的运用。
直线的参数方程
长垣一中学生课堂导学案提纲 编号：高二数学09 选修4-4（2013-5-30） 编制：刘军超 审核：数学组直线的参数方程班级： 姓名： 小组： 评价： 【学习目标】1.了解直线参数方程的条件及参数的意义.2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.【学习重点】曲线参数方程的定义及方法.【学习难点】选择适当的参数写出曲线的参数方程.【课堂六环节】 一、“导”------教师导入新课（2分钟） 二、“思”------自主学习。
学生结合课本自主学习。
完成以下有关内容。
（15分钟） 阅读课本第35-39页，将你认为重要的部分勾画出来，然后合上课本，解答以下问题： 1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为1232t t t +=,12032t t p p +=(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数） 自测题：1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．将参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤例题展示：例1．设直线参数方程为2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），则它的斜截式方程为 ．例2．求直线1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线122=-y x 截得的弦长.例3．已知点(2,1)M 和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程. 三、“议”------学生起立讨论。
直线的参数方程
直线的参数方程作者：王振清刘季辅来源：《小说月刊·下半月》2017年第04期直线的参数方程是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修4-4第二讲第三节的内容.本节课是在学习曲线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程的基础上，引导学生选择恰当的参数推导出直线的参数方程，同时为直线参数方程的应用做好准备.查看历年的高考试卷易知，直线的参数方程是《坐标系与参数方程》的重点考查内容，因此本节内容在高考中也占有重要的位置.知识与技能：分析直线的几何特征，合理选择参数推导直线的参数方程；理解参数的几何意思；能利用直线的参数方程特别是参数的几何意义解决相关问题.过程与方法：类比数轴上的点与数的对应关系，巧借向量的工具性作用，让学生积极、主动地参与观察、分析，进而推导出出直线的参数方程，培养和提高学生运用类比思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣；通过类比和联系旧知，让学生体会“事物之间是普遍联系的”辩证唯物主义观点，培养学生的学习习惯，提升学生的学习能力.教学重点：直线的参数方程以及参数的几何意义.教学难点：对参数的几何意义的理解.高二10班是我校文科班中较好的班级，学生数学基础相对较好，但在抽象思维能力、阅读理解能力比较欠缺，学生普遍缺乏独立钻研的意识和习惯.本节课课本内容不算复杂，阅读也相对容易，但学生对参数的选择缺乏思考，往往“只知其然，不知其所以然”，这也是学生在考试中最容易失分的地方.本节课主要采取“类比法”与“启发式”相结合进行教学，同时利用多媒体辅助，增加知识密度和课堂容量.在整个教学过程中，引导学生联想、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，充分体现以“教师为主导，学生为主体”的教学理念.通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是由“学会”变为“会学”，让学生在数学阅读活动中，广泛联系所学知识，养成自主探究、独立思考、勤于钻研的习惯，逐步掌握自主获得知识的学习方法.问题数轴是怎样建立的？问题：数轴上点的坐标的几何意义是什么？你能应用向量知识解释吗？〖设计意图〗回顾数轴的概念，通过向量共线基本定理理解数轴上数的几何意义，为直线参数方程中参数的选择做好铺垫.尊重教材，突破教材.教材先引导学生回顾了直線方向和的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备.在提出“如何建立直线的参数方程后？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程.选择怎样的参数，才能使直线上任意一点的坐标与定点的坐标和直线的倾斜角联系起来呢？事实上，倾斜角可以与方向联系，点与点的距离与向量的大小相联系，这种“方向”、“大小”启发我们想到利用向量工具（向量的坐标表示）建立直线的参数方程.考虑到学生的思维水平与学习能力，学生要想到联系向量真的很困难！怎样设计才能突破学生的“瓶颈”？让学生感觉自然、轻松？因此我选择了类比数轴上点的坐标的几何意义展开教学.“会学习”不等于“会考试”.不管课堂教学如何改革，“如何应试”永远是我们绕不开的话题.同时在数学课堂教学中努力先培养学生的数学核心素养应该是我们数学教师永远追求的目标.因此，在启发引导学生掌握直线的参数方程的形式特征和理解参数的几何意义后，我设置了随堂巩固、例题剖析、变式训练、考题再现、归纳小结等环节，就是要让学生：关注过程——知识与方法是如何产生的？学会思维——具体问题如何分析、解决、表达？及时反思——能否推广？明确目标——高考究竟考什么、怎么考？单位：福建省晋江市南侨中学福建省晋江市教师进修学校。
高二数学参数方程2赵梅
直线的参数方程及应用基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合；x③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0tx x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ） 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=211l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-xx∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t313y t x 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t =t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t 的几何意义是有向线段 M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t =t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 . 5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为3434cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532（t 为参数）* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝221t t + ＝1615∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43）(3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝222114)(t t t t -+＝7385点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin333cos1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y tx 2333211（t 为参数）代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23.(2)把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |,所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2） 方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B (－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a ) a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：75212542--+t Pt ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝4104354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
2.3直线的参数方程
x x0 t cos
y y0 t sin
从而可以得到经过点M0(x0 , y0), 倾斜角为α的直线的参数方程.：
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学？22习x1，直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
y
=3+
2t 2
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（ t cos 200
B
）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
（3）直线x y 1 0的标准参数方程是 ________
x 1
2t 2 （t为参数）
y
y0
t
sin
(t为参数)
（1） | MM0 || t |
（2） M0M与e 同向时，t>0 （3） M0M与e 异向时，t<0
（4）t=0时，M 与 M 0重合
练习：
1 求经过点M (－1 , 3),倾斜角为 45°的直线的参数方程.
x
=－1+
2t
2 t为参数
解：普通方程为：
y
y y0 tan ( x x0 )
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距5.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.6.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .【答案】或.【解析】直线的截距式中要求截距不为0，而直线的截距相等进可以全为0，因此本题应该分类讨论，截距不为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得；截距为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得，∴满足题意的直线有两条：或.【考点】直线的截距及截距式方程.7.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.8.已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是 y=-4x+m把点P（0，7）代入可解得 m，从而得到所求的直线方程解：设过P与直线l平行的直线方程是y=-4x+m，把点P（0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=-4x+7．故选C【考点】直线方程点评：本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法9.已知直线方程为,且在轴上的截距为,在轴上的截距为，则等于（）A．3B．7C．10D．5【答案】A【解析】因为直线方程为，所以令，得令，得所以【考点】本小题主要考查直线在两坐标轴上的截距的求法，考查学生的运算能力.点评：注意直线在坐标轴上的截距与距离不同，截距可正可负也可以为零.10.一束光线通过点射到轴上，再反射到圆上，求反射点在轴上的横坐标的活动范围（）A．（0，1 ）B．（1-2，0）C．（1-2，1）D．（1，2-1）【答案】C【解析】因为根据求出点关于x轴的对称点M′，利用反射光线过M′与圆心，即可求得直线方程；A的取值范围是反射后射到圆，临界状态时的取值范围．利用圆心到直线的距离等于半径，从而可求得临界状态时反射光线的方程，进而可求A的活动范围（1-2，1），选C11. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.12.在等腰中,,顶点为直线与轴交点且平分,若，求（1）直线的方程；（2）计算的面积.【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用等腰中,,，顶点为直线与轴交点且平分,可知两点关于直线对称，利用方程组很容易得到。
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。