第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直

第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．[知识梳理]1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示[辨识巧记]1．确定平面的法向量的两种方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定．(2)待定系数法：取平面的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0解方程组求得．2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(选修2－1P 104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不对[解析] 不能确定唯一的实数λ，使n 1＝λn 2，所以n 1与n 2不平行，故α与β不平行；n 1·n 2＝－6＋3－20＝－23，故α与β不垂直．所以α与β相交但不垂直．故选C.[答案] C3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A ．(－1,1,1)B ．(1，－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33 [解析] 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·AB →＝0，n ·AC→＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0， ∴x ＝y ＝z .故选C.[答案] C4．(2019·陕西黄陵模拟)若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87 C.87 D.1914[解析] ∵A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，∴|AB→|＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当|AB →|取最小值时，x ＝87.故选C.[答案] C5．(2019·潍坊摸底)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP→∥BD →.其中正确的是________． [解析] ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP→＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB→与AD →不平行， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确． ∵BD→＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)， ∴BD→与AP →不平行，故④错误． [答案] ①②③考点一 证明平行关系【例1】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.[证明]证法一：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为AQ→＝3QC →， 所以Q 34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P 0,0，12，所以PQ →＝34x 0，24＋34y 0,0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .证法二：在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，D 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0)．∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y,0)，则(x －x 0，y －y 0,0)＝14(－x 0，2－y 0,0)，∴⎩⎨⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF →＝34x 0，24＋34y 0,0又由证法一知PQ →＝34x 0，24＋34y 0,0，∴OF→＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，∴PQ ∥平面BCD .(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．[对点训练]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AA 1的中点，求证：平面EFG ∥平面B 1CD 1.[证明]建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．得E 1，12，0，F 12，0,0，G 1,0，12，EF →＝－12，－12，0，EG →＝0，－12，12. 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EFG 的法向量，n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1CD 1的法向量．则⎩⎨⎧ n 1·EF →＝0，n 1·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 1－12y 1＝0，－12y 1＋12z 1＝0.令x 1＝1，可得y 1＝－1，z 1＝－1，同理可得x 2＝1，y 2＝－1，z 2＝－1.则n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，－1)．由n 1＝n 2，得平面EFG ∥平面B 1CD 1.考点二 证明垂直关系【例2】如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .[思路引导](1)建立坐标系→设出相关点的坐标→证P A →·BD→＝0 (2)取P A 的中点M →证明DM →⊥PB →，DM →⊥P A →→DM ⊥平面P AB[证明] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ，∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)．∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)．∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M 12，－1，32.∵DM →＝32，0，32，PB →＝(1,0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB . ∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．[对点训练]如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .[证明] 由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝AA 1＝2，所以OA ＝OB ＝OA 1＝1，所以A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．因为A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)，所以A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， 所以A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ，BD ，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1C ⊥平面BB 1D 1D .考点三 探究性问题【例3】 如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直．已知BC ＝4，AB ＝AD ＝2.(1)求证：AC ⊥BF ；(2)在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面P AC ⊥平面BCEF ？若存在，求出BP PE 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，AF ⊥AD ，AF ⊂平面ADEF ，∴AF ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥AC .过A 作AH ⊥BC 于H ，则BH ＝1，AH ＝3，CH ＝3，∴AC ＝23，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AC ⊥AB ，∵AB ∩AF ＝A ，AB ，AF ⊂平面F AB ，∴AC ⊥平面F AB ，∵BF ⊂平面F AB ，∴AC ⊥BF .(2)存在．由(1)知，AF ，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点，AB→，AC→，AF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (－1，3，2)．假设在线段BE 上存在一点P 满足题意，则易知点P 不与点B ，E 重合，设BP→＝λPE →，则λ>0，P 2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ. 设平面P AC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由AP →＝2－λ1＋λ，3λ1＋λ，2λ1＋λ，AC →＝(0,23，0)， 得⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝2－λ1＋λx ＋3λ1＋λy ＋2λ1＋λz ＝0，m ·AC→＝23y ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，z ＝λ－22λx ，令x ＝1，则z ＝λ－22λ，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，λ－22λ为平面P AC 的一个法向量． 同理，可求得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1为平面BCEF 的一个法向量．当m ·n ＝0，即λ＝23时，平面P AC ⊥平面BCEF ， 故存在满足题意的点P ，此时BP PE ＝23.向量法解决与垂直、平行有关的探究性问题的思维流程 (1)根据题设条件中的垂直、平行关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．[对点训练](2018·桂林模拟)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)． 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎨⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎪⎨⎪⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0， 得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .课后跟踪训练(五十一)基础巩固练一、选择题1．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[解析] 由题意得，AB→＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .[答案] B2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内[解析] 由AB→＝λCD →＋μCE →可知AB →，CD →，CE →共面，所以AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .故选D.[答案] D3．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)[解析] 经计算，P (2,3,3)满足MP →·n ＝0. [答案] A 4.(2018·郑州月考)如图，F 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EBD ．E 与B 重合[解析] 以D 为原点，DA ，DC →，DD 1→所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，令AB ＝1，则B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，F 0，12，0，D 1(0,0,1)．设E (1,1，a )(0≤a ≤1)，则D 1F →＝0，12，－1，DE →＝(1,1，a )． ∵D 1F ⊥DE ，∴D 1F →·DE →＝0. ∴12－a ＝0，得a ＝12. 故E 为BB 1中点．选A. [答案] A 5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内 [解析]建立如图所示的空间直角坐标系， 由于A 1M ＝AN ＝2a3，则Ma ，2a 3，a3， N 2a 3，2a3，a ， MN →＝－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量． 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . [答案] B 二、填空题6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为__________．[解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4. [答案] 47．(2018·武汉调研)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．[解析] 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β. [答案] α∥β8．(2019·西安调研)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.[解析]由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4，∴x＋y ＝407－157＝257. [答案] 257 三、解答题 9.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .[证明] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0)．证法一：∴EF→＝(0,1,0)，EG →＝(1,2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF→＝0，n ·EG→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB→＝(2,0，－2)，∴PB→·n＝0.∴n⊥PB→，∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.证法二：PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)．设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→，FE→与FG→共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.10.如图正方形ABCD的边长为22，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝3，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.[证明]取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，3)，B(1,2,0)．BC→＝(－2，－2,0)，CF→＝(1,0，3)，BF→＝(－1，－2，3)．(1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1)． 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE→＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE→＝AD →＋DE →＝BC →＋BF → ＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，3) ＝(－3，－4，3)，∴AE →·n ＝33－43＋3＝0， ∴AE→⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3,0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0，∴CF→⊥AF →，CF →⊥AE →， 又AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .能力提升练11．已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD→⊥BC →，则|AD →|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2[解析] ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD→＝(－1,1,1)，|AD →|＝1＋1＋1＝ 3. [答案] C 12.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直[解析] 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，NO →＝(－1,0，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，则直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．[答案] C13．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)及向量a ＝(x ，y,1)，若向量a 分别与AB→，AC →垂直，则向量a ＝__________. [解析] AB→＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，因为向量a 分别与AB→，AC →垂直，所以⎩⎨⎧a ·AB →＝0，a ·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以a ＝(1,1,1)． [答案] (1,1,1) 14.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． [证明] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设D (x ，y ，z )是直线BC 1上的一点，且BD →＝λBC 1→， 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD→＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD →·A 1B →＝0，A 1B →＝(0,3，－4)，则9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时，BDBC1＝λ＝925.拓展延伸练15.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1) B.23，23，1C.22，22，1 D.24，24，1[解析]设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM ⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(2，2，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标为22，22，1.[答案] C 16.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的长度之和为________．[解析] 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )， 由于B 1E ⊥平面ABF ，所以FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. [答案] 1。