Dirichlet积分的计算方法
Dirichlet卷积及积性函数详解
Dirichlet卷积及积性函数详解Dirichlet卷积 (狄利克雷卷积)定义若有两个函数f与g，则其Dirichlet卷积为(∗为卷积，为避免混淆，乘号⽤×表⽰)f(n)∗g(n)=∑d|n f(d)g(nd)⼀些性质交换律：f∗g=g∗f结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)分配律：f∗(g+h)=f∗g+f∗h单位元ϵ定义元函数：ϵ(n)=[n=1]其中[a]指如果a为真，其值为1，反之则为0。
所以f∗ϵ=ϵ∗f=f证明：f(n)∗ϵ(n)=∑d|n f(d)ϵ(nd)∵当nd≠1时⟹ϵ(nd)=0⟹f(d)ϵ(nd)=0∴f(n)∗ϵ(n)=∑d|n且d≠n f(d)ϵ(nd)+f(n)ϵ(1)=f(n)积性函数对于⼀个函数f，若对于所有互质的正整数a,b，均有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
对于⼀个函数f，若对于所有正整数a,b，均有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个完全积性函数。
数学语⾔：对于函数f，若对于∀a,b∈N+,gcd，都有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
对于函数f，若对于\forall a,b \in N^+，都有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
性质：对于两个积性函数f,g，f*g也为积性函数⼀些常见的积性函数1.除数函数：n的约数的k次幂之和，\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k。
2.约数个数函数：n的约数个数，d(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1。
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js3.约数和函数：n的所有约数之和，\sigma(n)=\sigma_1 (n)=\sum_{d|n}d。
4.欧拉函数：[1,n]中与n互质的数的个数，\phi(n)=\varphi(n)=\sum_{n}^{i=1}[gcd(i,n)=1]。
莱布尼兹积分准则
莱布尼兹积分准则莱布尼兹积分准则是微积分中重要的工具之一，它为我们解决一类特殊的积分问题提供了便利。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数的原函数是否存在，并进行求解。
下面我将用生动的语言为大家介绍莱布尼兹积分准则。
让我们来看一个简单的例子。
假设我们要求函数f(x) = x^2的原函数F(x)。
我们可以首先对原函数F(x)进行求导，得到f(x) = x^2。
然后，我们再对f(x)进行积分，就可以得到原函数F(x)。
这个过程可以用数学公式来表示为：F(x) = ∫f(x)dx这里的∫表示积分，dx表示对x进行积分。
可以看出，求解一个函数的原函数就是对该函数进行积分的逆过程。
但是，并不是所有的函数都能找到原函数。
莱布尼兹积分准则就告诉我们，一个函数能找到原函数的条件是它在某个区间上连续，并且满足可积性条件。
也就是说，函数在该区间上应该满足Riemann 可积的条件。
莱布尼兹积分准则的具体表述如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且存在函数M(x)，使得对于该区间上的任意x，都有|f(x)| ≤ M(x)，则函数f(x)在区间[a, b]上可积。
这个准则的意思是，如果一个函数满足在某个区间上连续且有界，那么它在该区间上就是可积的。
也就是说，我们可以找到一个原函数，对它进行积分。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数是否可积，从而避免进行不必要的积分计算。
这对于解决一些复杂的积分问题非常有帮助。
同时，莱布尼兹积分准则也为我们提供了一个判断函数可积性的标准，帮助我们更好地理解微积分的基本概念。
莱布尼兹积分准则是微积分中的重要工具，它告诉我们一个函数是否可积的条件，帮助我们解决一类特殊的积分问题。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以更好地理解微积分的基本概念，并在实际问题中应用它来解决积分计算。
希望通过这篇文章的介绍，大家对莱布尼兹积分准则有了更深入的理解。
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
不定积分的级数敛散判别法
不定积分的级数敛散判别法在数学学科中，不定积分是一个十分重要的概念，可以帮助我们求解复杂的函数积分。
但是，对于不定积分问题的研究并没有止步于此，我们还需要掌握不定积分的级数敛散判别法。
这些判别法可以帮助我们更好地解决不定积分问题，本文将对不定积分的级数敛散判别法进行详细介绍。
1. 条件收敛级数在探究级数敛散问题之前，我们需要先了解一下“条件收敛级数”的概念。
所谓条件收敛级数，是指级数的绝对值收敛，但是本身并不收敛。
例如，下面这个级数就是条件收敛级数：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$$要判断一个级数是否是条件收敛级数，我们需要判断它的绝对值级数是否收敛。
如果收敛，则这个级数就是绝对收敛级数；如果发散但是绝对值级数收敛，则这个级数就是条件收敛级数。
2. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判别不定积分级数收敛的常用方法之一。
它的判别条件为：如果存在一个正数数列 $M_n$ 使得 $\forall x \in [a, b]$，有 $|f_n(x)| \leq M_n$，而 $M_n$ 是收敛的，那么该级数收敛。
举个例子，如果有一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$，我们可以判断它是否收敛。
考虑到 $\sin$ 函数的取值范围在 $[-1,1]$ 之间，因此我们可以令 $M_n = \frac{1}{n^2}$，则 $| \frac{\sin(nx)}{n^2} | \leq\frac{1}{n^2} = M_n$，因此这个级数收敛。
3. Abel判别法与Weierstrass判别法不同，Abel判别法并不要求级数的每一项都小于某个收敛级数，而是要求级数的部分和满足一定的条件。
Abel判别法的判别条件为：如果存在一个单调有界数列$\{b_n\}$ 使得 $\forall x \in [a,b]$，$|f_n(x)| \leq b_n$ 且 $\{ \int_a^b f_n(x)dx\}$ 收敛，则该级数收敛。
傅里叶级数逐点收敛性1
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此，我们可得：
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质，为此，先引入一个引理：
Riemann-Lebesgue 引理：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积，则有：
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ，其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明： 证明思路是分为如下三个步骤进行： ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论； ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论； ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数，即：
f ( x ) = ci ， xi ≤ x < xi +1 ， i = 0,1," , n − 1 ， a = x0 < x1 < " < xn = b ，
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π
∫
δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u
4.AD判别法
积的情况加以证明。
∫ 记 F( x) = x f (t)dt ，则 F (x) 在[a,b] 连续，且 F(a) = 0 。由于 f ( x) 在[a, b]上 a
连续，于是 F (x) 是 f ( x) 在[a, b]上的一个原函数，利用分部积分法，有
∫b a
f
( x) g ( x)dx
=
F ( x) g ( x)
收敛：
∫ (1)（Abel 判别法） +∞ f (x)dx 收敛， g( x) 在[a, + ∞) 上单调有界； a
(2)（Dirichlet
判别法） F (
A)
=
∫A a
f
( x )dx
在 [a,
+
∞)
上有界，g( x
)
在 [a,
+
∞)
上单调且 lim g(x) = 0 。 x→+∞
证 设ε 是任意给定的正数。
∫ A′ f (x)dx < 2M ； A
因为 lim x→+∞
g(x)
=
0 ，所以存在
A0
≥
a
，当 x
>
A0
时，有
|g(x) |< ε 。 4M
于是，对任意 A, A′ ≥ A0 ，
∫ ∫ ∫ A′
f (x)g(x)dx
≤ g( A) ⋅
ξ f (x)dx + g( A′) ⋅
A′
f (x)dx
A
ak +1Bk + ap BpB
k =1
k =1
p −1
∑ = ap - BpB
(ak+1 − ak )Bk 。
Dirichlet积分的一个推广
Dirichlet积分的一个推广王佛生【摘要】推广了Dirichlet积分和几个类似的积分和级数结果.推广后的证明方法基于Bernoulli多项式和Fourier变换.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2018(033)006【总页数】3页(P59-61)【关键词】Dirichlet积分;Bernoulli多项式;Fourier变换;反演定理;Poisson求和公式【作者】王佛生【作者单位】绵阳师范学院数理学院, 绵阳 621000【正文语种】中文【中图分类】O174.22用符号R,Z,N分别表示实数集, 整数集和正整数集. 极限(1)以及和式0<x<π是众所周知的[1-4].Dirichlet积分sinx/xdx→π/2(A→)也是(1)的一个特例.Spiege [5]给出了一个类似的结果如下(2)上述几个积分和求和结果在数学文献中极为常见. 本文的目的是将这些结果推广至任意次数n(n∈N), 也就是下面的定理3. 我们的推广要用到Fourier变换和Bernoulli多项式, 尽管Bernoulli多项式并不会出现在我们的结果中.本文以下部分, 都假定n∈Ν和t,a1,…,an∈R. 为简化结果的表述, 定义一个和式.定义1 定义φn(t;a1,…,an)为sgn(t+b1a1+…+bnan),其中b1,…,bn分别遍历{-1,1}, 即上述和式有2n项. 其中符号函数sgn是指上述和式有如下命题, 其证明在第二部分.命题2 设n≥2, 那么函数φn(t;a1,…,an)数是关于t连续的. 如果t≥n, 那么φn(t;a1,…,an)=0.命题2简化了下述定理3中的描述.定理3 设n≥2,那么φn(t;a1,…,an).(3)且(4)命题2说明, (4)的右端中关于r的和式是有限项之和.注1 定理3对n=1也成立, 如果(3)中的被解释为的话. 注意sinx/x在R上不可积, 也就是说.注2 对n=2, 等式(3)给出了(2)的另一种形式, 即|t-a1+a2|+|t-a1-a2|).注3 综合(3)和命题2, 得到一个推论: 如果那么这一节将证明上述命题2和定理3.用L1表示R上的所有复Lebesgue可积函数. 如果f∈L1, 其Fourier变换定义为将用到Fourier反演定理和如下的Possion求和公式.Possion求和公式 [6]如果f在R上连续, 且对某个s>1成立, 那么引理4 对r=0,1,…n, 有证明首先考虑r<n的情形. 将(t+b1a1+…+bnan)r展开, 那么它就等于其中h(A,t,a1,…,an)是由A,t,a1,…,an决定的值. 所以,至于情形(t+b1a1+…+bnan)n, 我们注意到(t+b1a1+…+bnan)n=n!b1…bna1…an+其中h1(A,t,a1,…,an)是由A,t,a1,…,an决定的. 证毕.对n≥2, 函数φn(t;a1,…,an)是2n个关于t的连续函数之和, 所以也是连续的. 这就给出了命题2的一部分. 命题2的其它部分由上面的引理4给出.下一个目标是引理6. 其证明需要Bernoulli多项式Bn, 这是有理系数多项式, 可以定义为关于x的幂级多项式Bn满足以下两个等式[8]66-68:Bn(t+1)-Bn(t)=ntn-1;(5)(0<t<1).(6)在(6)中, {t}表示t的小数部分, 0≤{t}<1.另外, 还要用到一个结果, 即Bn(t)=ntn-1+t的更低次项.引理5 表达式φn(t+k;a1,…,an)实际上是关于k的有限和, 并且等于bnBn({t+b1a1+…+bnan})/n.(8)证明设p,q(p<q)是整数, 使得t+b1a1+…+bnan<0且t+q+1+b1a1+…+bnan>0.由(5), 有等于(Bn(t+k+1+b1a1+…+bnan)-Bn(t+k+b1a1+…+bnan)).(9)设b1a1+…+bnan∉Ζ. 那么(9)等于b1a1+…+bnan)+Bn(t+p+b1a1+…+bnan)-2Bn({t+p+b1a1+…+bnan}). (10)一个简单的使用(5)的计算表明, 即使当b1a1+…+bnan∈Ζ. (9)也等于(10).最后, 值(10)等于(8)的结果可以通过观察下式得到2nn!a1…an.此式来源于(7)和引理4. 证毕.定理3的证明还需要以下引理.引理6 对表达式n≥2和x∈R\{0}, 有证明由φn的定义, 有φn(2πy/x;a1,…,an)=y∈R.设t=2πy/x, 有引理5表明, 上式等于该结果可化为于是, (6)说明进一步的化简, 可将上式右端化为引理6证毕.最后, 定理3由引理6,Fourier反演定理和Possion 求和公式得出.参考文献:[1] RUDIN W. Real and complex analysis [M]. McGraw-Hill Publishing Company, 1986:266-267.[2] Rudin W. Principles of mathematical analysis [M]. McGraw HillPublishing Company, 1976:198.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 [M]. 北京：高等教育出版社, 2006:779.[4] 郑庆玉, 郭政. 数学分析方法 [M]. 北京：电子工业出版社, 2010:322-325.[5] SPIEGEL M R , LIPSCHUTZ S，LIU J. Mathematical handbook of formulas and tables [M]. McGraw Hill, 2009:110.[6] GODEMENT R. Analysis II-Differential and integral calculus, Fourier series, holomorphic functions [M]. Springer-Verlag, 2005:359.[7] LANG S. Algebra [M]. Springer-Verlag, 2002.[8] IWANIEC H，KOWALSKI E. Analytic number theory [M]. American Mathematical Society, 2004.。
狄利克雷函数的黎曼几分
狄利克雷函数的黎曼几分
摘要：
1.狄利克雷函数简介
2.狄利克雷函数的黎曼积分
3.黎曼积分的应用
4.总结
正文：
一、狄利克雷函数简介
狄利克雷函数（Dirichlet Function）是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出的，其定义如下：
f(x) = 1，如果x是有理数；
f(x) = 0，如果x是无理数。
这个函数在实数范围上定义，值域不连续，是一个偶函数。
它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，但是一个处处不连续的可测函数。
二、狄利克雷函数的黎曼积分
狄利克雷函数的黎曼积分是一个重要的数学概念。
黎曼积分的定义如下：设f(x)在[a, b]上可积，F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的黎曼积分为：
∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)
对于狄利克雷函数，我们可以求其黎曼积分。
由于狄利克雷函数在有理数和无理数之间交替取值，因此在区间[0, 1]上，狄利克雷函数的黎曼积分为1。
三、黎曼积分的应用
黎曼积分在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在求解定积分、计算面积和体积、研究函数的性质等方面都有重要作用。
对于狄利克雷函数，黎曼积分可以帮助我们理解无理数和有理数在实数范围内的分布情况。
通过对狄利克雷函数的黎曼积分，我们可以得到无理数和有理数在[0, 1]区间内的数量比例。
四、总结
狄利克雷函数是一个特殊的函数，其定义基于有理数和无理数的性质。
狄利克雷函数的黎曼积分帮助我们理解无理数和有理数在实数范围内的分布情况，对于研究实数范围内的数学问题具有重要意义。
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[基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计）
Dirichlet 积分的计算方法
赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）
[摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分的六种方法． [关键词] Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数
The Calculation Method of Dirichlet Integral
ZHAO Tian-yu
(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)
Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given.
Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function
积分
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
是著名的Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1]
．因为该积分收敛非绝对收敛，被积
函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分四种新方法．
1 含参变量积分方法
我们知道，含参变量积分
sin ()(0)px x
F p e dx p x
+∞
-=
>⎰ （1） 11
000cos cos px
px
e
xydy dx dx e xydy +∞
+∞--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
由于cos px
px
e
xy e
--≤，积分
px e dx +∞
-⎰收敛，由Weierstrass M 判别法，含参变量积分
cos px
e xydx +∞
-⎰
在[0,1]上一致收敛．由于cos px e xy -在[0,)[0,1]+∞⨯上连续，根据积分顺序交换定理[4]
，11
22
1
()cos arctan px
p F p dy e
xydx dy p y p
+∞
-===+⎰⎰⎰
． 又由阿贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在0p ≥时一致收敛，根据连续性定理[4]，
()F p 在0p ≥时连续，故
000
sin 1(0)lim ()lim arctan 2
p p x dx F F p x p π
+++∞
→→====⎰
2 围道积分方法
设()iz
e f z z =，12,L L 分别是实数轴上[,]R r --与
[,]r R 线段，,r R C C 分别是以原点为圆心，以r 与R 为
半径的上半圆周，Γ是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat 定理知，()0f z dz Γ
=⎰，即
1
2
()()()()0R
r
L L C C f z dz f z dz f z dz f z dz +++
=⎰⎰⎰⎰
（2）
经化简1
2
sin ()()2R
L L r
x
f z dz f z dz i dx x +=⎰⎰⎰
，由小圆弧引理[5]，0lim ()r
r C f z dz i π+→=-⎰，由Jordan 引理[5]，lim
()0R
R C f z dz →+∞
=⎰
．在式（2）两边令0,r R +→→+∞，并整理
得：
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
3 Fourier 变换方法
图1 围道积分路径
设1,1;
()0, 1.t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则它的Fourier 变换为[()]()j t F f t f t e dt ω+∞
--∞
=⎰sin 2ωω=
()F ω．
当1t <时，有1
1
()[()]()2j t
f t F F F e d ωωωωπ
+∞
--∞
==⎰
2
sin cos t
d ωωωπ
ω
+∞
=
⎰
，
特别取0t =得：
sin 2
d ω
π
ωω
+∞
=
⎰
．
4 能量积分方法
设()f t 在Fourier 变换下的象函数为()F ω，则有
2
2
1[()]()2f t dt F d ωωπ+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
（3）
式（3）称为Parseval 等式[6]
，其中2[()]f t dt +∞
-∞
⎰称为()f t 的能量积分.
将上文中Fourier 变换方法的()f t 和()F ω应用在式（3）中，可以得到
22
0sin 2
d ω
π
ωω+∞
=
⎰
．又由分部积分法，
22
sin d ω
ωω+∞
=
⎰
sin 2sin u
d du u
ω
ωω
+∞
+∞
=⎰
⎰
，故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
． 5 Laplace 变换方法
设()sin f t t =，则它的Laplace 变换为0
[()]()st L f t f t e dt +∞
-=
⎰
21
1
s =
+()F s ．
又0sin lim 1t t t →=，()arctan 2s
F s ds s π
∞
=-⎰，由Laplace 变换象函数的积分性质[6]，有sin t L t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()arctan 2s
F s ds s π∞=-⎰，特别取0s =得：0
sin 2
t dt t π
+∞
=⎰
． 6 广义函数方法
单位脉冲函数()t δ也叫狄拉克(Dirac)函数，简称δ-函数，它是一个广义函
数，是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数()f t ，有
sin ()()lim
()(0)t
t f t dt f t dt t ωωδωπ+∞
+∞
→+∞-∞
-∞
=>⎰⎰ （4）
在式（4）中特别取()1f t =，由δ-函数的筛选性质知，左边()1t dt δ+∞
-∞
=⎰，右边
积分中作换元变换u t ω=得：0
sin 1sin 2
sin lim lim t u u
dt du du t u u
ωωωπππ+∞+∞+∞
→+∞→+∞-∞-∞
==
⎰⎰⎰
．故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
. 参考文献
[1] 梁昌洪．复变函数札记[M ]．北京：科学出版社，2011．
[2] 匡继昌．Dirichlet 积分九种解法的思路分析[J ]．高等数学研究，2012，15 ( 4) ：62~ 66.
[3] 张瑰，张梅. 对Dirichlet 积分的几种简便证明[J ]．高等数学研究，2005，8（4）：28~29. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001. [5] 姚端正，梁家宝．数学物理方法[M ]．第二版.武汉：武汉大学出版社，1997． [6] 张元林．积分变换[M ]．第四版.北京：高等教育出版社，2003．。