分式递推数列通项公式的几种求法
（ ㈩ （ Ｄ＝２） （ ≠ｎ， ３ Ｐ ，１， Ａ ）
难点 之一 ， 利用不 动点 、 阵 、 但 矩 特征 根来解 决分 式递 推数列问题 ，则使分式递 推数 列的求解变得 简单而且 有趣。这样 ， 就把高等数学中的某些概念和理论渗透到 了中学数学之 中，使受教 育者能准确地把握 中学数学 的本质 ，这对于理解 中学数学相关 内容 有一定的参考 价值 ， 从而有利于提高教学质量 和教学水平 。 本文考虑如下分式递推数列 ： 设数列 Ｉ的首项为 ａ） １
ｄ———— ——— ———— 一 （ ） — ——・ ——— —：— Ｉ ＝—— — —竺——— —— 二 — — —— ±— — — — 二 — ］ — Ｉ Ｉ
：
定义１ 方程 ） 的根（ 假设存在 ） 函 叫做
的不 动点 。
）
（ 。 — ｃ １（一 ）ｄ ａ ＋ｚ ． ａ ｎ １ （— ）ｏ ＋
Ｘ 等数 ， 比 列且 ） 为
一
（＋ ） （ｃ ｃ ｌ ａ ｄｘ＋ ６ — ）
１２ ５—
【 探索与实践 】 ，
简论 大学生确立远 大理想 的逻辑起点
（ 电子科技大学
丁 科 马克思 主义教育学院 ， 四川 成都
６０ ５ ） １０ ４
摘 要： 大学生理想教育ｉ ￣ ｑ ， 解决培 育学生有理 想这一根 本 问题 ， 在 ｚ ，要 就需要解决如何找 到培育大学生理 想的逻辑起点这一客观现 实问题 。 培育犬学生确立理想的逻辑起 点就是 实践 。 实践过程 中， 育大学生理想 ， 在 培 是
众所周知 ， 对于递推数列Ｘ 】 （ 的通项公式的求 ＝ ｘ） ｆ 法问题 已有许多讨论 。其 中关 于线性递推 问题 用一些 初等数学方法 （ 如不完全归纳 、 定系数法 、 法等 ） 待 消元 就可求出其通项公式 。对于非线性递归 问题 ， 本文不作 般性的讨论 ，而仅就其 中一种特例——分式 递推数
－ — — —
／） ， 方 ， （＿ 考 程 筹 等 虑 ＝
即ｃ （一 ） ｂ Ｏ 口＋ｄ口Ⅱ ＝ 一 （） ２
３利用特征 理论 求解分式递推数列的通项公式 公 式％ ａ ｂ （ ： ａ＋ ｎ １ ２Ａ） 其 中口 ｂｃ ｄ 常 ， （ ， ， ，为
，
定理 １ 如果数列 满足 （ ）而且 函 ％） １，
设Ａ 是数域 上的一个ｎｎ ＿ 又 ） ＩＥ ＡＩ 的 ｘ￣ 阵， Ａ ＝ － Ａ 是Ａ
特 征 多项 式 ， Ａ） 贝 （ｕ Ａ ０ ） ＋ ＋ 一 ） ａ＋ ＋ 呻 Ａ Ａ （ １
Ｌ
而且 ｌ ＝
（＝ ， ， （ 中ａｂ ｃｄ ｎ １２ Ａ）其 ， ，，为常数 ， ≠ ｃ
一
） 只有
数 ， ， ＃Ｏ ｃ 同时旦 ≠ ｂ ｏ已知初值铂， 了确定这 类 为 数列的通项公式 ， 先作变量替换 ， ： 首 令
：
个动 数 ｝ 不 点 ， 列｛ 则
为等 差数列 ， 且数列 ‘ 的通项公式为 ％１
１ ｌ —
ｄ 则珥 旦 所 以原递推关系式变为 ： ，
一
数列
的通项公式为
ａｌ 几
一
‘ Ⅱ
， ｃ ， ａ 、 １ ， ／ 十 ｄ
ａ１灿 ｃ — Ａ＋ｄ
２利用矩阵求解分式递推数列的通项公式 分式递推数列 （ ） １定义为
：
列的通项公式 的求法 ，运用 高等数学方法作一 些初步 探讨 ， 用以抛砖 引玉。分式递 推数列是 中学数学教学的
【 法研 究 】 教
分式递推数列通项 公式 的几种求法
（ 成宁职业技术学院
成宝娟 机 电系 ， 湖北
咸宁
４７０ ） ３ １０
摘要 ： 本文运 用高等数 学的观点 ， 分别利用不动点 、 矩阵、 特征根 的知识 ， 可以较 简便地推导 了分式递推 数列
的通项公式。 ．
关 键 词 ： 式 递推 数 列 ； 项公 式 ； 分 通 不动 点 ； 阵 ； 征根 矩 特 中 图 分 类号 ： ６ ２ １ Ｇ ４． ４ 文献 标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ４ ９２ （０ ２ ００ ０ ５ — ２ １７ — ３ ４２ １ ）１ — １ ２ ０
…
３Ｏ㈣ ： ） ， （ ｔ使 ； ＃
达 ，着 需 。 １ 式接 只 求ｆ ｎ 。
、 Ｃ 口，
（ ４ ）
于是式 （ ） 给出 了数列 的通项公式 的矩 阵表 ４就 ％】
引理 １ 哈密 尔顿—凯 莱 （ ａ ｌ ｎ ｃ ｙ ｙ 定理 ） （ Ｈ ｍｉｏ— ａｌ ） ｔ ａ ，
，
￣ ｎ ｅ － － ）２ （ １
：
Ｗ．ｄ －
ａ
＋ ｂ
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定理２ 如果数列 ％｝ 满足式（）且函数 ） １， 有两
个互 异的不动点） ， Ｌ 则有数列 ａ 、 ． －
．
令 Ｗ ＝玉
— — — — — 一
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＝ ｄ＋ ６ ａ ） —— ０＋ （ｃ—ｄ Ｘ－ ｎ Ｉ＝
《 思想道德修 养与法律基础》 关于大学生理想教 育的核心与 实质ｆ￣ 。 － ． － Ｉ
关键词 ： 大学生； 远大理想； 逻辑起 点
中 图分 类 号 ： ４ Ｇ６ ５ 文献标志码 ： Ａ
Ｉ ｌ＝ ＡＥ０
０时 ≠ ） 同 詈 寺
我们 式 （ ） １为分 式递推 公式 ， 而数列 称 为分式 ％｝ 递么 。ｂ ，
若Ａ 有二互异 的特征根仅 Ｂ 则式 （ ） ，， １ 的通项公式为 ：
１利用不 动点 求解分式递推数列的通项公 式
由
） 所确定 的数列为 ｝由式（ ） 函数 ， １得
若Ａ 有二重特征根 ， 则式 （ ） １ 的通项公式为 ： ［ １ （－ ａ ＋ Ｌ ，（－ ） （ ａ ）ｏ ａ＋ １ ｂ ｎ ） ｎ ｌ （ Ⅳ） ７ 了 广 （ 一 ）ｎ了（一 ）ｄ ） ｎ １ｃ１ ｎ １（ — ＋ ＋ 、’
一类分式型递推数列通项公式的统一求法
一类分式型递推数列通项公式的统一求法
一类分式型递推数列通项公式的统一求法包括三个步骤，即确定
初始数，选择求解方法以及能够求出结果的运算步骤。
第一步，根据已知条件，确定初始数，即从起始位置开始进行累加，例如，当递推数列为：an=1/a1+1/a2+…+1/a(n-1)+1/an时，因为
已知在第一个位置时的取值是1，所以初始数为1。
第二步，选择求解方法。
一般来讲，递推数列求解有两种方法，
即解析法和计算法。
解析法是指采用某种特定的方法对原求解对象进
行拆分，并在分析后证明结果的正确性，计算法是指利用已知参数计
算得出原求解对象的值，如积分、概率等方法。
第三步，能够求出结果的运算步骤。
一般递推数列可以使用递归
的办法求出通项公式，即把原递推公式中的n变量代入上一项的值，
直到可以得出最终的结果。
总之，一类分式型递推数列通项公式的统一求法包括确定初始数，选择求解方法以及能够求出结果的运算步骤三个部分。
首先确定初始数，然后根据递推公式来选择求解方法，最后通过递归方法得出最终
结果即可。
最全的递推数列求通项公式方法
最全的递推数列求通项公式方法递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。
求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。
下面将介绍最常用的几种方法。
1.等差数列通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。
这是等差数列的通项公式。
2.等比数列通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。
这是等比数列的通项公式。
3.斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。
但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。
4.龙贝尔数列通项公式龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。
设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。
这是龙贝尔数列的通项公式。
5.通项公式的递推法有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。
递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。
这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。
总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。
在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。
对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。
数列递推公式求通项公式的方法
数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。
而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。
这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。
2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。
递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。
对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。
4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。
然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。
差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。
5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。
比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。
需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。
在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
数列通项篇(分式型递推式求通项)
数列通项篇（分式型递推式求通项）分式型递推式求通项 形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21两种方法三种类型三条原则两种方法：减倒法：即减个数字取倒数减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）三种类型D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21 DCx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程 若21,x x 为对应的特征根，则有（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1x a n -等差数列， （2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{21x a x a n n --等比数列， （3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{21x a x a n n --周期数列，例1、在数列}{n a 中，21=a ，13371+-=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-•++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，42321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________三、分式型递推式求通项的三条原则（1）选择题、填空题直接列举找规律；（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造； 例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，12-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若25=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。
我们逐个讲解一下这些重要的方法。
递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。
（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
分式型递推数列通项公式的求法
分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。
首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。
特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。
例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。
步骤二：列出递推关系式。
基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。
通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。
例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。
一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。
这可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。
例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。
步骤四：求解递推数列的通项公式。
一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。
为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。
关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。
求数列通项公式的七种模型
一、高考数列求通项公式模型【简便记忆】二．高考数列求通项公式【详细解读】1．【归纳法】 适用于：列举法给出的数列模型即1234,a a a a ,,···； 【模型特征】：给出数列的前几项，通过归纳、猜想、找规律。
【求解方法】根据1(2)34⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（）相邻项的特征分式中分子、分母的特征（）拆项后的特征（）各项的序号与项之间的变与不变特征例1.根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式。
（1）—1，7，—13，19，···； （2）0.8, 0.88，0.888，···； （3）115132961,,,,,248163264--，···； ●点评：该法属于不完全归纳法，仅用来解选择、填空题，对于大题，用此法还要用数学归纳法进行证明，另外求得的通项公式一定要代值检验，以防出错。
2．【累加法】 适用于：1()n n a a f n +=+模型（先累后求和） 【模型特征】：1()n n a a f n +、系数相同，作差，是关于n 的函数。
【求解方法】221()(()()-=()()()1()()(1)n n f n pn q f n pn qn r a a f n f n pq r f n n n +=+⇒⎧⎪=++⇒⎪⎪=+⇒⎨⎪⎪=⇒+⎪⎩一次型）等差求和二次型分组求和指数型等比求和分式型裂项求和化为例2． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（一次型） 答案：等差求和2n a n =例3. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（指数型） 答案：等比求和31n n a n =+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且写*12()n n a a n n N +=+∈出数列{}n a 的通项公式. （一次型）答案：等差求和21n a n n =-+练习2.已知数列}{n a 满足13a =，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-，求此数列的通项公式.答案：裂项求和12n a n=-3．【累乘法】 适用于： 1()n n a f n a += 模型（先累后求商）【模型特征】1()n n a a f n +、系数相同，作商，是关于n 分式型的函数。
初中数学求数列通项公式的十种方法
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
解：已知等式可化为：
( ) (n+1) ,即
时，
= = .
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习2．已知数列 满足
，求数列 的通项
说明：(1)若方程 有两不同的解s , t,
则 , ,
由等比数列性质可得 , ,
由上两式消去 可得 .
(2)若方程 有两相等的解 ，则
，
,即 是等差数列，
由等差数列性质可知 ，
所以 ．
例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。
解：∵对任意 有
∴当n=1时， ，解得 或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵ 各项均为正数，∴
当 时， ，此时 成立
当 时， ，此时 不成立，故 舍去
令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，
分式型递推数列通项公式的求法
一类分式型递推数列通项公式的求法2012年高考大纲全国卷考查了形如1+n a =DCa B Aa n n ++递推数列通项公式的求法。
由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想,更要有较强的运算能力，具有很强的综合性，因而备受命题者的青睐。
不少同仁也研究过此类问题，如文[]1,推导过程有点烦琐。
也用高等数学不动点知识来求解，这种解法对高中生来说很难接受。
本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法.一 形如p a n =21--+n n qa a 递推数列通项公式求法不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用,不再推导. 结论 1 如果21,x x 是递推关系p a n =21--+n n qa a （10,a a 给定）的特征方程=2x q px +的两个根，则（1)当21x x ≠时，nn n x x a 2211αα+=；(2）当21x x =时，n n x n a 121)(ββ+=.这里21,αα，21,ββ都是由初始值确定的常数. 二 形如1+n a =DCa B Aa n n ++递推数列通项公式求法 为了研究问题的一般性,这里0,0≠-≠BC AD C 。
设D Cx B Ax x f ++=)(，且初始值()11a f a ≠.方法1 构造法两边同减去α，α-+1n a =D Ca B Aa n n ++α-=D Ca D B a C A nn +-+-αα)( =αααααααC D a C C A D B a C A n n ++--+-+--)()())((.令02=-+-αααC A D B ,即0)(2=--+B A D C αα，α可看成是方程0)(2=--+B x A D Cx (1)的根.由于此时C D x -≠（假设CD x -=,代入方程,可得BC AD =,与已知条件相矛盾。
同理C A x ≠）.所以方程（1）与方程DCx B Ax x ++=(2)同解。