运筹学Chapter-3--运输问题
2018/11/27 4
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
问题。把这个问题整理成为一个表,称之为运价表。 （见下页）
2018/11/27
返回第三章目录
2
表3-1 运价表
销地 产地 A1 x11 x21 B1 c11 c21 … cm1 x12 x22 B2 c12 c22 … cm2 ┅ ┅ ┅ … … … … x1n x2n Bm c1 n c2 n … cmn 产量 a1 a2
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2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
由某一产地运往各 个销地的物品数量 之和等于该产地的 产量
由各个产地运往某 一销地的物品数量 之和等一该销地的 销量 非负条件
非负约束
这是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。 但是，由于它所含变量多，求解极不方便。即使求解一个 m＝3，n＝4的简单运输问题，变量数目也将达到19个之多。 因此，必须寻找更简便的求解方法。
称 为 产 销 平 衡 运 输 问 题
A2
┇
Am
┇xm 1┇Fra bibliotekxm 2
┅
┅
┇
am
xmn
销量
b1
b2
┅
bn
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变量 xij( i = 1,2,..,m;j = 1,2,…,n )为由产地 Ai 运往销地 Bj 的物品数量。 m n m n ai b j ai b j
用西北角法确定运输问题的初始可行解
销地 产地
B1 4 8 2 6 8 8-8=0 8 8
B2 12 10 4 5 8
B3 4 3 11
B4 11 9 6
产量
A1
A2 A3 销量
16 16-8=8 8-8=0
10 4-4=0 10-6=4 22 22-8=14 48
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8
§3-2 用表上作业法求解运输问题
它是求解运输问题的一种简便而有效的方法,其求解过程 在运输表上进行,它是一种迭代法,其步骤为： 1. 先按某种规划找出一个初始解(初始调运方案）； 2. 对现行解作最优性判别； 3. 若不是最优解 ,就在表上对它进行调整改进 ,得出一个 新解； 4. 再判别,再改进,直到得到运输问题的最优解为止； ※在迭代过程中,得出的所有解都要求是运输问题的基可 行解。 例2 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产 的产品由4 个销售地出售，各工厂的生产量，各销售地的销 售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售地的单位运价 （元/吨）示于表3-4中，要求研究产品如何调运才能使总运 费最小？
即除第i个和第( m + j )个分量为1外，其它分量全等于0。
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运输问题的特点:
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于 每一个变量在前 m 个约束方程中出现一次,在后 n 个约束方 程中也出现一次。 如果是产销平衡运输问题,还有以下特点： （3）所有结构约束条件都是等式约束； （4）各产地产量之和等于各销地销量之和。 例1 某种物品先存放在两个仓库A1和A2中，再运往三个 使用地B1，B2，B3，其间的运距（或单位运价）如表3-2小方 格中的数据所示，试建立使总运输量（或总运费）最小的运 输问题数学模型。
i 1 j 1
称 为 产 销 不 平 衡 运 输 问 题
i 1
j 1
3
产销平衡运输问题的数学模型 极小化
min z cij xij
i 1 j 1 m n
总运输费用 产量约束 销量约束
n xij ai ; i 1,2,...,m 1 jm xij b j ; j 1,2,...,n i 1 xij 0 ; i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
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一、确定运输问题的初始基可行解（初始调运方案）
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
16-10=6 6-6=0 16
A1 A2 A3 销量 8-8=0 8 8
4
2 8
12 10
10 2 14 5
4 6
3 11 8
10-10=0 12-2=10 12
11
9 6 14 14-8=6 6-6=0
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
问题。把这个问题整理成为一个表,称之为运价表。 （见下页）
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表3-1 运价表
销地 产地 A1 x11 x21 B1 c11 c21 … cm1 x12 x22 B2 c12 c22 … cm2 ┅ ┅ ┅ … … … … x1n x2n Bm c1 n c2 n … cmn 产量 a1 a2
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2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
由某一产地运往各 个销地的物品数量 之和等于该产地的 产量
由各个产地运往某 一销地的物品数量 之和等一该销地的 销量 非负条件
非负约束
这是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。 但是，由于它所含变量多，求解极不方便。即使求解一个 m＝3，n＝4的简单运输问题，变量数目也将达到19个之多。 因此，必须寻找更简便的求解方法。
称 为 产 销 平 衡 运 输 问 题
A2
┇
Am
┇xm 1┇Fra bibliotekxm 2
┅
┅
┇
am
xmn
销量
b1
b2
┅
bn
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变量 xij( i = 1,2,..,m;j = 1,2,…,n )为由产地 Ai 运往销地 Bj 的物品数量。 m n m n ai b j ai b j
用西北角法确定运输问题的初始可行解
销地 产地
B1 4 8 2 6 8 8-8=0 8 8
B2 12 10 4 5 8
B3 4 3 11
B4 11 9 6
产量
A1
A2 A3 销量
16 16-8=8 8-8=0
10 4-4=0 10-6=4 22 22-8=14 48
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§3-2 用表上作业法求解运输问题
它是求解运输问题的一种简便而有效的方法,其求解过程 在运输表上进行,它是一种迭代法,其步骤为： 1. 先按某种规划找出一个初始解(初始调运方案）； 2. 对现行解作最优性判别； 3. 若不是最优解 ,就在表上对它进行调整改进 ,得出一个 新解； 4. 再判别,再改进,直到得到运输问题的最优解为止； ※在迭代过程中,得出的所有解都要求是运输问题的基可 行解。 例2 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产 的产品由4 个销售地出售，各工厂的生产量，各销售地的销 售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售地的单位运价 （元/吨）示于表3-4中，要求研究产品如何调运才能使总运 费最小？
即除第i个和第( m + j )个分量为1外，其它分量全等于0。
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运输问题的特点:
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于 每一个变量在前 m 个约束方程中出现一次,在后 n 个约束方 程中也出现一次。 如果是产销平衡运输问题,还有以下特点： （3）所有结构约束条件都是等式约束； （4）各产地产量之和等于各销地销量之和。 例1 某种物品先存放在两个仓库A1和A2中，再运往三个 使用地B1，B2，B3，其间的运距（或单位运价）如表3-2小方 格中的数据所示，试建立使总运输量（或总运费）最小的运 输问题数学模型。
i 1 j 1
称 为 产 销 不 平 衡 运 输 问 题
i 1
j 1
3
产销平衡运输问题的数学模型 极小化
min z cij xij
i 1 j 1 m n
总运输费用 产量约束 销量约束
n xij ai ; i 1,2,...,m 1 jm xij b j ; j 1,2,...,n i 1 xij 0 ; i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
2018/11/27
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一、确定运输问题的初始基可行解（初始调运方案）
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
16-10=6 6-6=0 16
A1 A2 A3 销量 8-8=0 8 8
4
2 8
12 10
10 2 14 5
4 6
3 11 8
10-10=0 12-2=10 12
11
9 6 14 14-8=6 6-6=0
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
第三章 运输问题 运筹学 课件
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x23检验数为 7-3+4-5=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x31检验数为 7-4+4-5=1
销地 产地 A1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
4
2 1
4 6
3
4 3
7
3
5
6
A3
销量 2
7
5
4
8
3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
4
2 4
4 6
3
4 3
7
0
5
6
A3
销量 2
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
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6
3
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8
3 13
x23检验数为 7-3+4-5=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
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3 13
x31检验数为 7-4+4-5=1
销地 产地 A1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
4
2 1
4 6
3
4 3
7
3
5
6
A3
销量 2
7
5
4
8
3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
4
2 4
4 6
3
4 3
7
0
5
6
A3
销量 2
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
45
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
46
首先建立电子表格
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区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
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49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
运筹学第3章：运输问题
收点 发点 B1 10 B2 5 7 10 12 7 15 15 3 5 8
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题.这类问题一般可用线性规划模型来描述,当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法-—表上作业法.此外，有些线性规划问题从实际意义上看,并非运输问题,但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt）,问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3-2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0,i=1,2，3；j=1,2,3生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。