2004,小波降噪阈值选取的研究_余晃晶
小波降噪阈值选取的研究
余晃晶
(三明学院,福建 三明365004)
摘 要:小波分析用于信号降噪的过程中,核心的算法就是在小波系数上作用阈值,因为阈值的选取直接影响降噪的质量.笔者就阈值的选取做了一些理论分析并在MATLAB 环境下进行仿真研究,得出应用小波降噪过程中阈值选取的一些实际结论.
关键词:小波变换;阈值;降噪
中图分类号:TP301.6 文献标识码:A 文章编号:1008-293X (2004)09-0034-05
实际采集的信号中常含有噪声,只有作降噪处理才能有效地表现原信号中有用的信息.信号降噪方法有时域和频域两种方法,但是归根到底是利用噪声和信号在频域上分布的不同进行的:信号主要分布在低频区域,而噪声主要分布在高频区域,但同时信号的高频区域也存在被检测对象的某些重要特征.传统的Fourier 分析方法可将信号的高频成分滤除,虽然也能够达到降低噪声的效果,但却影响了信号的某些重要特征.如何构造一种既能够降低信号噪声,又能够保持信号某些重要特征的降噪方法是此项研究的目标,而这在小波变换这种强有力的信号分析工具出现以后已经成为可能.由于小波变换同时具有时域和频域上的局部性特性,优于傅立叶变换,所以它一出现,就很快被普遍应用于信号处理中.本文就小波分析用于信号降噪的过程中阈值的选取做一些理论分析,并在MATL AB 环境下做了仿真研究,得出应用小波降噪过程中阈值选取的一些实际结论.
1 小波变换用于降噪的基本原理
1988年,文献〔1〕提出了多分辨分析的概念,并给出了小波分解与重构的快速算法,即Mallat 算法.根据这一算法,若f k 为信号f (t )的离散采样数据,f k =c 0,k ,则信号f (t )的正交小波变换分解公式为
c j ,k =∑n c j -1,n h n -2k ;
d j ,k =∑d j -1,n g n -2k .(k =0,1,2,…n -1)(1)
式中:c j ,k 为尺度系数;d j ,k 为小波系数;h ,g 为一对正交镜像滤波器组(QMF );j 为分解层数;N 为离散采样点数.小波重构过程是分解过程的逆运算,相应的重构公式为
c j -1,n =∑n c j ,n h k -2n +∑n
d j ,n g k -2n
(2)
小波的多分辨分析特性可将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解,并将交织在一起的各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号,因而对信号具有按频带处理的能力.
对于一个含噪声的一维信号的基本模型通常表示成如下的形式:
s (n )=f (n )+σe (n ) (n =0,1,2,…n -1)(3)
式中:f (n )为原始信号;e (n )为噪声信号;s (n )为含噪声信号;σ为噪声强度.在最简单的情况下可以假设e (n )为高斯白噪声,且σ=1.小波变换的目的就是要抑制e (n )以恢复f (n ).在f (n )的分解系数比较稀疏(非零项很少)的情况下,这种方法的效率很高.为了从含噪信号s (n )中还原出真实信号f (n ),可以利用信号和噪声在小波变换下的不同特性,通过对小波分解系数进行处理来达到信号和噪声分离的目的.在实际工程应用中,有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则通常表现为高第24卷第9期2004年9月 绍 兴 文 理 学 院 学 报JOUR NAL OF SHAOXING UNIVERSITY Vol .24No .9Sep .2004 收稿日期:2004-07-06
作者简介:余晃晶(1965-),男,福建连江人,讲师.研究方向:单片机和信号处理等.
DOI :10.16169/j .issn .1008-293x .s .2004.09.009
频信号,所以我们可以用式(1)先对含噪声信号进行小波分解(如进行三层分解):
S =cAi +c D 1=cA 2+c D 2+c D 1=cA 3+c D 3+c D 2+c D 1(4)其中cAi 为分解的近似部分,c Di 为分解的细节部分,i =1,2,3,则噪声部分通常包含在cD 1,c D 2,c D 3中,用门限阈值对小波系数进行处理,用式(2)重构信号即可达到降噪的目的.
应用小波分解与重构的方法降噪具体步骤为:
(1)信号分解:选择一种小波函数并确定小波分解的层数N ,然后对信号进行N 层小波(小波包)分解.
(2)作用阈值:对分解得到的各层系数选择一个阈值,并对细节系数作用软阈值处理.关键的问题是如何选取阈值和如何进行阈值的量化,有多种规则和方法.
(3)重建信号:将处理后的小波系数通过小波(小波包)重建恢复原始信号.
2 基于原始信号的阈值选取
基于原始信号的阈值选取需要充分利用信号和噪声的先验信息,对各层系数降噪所需的阈值一般是根据原始信号的信噪比来取的,从理论模型里这个量是用式(3)中的σ来表示,从s (n )中提取σ的方法有很多,在假定白噪声的情况下,一般是用原信号的小波分解的各层系数的标准差来衡量.在得到噪声强度σ以后,阈值的确定主要有以下几个数学模型:
〔3〕
(1)由Donoho -Johnstone 提出的阈值确定模型,阈值由如下公式给出
T =σ21og e n 其中n 为信号的长度.
(2)Birge -Massart 策略所确定的阈值,阈值由如下算法得到:
(ⅰ)给定一个指定的分解层数j ,对j +1以及更高层,所有系数保留;
(ⅱ)对第i 层(1≤i ≤j ),保留绝对值最大的n i 个系数,n i 由下式确定:
n i =M (j +2-i )α式中M 和a 为经验系数,缺省情况下取M =L (1),也就是第一层分解后系数的长度,M 满足L (1)≤M ≤2L (1),a 一般取3.
(3)小波包变换中的penalty 阈值,阈值通过下式给出:
令t ＊为使函数crit (t )=-∑k ≤t
c 2k +
2σ2t (α+log (n /t ))取得最小值的t ,其中c k 为小波包分解系数排序后第k 大的系数.n 为系数的总数,阈值T =c ＊t ,式中的σ为噪声强度,α为经验系数,α必须为大于1的实数,随着α值增大,降噪后的系数会变稀疏,重建
后信号也会变得更加光滑.α的典型值为2.
原信号和三种阈值下重建信号如图1所示.图1 noisbloc 信号在三种阈值选取方法下的降噪结果35第9期 余晃晶:小波降噪阈值选取的研究
3 非线性小波变换阈值选取
通过图1可以看到,除了Birge -Massart 策略确定的阈值外,其余方法得到的降噪信号太过于光滑,失去了原信号本身的一些信息.解决方法可以采用非线性小波变换阈值法也称为“小波收缩”的方法,其原理是先通过对系数无偏似然估计然后根据最坏情况下降噪信号方差最小的原则确定一个统一阈值.小波收缩去噪方法的关键步骤是如何选择阈值和如何进行门限阈值处理.
3.1 软阈值和硬阈值
在对小波系数作门限阈值处理操作时,可以使用软阈值处理方法或硬阈值处理方法,硬阈值处理是令绝对值小于阈值的信号点的值为零,下式中ω为离散小波变换算子:
ηH (ω,t )=ω,|ω|>t
0,|ω|≤t
软阈值处理是在硬阈值处理方法的基础上将边界出现不连续点收缩到零.这样可以有效避免中断,使得重建后的信号更加光滑.
ηs (
ω,t )=ω-t ,ω≥t
0,|ω| ,ω≤-t 直观形式见图2(图中取t =0.4).从图上我们可以看出软阈值处理是一种更为平滑的形式,在降噪声后能产生更为光滑的结果,而硬阈值处理能够更多的保留真实信号中的尖峰等特征. 图2 硬阈值和软阈值 3.2 阈值的几种形式 非线性小波变换阈值法阈值的选取有4种形式,选取规则都是基于含噪信号模型(3)中信号水平为1的情况,对于噪声水平未知或非白噪声的情况可以在去噪时重新调整得到的阈值. (1)采用固定的阈值形式(sqtwolog ):从得到最小极大方差的阈值t 乘以一个系数log N 得到阈值,这种阈值形式在软门限阈值处理中能够得到直观意义上很好的降噪效果. (2)最小极大方差阈值(minimaxi ):和sqtwolog 一样也是一种固定的阈值.使得所选的阈值产生最小的极大方差.计算公式为: t =0,N ≤32 0.3936+0.1829＊log N 2 (3)基于Stein 无偏似然估计(SURE )的软阈值估计(rigsure ):对于给定阈值t ,得到它的似然估计,然后使似然函数最小化,得到所需要的阈值: (4)选择启发式阈值(heursure ):它是sqtwolog 和rigsure 的综合,因为基于SURE 产生的阈值在高信噪比的情况下降噪效果不明显,这种方法利用启发函数自动在sqtwolog 和rigsure 阈值选择中选取一个.在对noisdopp 信号降噪,四种阈值选取方式的对比得到四个去噪效果图(见图3) 可以看出固定阈值形式sqtwolog 和启发式阈值形式heursure 的去噪更彻底,而由于rigrsure 和minimaxi 阈值选取规则较为保守(阈值较小,导致只有部分系数置零)噪声去除不彻底,但在信号的高频成分和噪36 绍兴文理学院学报(自然科学) 第24卷 声有重叠时利用这两种阈值可以把弱小信号从噪声中分离出来 . 4 分层阈值的选取 分层阈值消噪法是在非线性小波变换阈值法基础上的改进.在实际工程应用中,大多数信号可能包含有若干不连续点和奇异点,而且噪声信号也并非是平稳的白噪声.对这种信号进行降噪处理时用非线性小波变换阈值法在每一尺度中采用同一阈值显然不合适,在较低尺度上,会去除有用信号,而到了最大尺度级上会留下一部分噪声,因此可以考虑用分层阈值来克服这种缺点.非线性小波变换的阈值选取采用同一阈值为: T 0=log 2(1+2N )J +Z A 式中,N 为预设的噪声功率,J 为所取的最大尺度一常数,取为2,A 为最大的极值点幅度.可以将每一级尺度上都视为相互独立,寻找一个与之最匹配的阈值来进行降噪,此阈值的N 仍为预设噪声功率,J 为本级尺度,Z 不变.A 为在本级尺度上找到的极值点幅度.最后将各级尺度上降噪后保留的模极大值点来重构信号.本文用一叠加了高斯白噪声(信噪比为4)的矩形信号作为原始信号.由于该信号中含有若干不 连续点和奇异点,分别用分层阈值法、同一阈值法对原始信号进行消噪处理,能够清楚地比较出这两种方法的消噪效果.消噪结果如图4所示. 图4 信号降噪对比图 从图中可以发现非线性小波变换阈值法用同一阈值消噪,消噪效果并不理想,信号仍然含有明显的噪声,在信号的不连续点处,仍存在一定幅度的振荡,而用分层阈值去消噪时,不仅消除了噪声,保留了信号37第9期 余晃晶:小波降噪阈值选取的研究 的有用成分,而且还最大限度地反映了原信号本身的性质. 5 结论 本文根据小波降噪基本原理对本文中提及的三类小波消噪阈值选取方法,给予理论分析并通过MATLA 仿真实验比较得出以下结论:基于原始信号的阈值选取不足之处是需要充分利用信号和噪声的先验信息且降噪后的信号过于光滑;而分层阈值法是对非线性小波变换阈值法的一种改进,通过仿真实验,分层阈值法同非线性小波变换阈值法消噪法相比,除了能克服奇异点振荡现象和消噪效果比较理想外,最大的优点体现在它能用于噪声是时变的情况,是一种理想的信号消噪方法. 参考文献: 1 崔锦泰.小波分析导论〔M 〕.西安:西安交通大学出版社,1995. 2 D L Donoho and I M Johnstone .Ideal spacial adaption by wavelet shrinkage 〔R 〕.Technical report ,Department of Statistics ,Stanford university ,1992. 3 高志.Matlab 小波分析工具箱原理与应用〔M 〕.北京:国防工业出版社,2004.3. 4 杜浩藩.基于Matlab 小波去噪方法的研究〔J 〕.计算机仿真,2003.7. 5 郑南宁.数字信号处理〔M 〕.西安:西安交通大学出版社,1990. Selection of A Wavelet Noise -reduction Threshold Yu Huangjing (Sanming College ,Sanming ,Fujan ,365004) A bstract : In many computer control systems ,the monitored signals are unavoidably contaminated by noise .Many signal proc ess techniques can be used to incr ease the signal to noise ratio .In this paper ,a wavelet noise reduction ap -proach and different threshold selecting methods are studied .A series of simulating results by using MATLA B are giv -en . Key words : wavelet transformation ;threshold ;noise reduction 38 绍兴文理学院学报(自然科学) 第24卷 基于小波阈值的图像去噪方法研究 摘要：本文根据已有的阈值处理函数的优缺点,提出了一种新的阈值处理函数,用于图像的小 波阈值去噪.实验表明,该方法比传统的硬阈值函数与软阈值函数具有更好的去噪效果 关键字：小波阈值去噪，阈值函数 0 引言 图像在获取或传输过程中会因各种噪声的干扰使质量下降,这将对后续图像的处理产生 不利影响.所以必须对图像进行去噪处理,而去噪所要达到的目的就是在较好去除噪声的基 础上,良好的保持图像的边缘等重要细节.近年来,小波理论得到了迅速的发展和广泛的应用. 由于其具有低熵性,多分辨性,去相关性和选基灵活性等优点,在图像去噪领域得到广泛的应 用.本文提出一种新阈值函数,并将其应用于小波阈值去噪,该函数是现有软、硬阈值函数的 推广,通过调整参数,可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点。 1 小波阈值处理 小波阈值收缩法是Donoho 和Johnstone 提出的,其主要理论依据是,小波变换具有很强的 去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却 分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可 以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声. 于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法 去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈 值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩 (shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的图 像. 2 阈值函数的选取 阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中 关键的一步。 设w 表示小波系数,T 为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有： 硬阈值函数： ? ??<≥=T w T w w w new ,0, （1） 软阈值函数： ? ??<≥-=T w T w T w w w new ,0),)(sgn( （2） 分析(1)(2)式可以得出:硬阈值函数在阈值点是不连续的,软阈值函数，原系数和分解得 到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度.同时这两种函数不能表达出分解 后系数的能量分布。因此,寻找一种新阈值函数,使它既能实现阈值函数的功能,又具有高阶 导数,同时可以体现出分解后系数的能量分布，将是我们的目标。我们提出一种新的阈值函 数为： 1 阈值获取 MATLAB 中实现信号阈值获取的函数有ddencmp 、thselect 、wbmpen 和wdcbm ，下面对它们的用法进行简单的说明。 函数Ddencmp 的调用格式 (1)[THR ，SORH ，KEEPAPP ，CRIT]=ddencmp(IN1，IN2，X) (2)[THR ，SORH ，KEEPAPP ，CRIT]=ddencmp(IN1，'wp'，X) (3)[THR ，SORH ，KEEPAPP]=ddencmp(IN1，'wv'，X) 函数ddencmp 用于获取在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X 为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'crop'，den 表示进行去噪，crop 表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv 表示选择小波，wp 表示选择小波包。返回值THR 是返回的阈值；SORH 是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP 表示保存低频信号；CRIT 是熵名(只在选择小波包时用)。 函数thselect 的调用格式 THR=thselect(X ，TPTR) THR=thselect(X ，TPTR)根据字符串TPTR 定义的阈值选择规则来选择信号X 的自适应阈值。 自适应阈值选择规则包括下面四种： " （1）TPTR='rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein 的无偏风险估计原理。 （2）TPTR='heursure'，使用启发式阈值选择。 （3）TPTR='sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(1ength(X)))。 （4）TPTR='minimaxi'，用极大极小原理选择阈值。 阈值选择规则基于模型e t f y +=)(，e 是高斯A 噪声N(O ，1)。 函数wbmpen 的调用格式 THR=wbmpen(C ，L ，SIGMA ，ALPHA) THR=wbmpen(C ，L ，SIGMA ，ALPHA)返回去噪的全局阈值THR 。THR 通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart 的处罚算法。[C ，L]是进行去噪的信号或图像的小波分解结构；SIGMA 是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA 用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数，一股取ALPHA=2。 设t*是crit(t)=-sum(c(k)^2，k<=t)+2*SIGMA^2*t*(ALPHA+log(n/t))的最 测试信号处理作业 题目：基于小波变换的语音信号去噪 年级：级 班级：仪器科学与技术 学号： 姓名： 日期：2015年6月 基于小波变换的语音信号去噪 对于信号去噪方法的研究是信号处理领域一个永恒的话题。经典的信号去噪方法，如时域、频域、加窗傅立叶变换、维纳分布等各有其局限性，因此限制了它们的应用范围。小波变换是八十年代末发展起来的一种新时-频分析方法，它在时-频两域都具有良好的局部化特性；并且在信号去噪领域获得了广泛的应用。 目前已经提出的小波去噪方法主要有三种：模极大值去噪、空域相关滤波去噪以及小波阈值去噪法。阈值法具有计算量小、去噪效果好的特点，取得了广泛的应用。然而在阈值法中，阈值的选取直接关系到去噪效果的优劣。如果阈值选取过小，那么一部分噪声小波系数将不能被置零，从而在去噪后的信号中保留了部分噪声信息；如果阈值选的偏大，则会将一部分有用信号去掉，使得去噪后的信号丢失信息。 1、语音信号特性 由于语音的生成过程与发音器宫的运动过程密切相关，而且人类发音系统在产生不同语音时的生理结构并不相同，因此使得产生的语音信号是一种非平稳的随机过程(信号)。但由于人类发生器官变化速度具有一定的限度而且远小于语音信号的变化速度，可以认为人的声带、声道等特征在一定的时间内(10- 30ms)基本不变，因此假定语音信号是短时平稳的，即语音信号的某些物理特性和频谱特性在10-30ms的时间段内近似是不变的，具有相对的稳定性，这样可以运用分析平稳随机过程的方法来分析和处理语音信号。在语音增强中就是利用了语音信号短时谱的平稳性。 语音信号基本上可以分为清音和浊音两大类。清音和浊音在特性上有明显的区别，清音没有明显的时域和频域特性，看上去类似于白噪声，并具有较弱的振幅；而浊音在时域上有明显的周期性和较强的振幅，其能量大部分集中在低频段内，而且在频谱上表现出共振峰结构。在语音增强中可以利用浊音所具有的明显的周期性来区别和抑制非语音噪声，而清音由于类似于白噪声的特性，使其与宽带平稳噪声很难区分。 由于语音信号是一种非平稳、非遍历的随机过程，因此长时间时域统计特性对语音信号没有多大的意义，而短时谱的统计特性对语音信号和语音增强有着十分重要的作用。语音信号短时谱幅度统计特性的时变性，使得语音信号的分析帧在趋于无穷大时，根据中心极限定理，其短时谱的统计特性服从高斯(Gauss)分布，而在实际应用时只能在有限帧长下进行处理，因此，在有限帧时这种高斯分布的统计特性是一种近似的描述，这样就可以作为分析宽带噪声污染的带噪语音信号增强应用时的前提和假设。 第四章小波变换降噪分析 小波变换是一种崭新的时域 (频域信号分析工具。它的发展和思想都来自于傅里叶分析,且在保留了傅里叶分析优点的基础上,较好的解决了时间和频率分辨率的矛盾,在频域与空间域中能够同时具有良好的局部化特性,可进行局部分析。小波去噪的基本原理是根据原始信号和噪声的小波系数在不同尺度上所具有的不同性质,构造相应的规则,在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。 4.1 小波变换理论的研究 连续小波变换 设2( ( t L R ψ∈(2( L R 表示平方可积的的空间,即能量有限的信号空间, 其傅立叶变换为( ψ ω。当( ψω满足允许条件 (Admissible Condition: 2 ( C φωωω +∞ -∞ =<∞? (4.1 时,我们称( t ψ为一个基本小波或母小波 (Mother Wavelet 。将母小波函数 ( t ψ经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列。对于连续情况,小波序列 为: , ( ( a b t b t a ψ-= , a b R ∈ 0a ≠ (4.2 其中, a ——伸缩因子; b ——平移因子; ——能量归一化因子。 这样对于任一信号 20 1 1( (, ( f t b f t a b dadb C a a φ ωψ∞ ∞ -∞-= ? ?,连续小波变换定义为: , , (, (, ( ( ( a b a b CWT a b f t t f t t dt ψ∞-∞ ==? (4.3 其逆变换为: 20 11( (, ( f t b f t a b dadb C a a φ ωψ∞ ∞ -∞-= ? ? (4.4 离散小波变换 实际应用中,尤其是在计算机上实现,如在信号处理领域,必须对连续小波加以离散化。需要强调的是,这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的,而不是针对时间变量 t 的,这与其它形式的离散化不同。在连续小波中,考虑函数(4.5: , ( ( a b t b 自适应图像分析与识别 课程论文 题目基于小波变换的图像去噪中的阈值研究学院电子工程学院 专业电路与系统 摘要：图像去噪是对图像进行高级处理的重要基础，已经成为当今数字图像处理的热门领域之一。基于小波多尺度分解的阈值方法是一种有效的信号去噪方法．本文详细介绍了阈值的选取方法，并列举了几种常用的阈值函数，并对它们进行了比较，以期给小波图像处理研究者一些参考。 关键字：图像去噪；阈值；阈值函数；小波变换 Abstract：Image denoising is an important foundation for advanced image processing，and is the hot research area in digital image processing．The thresholding denoising based on the multi-scales wavelet is an effective way.This text intuoduced the way how to choose the threshold, listed some common thresholding function and compared them,in the hope of giving some references for the researcher in image processing with wavelet. Key words：image denoising，thresholding,thresholding function,wavelet transform 小波阈值图像降噪及MATLAB仿真 图像信号在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理(如分割、压缩和图像理解等)将产生不利影响。为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行降噪预处理。 小波降噪的方法有多种，如利用小波分解与重构的方法滤波降噪、利用小波变换模极大值的方法去噪、利用信号小波变换后空域相关性进行信噪分离、非线性小波阈值方法去噪、平移不变量小波降噪法，以及多小波降噪等等。归结起来主要有三类:模极大值检测法、阈值降噪法和屏蔽(相关)降噪法。其中最常用的就是阈值法去噪，其基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的降噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，因而对于类似于高斯噪声的效果较好。线性运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较之传统的降噪具有明显的优势，且在降噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波降噪具有无可比拟的优越性。小波降噪主要优点有： 低熵性，小波系数的稀疏分布，使得图象变换后的熵降低； 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等； 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波频域比时域更利于降噪； 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合、不同的研究对象，可以选用不同的小波函数，以获得最佳的效果。 一、阈值去噪法简述 1992年，斯坦福大学的Donoho D L和Johnstone教授提出一种具有良好的统计优化特性的降噪方法，称作“Wavelet Shrinkage”（即阈值收缩法）。 该方法的主要思想是：基于图像和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性：图像本身的能量对应着幅值较大的小波系数,主要集中在高频（LL）；噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。根据该特征，设 小波去噪 [xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,n,'wname') 式中： 输入参数x 为需要去噪的信号； 1.tptr ：阈值选择标准. 1)无偏似然估计（rigrsure）原则。它是一种基于史坦无偏似然估计（二次方程）原理的自适应阈值选择。对于一个给定的阈值t，得到它的似然估计，再将似然t 最小化，就得到了所选的阈值，它是一种软件阈值估计器。 2）固定阈值（sqtwolog）原则。固定阈值thr2 的计算公式为：thr 2log(n) 2 = (6)式中，n 为信号x（k）的长度。 3）启发式阈值（heursure）原则。它是rigrsure原则和sqtwolog 原则的折中。如果信噪比很小，按rigrsure 原则处理的信号噪声较大，这时采用sqtwolog原则。 4）极值阈值（minimaxi）原则。它采用极大极小原理选择阈值，产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。 2.sorh ：阈值函数选择方式，即软阈值(s) 或硬阈值(h). 3.scal ：阈值处理随噪声水平的变化，scal=one 表示不随噪声水平变化，scal=sln 表示根据第一层小波分解的噪声水平估计进行调整，scal=mln 表示根据每一层小波分解的噪声水平估计进行调整. 4.n 和wname 表示利用名为wname 的小波对信号进行n 层分解。输出去噪后的数据xd 及xd 的附加小波分解结构[cxd,lxd]. 常见的几种小波：haar，db，sym，coif，bior haar db db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 sym sym2 sym3 sym4 sym5 sym6 sym7 sym8 coif coif1 coif2 coif3 coif4 coif5 coif6 coif7 coif8 coif9 coif10 bior bior1.1 bior1.3 bior1.5 bior2.2 bior2.4 bior2.6 bior2.8 bior3.5 bior3.7 bior3.9 bior4.4 基于小波的图像去噪 一、小波变换简介 在数学上，小波定义卫队给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成： ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积： () dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ=ψ=?+∞ ∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （3） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 二、图像去噪描述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设f(x,y)力为理想图像，n(x,y)力为噪声，实际输入图像为为g(x,y)，则加性噪声可表示为: g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y)， （4） 其中，n(x,y)和图像光强大小无关。 图像去噪的目的就是从所得到的降质图像以g(x,y)中尽可能地去除噪声n(x,y)，从而还原理想图像f(x,y)。图像去噪就是为了尽量减少图像的均方误差，提高图像的信噪比，从而尽可能多地保留图像的特征信息。 图像去噪分为时域去噪和频域去噪两种。传统图像去噪方法如维纳滤波、中值滤波等都属于时域去噪方法。而采用傅里叶变换去噪则属于频域去噪。这些方法去噪的依据是一致的，即噪声和有用信号在频域的不同分布。我们知道，有用信号主要分布于图像的低频区域，噪声主要分布在图像的高频区域，但图像的细节信息也分布在高频区域。这样在去除高频区域噪声的同时，难免使图像的一些细节也变得模糊，这就是图像去噪的一个两难问题。因此如何构造一种既能降低图像噪声，又能保留图像细节特征的去噪方法成为图像去噪研究的一个重大课题。 哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） 摘要 小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。 关键词：小波变换；去噪；阈值 -I- 哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） Abstract Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise. Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold -II- 小波分析浅析 —— 李继刚 众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式： ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ =+= += += ) sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ 为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ?? ====++=??∑--+∞ =π πππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(1 0 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作T w x T t ππ2,2= ?=变换，可以得到函数的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ??=?==?=?+?+=??∑--+∞ =π πππ .,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(1 0 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ??看作是具有频率w n ?的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。 从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ?作离散分化，离散点w n ?处对应着频率为w n ?的谐波}sin ,{cos wt n wt n ??，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即 +∞???0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n n 一种基于小波阈值降噪方法的图像降噪效果研究 电子信息学院 赵华 2015201355 一、引言 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所?干扰?的现象。如果图像被干扰得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、基本原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数ψ(x )来构造，ψ(x )称为母小波（mother wavelet ），或者叫做基本小波。一组小波基函数， {ψa,b (x )}，可以通过缩放和平移基本小波来生成： ?? ? ??-ψ=ψa b x a x b a 1)(, 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波ψ(x )为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和ψa,b (x )的内积： ( )()dx a b x a x f f x W b a b a ?? ? ??-ψ=ψ=?∞ ∞-1,,, 一种基于小波的图像降噪方法 张静1 孙俊2 (1江苏科技大学电子信息学院江苏镇江 212003 (2江苏大学电气信息工程学院,江苏镇江212013 摘要:通过对图像的小波变换系数进行阈值操作,可有效降低噪声,但还是保留一些噪声。Wiener 滤波是一种线性滤波方法,用小波阈值方法结合Wiener 滤波,可进一步对图像噪声进行降噪。实验结果表明小波阈值Wiener 滤波方法是一种有效的图像降噪方法,其在图像恢复上和人眼视觉上都优于小波阈值方法。 关键词:小波变换;wiener 滤波;软阈值;图像降噪;Mallat 算法 文献标识码:A 中图分类号:TN911.7 1 引言 图像一般都会受到噪声的影响,由于噪声影响图像的输入传输、输出等环节,使得图像分辨率下降,同时破坏了图像的精细结构,给图像的后续处理(图像二值化操作和图像特征提取带来不便,因此如何有效抑制噪声已成为图像处理中极重要和首要的任务。图像降噪 的目的是提高图像的信噪比,突出图像的应用的特征[1] 。 小波图像降噪已被视为图像处理中的重要降噪算法,是基于噪声和信号在频域上分布不同而进行的,一般信号和噪声分别分布在低频区域和高频区域,图像的细节也分布在高频区域。小波变换是一种调和变换,其同时具有空间域和频域的局域性,其具有多分辨分析的性质,能适应信号频率的局域变化,在每一层小波分解上选取各自阈值,可以消除多数噪声。在MSE 意义上,最优信号估计是wiener 滤波器,Wiener 滤波在信噪比较高的图像去噪中效果更好,所以基于小波降噪后的图像,进一步应用wiener 滤波降噪,可达到更好的去噪, 并且这种综合降噪方法能在保护细节之间取得较好的效果[6] 。 2 图像小波分解[2][3] 二维图像信号通常可用二元函数(,(22R L y x f ∈表示,对于二元函数,有相应的二维小波变换和多尺度逼近。设(,(22R L y x f ∈,,(y x ψ满足容许条件 ∫∫+∞∞?+∞ ∞ ?=0,(dxdy y x ψ,称积分dxdy a b y a b x a y x f b b a W f ,(1 ,(,,(2121??= ∫∫+∞∞?+∞ ∞ ?ψ 为,(y x f 的二维连续小波变换,其中,(y x ψ为二维小波函数。与此对应的小波变换的重 构公式为 2121210 3,(,,(1 ,(db db a b y a b x b b a W a da c y x f R 30 李剑等：局部放电在线监测中小波阈值去噪法的最优阈值自适应选择 its application in partial discharge detection[J] ． IEEE Trans on Dielectrics and Electrical Insulation，2002，9(3：446-457． Vol. 30 No. 8 wavelet polarity of modulus maxima[J]．Power System Technology， 2003，27(5：55-57,71． [12] Saito N，Beylkin G．Multiresolution representations using the autocorrelation functions of compactly supported wavelets[J] ． IEEE Trans on Signal Processing，1993，41(12：3584-3590． [13] 徐冰雁，黄成军，钱勇，等．多小波相邻系数法在局部放电去噪中的应用[J]．电网技术，2005，29(15：61-64,70． Xu Bingyan， Huang Chengjun，Qian Yong，et al．Application of multiwavelet based neighboring coefficient method in denoising of partial discharge[J]． Power System Technology，2005 ，29(15： 61-64,70． [14] Donoho D L ． De-noising by soft- thresholding[J]． IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3：613-627． [15] 王立欣，诸定秋，蔡维铮．局部放电在线监测中基于小波变换的阈值消噪算法研究[J]．电网技术，2003，27(4：46-48,78． Wang Lixin ， Zhu Dingqiu ， Cai Weizheng ． Wavelet transform based de-noise algorithm by thresholding in on-line 1.阈值获取 MATLAB中实现阈值获取的函数有ddencmp、thselect、wbmpen和wwdcbm，下面对它们的用法进行简单的说明。 （1）ddencmp的调用格式有以下三种： （1）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,IN2,X) （2）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wp',X) （3）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wv',X) 函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名（只在选择小波包时使用）。 （2）函数thselect的调用格式如下： THR=thselect(X,TPTR); THR=thselect(X,TPTR)根据字符串TPTR定义的阈值选择规则来选择信号X的自适应阈值。 自适应阈值的选择规则包括以下四种： *TPTR='rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein的无偏风险估计原理。 *TPTR='heursure'，使用启发式阈值选择。 *TPTR='sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(length(X))). *TPTR='minimaxi'，用极大极小原理选择阈值。 阈值选择规则基于模型 y = f(t) + e，e是高斯白噪声N(0,1)。（3）函数wbmpen的调用格式如下： THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA); THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)返回去噪的全局阈值THR。THR 通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart的处罚算法。{C,L]是进行去噪的信号或图像的小波分解结构；SIGMA是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA是用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数，一般去ALPHA=2。 设t*使crit(t)=-sum(c(k)^2,k<=t) + 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t))的最小值，其中c(k)是按绝对值从大到小排列的小波包系数，n是系数的个数，则THR=|c(t*)|。 wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA,ARG)计算阈值并画出三条曲线。 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t)) sum(c(k)^2, k<=t) crit(t) （4）wdcbm的调用格式有以下两种： （1）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA); （2）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA,M); 函数wdcbm是使用Birge-Massart算法获取一维小波变换的阈值。返回值THR是与尺度无关的阈值，NKEEP是系数的个数。[C,L]是要进行压缩或消噪的信号在j=length(L)-2层的分解结构；LAPHA 小波降噪阈值选取的研究 余晃晶 (三明学院,福建 三明365004) 摘 要:小波分析用于信号降噪的过程中,核心的算法就是在小波系数上作用阈值,因为阈值的选取直接影响降噪的质量.笔者就阈值的选取做了一些理论分析并在MATLAB 环境下进行仿真研究,得出应用小波降噪过程中阈值选取的一些实际结论. 关键词:小波变换;阈值;降噪 中图分类号:TP301.6 文献标识码:A 文章编号:1008-293X (2004)09-0034-05 实际采集的信号中常含有噪声,只有作降噪处理才能有效地表现原信号中有用的信息.信号降噪方法有时域和频域两种方法,但是归根到底是利用噪声和信号在频域上分布的不同进行的:信号主要分布在低频区域,而噪声主要分布在高频区域,但同时信号的高频区域也存在被检测对象的某些重要特征.传统的Fourier 分析方法可将信号的高频成分滤除,虽然也能够达到降低噪声的效果,但却影响了信号的某些重要特征.如何构造一种既能够降低信号噪声,又能够保持信号某些重要特征的降噪方法是此项研究的目标,而这在小波变换这种强有力的信号分析工具出现以后已经成为可能.由于小波变换同时具有时域和频域上的局部性特性,优于傅立叶变换,所以它一出现,就很快被普遍应用于信号处理中.本文就小波分析用于信号降噪的过程中阈值的选取做一些理论分析,并在MATL AB 环境下做了仿真研究,得出应用小波降噪过程中阈值选取的一些实际结论. 1 小波变换用于降噪的基本原理 1988年,文献〔1〕提出了多分辨分析的概念,并给出了小波分解与重构的快速算法,即Mallat 算法.根据这一算法,若f k 为信号f (t )的离散采样数据,f k =c 0,k ,则信号f (t )的正交小波变换分解公式为 c j ,k =∑n c j -1,n h n -2k ; d j ,k =∑d j -1,n g n -2k .(k =0,1,2,…n -1)(1) 式中:c j ,k 为尺度系数;d j ,k 为小波系数;h ,g 为一对正交镜像滤波器组(QMF );j 为分解层数;N 为离散采样点数.小波重构过程是分解过程的逆运算,相应的重构公式为 c j -1,n =∑n c j ,n h k -2n +∑n d j ,n g k -2n (2) 小波的多分辨分析特性可将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解,并将交织在一起的各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号,因而对信号具有按频带处理的能力. 对于一个含噪声的一维信号的基本模型通常表示成如下的形式: s (n )=f (n )+σe (n ) (n =0,1,2,…n -1)(3) 式中:f (n )为原始信号;e (n )为噪声信号;s (n )为含噪声信号;σ为噪声强度.在最简单的情况下可以假设e (n )为高斯白噪声,且σ=1.小波变换的目的就是要抑制e (n )以恢复f (n ).在f (n )的分解系数比较稀疏(非零项很少)的情况下,这种方法的效率很高.为了从含噪信号s (n )中还原出真实信号f (n ),可以利用信号和噪声在小波变换下的不同特性,通过对小波分解系数进行处理来达到信号和噪声分离的目的.在实际工程应用中,有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则通常表现为高第24卷第9期2004年9月 绍 兴 文 理 学 院 学 报JOUR NAL OF SHAOXING UNIVERSITY Vol .24No .9Sep .2004 收稿日期:2004-07-06 作者简介:余晃晶(1965-),男,福建连江人,讲师.研究方向:单片机和信号处理等. DOI :10.16169/j .issn .1008-293x .s .2004.09.009 1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值 图像去噪处理 1.1 小波去噪 在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为： ()()s opt f f -=ββmin arg ()()代表最优解opt f f opt opt β= 为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+= {} (){} J j J j span W f f I 212,?ψ===，为实际图像 {} 的函数空间影射为W I T →=ββ 由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。 图1-1小波去噪的等效框图 1.1.1小波变换理论基础 1.连续小波变换 设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足允许条件(完全重构条件)：小波阈值去噪
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