数列_知识点总结及数列求和_通项公式的方法归纳

M M M >M

n n n n +?≤∈??

??有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a

22

21,21

(1)2n

n a a n a a n a n =??=+=??=-+??=-??n n n n n

常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列: ???无穷数列有穷数列按项数 数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等. 1.数列的有关概念：

（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的

函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫

做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 2

21n a n =-。

（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项

1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或

),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。

2．数列的表示方法：

（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

按有界性

4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:

123n n S a a a a =+++

+ 11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?

等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(2

1

1-+=. 3.等差中项

如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。

（3）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2

；?

??

??

?n S n 是等差数列。 （4）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，；四个数成等差数列，可设为

3,,,3a d a d a d a d --++

（5）{}n a 为等差数列2

n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二

次函数）。（b an a n +=(a ,b 是常数)）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

n n a a +≤??

≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(6) 项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. 等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：1

1-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 . 可变形为),(+-∈?=N m n q a a m n m n

⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =

②当1≠q 时，q

q

a a q q a S n n n --=--=11)1(11.

3.等比中项

如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等比中项?a ，A ，b 成等比数列?b a G ?=2.

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22

1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列. 5.常用性质

⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 是等比数列；等距离取出若干项也构成一个等比

数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k

q ；232n n n n n S S S S S --，，……仍

为等比数列,公比为n

q .

⑵若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?； ⑶如果三个数构成等比数列，则设其为

,,a

a aq q

；若四个数成等比数列，则可设其为33

,,,a a

aq aq q q

。 ⑷等比数列的通项公式可以改写成1n

n a a q q

=。当01x q q y q >≠=且时，是一个指数函数，而1n

n a a q q

=

是一个不为0的常数与指数函数的积。 通项公式，数列求和

一、求数列通项公式 1）给出递推公式求通项公式

1°递推关系形如")(1n f a a n n +=+，()f n 是可求和的。可利用迭加法或迭代法：

11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； 例2：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

2°递推关系形如")(1n f a a n n ?=+，()f n 是可求积的。可利用迭乘法：

1

1

22332211a a a

a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=

-----

例1：数列{}n a 中，1131

n n

a n

a a n +==+，，求n a 例2：已知数列{}n a 满足：

111

(2),21

n n a n n a a n --=≥=+，求数列{}n a 的通项公式； 例3： 已知数列}a {n 满足4

13n n a a +=，7a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

3°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，可利用待定系数法：可把它变为1(),n n a p a λλλ++=+为待定系数。令n n b a λ=+，先求数列{}n b 的通项公式，进而求{}n a 的通项公式。 例1：已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

例2： 已知数}{n a 的递推关系为43

2

1+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 4°递推关系形如“1n n n a pa q +=+”，两边同除以1

n q +（111n n n n a a p q q q q

++=+）并采用待定系数法求解或者直接采用待定系数法（1

1()n n n n a q

p a q λλ+++=+）。

例1. 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 例2. 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 5°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ?+?=++12”，利用待定系数法求解（211(),=,=n n n n a ma n a ma mn q n m p ++++=+-其中）

例1：已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.

例2：在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。 6°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1

n n a a -（111

n n

p q a a --=） 例1：已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.

例2：数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n

n

n ，求数列{}n a 的通项公式.

2）给出前n 项和求通项公式

例1：⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S .

3）、给出关于n S 和m a 的关系

例1：数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a 例2：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212

≥??? ?

?-=n S a S n n n .求{}n a 的通项

例3：已知数列{}n a 中，3

1

1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

例4：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*

N n ∈．求数列}{n a 的

通项公式。

二. 求数列前n 项和的常用方法

1）公式法:直接由等差，等比数列的求和公式求和，注意等比时q=1和1q ≠的讨论。 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

例1： 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 例2： 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

2）拆项求和法： 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和 例1：求和：2×5+3×6+4×7+…+n （n+3） 例2：求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，… 例3：求数列 ,2

221,,221,21,11

2

2-+++++++n 的前n 项和

例4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

3）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那

么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

…………相加

12132112()()()()()

n n n n n n S a a a a a a a a n a a --=++++++

++=+

例1： 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值 例2：如已知函数f(x)对任意x ∈R 都有21)1()(=

-+x f x f ，++=)1()0(n

f f S n )3()2(n f n f ++…)1()2(n

n f n n f -+-+)1(f + ，

（*

N n ∈），求n S 例3：设2

21)(+=

x

x f ，求()()()()()65045f f f f f +++++-+- 的值

例4：已知2

21)(x

x x f +=， 那么=+++++)2008

1

()31()21()2008()2()1(f f f f f f _____ 4) 裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 数列的常见拆项有：

1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111

??

?

??+--=+-12112121)12)(12(1n n n n

例1：在数列{a n }中，11211++

???++++=n n

n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

例2：求和：S =1+n ++++++++++ 3211

3211211 例3：求和：n

n +++++++++11

341231121 . 5）错位相减法

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由

n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

例1：求231

1234n n S x x x nx -=+++++……

例2：若数列{}n a 的通项n

n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .

例3： 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 常用的公式：

()()22221

1231216

n n n n +++

+=++

()2

23333

11234

n n n ++++

+=