2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)
2020年上海市崇明区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A. B. -a＞b C. a3＜b3 D. a2＞b22.已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（）A. B. 1 C. D.4.若不等式（|x-a|-b）sin（πx+）≤0对x∈[-1，1]恒成立，则a+b的值等于（）A. B. C. 1 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______．6.不等式|x-2|＜1的解集是______．7.半径为1的球的表面积是______．8.已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和S n=______．9.函数f（x）=的反函数是______．10.计算：=______．11.在二项式的展开式中，常数项等于______．12.若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为______ ．13.已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于______．14.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，则实数a的值等于______．15.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．16.正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2．（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，，若，求a,b的值．19.某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．20.已知椭圆，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D．圆O是以线段AB为直径的圆．（1）求圆O的方程；（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：为定值；（3）若点P是椭圆Γ上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．21.已知无穷数列{a n}，{b n}，{c n}满足：对任意的n∈N*，都有a n+1=|b n|-|c n|，b n+1=|c n|-|a n|，c n+1=|a n|-|b n|．记d n=max{|a n|，|b n|，|c n|}（max{x，y，z}表示3个实数x，y，z中的最大值）．（1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值；（2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；（3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{a n}，{b n}，{c n}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由于a＜0＜b，则＜0＜，A错误；对于B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B错误；对于C，由于a＜0＜b，则a3＜0＜b3，C正确；对于D，若|a|＜|b|，则a2＜b2，D错误；故选：C．根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案．本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+ =0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选B.3.【答案】D【解析】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为，∴OH=EH=．∴OE=1．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px．（p＞0），F为抛物线的焦点．C（1，），∴2=2p•1．解得p=1．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=2，PE=1，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=故选：D．根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题．4.【答案】B【解析】解：当-1≤x≤-或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，当-≤x≤时，sin（πx+）≥0，∴当-1≤x≤-或≤x≤1时，|x-a|-b≥0，当-≤x≤时，|x-a|-b≤0，设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，且f（x）的图象关于直线x=a对称，∴f（-）=f（）=0，∴2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=．∴a+b=．故选：B．设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题．5.【答案】{1，2}【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}；∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．6.【答案】（1，3）【解析】解：由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，解得1＜x＜3，故答案为：（1，3）．由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，由此解得不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．7.【答案】4π【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π．故答案为4π．直接利用球的表面积公式，即可得出结论．本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．8.【答案】n2【解析】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差为2，∴该数列的前n项和S n=n×=n2．故答案为：n2．利用等差数列前n项和公式直接求解．本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】f-1（x）=x2-1（x≥0）【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y≥0，∴f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x≥0），故答案为：f-1（x）=x2-1 （x≥0）．将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案．本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档．10.【答案】3【解析】解：===3故答案为：3．可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解．本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在．11.【答案】160【解析】解：展开式的通项为=令6-2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160展开式的通项为=，要求常数项，只要令6-2r=0可得r，代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题12.【答案】【解析】解：依题意可知a=3，c=5∴b=根据顶点坐标可知焦点在x轴，∴双曲线的方程为故答案为：根据顶点坐标求得a，根据焦距求得c，进而根据b2=c2-a2求得b，进而求得双曲线的标准方程．本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a，b 和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴．13.【答案】【解析】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则有（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，则ab=（a×2b）≤×（）2=，当且仅当a=2b=时，等号成立；即ab的最大值为，根据题意，由直线垂直的判断方法可得（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，∴f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1），∴f（1）=0，即f（1）=1-a+1=2-a=0，∴a=2．故答案为：2．根据函数的周期为2，奇函数，又已知当0＜x≤1时的解析式，故f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1）推出f（1）=0，解出即可．本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题．15.【答案】78【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法；②，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法；③，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有A33+2×2×A22种，则此时有C32（A33+2×2×A22）=42种选派方法；故一共有18+18+42=78种选派方法；故答案为：78根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】-7【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，则B（2，-2），C（2，2），∴2=+（1-λ）=λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴=（1，1-2λ）即P点坐标为（1，1-2λ），设M（a，-2），则N（-a，2），-2≤a≤2，∴=（a-1，2λ-3），=（-a-1，2λ+1）∴=（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a2+4λ2-4λ-3，当a=±2且λ=-=时，有最小值-7．建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，-2），（-a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意可得BC∥B1C1，∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴△A1BC为直角三角形，∴tan∠A1CB===，∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan；（2）∵BC∥B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离，不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h，由等体积法可得=，即×h=×BC代入数据可得××1××h=××2×1×1，解得h=∴直线B1C1到平面A1BC的距离为【解析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得；（2）可证B1C1∥平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得．本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．18.【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x- (x∈R)=sin2x--=sin（2x-）-1，∴T==π，∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z，∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z；（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1，∵0＜C＜π，∴C=，∵sin B=2sin A，∴由正弦定理可得b=2a，①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3，②由①②可得a=1，b=2．【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．19.【答案】解：（1）由题意，令×（x-100+）≤9，化简得x2-145x+4500≤0，解得45≤x≤100；又因为60≤x≤120，所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是[60，100]；（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y；则y=•（x-100+）=90000+，（其中60≤x≤120）；由60≤x≤120，知∈[，]，所以x=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升．【解析】（1）令×（x-100+）≤9，求出解集，结合题意得出x的取值范围；（2）写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可．本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），∴圆O的圆心为原点，半径为2，∴圆O的方程是x2+y2=4；（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1），∴直线CE的方程是：，∴点M（，0），同理点N（，0），又∵点E（x0，y0）在椭圆上，∴∴=，（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），联立方程，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，设P（x1，y1），则x1+（-2）=-，所以|AP|=|x1-（-2）|=，因为圆心O到直线AP的距离d=，所以|AQ|=2=4，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=．【解析】（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），即可求出圆O的方程；（2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1），求出直线CE的方程是，从而求出点M坐标，同理求出点N坐标，再利用点E（x0，y0）在椭圆上，坐标满足椭圆方程，即可化简出为定值；（3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），代入椭圆方程得到（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长，再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=．本题主要考查了椭圆与直线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：（1）由题意：a2=|b1|-|c1|=2-4=-2；b2=|c1|-|a1|=4-1=3；c2=|a1|-|b1|=1-2=-1；以此类推，看得出a4=0，b4=-1，c4=1．（2），若a1=1，b1=2，c1=x，则a2=2-|x|，b2=|x|-1，c2=-1，d2=，a3=||x|-1|-1，b3=1-|2-|x||，c3=|2-|x||-|x|-1|，当0≤|x|＜1时，a3=-|x|，b3=|x|-1|，c3=1，d3=1，由d3=d2，得||x|=1，不符合题意．当1≤|x|＜2，a3=|x|-2，b3=|x|-1，c3=3-2|x|，d3=，由d3=d2，得|x|=1，符合题意．当|x|≥2，a3=|x|-2，b3=3-|x|，c3=-1，d3=由d3=d2，得|x|=2，符合题意，综上c1的取值是：-2，-1，1，2．（3）先证明‘’存在正整数k≥3，使，a k，b k，c k中至少有一个为零，假设对任意正整数k≥3，a k，b k，c k都不为零，由a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，得d1∈N*，d2∈N*，若对任意k≥3，a k，b k，c k都不为零，则d k∈N*．即对任意k≥1，d k∈N*．当k≥1时，|a k+1|=|b k|-|c k||＜max{|b k|，|c k|}≤d k，|b k+1|=||c k|-|a k||＜d k，|c k+1|=||a k|-|b k||＜d k，所以d k+1=max{|a k+1|，|b k+1|，|c k+1|}＜d k，所以{d k}单调递减，由d2为有限正整数，所以必存在正整数m≥3，使得d m≤0，矛盾，所以存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为零，不妨设a k=0，且a1≠0，a2≠0…a k-1≠0，则|b k-1|=|c k-1|，且|b k-1|=|c k-1|≠|a k-1|，否则若|b k-1|=|c k-1|=|a k-1|，因为a k-1+b k-1+c k-1=0，则必有a k-1=b k-1=c k-1=0，矛盾．于是，b k=|c k-1|-|a k-1|≠0，c k=|a k-1|-|b k-1|≠0，且b k=-c k，所以，a k+1=0，b k+1=|c k|，c k+1=-|b k|=-|c k|，以此类推，即有：对∀n≥k，a n=0，b n+1=|c k|，c n+1=-|c k|，|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自k项起各项均为0．综上：结论成立．【解析】（1）由题意代入分别求出a4，b4，c4的值；（2）设c1=x，的值，讨论d2的函数表达式，进而得出a2，a3，b2，b3，c2，c3都用x表示，进而求出所有的c1的值；（3）分类讨论：先a k，b k，c k都不为零，由题意得出矛盾；所以存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为零，再讨论两个为零得出矛盾，以此类推，即有：对∀n≥k，a n=0，b n+1=|c k|，c n+1=-|c k|，|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自k项起各项均为0．考查数列的递推公式的综合应用，属于难题．第11页，共11页。
2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟
【题干序号】1已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =I _________．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】{}1,2【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,2【题干序号】2不等式|2|1x -<的解集是________【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】()1,3【解析】由|2|1x -<得121,13x x -<-<<<，所以不等式的解集为()1,3. 故答案为：()1,3【题干序号】3半径为1的球的表面积为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】4π【解析】2=4S R πQ 球表,1R =,2=41=4S ππ∴⨯⨯球表，故答案为:4π【题干序号】4已知等差数列{}n a 的首项为1,公差为2,则该数列的前n 项和n S =________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】2n【解析】∵等差数列{}n a 的首项为1,公差为2, ∴ 该数列的前n 项和n S =()21122n n n n -⨯+⨯=.故答案为：2n【题干序号】5函数()f x =的反函数是________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】()1fx -=()210x x -≥【解析】由y =可得:x =21y -,0y ≥,∴ ()f x =的反函数是:()1f x -=()210x x -≥,故答案为：()1fx -=()210x x -≥【题干序号】6计算:113232n nn n n lim +-→∞-=+________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】3【解析】11223332333321212112323n nn n n n n n n n n n lim lim lim lim +→∞-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3【题干序号】7在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____________．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】160【解析】由题得62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C x C x x --+==，令620,3r r -=∴=所以展开式的常数项为3362=820=160C ⨯.故答案为：160【题干序号】8若双曲线的一个顶点坐标为()3,0,焦距为10,则它的标准方程为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】221916x y -=【解析】依题意可知a =3,c =5 ∴4b ==根据顶点坐标可知焦点在x 轴,∴ 双曲线的方程为221916x y -=.故答案为：221916x y -=【题干序号】9已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】18【解析】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【题干序号】10已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数.当01x <≤时,()f x =31x ax -+,则实数a 的值等于________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】2【解析】∵ 函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数. 当01x <≤时,()f x =31x ax -+,∴ ()1f -=()1f -且()1f -=()12f -+=()1f , ∴ ()1f =0,即()1f =11a -+=2a -=0, ∴ a =2. 故答案为:2.【题干序号】11某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】78【解析】根据题意,分3种情况讨论:①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有333A ⨯=18种选派方法;②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有333A ⨯=18种选派方法;③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下3人中选出2人,有23C 种选法,选出4人的安排方法有323222A A +⨯⨯种,则此时有()23233222C A A +⨯⨯=42种选派方法;故一共有181842++=78种选派方法; 故答案为：78【题干序号】12正方形ABCD 的边长为4,O 是正方形ABCD 的中心,过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ,与边CD 交于点N ,P 为平面上一点,满足()21OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】7-【解析】以O 为坐标原点,以过O 且平行于AB 的直线为x 轴, 以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系,则()2,2B -,()2,2C ,∴()()()()212,212,2OP OB OC λλλλ=+-=-+-u u u r u u u r u u u r=()2,24λ-, ∴()1,12OP λ=-u u u r即P 点坐标为()1,12λ-,设(),2M a -,则(),2N a -,22a -≤≤,∴()1,23PM a λ=--u u u u r ,()1,21PN a λ=--+u u u r∴()()()()112321PM PN a a λλ⋅=---+-+u u u u r u u u r=221443a λλ-+--,当a =2±且41242λ-=-=⨯时,PM PN ⋅u u u u r u u u r 有最小值7-. 故答案为：7-【题干序号】13若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-=代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D【题干序号】14设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】B【解析】解：设z a bi =+，则z a bi =-，2z z a +=若0z z +=，则0a =，z bi =，当0b =，则0z =，不是纯虚数 若z 为纯虚数，则0a =，0b ≠，此时20z z a +==成立 所以0z z +=是z 为纯虚数的必要不充分条件 故选B.【题干序号】15如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于( )A ．12B ．1C ．4D ．2【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】D【解析】如图所示,过点E 作EH AB ⊥,垂足为H .∵ E 是母线PB 的中点,,∴OH =2EH =. ∴OE =1.在平面CED 内建立直角坐标系如图.设抛物线的方程为2y =2px .(0)p >,F 为抛物线的焦点.(C ,∴2=21p ⋅.解得p =1.1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 即12EF =, ∵ PB =2,PE =1,∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点P=故选：D【题干序号】16若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】B【解析】解析： 法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【题干序号】17在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】(1)arctan. 【解析】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角.因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ?，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC V 中，11tan 1A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为.(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离，设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得d =，直线11B C 与平面1A BC .【题干序号】18已知函数21()2cos 2f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】（1），;（2）1a =，2b =．【解析】（1）1cos 21()2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，则最小正周期是22T ππ==； 由，得()f x 的单调递减区间，（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)106C π--=， 0C π<<，022C π<<，所以112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，3C π=，因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =， ①由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2223c a b ab =+-=② 11分，由①②解得：1a =，2b =．【题干序号】19某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为145001005x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭升. (1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数,并求y 的最小值.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】（1）[]60,100;（2）y =2118090000909x ⎛⎫-+⎪⎝⎭,(其中60120x ≤≤); 最小值为809升.【解析】（1）由题意,令1450010095x x ⎛⎫⨯-+≤ ⎪⎝⎭,化简得214545000x x -+≤,解得45100x ≤≤; 又因为60120x ≤≤,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x 的取值范围是[]60,100;（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y ;则100145001005y x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭=2118090000909x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(其中60120x ≤≤); 由60120x ≤≤,知111,12060x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以x =90时,汽车行驶100公里的油耗取得最小值为809升.【题干序号】20已知椭圆22:14x y Γ+=,其左右顶点分别为A ,B ,上下顶点分别为C ,D .圆O 是以线段AB 为直径的圆. (1)求圆O 的方程;(2)若点E ,F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点,直线CE ,DF 分别交x 轴于点M ､N ,求证:OM ON ⋅u u u u r u u u r 为定值;(3)若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ,使得13AP PQ =u u u r u u u r?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】（1）22x y +=4;（2）4-；（3）不存在点P ,使得13AP PQ =u u u v u u u v，见解析【解析】（1）由题意得:()2,0A -,()2,0B ,∴ 圆O 的圆心为原点,半径为2,∴ 圆O 的方程是22x y +=4;（2）由题意可知:()0,1C ,()0,1D -,设()00,E x y ,则()00,F x y -,()01x ≠, ∴ 直线CE 的方程是:0011y x y x -=-,∴点00,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,同理点00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭, 又∵ 点()00,E x y 在椭圆2214x y +=上,∴ 220014x y +=∴ 22002200414x x OM ON x y ⋅===---u u u u r u u u r , （3）显然直线AP 的斜率存在,设其方程为:y =()2k x +,联立方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,化简得:()22221416164k x k x k +++-=0, 设()11,P x y ,则()21216214k x k+-=-+, 所以()12AP =--=, 因为圆心O 到直线AP的距离d = 所以AQ== 假设存在点P ,使得13AP PQ =u u u r ,则AQ =4AP ,所以=化简得:244k +=214k +,此方程在实数范围内无解, 故原假设错误,即不存在点P ,使得13AP PQ =u u u r u u u r.【题干序号】21已知无穷数列{}n a ,{}n b ,{}n c 满足:对任意的*n N ∈,都有1n a +=n n b c -,1n b +=n n c a -,1n c +=n n a b -.记n d ={},,n n n max a b c ({},,max x y z 表示3个实数x ,y ,z 中的最大值).(1)若1a =1,1b =2,1c =4,求4a ,4b ,4c 的值; (2)若1a =1,1b =2,求满足2d =3d 的1c 的所有值;(3)设1a ,1b ,1c 是非零整数,且1a ,1b ,1c 互不相等,证明:存在正整数k ,使得数列{}n a ,{}n b ,{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】（1）4a =0,4b =1-,4c =1.（2）2-,1-,1,2.（3）见详解【解析】（1）由题意:2a =11b c -=24-=2-;2b =11c a -=41-=3;2c =11a b -=12-=1-;以此类推,看得出4a =0,4b =1-,4c =1.（2）若1a =1,1b =2,1c =x ,则2a =2x -,2b =1x -,2c =1-,22,011,121,2x x d x x x ⎧-≤<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩,3a =11x --,3b =12x --,3c =21|x x ---,当01x ≤<时,3a =x -,3b =1|x -,3c =1,3d =1,由3d =2d ,得|x =1,不符合题意. 当12x ≤<,3a =2x -,3b =1x -,3c =32x -,32,1 1.51,1.52x x d x x ⎧-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩,由3d =2d ,得x =1,符合题意.当2x ≥,3a =2x -,3b =3x -,3c =1-,31,23,2,3,x d x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩由3d =2d ,得x =2,符合题意,综上1c 的取值是:2-,1-,1,2.（3）先证明：存在正整数3k ≥,使,k a ,k b ,k c 中至少有一个为零, 假设对任意正整数3k ≥,k a ,k b ,k c 都不为零,由1a ,1b ,1c 是非零整数,且1a ,1b ,1c 互不相等,得1*d N ∈,*2d N ∈,若对任意3k ≥,k a ,k b ,k c 都不为零,则*k d N ∈.即对任意1k ≥,*k d N ∈. 当1k ≥时,1k a +={}|,k k k kkb c max b c d -<≤,1k b+=k k k c a d -<,1k c +=k k k a b d -<,所以1k d +={}111,,k k k k max a b c d +++<,所以{}k d 单调递减,由2d 为有限正整数,所以必存在正整数3m ≥,使得0m d ≤,矛盾,所以存在正整数3k ≥,使k a ,k b ,k c 中至少有一个为零,不妨设k a =0,且10a ≠,20a ≠…10k a -≠,则1k b -=1k c -,且1k b -=11k k c a --≠, 否则若1k b -=1k c -=1k a -,因为111k k k a b c ---++=0, 则必有1k a -=1k b -=1k c -=0,矛盾.于是,k b =110k k c a ---≠,k c =110k k a b ---≠,且k b =k c -,所以,1k a +=0,1k b +=k c ,1k c +=k b -=k c -,以此类推,即有:对n k ∀≥,n a =0,1n b +=k c ,1n c +=k c -,0k c ≠,此时有且仅有一个数列{}n a自k项起各项均为0.综上:结论成立.试卷第11页，总11页。
2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)
2020年上海市崇明区高考数学一模试卷题号 -一--二二三总分得分、选择题(本大题共 4小题，共20.0分)若a v 0< b ,则下列不等式恒成立的是(半径为1的球的表面积是已知等差数列｛a n ｝的首项为1，公差为2,则该数列的前 n 项和S= 函数f (x ) =2 + 1的反函数是 ____________________________ .12. 若双曲线的一个顶点坐标为(3, 0)，焦距为10,则它的标准方程为 ______________ . 13. 已知a , b €氏，若直线x +2y +3=0与直线(a-1 ) x +by =2互相垂直，则 ab 的最大值等于 ______ .14. 已知函数f (x )是定义在 R 上的周期为2的奇函数.当0<x wi 时，f (x ) =x 3- ax +1,则实数a 的值等于 _______ .15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 ________ 种.16. 正方形ABCD 勺边长为4, O 是正方形 ABCD 勺中心，过中心O 的直线I 与边AB 交于点M 与边CD 交于点N, P 为平面上一点，满足k' I ■，则• 的最小值为 ____________________ 三、解答题(本大题共 5小题，共76.0分)17.在直三棱柱 ABCABC 中，/ AB(=90°, AB=BC=1, BB =2.(1) 求异面直线 BC 与AC 所成角的大小；(2)求直线BC 与平面ABC 的距离.1.2.3.4.5. 6. A.B. -a >bC.已知 z € C ,"「Z 二 1” 是"A.充分非必要条件 C.充要条件 如图，在底面半径和高均为 調的圆锥中，AB CD 是 底面圆O 的两条互相垂直的直径，z 为纯虚数”的 B. D. D. a 2> b 2( )必要非充分条件 既不充分也不必要条件E 是 母线PB 的中E贝U 该抛物线的焦点到圆锥)点.已知过CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分， 顶点P 的距离等于( A.B.C.罟若不等式(| x - a |- b ) sinA.、填空题(本大题共 已知集合A =｛0 ,不等式| x -2| < 1 7tB.12小题, 1, 2, 3}, 的解集是x +) < 0对x € [-1,1]恒成立，则a +b 的值等于()C. 1D. 2共54.0分) B={x |0 < x w 2}，贝U A n B= ___ .7. 8. 9.10. 计算:11. 在二项式a +紀的展开式中，常数项等于D.lim "T8〔8.已知函数■- .(1)求函数|.；「；「打的最小正周期和单调递减区间；(2)设△川日^的内角ABC的对边分别为a, b,c,且匕=筋，心，若二I」，求a, b 的值.19. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60W x<120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为詐_価+竽)升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值.20. 已知椭圆其左右顶点分别为A, B,上下顶点分别为C, D.圆O是以线段AB为直径的圆.(1)求圆O的方程；(2)若点E, F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE DF分别交x轴于点M N,求证:为定值；(3)若点P是椭圆r上不同于点A的点，直线AP与圆0的另一个交点为Q.是否存在点P,使得藜二彩卫？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.21. 已知无穷数列{a n} , {b n} , {C n}满足：对任意的门€ N ,都有a n+1=|b n|-| C n| ,b n+i=| C n|-| a n| , C n+i=| a n|-| b n| .记d n=max{| a n| , | b n| , | C n|} ( max{x, y, z}表示3 个实数x, y, z中的最大值).(1)若a i=l, b i=2, C i=4,求，b4, C4 的值；(2)若a1=1, b1=2,求满足d2=d3的C1的所有值；(3)设a1, b1, C1是非零整数，且|釦,| b1| , | C1|互不相等，证明：存在正整数k,使得数列{a n}, { b n}, {C n}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0.答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A,由于a v O v b,则V O v, A错误；对于B,若|a| v |b|，则-a v b, B错误；对于C,由于a v O v b,贝U a3v O v b3, C正确；对于D,若|a| v |b|，则a2v b2, D错误；故选：C.根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案.本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题. 2.【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断. 本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题.【解答】解：对于复数z,若z+ =0, z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+ =0. •••“ z+ =0”是“ z为纯虚数”的必要非充分条件.故选B.3.【答案】D【解析】解：如图所示，过点E作EH L AB垂足为H.••• E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为■'.<)• OH=EH=.• 0E=1.设抛物线的方程为y2=2px.(p> 0), F为抛物线的焦点.C (1,),• 2=2p?1.在平面CED内建立直角坐标系如图.解得p=1.F (, 0).即OF=, EF=,•/ PB=2, PE=1,•该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为故选：D.根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可.本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题.4. 【答案】B【解析】解：当-K x w -或w x<1时，sin (n x+)w 0,当-w x< 时，sin (n x+)> 0,•••当-1 w x w -或w x wi 时，| x-a|- b>0,当-w x w 时，| x- a|- b w 0,设f (x) =| x- a|- b,则f (x)在(-g, a)上单调递减，在(a, +^)上单调递增，且f (x)的图象关于直线x=a对称，• f (-) =f () =0,•2a=-+=，即a=，又f ()=卜卜b=0,故b=.•a+b=.故选：B.设f (x) =| x-a|- b,得出f (x)的符号变化情况，根据 f (x)的单调性和对称性即可得出a, b的值.本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题.5. 【答案】{1 , 2}【解析】解：••• A={0 , 1, 2, 3} , B={x|0 v x w2};•A n B={1 , 2}. 故答案为：{1 , 2}.进行交集的运算即可.考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算.6. 【答案】(1, 3)【解析】解：由不等式|x-2| v 1可得，-1 v x-2 v 1,解得1 v x v 3,故答案为：(1, 3).由不等式|x-2| v 1可得，-1 v x-2 v 1,由此解得不等式的解集.本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.7. 【答案】4n【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4n ?12=4n.故答案为4 n.直接利用球的表面积公式，即可得出结论.本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础.8. 【答案】n2【解析】解：•••等差数列{a n}的首项为1,公差为2,H(PI I) 2•该数列的前n项和S=nx l +—j—x 2= n .故答案为：n2.利用等差数列前n项和公式直接求解.本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9. 【答案】f-1(x) =x2-1 (x >0)即ab 的最大值为,2【解析】解：由 y -可得：x =y -1 , y >0,二 f (x ) = ■：•- ：•、的反函数是：f -1 (x ) =x 2-1 (x > 0), 故答案为：f -1 (x ) =x 2-1 (x > 0).将y=-4匚H 转化为用y 表示x 的算式，进而可得答案.本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档. 10.【答案】3故答案为：3.可将分子分母同除以 3n 再利用和极限的四则运算法则即可求解. 本题主要考查极限及其运算. 解题的关键是要分子分母同除以 3n 使得分子和分母的极限均存在.11.【答案】160【解析】解：展开式的通项为 .-， =令6-2 r =0可得r =3常数项为戸瑞=160 故答案为：160 展开式的通项为-■ =' . ^ ，要求常数项，只要令 6-2 r =0可得r ，代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题【解析】 解：依题意可知a =3, c =5 二 b=j2 二 > -'■根据顶点坐标可知焦点在 x 轴， •••双曲线的方程为石-話=1根据顶点坐标求得 a ,根据焦距求得c ,进而根据b 2=c 2- a 2求得b ,进而求得双曲线的标 准方程. 本题主要考查了双曲线的标准方程•解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用 a , b和c 的关系，同时注意焦点是在 x 轴还是在y 轴.13.【答案】【解析】 解：根据题意，若直线 x +2y +3=0与直线(a -1 ) x +by =2互相垂直, 则有(a -1 ) +2b =0,变形可得 a +2b =1,<■ C芻 2则ab = (a x2b )wx( )=，当且仅当a =2b =时，等号成立；9-«- 112.【答案】【解析】 解:=3lim 3-4)P 1 *故答案为：.根据题意，由直线垂直的判断方法可得( a-1 ) +2b=0,变形可得a+2b=1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案.本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题.14.【答案】2【解析】解：•••函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数.3当O v x wi 时，f (x) =x - ax+1,••• f (-1 ) =-f (1 )且f (-1 ) =f (-1+2) =f (1),••• f (1) =0,即f (1) =1-a+ 仁2-a=0,•• a=2.故答案为：2.根据函数的周期为2,奇函数，又已知当0v x wi时的解析式，故f (-1 ) =-f (1)且f (-1 ) =f (-1+2 ) =f (1)推出f (1) =0,解出即可.本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题.15. 【答案】78【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3X A3=18种选派方法；②，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3X A3=18种选派方法；③，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有G2种选法，选出4人的安排方法有A3+2X 2X A种,2 3 2则此时有G (A+2X2X A) =42种选派方法；故一共有18+18+42=78种选派方法；故答案为：78根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案.本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.16. 【答案】-7【解析】解：如图，以0为坐标原点，以过0 且平行于AB的直线为x轴，以过0且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，则B ( 2, -2 ), 0( 2, 2),• 2_工=\”：+ (1-入)们=入(2,-2) + (1-入)(2, 2) = (2, 2-4 入)，•= ( 1, 1-2 入)即P点坐标为(1 , 1-2入)，设M( a, -2 )，贝U N (-a, 2), -2<a<2,• U=(a-1,2入-3), ；*=(-a-1,2入+1)「-*,= ( a-1 ) ( - a-1 ) + (2 入-3 ) (2 入+1) =1- ^+4 入2- 4 入-3 ,当a=±2且入=-^~7 =时,故答案为：-7 .建立坐标系，根据2丹=+ (1 -町忘，求出P 点坐标，设出 M N 坐标分别为(a , -2 ),( -a , 2)，将转化为关于a ,入的函数，即可得到其最小值.本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求 法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题.17.【答案】 解：(1)由题意可得BC// BG ,•••/ACB(或其补角)即为异面直线 BC 与AC 所成的角， 由题意可知 BC ±平面 ABBA ,： BC ± AB, • △ ABC 为直角三角形，(2)T BC// B C , BC ?平面 A i BC BC ?平面 ABC • BC //平面 ABC•直线B C 上任意一点到平面 A i BC 的距离均为直线 不妨取B ,且设B 到平面A i BC 的距离为h ,由等体积法可得 卩占厂』严匚=%-詛严巧，即肚x 人=£"日片x BC 代入数据可得xx 1 x , x h =xx 2x i x i ，解得 h =【解析】(i )由题意可得/ A CB (或其补角)即为异面直线 B C 与AC 所成的角，解三 角形可得；(2)可证B C //平面AiBC 贝U B 到平面ABC 的距离h 即为所求，由等体积法可得 "巧严=%_勺曰竹，代入数据计算可得.本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中 档题.i 8.【答案】解：( i )T f (x )sin2 x -cos 2X -( x € R=sin (2x -) -1 ,•••由 2k n + W2 x - W2k n+扌，k € Z 可解得：x € [ k n +扌，k n + 卜],k € 乙(2) f (C ) =sin (2G )-仁0 ,贝U sin (2C-) = 1 , •/ 0V C vn,• C=,■/ sin B =2sin A,•由正弦定理可得 b =2a ，①•••异面直线BC 与AC 所成的角为arcta n ■； B C 到平面A BC 的距离,•直线B C 到平面A BC 的距离为• f (x )单调递减区间是:[k n + 扌，k n k € Z ；=sin2 x -T C=*,•••由余弦定理可得 c 2=a 2+b 2-ab =3,② 由①②可得 a =1, b =2. 【解析】(1)先化简函数f (x ),再求函数的单调递减区间和最小正周期；(2)先求C,再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求 a 、b 的值. 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中 档题.19.【答案】解：(1)由题意，令x( X -100+子)< 9,化简得 X -145X +4500W 0,解得 45W x < 100; 又因为60W x < 120, 所以欲使每小时的油耗不超过9 升, x 的取值范围是[60 , 100];(2)设该汽车行驶100公里的油耗为y ； 则 y = '? (x -100+^) =90000+,(其中 60W x < 120);由 60W x < 120,知€ [二,],所以x =90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升.E (X 0, y 。
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷答案
上海市崇明县2020届高三一模数学试题（理科）参考答案一、填空题1、3+5i2、512π 3、+=0x y 4、[]-1,1 5、1- 6、10 7、30 8、4 9、89 10、-2a ≤ 11、12 12、( 13、1830 14、(-4,-2) 二、选择题15、C 16、C 17、C 18、A三、解答题19、1(x)=sin2x+cos2x f （）(2x+)4π=T π∴（2）因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以sin (2x+)4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 20、（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u u r . 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥u u u r u u u u r 。
另解：11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥，111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭面A 。
11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。
（2）因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==u u u r u u u r ，所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n u r ，同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n u u r ，设二面角A-B 1E-A 1为α，则1212cos =2n n n n α⋅=⋅，=6πα所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为6π. 22、解：（1）22(x)=x +-1f x ，令2(x)=0f，得x所以21(x)(,1)22f 在区间内的零点是x=。
（2）证明：因为 n 1()<02f ，n (1)>0f 。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷
崇明县2020学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学(理科)（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（每题4分，共56分）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =.2、已知(0,)απ∈且tan()4πα+=，则α=.3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是.4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-==-<≤≤≤，则A B I 等于 .5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=.6、251()x x -展开式中x 7这个数列的第389、数列{}n a 前n 项和为n S ，则n 10、已知：条件A ：22031xx >-，条件B ：x a >， 如果条件A 是条件B 的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是.11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值等于 .12、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP u u u r 按逆时针旋转34π后得向量OQ u u u r ，则点Q 的坐标是 .第7题图13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于.14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是.二、选择题（每题5分，共20分）15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数C ．()f x 不是周期函数D ．()f x 不是单调函数16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．818、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………（ ）A ．35B ．815C ．25D ．15三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间．20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．（1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．ABCE DA 1D 1B 1C 1。
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式＜0的解是 ．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ． 8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 cm 2．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1 B ．|ab |≥1 C ．|a +b |≥1 D ．|a ﹣b |≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规祝您高考马到成功！划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值；（2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．祝您高考马到成功！上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= 3 ． 【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a }， A ∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是 （﹣1，0） ．【解答】解：不等式＜0，即 x （x +1）＜0，求得﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= 1﹣i ． 【解答】解：由iz=1+i ，得z==1﹣i故答案为：1﹣i ．5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）祝您高考马到成功！【解答】解：（x ﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2， ∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，）， 则：（，）满足f （x ）=x α， 所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 18π cm 2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm ，则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π，祝您高考马到成功！解得a=3cm ；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2． 故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ﹣ ．【解答】解：∵函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ， ∴x ＞0时，﹣f （x ）=2﹣x ﹣a （﹣x ）， ∴f （x ）=﹣2﹣x ﹣ax ， ∵f （2）=2，∴f （2）=﹣2﹣2﹣2a=2， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= 2 ．【解答】解：无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，可得=a ，即有=a ，即为2a 2﹣5a +2=0， 解得a=2或，由题意可得0＜|q |＜1， 即有0＜|a ﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立． 故答案为：2．祝您高考马到成功！11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论： ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 故答案为：780．12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= 4 ．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ABC=α， 由||=2，知A （﹣a +2cosα，2sinα），∴=（a ﹣2cosα，b ﹣2sinα），=（2a ，0）， ∴•=2a （a ﹣2cosα）+0=2a 2﹣4acosα=6，∴a 2﹣2acosα=3； 又=（2a ﹣2cosα，﹣2sinα），祝您高考马到成功！∴=（2a ﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a 2﹣8acosα+4 =4（a 2﹣2acosα）+4 =4×3+4 =16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得，=ad ﹣bc ．故选B ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b【解答】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得：2a ＞2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 故选：D ．祝您高考马到成功！15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵S 4+S 6＞2S 5， ∴4a 1+6d +6a 1+15d ＞2（5a 1+10d ）， ∴21d ＞20d ， ∴d ＞0，故“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”充分必要条件， 故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1B ．|ab |≥1C ．|a +b |≥1D ．|a ﹣b |≥2【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线为：y=±x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2，1），B （2，﹣1）．=a+b=（2a +2b ，a ﹣b ）．代入双曲线方程可得：﹣（a ﹣b ）2=1，化为ab=． ∴=ab ，化为：|a +b |≥1．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功！成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2•=2， ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积： V===． （2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A 1B==2， ∴cos ∠A 1BD===．∴∠A 1BD=arccos．∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos．祝您高考马到成功！18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．【解答】解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．祝您高考马到成功！19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n +6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n +1）﹣f （n ）=[﹣2（n +1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n ≤3时，f （n +1）﹣f （n ）＜0，故当n ≤4时，f （n ）递减； 当n ≥4时，f （n +1）﹣f （n ）＞0，故当n ≥4时，f （n ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x ≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x ≈4．祝您高考马到成功！从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； （2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【解答】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，祝您高考马到成功！∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣， ∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2， 由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 =++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1， ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功！21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1． 【解答】解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |． 若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1． 若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，祝您高考马到成功！∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．！功成到马考高您祝。
2020年高三数学崇明一模.doc
上海市崇明区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则A B =I2. 不等式|2|1x -<的解集是3. 半径为1的球的表面积是4. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S =5. 函数()f x =的反函数是6. 计算：1132lim 32n nn n n +-→∞-=+ 7. 二项式62()x x+的展开式中常数项的值等于 8. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是9. 已知a 、b +∈R ，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大 值等于10. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <≤时，3()1f x x ax =-+， 则实数a 的值等于11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同 的选派方案共有 种12. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-uu u r uu u r uuu r ，则PM PN ⋅uuu r uuu r的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b> B. a b -> C. 33a b < D. 22a b > 14. 已知z ∈C ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A. 12B. 1C. 4D. 216. 若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于（ ） A.23 B. 56C. 1D. 2 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求点1B 与平面1A BC 的距离.18. 已知函数21()2cos 2f x x x =--. （1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c =()0f C =， 若sin 2sin B A =，求a 、b 的值.19. 某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500(100)5x x-+升. （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值.20. 已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A 、B ，上下顶点分别为C 、D ，圆O 是以线段AB 为直径的圆.（1）求圆O 的方程；（2）若点E 、F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线CE 、DF 分别交x 轴于点M 、N ，求证：OM ON ⋅uuu r uuu r 为定值；（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得13AP PQ =uu u r uu u r ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a c +=-，记max{||,||,||}n n n n d a b c =（max{,,}x y z 表示3个实数x 、y 、z 中的最大值）.（1）若11a =，12b =，14c =，求4a 、4b 、4c 的值；（2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a 、1b 、1c 是非零实数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.。
崇明区2020届第一次高考模拟考试数学试卷
高三数学 共4页 第1页崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B = ．2．不等式21x -<的解集是 ． 3．半径为1的球的表面积是 ．4．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前项和n S = ． 5．函数()f x =的反函数是 ．6．计算：= .7．二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值等于 ．8．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是 ． 9．已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于．10．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．11．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为 ．n 112323lim -+∞→+-n n nn n高三数学 共4页 第2页二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是A ．11a b> B ．a b ->C ．33a b <D ．22a b >14．已知z C ∈，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件16．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于A ．23B ．56C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =． （1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求点1B 与平面1A BC 的距离．A 1B 1C 1ABC高三数学 共4页 第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()2cos 2f x x x =--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升．（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值．高三数学 共4页 第4页20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A ，B ，上下顶点分别为C ，D ．圆O 是以线段AB 为直径的圆．（1）求圆O 的方程；（2）若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、，求证：OM ON ⋅为定值；（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得13AP PQ =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的n *∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（1）若11a =，12b =，14c =，求4a ，4b ，4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．。
2020年上海崇明县高三一模数学试卷
2020年上海崇明县高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.不等式的解集是 ．3.半径为的球的表面积是 ．4.已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和 ．5.函数的反函数是 ．6.计算： ．7.二项式的展开式中常数项的值等于 ．8.若双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则它的标准方程为 ．9.已知、，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于 ．10.已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则实数的值等于 ．11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12.正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则下列不等式恒成立的是（ ）．A.B.C.D.14.已知，“”是“为纯虚数”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）．A.B.C.D.16.若不等式对上恒成立，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.在直三棱柱中，，，．求异面直线与所成角的大小．求点与平面的距离．（1）（2）18.已知函数．求函数的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合．设的内角、、所对的边分别为、、，且，，若，求、的值．（1）（2）19.某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．欲使每小时的油耗不超过升，求的取值范围．求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数，并求的最小值．（1）（2）20.已知椭圆，其左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，圆是以线段为直径的圆．求圆的方程．若点、是椭圆上关于轴对称的两个不同的点，直线、分别交轴于点、，求证：为定值．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案为：．解析:不等式等价于，解得，∴不等式的解集是．故答案为：．解析:由题意，半径为的球的表面积是．故答案为．（3）若点是椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得 ？ 若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．（1）（2）（3）21.已知无穷数列、、满足：对任意的，都有，，，记表示个实数、、中的最大值．若，，，求﹑、的值．若，，求满足的的所有值．设、、是非零实数，且、、互不相等，证明：存在正整数，使得数列、、中有且只有一个数列自第项起各项均为．1.2.3.∵等差数列的首项为，公差为，∴该数列的前项和．故答案为：．5.解析:∵的定义域为，值域为，∴，∴函数的反函数为．综上所述，答案为．6.解析:．7.解析:二项式展开式，通项，令，则，，所以展开式中常数项值为．由题意，，，则，故双曲线的标准方程为．9.解析:直线，变形为，斜率为，∵，，直线，变形为，由直线与直线垂直，则，即，由基本不等式，则（当，时等号成立），∴的最大值为．10.解析:∵是定义在上的周期为的奇函数，∴且，∴当时，，即，则，∵当时，，∴得，故答案为．11.解析:总共有种情况，其中甲从事翻译工作有种情况，乙从事导游工作有种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有种情况，∴．解析:设，由向量共线定理，可知点在直线上，为中点，∴，∵，，∴．解析:对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为，反之，若为纯虚数，则∴“”是“为纯虚数”的必要非充分条件．故选．解析:将抛物线放入坐标系，如图所示，12.C 13.B 14.D 15.∵，，∴，设抛物线，代入点，可得，∴焦点为，即焦点为中点，设焦点为，则，，∴．故选．解析:方法一：如图，作出函数在上的图象，为使不等式对上恒成立，当且仅当函数的图象经过函数的零点，则由，得，，所以，所以．故选．方法二：令，作出函数在上的图象，B 16.（1）（2）则函数的图象必需经过，两点，则．故选．方法三：当时，，，所以，，即，所以，当时，，，所以，则或，所以，综上．故选．解析:因为，所以就是异面直线与所成的角或补角．在三角形中，，，所以，所以．所以异面直线与所成角的大小是．因为，，所以平面所以设点与平面的距离为，则，由得：．（1）．（2）．17.（1）（2）（1）（2）解析:．函数，当且仅当，时取得最大值，即，，∴的最大值为，取得最大值的取值集合为．由，得，又，所以，得，由及正弦定理，得①，由余弦定理，得②，由①，②解得，．解析:由，得，所以，又因为，所以的取值范围是．设该汽车行驶公里的油耗为升，则：，因为，所以，所以当时，该汽车行驶公里的油耗取得最小值升．（1），集合为．（2），．18.（1）．（2），的最小值．19.（1）．（2）证明见解析．20.（1）（2）（3）解析:由题意，得，，所以圆的方程是．由题意，得，，设，，，则直线的方程是：，所以，同理，因为，所以．显然直线的斜率存在，设其方程为：．代入椭圆方程，得：，设，则，所以，因为圆心到直线的距离，所以，假设存在点，使得，则，所以（*），而方程（*）在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点，使得．（3）不存在，证明见解析．（1），，．（2）， ，，．21.（1）（2）（3）解析:，，．若，，记，则，，，，，，当时，，，，，由，得，不符合；当时，，，，由，得，符合；当时，，，，由，得，符合；综上，的所有取值是，，，．先证明“存在正整数，使，，中至少有一个为”，假设对任意正整数，，，都不为，由，，是非零整数，且，，互不相等，得，，若对任意，，，都不为，则，即对任意，．当时，，，，所以，，所以，单调递减，由为有限正整数，所以，必存在正整数，使得，矛盾．（3）证明见解析．所以，存在正整数，使，，中至少有一个为．不妨设，且，，，，则，且，否则，若，因为，则必有，矛盾，于是，，，且，所以，，，，依次递推，即有：对，，，，且，此时有且仅有一个数列自第项起各项均为，综上，结论成立．。
上海2020高三数学一模分类汇编-立体几何(详答版)
2020年一模汇编——立体几何一、填空题【崇明3】半径为1的球的表面积是_______． 【答案】4π【解析】24R S π= 1=R π4=∴S【奉贤3】圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于___________.）【杨浦5】已知圆锥曲线的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为__________.【答案】3π 【解析】2clS =(c 为底面圆周长，l 为母线长)，因为2c π=所以2l =，所以母线与底面所成角的大小为3π 【长宁，嘉定，金山5】若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为_______. 【答案】2【解析】 底面圆面积为π，∴底面半径为1，底面周长为2π，且侧面面积为122lR π=∴2222=÷⨯=ππR【黄浦6】母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为________.）【答案】2π3【解析】由底面半径为1可知圆锥展开图中的弧长为2π，展开图中半径为3，由L r α=得23πα=【静安6】设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =,现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.【答案】23π 【解析】22112(2)333r πππ== 【青浦6】已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为_______.【答案】16322+【解析】由题意得正四棱柱的高4)22(322==h ，所以表面积232162244)22(22+=⨯⨯+⨯=表S—【浦东7】如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________．【答案】2π【解析】依题意知母线长为2，底面半径1r =，则由圆锥的侧面积公式得2S rl ππ== 【闵行9】如图，在三棱锥D AEF -中，1A 、1B 、1C 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是AE 、AF的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱 锥D AEF -的体积为2V ，则12:V V =________.【答案】38【解析】12121113,,:4238V S h V S h V V =⋅=⋅∴=底底 【虹口9】已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：① m n ⊥；② n ∥α；③ m α⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________.$【答案】若②③，则①；【解析】由于m 、n 是平面α外的两条不同直线，若αα⊥m n ,//，则n m ⊥，故得到论断若②③，则①【宝山10】有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是______cm . 【答案】5.4【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x 【青浦11】如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数2()1xf x x=+，0x >的图像上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________.【答案】4π【解析】()101,)1()(2<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=x x xx D xf x f 则()101,12<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x C ]4-1111112222+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x x x x x x x V πππ圆柱令)0(1>-=t x x t 442442ππππ=⋅≤+=+=∴tt tt t tV 圆柱当且仅当12,2-==x t 时等号成立二、选择题【松江13】已知l 是平面α的一条斜线，直线m α≠⊂，则（ ）【A 】存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ 【B 】存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ 【C 】存在唯一的一条直线m ，使得//l m 【D 】存在无限多条直线m ，使得//l m%【答案】B【解析】首先可以找到一个m 与l 垂直，那么与m 平行的直线且在α内的直线都与l 垂直 【青浦14】对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ） 【A 】若mα，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交【B 】若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β 【C 】若mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n【D 】若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线 【答案】C—【解析】A 选项面αβ、也可以平行；B 选项n 也可以属于平面β；D 选项,m n 也可以是共面的.【徐汇14】一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ） 【A 】. 1:2 【B 】. 1:8 【C 】2 【D 】4【答案】C【解析】设截后锥的高度为h ，原锥高为H ，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平行面所截，且截面面积与底面面积的比为1:22h H ∴=，所以答案选C 【长宁，嘉定，金山15】已知正方体1111D C B A ABCD -,点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11D A 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与b a 、都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与b a 、所成的角都为 45.以下判断正确的是( ) 【A 】①为真命题，②为真命题；【B 】①为真命题，②为假命题； 【C 】①为假命题，②为真命题； 【D 】①为假命题，②为假命题； 【答案】B【解析】异面直线夹角问题，b a 、夹角为 90，则过点P 与所有角为 45的有两条..【普陀15】已知两个不同平面,αβ和三条不重合的直线,,a b c 则下列命题中正确的（ ）【A 】若a α∥，b αβ=则a b ∥>【B 】若,a b 在平面α内，且,c a c b ⊥⊥，则c α⊥【C 】若,,a b c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与,,a b c 都相交【D 】若,αβ分别经过两异面直线,a b ，且c αβ=，则c 必a 与b 相交【答案】D【解析】本题考察的是立体几何，需要学生具有一定的空间思维【宝山15】已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面 【答案】B】【解析】可以借助墙角模型【闵行15】在正四面体A BCD -中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，(0,)4πθ∈，则动点P 的轨迹是（ ）A.圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】B【解析】由题，顶点A 在底面BCD 的射影O 是底面三角形BCD 的中心，则以OB 为x 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系。