2020冀教版九年级数学上册 一元二次方程综合
【文库独家】
一元二次方程综合
一、选择
1、设—元二次方程x 2
－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是（ ） A 、x 1+x 2＝2
B 、x 1+x 2＝－4
C 、x 1·x 2＝－2
D 、x 1·x 2＝4
2、方程2x 2
-3x+1=0经为(x+a)2
=b 的形式,正确的是 ( )
A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
B 、2
312416x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ C 、
2
31416x ⎛
⎫-= ⎪
⎝
⎭ D 、以上都不对 3、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
4、已知x 1，x 2是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值是 （ ） A 、10 B 、13 C 、26 D 、37
二、填空
5、用______法解方程(x-2)2
=4比较简便。
6、关于x 的一元二次方程x 2
+bx+c=0有实数解的条件是__________。
7、已知α，β是方程0522
=-+x x 的两个实数根，则α2
+β2
+2α+2β的值为_________。
8、若a-b+c=0,a ≠0, 则方程ax 2+bx+c=0必有一个根是_______。
9、已知关于x 的方程x 2－（a ＋2）x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝1
2
是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________。
10、如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2
+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________。
三、解答
11、小资料：财政预计，三峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元，贷款利息成本a 亿元，物价上涨价差(a +360)亿元三部分组成。
但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4％；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了18.7％。
2004年三峡电站发电量为392亿度，预计2006年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同。
若年发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到三峡电站设计的最高年发电量。
从2009年，拟将三峡电站和葛洲坝电站的发电收益全部用于返还三峡工程投资成本。
葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售电价为0.25元/度。
（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿元？（结果精确到1亿元） （2）请你通过计算预测：大约到哪一年可以收回三峡工程的投资成本？
12、已知关于x 的一元二次方程2
10x kx +-=
(I)求证：方程有两个不相等的实数根：
(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值
13、
14、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2
，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2
吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
答案：
一、A 、D 、B 、D
二、5、直接开平方法 ； 6、2
40b c -≥； 7、10； 8、－1；
9、－
8
13
；
10、2
三、11、
12、(1)△=2
2
41(1)40k k -⨯⨯-=+>， 原方程有两个不相等的实数根 (2)由根与系数的关系，得 1212,1,x x k x x +=-⋅=- 1212x x x x +=⋅ 1k -=- 解得k=1
13、
14、（1）设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得：22
20()()1744
x x -+= 解得：x 1=16, x 2=4
当x 1=16时，20-x=4； 当x 2=4时，20-x=16 答：（略） （2）不能 。
理由是：2220()()1244
x x -+= 整理得：x2－20x+104=0
∵ △<0 ∴此方程无解 即不能剪成两段使得面积和为12cm 2。
冀教版九年级数学上册《一元二次方程》课件
24．1 一元二次方程
3．(4分)将一元二次方程2(x＋2)2＋(x＋3)(x－2)＝－11化为 一般形式为( D )
A．x2＋3x＋4＝0 B．3x2＋9x＋12＝0 C．3x2＋8x＋13＝0 D．3x2＋9x＋13＝0
4．(4分)若x＝2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一个 解，则m的值是( A )
24．1 一元二次方程
24．1 一元二次方程
只含一个未知数，并且未知数的最高次数为____2____的整 式方程，叫做__一__元__二__次__方__程____．关于x的一元二次方程，经 过整理后都可以化成__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_c≠0)
的形式，我们把它叫做一元二次方程的_一__般__形__式___，其中 ___a_x_2___是二次项，____a____是二次项系数．
解： 每降价2元，多销售6件，设降价x元，则多销售3x件； 降价后销售件数为(30＋3x)件，每件利润为(40－x)元， 则有(30＋3x)(40－x)＝1 000， 整理得3x2－90x－200＝0.
24．1 一元二次方程
【易错盘点】
【例】一元二次方程x2＝9x－5中的二次项系数，一次项系数，常数
15．(15分)根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)一长方形的面积为64 cm2，若它的宽是长的，则各边长是多少？ (2)两数之差是2，平方和是52，求此两数． (3)生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
24．1 一元二次方程
1．(3分)下列方程中，一元二次方程的个数是( C ) ①3y2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0； ③(x＋1)(x－2)＝(x－1)(x－4)； ④x－x12－2＝0.
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程精品课件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
小试牛刀
当m取何值时，方程（m-1）x3m+2+2mx+3=0 是关于x的一元二次方程？
解：由题意得，
3m+2=2, 解得m=0，且m-1≠0 所以，当m=0时此方程是一元二次方程
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
方
程
解（根）：使一元二次方程两边相 等的未知数的值
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展提高
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求 出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
课堂小结
一 元
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数都是2的整式方程
二
次
一般形式：ax2 + bx + c =0（a≠0）
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
a 12 b 1 c 0,
即a b c 0.
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
拓展提高
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
解：由题意得
a b c 0,
即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
?
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
例题讲解
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程课件
解这个方程得： x1=0.2，x2=1.3(不合题意，舍掉) 答：第一年减少的百分率为20%，第二年减少的百分率为 40%。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
平均增长率问题：
例1随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高， 汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年 底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达 到21.6万辆。若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长 率。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每 月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元 时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每 月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
图形面积类问题：
如图，有一块长80cm，宽60cm的长方形硬纸片，在四角各剪 去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子。求剪去的小正方形的边长。
分析：设小正方形的边长为x，则长方体 盒底的长可表示为(80-2x)，宽可表示为 (60-2x)。这样我们就可以根据等量关系： 长×宽=面积列出所需方程了。
存车处
m，依题意得：
xm
x(90-2x)=700
整理得：2x2-90x+700=0
解之得：x1=35，x2=10 当x=10时，90-2x=70＞22，不合题意舍掉。
当x=35时，90-2x=20。
答：这个存车处的长为35m，宽为20m。
冀教版九年级数学上册《解一元二次方程》
例2：解方程：
３x2+8x－3=0
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意勇功于的义开路始，,才方能找到程成 两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
解方程：1）2x2+1=3x 2）3x2-6x+4=0
x 6 51, x 6 51
Ｘ１，Ｘ２都是原方程的
得 : x1 6 51, x2 6 51 根吗？
以上解法中,为什么在方程x2 12x 15两边加 36?加其他数行吗?
像这样，通过配方把一元二次方程变形 为一边为含未知数的一次式的平方，另 一边为常数，当常数为非负数时，利用 开平方，将一元二次方程转化为两个一 元一次方程，从而求出原方程的根，这 种方法叫做配方法。
【自主探究1】
(1)x²=8 (2)(x+6)² =5
（3）x2 12x 36 5
思考： 1)解这些一元二次方程的基 本思路是什么？你是如何实 现的？ 2)你还会解类似的方程吗？ 编一个试试看！ 3)用这种方法求解的一元二 次方程在形式上有什么共同 特征呢？
【自主探究1】
归纳：
利用 平方根的 意义直接 开平方 求一元二次方程的解的方法叫做 直 接开平方法 。
t3 1
22
t1 2, t2
1
请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在 时刻小球的运动状态.
【勇攀高峰】：
1、如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个
根是-1，那么k=____，另一根为____ 2、若a2+2a+b2-6b+10=0,则a= ，b=
2020年冀教版数学九年级上册 24.2 解一元二次方程(含答案)
拓展训练2020年冀教版数学九年级上册24.2 解一元二次方程基础闯关全练1．一元二次方程x²=c有解的条件是( )A.c＜0B.c＞0C.c≤0D.c≥02．方程（x-2）²=9的解是( )A．x₁=5，x₂=-1 B．x₁= -5，x₂=1C．x₁= 11，x₂=-7 D．x₁=-11，x₂ =73．一元二次方程的两个根是___________．4．解方程：x²-6x+9=（5-2x）²（利用直接开平方法）．5．一元二次方程配方后可化为( )A． B.C．D．6.用配方法解一元二次方程x²+6x=1时，应在等式两边同时加上______．7．解方程：2x²+1= 3x（利用配方法）．8．关于x的方程（x-2）²=1-m无实数根，那么m满足的条件是( )A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜19．解方程：3x²+5（2x+1）=0．10．一元二次方程x（x+2）=3（x+2）的根是( )A．x=3 B．x= -2C．x₁= -2，x₂=-3 D．x₁= -2，x₂=3能力提升全练1．把方程x²-6x+3=0化成(x+m)²=n的形式，则m，n分别是( )A.-3，6B.-3，12C.3，6D.3，122．已知a＞b＞0，且，则__________．3．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a²-b，根据这个规则，方程（x-1）*9=0的解为__________．4．关于x的一元二次方程（kx+1）（x-k）=k-2的二次项系数，一次项系数及常数项之和等于3，则k的值为_______．5．解方程：(1)4x²-1=0; (2)2x²-5x+2=0.三年模拟全练一、选择题1．（2019河北保定满城期中，1，★☆☆）用配方法解方程时，应将其变形为( ) A．B．C．D．2．（2019河北唐山丰润期中，5，★☆☆）对一元二次方程x²-ax=3进行配方时，两边同时加上( )A. B. C．D．a²3．（2019河北秦皇岛卢龙期中，2，★☆☆）一元二次方程4x²+1= 4x的根的情况是( ) A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根二、解答题4．（2017河北保定定州期中，19，★★☆）用适当的方法解一元二次方程：(1)x²+3x-4=0；(2) 3x（x-2）=2（2-x）；(3)(x+8)（x+1）=-12.五年中考全练一、选择题1．（2018贵州安顺中考，6，★★☆）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x²-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )A．12 B．9 C．13 D．12或9二、填空题2．（2018湖南常德中考，13，★☆☆）若关于x的一元二次方程2x²+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是_________（只写一个）．三、解答题3．（2016山西中考，17，★☆☆）解方程：2(x-3)²=x²-9.4．（2018四川成都中考，16，★☆☆）若关于x的一元二次方程x²-(2a+1 )x+a²=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．核心素养全练1．已知，m是方程x²-3x-1=0的一个根，求证：长度分别为，33的三条线段不能构成三角形．2．阅读下面的材料：解方程x⁴-7x²+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x²=y，则x⁴=y²，∴原方程可化为y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，当y=3时，x²=3，，当y=4时，x ²=4，x=±2，∴原方程有四个根是，，x₃=2，x₄=-2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．(1)解方程：（x²+x）²-5(x²+x)+4=0;(2)已知实数a，b满足(a²+b²)²-3（a²+b²）-10=0，试求a²+b²的值．24.2 解一元二次方程基础闯关全练1．D利用直接开平方法解方程时，被开方数c必须为非负数，方程才有实数根，即c≥0．故选D．2．A直接开平方，得x -2=±3，即x₁=5，x₂=-1．故选A．3．答案x₁ =3，x₂=-3解析方程变形为x²=9，所以x=±3，所以x₁=3，x₂=-3．4．解析原方程可化为（x-3）²=(5-2x)²，直接开平方，得x-3= 5-2x或x-3= 2x-5，解得，x₂=2．5.B ，，，，故选B．6．答案9解析用配方法解一元二次方程x²+6x=1时，应在等式两边同时加上3²，即9，故答案为9．7．解析原方程可化为2x²-3x+1=0．，，∴，∴．8．C （x-2）²=1-m可化为x²-4x+3+m=0，因为△=（-4）²-4×1×(3+m)＜0，所以16-12-4m ＜0，m＞1．故选C．9．解析3x²+5(2x+1)=0，整理得3x²+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，∴b²-4ac=100-60=40＞0.∴，则原方程的解为.10．D原方程可化为x(x+2)-3(x+2)=0，（x-3）（x+2）=0．可得x+2=0或x-3=0．解得x₁=-2，x₂=3，故选D．能力提升全练1.A x²-6x= -3，x²- 6x+9=6，（x-3)²=6，所以m=-3，n=6．故选A．2．答案解析由题意得2b（b-a）+a（b-a）+3ab=0．∵a＞b＞0．∴，解得（舍），∴.故答案为．3．答案x₁=-2，x₂=4解析∵(x-1) *9=0，∴（x-1）²-9=0，∴(x-1+3)(x-1-3)=0，∴x-1+3=0或x-1-3 =0，∴x₁= -2，x₂=4．4．答案-1解析原方程可化为kx²+（1-k²）x+( 2-2k)=0，由题意得k+（1-k²）+( 2-2k)=3，解得k=0或k=-1．又因为一元二次方程的二次项系数不能为0．即k≠0，所以k=-1．故答案为-1．5．解析(1)4x²-1=0，（2x+1）（2x-1）=0，∴2x+1=0或2x-1=0．解得．(2) 2x²-5x+2=0．（2x-1）（x-2）=0．∴2x-1=0或x-2=0．解得，x₂=2．三年模拟全练一、选择题1．D ∵，∴，∴，∴.故选D.2.B x²-ax=3，，，故选B.3．C原方程可化为4x²-4x+1=0，∵4²-4×4×1=0．∴方程有两个相等的实数根．故选C．二、解答题4．解析(1)原方程可化为（x-1）（x+4）=0．∴x-1=0或x+4=0．解得x=1或x=-4．(2)原方程可化为3x（x-2）+2（x-2）=0，∴（x-2）(3x+2)=0．∴x-2=0或3x+2=0．解得x=2或．(3)原方程可化为x²+9x+20=0，∴（x+4）（x+5）=0，∴x+4=0或x+5=0．解得x= -4或x= -5.五年中考全练一、选择题1．A x²-7x+10=0，（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5 =0．x₁=2，x₂=5，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5．∴不符合三角形三边关系，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系，三角形的周长是2+5+5= 12．综上，等腰三角形的周长是12.故选A．二、填空题2．答案6（答案不唯一）解析∵关于x的一元二次方程2x²+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴b²-4×2×3＞0，解得或，取此范围内的任意一个实数即可．三、解答题3．解析解法一：原方程可化为2（x-3）²=(x+3)（x-3），2（x-3）²-（x+3）（x-3）=0，(x-3)[ 2(x-3)-(x+3)]=0，（x-3）（x-9）=0，解得x₁=3，x₂=9．解法二：原方程可化为x²-12x+27=0．a=1，b= -12，c=27.∵b ²-4ac=(-12)²-4×1×27= 36＞0， ∴．因此，原方程的根为x ₁=3，x ₂=9．4．解析 ∵关于x 的一元二次方程x ²-(2a+1)x+a ²=0有两个不相等的实数根， ∴[-(2a+1)]²-4a ²=4a+1＞0，解得 ．核心素养全练1．解析 ∵m 是方程x ²-3x-1=0的一个根，∴m ² -3m-1=0.∴，∵m ＞0，∴， ∴， ∵3+33= 36，∴长度分别为，，33的三条线段不能构成三角形．2．解析 (1)y=x ² +x ，则y ² -5y+4=0，整理，得（y-1）（y-4）=0，解得y ₁=1，y ₂=4，∴当x ²+x=1时，即x ²+x-1=0，解得;当x ²+x=4时，即x ²+x-4=0，解得; 综上所述，原方程的解为2171,2171,251,251x 4321--=+-=--=+-=x x x . (2)设m=a ²+b ²，则m ²-3m-10=0，整理，得（m-5）(m+2)=0，解得m ₁=5，m ₂=-2（舍去），故a ²+b ²=5．。
2020年冀教版数学九年级上册 24.1 一元二次方程(含答案)
拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.1 一元二次方程基础闯关全练1．下列方程为一元二次方程的是( )A.B.x ²+xy+2=0C.x ²+x-3=0D.x ²-2x-32．关于x 的方程ax ²-3x+2=0是一元二次方程，则 ( )A ．a ＞0B ．a ≠0C ．a=1D ．a ≥03．把一元二次方程(x+3)（x-5）=2化成一般形式，得( )A.x ²+2x-17 =0B.x ²-8x-17=0C.x ²-2x= 17D.x ²-2x-17=04．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项．(1)（3x-1）(2x+3)=4；(2)(2x+1)²=(4x+1)(4x-1).5．关于x 的一元二次方程（a-1）x ²+x+a ²-1=0的一个根是0，则a 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．1或-1D ．能力提升全练1．关于x 的一元二次方程2x ²-x -k=0的一个根为1，则k 的值是_________．2．已知关于x 的方程()5372=---x x m m 是一元二次方程，则m=________.三年模拟全练一、选择题1．（2019河北衡水武邑中学月考，1，★☆☆）下列方程是关于x 的一元二次方程的是 ( )A ．ax ²+bx+c=0B ．+x=2C ．x ²+2x =x³-1D ．3x ²+1= 2x+2二、填空题2．（2019河北衡水武邑中学月考，9，★☆☆）若关于x 的方程x ²-3x+a=0有一个解是2，则2a+1的值是_______．三、解答题3．（2017江苏镇江丹阳三中月考，20，★★☆）已知方程(m ²-1)x ²+(m+1)x+1=0，求：(1)当m 为何值时，原方程为一元二次方程；(2)当m 为何值时，原方程为一元一次方程．五年中考全练一、选择题1．（2018江苏盐城中考，8，★☆☆）已知一元二次方程x ²+kx-3 =0有一个根为1，则k 的值为 ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．42．（2018江苏苏州中考，13，★☆☆）若关于x 的一元二次方程x ²+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=__________.3．（2017四川巴中中考，15，★★☆）已知x=1是一元二次方程x ²+ax+b=0的一个根，则a ²+2ab+b ²的值为_______.核心素养全练1．对于符号“★”，我们作如下规定：a ★b= a ²+b ²+1．如3★2=3²+2²+1= 9+4+1=14.(1)若3★x=15，求x的值；(2)试化简(2x+1)★x=5．2．已知方程x²+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．24.1 一元二次方程基础闯关全练1．C x²+x-3=0是一元二次方程，故选C．2.B由关于x的方程ax²-3x+2 =0是一元二次方程，得到a≠0．故选B．3．D (x+3)（x-5）=2，去括号，得x²-5x+3x-15=2，移项，得x²-5x+3x-15-2=0，合并同类项，得x²-2x-17=0，故选D．4．解析(1)去括号，得6x²+9x-2x-3=4，移项、合并同类项，得6x²+7x-7=0，所以二次项系数是6，一次项系数是7，常数项是-7．(2)去括号，得4x²+4x+1= 16x²-1，移项、合并同类项，得- 12x²+4x+2=0，所以二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是2．5.B把x=0代入方程，得a²-1=0，解得a=±1．由一元二次方程的定义知a-1≠0，即a≠1，∴a=-1．能力提升全练1．答案1解析把x=1代入2x²-x-k=0得2-1-k=0，解得k=1．故答案为1．2．答案-3解析由题意得解得m=-3．三年模拟全练一、选择题1．D A项，当a=0时，原方程不是一元二次方程，故A项不符合题意；B项，不是一元二次方程，故B项不符合题意；C项，不是一元二次方程，故C项不符合题意；D项，是一元二次方程，故D项符合题意．故选D．二、填空题2．答案5解析把x=2代入已知方程，得2²-3×2+a=0，即-2+a=0，解得a=2，则2a+1= 2×2+1=5．故答案为5．三、解答题3．解析(1)当m²-1≠0时，（m²-1）x²+(m+1)x+1=0是一元二次方程，即当m≠±1时，(m²-1)x²+(m+1)x+1=0是一元二次方程．(2)当m²-1=0，且m+1≠0时，（m²-1）x²+(m+1)x+1=0是一元一次方程，即当m=1时，(m²-1)x²+(m+1)x+1=0是一元一次方程．五年中考全练一、选择题1．B把x=1代入方程得1+k-3=0．解得k=2．故选B．二、填空题2．答案-2解析将x=2代入一元二次方程x²+mx+2n=0．得4+2m+2n=0,∴n+m= -2.故答案为-2．3．答案1解析将x=1代入一元二次方程x²+ax+b=0得1+a+b=0，∴a+b=-1,∴a²+2ab+b²=(a+b)²=1. 核心素养全练1．解析(1)依题意，得3★x=3²+x²+1，则3²+x²+1=15．∴x²=5，∴，(2)（2x+1）★x=5，即(2x+1)²+x²+1=5，整理得5x²+4x -3=0．2．解析设所求方程的根为y，则y= 2x（x为已知方程的根）．所以，把代入已知方程，得，化简，得y²+2y- 12=0．故所求方程为y²+2y-12=0．。
冀教版数学九年级上册 24.4 一元二次方程的应用
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后 甲种药品成本为 5000(1 − x) 元，两年后甲种药品成 本为 5000(1 − x)2 元，于是有 5000(1 − x)2 = 3000.
解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降 率约为 22.5%.
分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则
20 6x30 4x 600 2 .
3
解得
x1
=
5 6
，x2
=
10.
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
答∴：x＜横1竖30 .条∴的x宽=度56分，别则是2x53=c53m，，352x
=5 2
讲授新课
一 列一元二次方程解决增长率问题 问题引导 问题1 思考，并填空：
1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年
的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_6_0_0_0_0__(1__+__x)_ kg，
第三年的产量为__6_0_0_0_0_(_1_+__x_)2__ kg．
2．某糖厂 2020年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平 均减产的百分率为 x，那么预计 2021 年的产量将是 __a_(_1_-__x)__，2022 年的产量将是__a_(1__-_x_)_2__． 问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
下降率 = 下降前的量−下降后的量×100% 下降前的量
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为 (5000 − 3000)÷2 = 1000 (元)， 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000 − 3600)÷2 = 1200 (元)， 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大. 但是，年平均下降额 (元) 不等同于年平均下降率 (百分数).
冀教版九年级数学上册《一元二次方程》 (共20张PPT)
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
是关于x的一元二次方程.
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ ⑵
⑶
?
分析
剪铁片的题目中，列得的方程为
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为3600cm2,得
3600
100㎝
50㎝
即
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
?
小试牛刀
下列方程中哪些是一元二次方程？
学.科.网
是一元二次方程的有：
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
冀教版九年级数学上册 《一元二次方程》 (共20
张PPT)
2020/8/19
• 1.整式包括单项式和多项式，整式有哪些？ • 2.下列各式是一元一次方程的有哪些？
2024-2025学年初中数学九年级上册(冀教版)教学课件24.2解一元二次方程(第2课时)
＝
−2± 4
＝－1 ±
2×1
1，
∴ 1＝0，2＝－2.
(4)x2＋(1＋2 3)x＋ 3－3＝0.
解：a＝1，b＝1＋2 3，c＝ 3－3.
Δ＝b2－4ac＝(1＋2 3)2－4×1×( 3－3)＝25.
−1 − 2 3 ± 25
＝
，
2×1
∴ 1＝2－ 3，2＝－3－ 3.
随堂训练
9.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
1
2
∴1＋a＋a－2＝0. ∴＝ .
1
1
3
将＝ 2代入方程，得x2＋2x－2＝0.
3
解得1＝1，2＝ − 2.
x
，
2 4
8
即
3
x1 ， x2 1.
4
知识讲解
（2）这里
a=1，b=-2，c=-5.
∵b2 -4ac=(-2)2 -4 1(-5)=24>0，
∴
(2) 24 2 2 6
x
1 6，
2 1
2
即
x1 1 6 , x2 1 6 .
知识讲解
（3）6x 2 +4 2 5 x .
4a
2
2
b
4ac
2
2
因为a≠0, 4a >0, 当b －4ac≥0时，
0,
2
4a
由②式得
b
b 2 4ac
冀教版九年级上册数学《一元二次方程的应用》说课课件教学
（来自《典中点》）
知2－练
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份 的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x， 则依题意列方程为( ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的
百分率？
解：平均每年增长的百分率为x, 根据题意得：
2801(1.审清x)题2 意4，03今.2年 (1 x)到2 后1年.4间4 隔2年
3.根据增长率的等 量关系列出方程
1＋x＝±1.2
2.设未知数
x1＝－2.2(舍去) x2＝0.2 答：平均每年的增长20%
第二十四章 一元二次方程
一元二次方程的应用
第1课时
1 课堂讲解 规则图形的应用
不规则图形的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决， 前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增 长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二 次方程解决几何相关问题.
知识点 1 变化率问题 c
知1－讲
如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则 第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数 量为a(1＋x)2，第n次增长后的数量为a(1＋x)n.
知1－讲
解答课时导入问题 设年增长率为x，请你思考并解决下面的问题： (1) 2011年底比2010年底增加了_______万辆汽车，
知2－讲
例4 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩 形．如果要使四周的彩色边衬所 占面积是封面面积的四分之—， 上、下边衬等宽，左、右边衬等 宽，应如何设计四周边衬的宽度 (结果保留小数点后一位)?