双曲型偏微分方程的求解及其应用
matlab 双曲线型偏微分方程
matlab 双曲线型偏微分方程引言概述：双曲线型偏微分方程是数学中的重要分支之一，它在物理、工程和自然科学等领域中具有广泛的应用。
Matlab作为一种强大的数值计算工具，可以用于求解双曲线型偏微分方程。
本文将介绍Matlab在求解双曲线型偏微分方程方面的应用。
正文内容：1. 理解双曲线型偏微分方程1.1 双曲线型偏微分方程的定义1.2 双曲线型偏微分方程的特点1.3 双曲线型偏微分方程的分类2. Matlab在求解双曲线型偏微分方程中的应用2.1 利用有限差分法求解双曲线型偏微分方程2.2 利用有限元法求解双曲线型偏微分方程2.3 利用特征线法求解双曲线型偏微分方程3. Matlab的双曲线型偏微分方程求解工具箱3.1 PDE Toolbox3.2 Hyperbolic PDE Toolbox3.3 Wavelet Toolbox4. 实例分析：声波传播方程的求解4.1 声波传播方程的建立4.2 Matlab代码实现4.3 数值结果的分析和讨论5. 应用案例：电磁波传播问题的求解5.1 电磁波传播方程的建立5.2 Matlab代码实现5.3 数值结果的分析和讨论6. Matlab在双曲线型偏微分方程求解中的优势和不足6.1 优势：高效、灵活的数值计算能力6.2 不足：对于复杂问题的求解可能存在困难总结：本文介绍了Matlab在双曲线型偏微分方程求解中的应用。
通过对双曲线型偏微分方程的理解和分类，以及Matlab的求解方法和工具箱的介绍，我们可以看到Matlab在双曲线型偏微分方程求解中的重要作用。
通过实例分析和应用案例的讨论，我们可以看到Matlab在求解双曲线型偏微分方程方面的优势和不足。
在实际应用中，我们应根据具体问题选择合适的求解方法和工具，以获得准确、高效的数值计算结果。
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述一、引言双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equation，简称HPDE）在物理、工程、生物等众多领域都有广泛的应用。
这类方程的求解问题一直是数学界研究的热点和难点。
本文将对双曲型偏微分方程的求解及其应用方面的文献进行综述。
二、双曲型偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
该方法通过将方程中的未知函数分离成不同的变量，使方程化简为多个常微分方程，从而简化求解过程。
例如，在求解二维波动方程时，可以将未知函数分离为x和y两个方向的函数，得到一系列的一阶常微分方程，再利用初始条件和边界条件求解。
2.行波法行波法是一种基于双曲函数展开的求解方法。
该方法通过将方程的解表示为双曲函数的展开形式，利用双曲函数的性质，得到方程的通解。
例如，在求解一维波动方程时，可以将解表示为双曲正弦函数的展开形式，再利用初始条件和边界条件求解。
3.有限差分法有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法。
该方法将连续的空间离散化为有限个离散点，将偏微分方程转化为差分方程，再利用迭代或递推的方式求解。
有限差分法在求解双曲型偏微分方程时具有简单、直观、易于编程等优点。
4.变分法变分法是一种通过寻找能量泛函的极值来求解偏微分方程的方法。
该方法将偏微分方程转化为变分问题，利用变分的性质和极值条件，得到方程的近似解。
变分法在求解双曲型偏微分方程时可以获得精确的数值解。
三、双曲型偏微分方程的应用1.波动问题双曲型偏微分方程在波动问题中有着广泛的应用。
例如，在地震波传播、声波传播、电磁波传播等问题中，都可以用双曲型偏微分方程来描述。
通过求解双曲型偏微分方程，可以得到波的传播速度、传播方向、振幅等特征。
2.流体动力学问题双曲型偏微分方程在流体动力学问题中也有重要应用。
例如，在空气动力学、水动力学等问题中，可以用双曲型偏微分方程来描述流体的运动规律。
求双曲型偏微分方程组数值解的特征线法
特征线法是求解双曲型偏微分方程组数值解的一种常用方法，其基本思想是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的基本概念，特征线法的基本原理和数值求解过程，并结合实际问题进行案例分析，以便读者深入了解特征线法在实际工程和科学计算中的应用。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念1. 双曲型偏微分方程组的定义和特点双曲型偏微分方程组是指具有双曲型特征的偏微分方程组，其在数学和物理上具有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组的特点是方程中存在两个不同的特征方向，解的行为由这两个特征方向共同决定。
双曲型偏微分方程组的基本形式可以表示为：∂u/∂t + A(u)∂u/∂x = 0其中u是未知函数，t和x分别是时间和空间变量，A(u)是一个矩阵函数。
2. 双曲型偏微分方程组的物理意义和工程应用双曲型偏微分方程组描述了许多波动现象和守恒定律，因此在物理学、工程学和科学计算中有着重要的应用。
天气预报中的气象方程、弹性波动方程、流体力学方程等都可以用双曲型偏微分方程组描述，因此求解双曲型偏微分方程组的数值方法对于实际问题具有重要意义。
二、特征线法的基本原理和数值求解过程特征线法是一种求解双曲型偏微分方程组数值解的有效方法，其基本原理是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
特征线法的基本步骤包括确定特征线方程、构造数值格式、进行离散化和求解差分方程等。
1. 确定特征线方程双曲型偏微分方程组的特征线方程可以通过对方程进行特征分解得到，一般形式为：dx/∂t = λ1(u)du/∂t = λ2(u)其中λ1(u)和λ2(u)分别为特征线方程的两个特征方向，通过求解特征线方程可以确定数值方法的稳定性和收敛性。
2. 构造数值格式特征线法利用特征线方程构造数值格式，一般采用有限差分法或有限体积法进行离散化。
特征线法的数值格式应该满足守恒性、稳定性和收敛性等基本要求。
偏微分方程中的双曲方程与守恒定律
偏微分方程中的双曲方程与守恒定律在偏微分方程的研究中，有两个重要的类型，即双曲方程和守恒定律。
本文将分别介绍双曲方程和守恒定律，并探讨它们在偏微分方程领域的应用。
一、双曲方程双曲方程是偏微分方程的一种重要类型，其特点是存在两个或更多个独立变量和至少一个时间变量。
双曲方程的解决方案通常具有明显的波动行为，可以描述许多自然现象，如波动传播、声音传播等。
以一维的波动方程为例，它描述了一维空间中的波动现象：∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间位置，c是波速。
这是一个典型的双曲方程，它的解决方案可以解释波动在空间和时间上的传播行为。
除了波动方程外，双曲方程还包括许多其他方程，如线性对流方程、Maxwell方程等。
这些方程在物理学、工程学和应用数学中的许多领域都有广泛的应用。
二、守恒定律在偏微分方程中，守恒定律是另一个重要的概念。
守恒定律描述了物理量在空间和时间上的守恒行为。
守恒定律的典型例子是流体力学中的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
以一维的常系数对流方程为例，它描述了一维流体的质量守恒：∂ρ/∂t + ∂(ρu)/∂x = 0其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度。
这个方程表达了质量在空间和时间上的守恒行为，即在流体流动过程中，质量是守恒的。
类似地，动量守恒方程和能量守恒方程描述了物理量的守恒行为。
这些守恒定律在流体力学、传热学等领域有重要的应用，帮助我们理解和预测现实世界中的各种现象。
三、双曲方程与守恒定律的联系双曲方程和守恒定律之间存在紧密的联系。
实际上，许多双曲方程可以通过守恒定律推导出来，反之亦然。
以一维波动方程为例，它既是双曲方程，也可以通过应力张量和守恒定律推导出来。
具体而言，它可以由动量守恒方程和能量守恒方程得出。
这种联系使得我们能够通过守恒定律的研究来理解双曲方程的性质，并且进一步应用于实际问题的求解和分析中。
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
导数与函数的双曲型偏微分方程
导数与函数的双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是常见的微分方程类型之一，它在数学和物理领域具有重要的应用。
本文将介绍导数与函数的双曲型偏微分方程以及其解的特点和性质。
一、导数和双曲函数在开始讨论双曲型偏微分方程之前，我们需要了解导数和双曲函数这两个概念。
导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以用符号f'(x)或者dy/dx表示，其中dy表示函数f(x)在x点的微小变化，dx表示自变量x的微小变化。
导数的计算可以通过极限来进行。
双曲函数是一类常见的函数类型，其中最常见的有双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)。
这两个函数与三角函数有一定的相似性，但是其形状更加“开放”，因此称为双曲函数。
二、双曲型偏微分方程的定义双曲型偏微分方程是指具有一定形式的偏导数和双曲函数的微分方程。
一般形式的双曲型偏微分方程可以写成：A(x, y)∂²u/∂x² + B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² = F(x, y, u, ∂u/∂x,∂u/∂y)其中A(x, y)、B(x, y)和C(x, y)是给定的函数，F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y)是已知的右侧函数。
三、双曲型偏微分方程的特点双曲型偏微分方程通常具有以下特点：1. 自变量x和y的相关性：双曲型方程中的偏导数项∂²u/∂x∂y表明函数u与自变量x和y之间存在相关性，即函数在不同方向上的变化率不同。
2. 存在波动解：由于双曲型方程中的双曲函数的存在，其解通常具有波动性质。
这意味着解在某些方向上会发生剧烈的变化。
3. 初始条件与边界条件的影响：与其他类型的偏微分方程类似，双曲型方程的解也需要满足初始条件和边界条件。
这些条件会对解的形式和性质产生影响。
四、求解双曲型偏微分方程的方法求解双曲型偏微分方程是一个复杂的问题，通常需要结合具体方程的形式和特点来选择适当的方法。
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究
双曲型偏微分方程组的数学模型及算法研究双曲型偏微分方程组是数学中的一个重要分支，其广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域。
本文将介绍双曲型偏微分方程组（以下简称双曲型PDE）的基本概念，数学模型及其算法研究。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念双曲型偏微分方程可以简单地表示为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)$$其中，$u(x,t)$是待求函数，$f(x,t)$是已知函数，$a$是常数。
对于双曲型偏微分方程中的函数$u(x,t)$，其趋势和形状通常会随着时间或空间的变化而发生变化。
这种性质决定了双曲型PDE的求解方法与其它类型偏微分方程组不同。
二、双曲型偏微分方程的数学模型在实际问题中，双曲型偏微分方程可以用来描述声波、水波、热传导等现象。
以声波方程为例，我们可以得到：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0$$此时$f(x,t)=0$。
该方程表示了声波在空气中的传播，其中$a$是声速，$u(x,t)$表示声波幅度。
可以看到，随着时间的推移，声波的幅度会发生变化，而空气中声波的传播速度$a$是固定不变的。
这种性质决定了声波传播方程是一个双曲型偏微分方程。
同样地，在热传导问题中，我们也可以得到一个双曲型偏微分方程模型：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=k\frac{\partial u}{\partial t}$$其中，$k$是热扩散系数。
这个方程描述了热传导的过程。
可以看到，随着时间的变化，温度分布图的形状和趋势也会随之改变。
双曲型偏微分方程模型的重要性在于其可以精确描述相应现象的物理过程，从而为实际应用提供基础和便利。
双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述信息与计算科学双曲型偏微分方程的求解及其应用一、前言部分在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。
这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。
而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。
随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有着广泛的应用。
双曲型方程求解算法的研究与应用
双曲型方程求解算法的研究与应用双曲型方程（Hyperbolic equations）是一类重要的偏微分方程，其在科学和工程问题中具有广泛的应用。
由于其复杂度和求解难度较高，如何对双曲型方程进行求解成为了一个热门的研究课题。
本文将探讨双曲型方程求解算法的研究与应用。
一、双曲型方程的介绍双曲型方程是偏微分方程的一种，它们的通常形式为：∂u/∂t + a(x, t) ∂u/∂x = b(x, t)其中，a、b为已知函数，u为待求函数。
双曲型方程在物理学中有很多应用，比如电磁学和空气动力学中的波动方程，声学中的亥姆霍兹方程等。
双曲型方程的求解可以分为数值方法和解析方法两种。
数值方法的求解精度高，但运算速度相对较慢；解析方法则速度较快，但难度较大，且只能求解一些特殊类型的双曲型方程。
二、数值求解方法数值方法是求解双曲型方程最主要的方法之一。
其中，常用的数值方法有有限元法（Finite Element Method）、有限差分法（Finite Difference Method）和谱方法（Spectral Method）等。
1、有限元法有限元法是一种通过将双曲型方程拆分为子问题，在每个子问题中使用试验函数来逼近原解的方法。
它将解域分割为若干小单元，然后对每个小单元内部的解进行逼近计算，最后将所有单元的解拼接起来得到原问题的解。
有限元法优点是可适应对问题的不均匀和复杂的几何形状。
缺点是复杂的数值计算过程和大量矩阵计算的开销，导致其关键问题是如何设计出高效的数值算法。
2、有限差分法有限差分法是将双曲型方程转化为差分方程，通过有限差分近似计算求解解析解。
有限差分法的优点是实现简单易懂，但其受网格尺寸和步长的影响较大，使其不能适应复杂的问题。
3、谱方法谱方法利用稀疏矩阵的特殊结构，通过将双曲型方程分解为一些系数矩阵（如傅里叶变换）和一个特定函数的乘积，再通过求一些特定函数的一组函数基和系数的方式得到原问题的解。
谱方法优点是精度高、可适应对问题的不均匀和复杂的几何形状，但由于其求解过程与具体问题的稳定性和收敛性具有密切关系，导致其运用时的误差和收敛问题需要特别注意。
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双曲型偏微分方程的求解及其应用摘要:双曲型偏微分方程是偏微分方程极其重要的组成部分。
它可以描述物体内部的振动，尤其是波动传播过程。
本文通过叙述偏微分方程以及其相关的概念定义，并且以波动方程作为双曲型偏微分方程的典型的例子来介绍其求解和应用。
文章重点讲述了用分离变量法来求解波动方程的的具体过程，并简单介绍了达朗贝尔方法以及积分变换方法。
关键词:双曲型；分离变量；积分变换Solution of hyperbolic partial differential equations and itsapplicationAbstract：Hyperbolic partial differential equations is partial differential equation of the most important components. It can describe object interior vibration, especially wave process. This article through narrative partial differential equation and its related concepts in wave equation is defined, and hyperbolic partial differential equations as the typical example to introduce its solution and the application. This paper tells the method of separation of variables to solve with the specific process of wave equation, and briefly introduces the method of lang bell and integral transform method.Keywords: hyperbolic type ; separation of variables ; Integral transform目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景、意义 (1)1.1.1 背景 (1)1.1.2 意义 (2)2 双曲型偏微分方程的基本概念 (3)2.1 偏微分方程的基本概念 (3)2.1.1 定义 (3)2.1.2 定解条件和定解问题 (3)2.1.3 定解问题的适定性 (3)3 双曲型偏微分方程的求解 (5)3.1 基本概念 (5)3.1.1 双曲型 (5)3.1.2 分离变量法 (5)3.1.3 一些方程的通解 (5)3.2 分离变量法 (6)3.3 达朗贝尔方法 (12)3.4 积分变换法 (15)4 双曲型偏微分方程的应用 (17)4.1 定解问题的求解 (17)4.2 弦自由振动的求解 (18)4.3 求解定解问题 (19)5 结论 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 绪论1.1 问题的背景、意义1.1.1 背景扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为18世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系列新的数学分支在18世纪成长起来。
如，常微分方程、偏微分方程、变分法3个分支的形成。
微积分对弦振动等力学问题的应用引导一门新的数学分支，偏微分方程的建立。
包含未知函数以及偏导数的等式称为偏微分方程。
偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。
一阶偏微分方程的解法。
1722年拉格朗日（ 法，1736-1813 ）和1819年柯西（ 法，1798-1857年 ）发现将其转化为一阶常微分方程组。
二阶偏微分方程的突破口是弦振动方程。
给定一个拉紧的均匀柔软的弦，两端固定在x 轴的某两点上，考察该弦在平衡位置附近的微小横振动。
弦上个点的运动可以横向位移),(t x u 表示，则22222x u a t u ∂∂=∂∂。
这个方程称为弦振动方程，或一维的波动方程。
1715年和1727年泰勒和约翰.伯努利分别提出了建立弦振动方程的问题。
1747年达朗贝尔（ 1717-1783 ）发表《弦振动研究》和1749年欧拉都导出了弦振动方程并求出解，成为偏微分方程研究的开端。
1753年丹尼尔.伯努利的论文（1755年发表）在假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数的前提下，导出了具有正弦周期模式的解。
欧拉在1759年的论文（1766年发表）中将弦振动方程作了推广，讨论了二维鼓膜的振动和声波的三维传播，分别得到了二维和三维的波动方程，获得了解的初步性质。
波动方程现称为双曲型偏微分方程。
另一重要类型的二阶偏微分方程是位势方程，是1752年欧拉在研究流体力学时提出的。
欧拉证明了对流体内任一点的速度分量x ,y ,y ，一定存在函数 ),,(z y x s （速度势）满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂z s y s x s ，这就是位势方程。
在热传导过程中，当热运动达到平衡状态时，温度u 也满足上述方程，所以它也称为调和方程。
1785年拉普拉斯（法，1749-1827年）用球调和函数求解，稍后又给出了这方程的直角坐标形式。
现在称这方程为拉普拉斯方程，这属于椭圆形偏微分方程。
对二阶偏微分方程的求解构成19世纪数学家和物理学家关注的中心问题之一[1-4]。
1.1.2 意义在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
2 双曲型偏微分方程的基本概念2.1 偏微分方程的基本概念这一节，我们来了解一下关于偏微分方程的相关概念，如定解条件和定解问题以及定解问题的适定性。
2.1.1 定义含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的个数是1的称为方程式，方程的个数多于1的称为方程组。
对于方程组而言，一般要求方程的个数与未知函数的个数相同。
如果方程的个数少于未知函数的个数，称方程组是欠定的。
如果方程组的个数多于未知函数的个数，称方程组是超定的。
方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。
2.1.2定解条件和定解问题给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态，这种解通常有无穷多个。
特解除了要求满足方程外，还要满足给定的外加（特殊）条件。
对偏微分方程也是一样的。
换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。
描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。
一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。
2.2.3 定解问题的适定性对于不同的物理问题，一般来讲其定解条件也是（例如，弦振动问题和热传导问题有不同的初值条件，描述不同物理状态的热传导问题也有不同的边界条件）。
从数学上来看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述一个给定的物理状态，一般来讲有以下三个标准：（1）解的存在性所给的定解问题有解（2）解的唯一性所给的定解问题只有一个解（3）解的稳定性当定解条件（初值条件，边界条件）以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也有微小变动。
解的稳定性也只有微小变动。
解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。
解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起来称为解的适定性。
一般来说，一个具体的物理问题在一定的条件下，总有唯一确定的状态，反应在定解问题中就是解的存在唯一性。
定解条件都是通过测量和统计而得到的，在测量和统计的过程中误差总是难免的，同时在建立数学模型的过程中也多次用了近似[5-10]。
3 双曲型偏微分方程的求解3.1 基本概念首先，让我们了解一下有关于双曲型偏微分方程的概念。
比如什么是双曲型的，什么是分离变量法以及了解常微分方程中的一些解，为后面我们要讲到的方法的求解做准备。
3.1.1 双曲型考察两个自变量的二阶线性偏微分方程f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ， （3.1.1） 其中ij a ,i b ,c ,f 都是x x ,y 的连续可微实值函数，并且11a ，12a ，22a 不同时为零。
存在任一点Ω∈),(00y x 的一个领域内。
结论 如果在点),(00y x （任一点Ω∈),(00y x 的一个领域内）处02211212>-=∆a a a ，则称方程（3.1.1）在点 ),(00y x 处是双曲型的。
3.1.2 分离变量法给定一个二元数组),(t x u 。
∑∞==0cos ),(n n x n at x u π ， （3.1.2）（3.1.2）式实际上一些变量分离形式的函数x n t a n πcos )(的和（叠加）。
这就启发我们设法求出一个线性方程线性方程的具有上述形式的解。
求这种形式的解的方法就称为分离变量法3.1.3 一些方程的通解我们首先来了解一下有关于常系数二阶线性常微分方程的通解。
给定一个常系数二阶线性常微分方程0'''=++cy by ay ，对应的特征方程是02=++c bk ak ，有两个根为1k 和2k 。
根据1k ，2k 的不同情况，有下面的已知结论：(1) 当1k ，2k 为实数且 21k k ≠ 时，x x 21k 2k 1e C +eC = y(x ) ；(2) 当 k k k ==21 为实数时， x k 21x )eC (C = y(x ) + ；（3）当 νμi k +=1 ，νμi k -=2 时， x )sin C cos (C e = y(x ) 21ννμ+x x 。