补集及综合运用-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

1.3 第2课时补集及综合运用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共36张P PT)
• [方法点拨] ∅有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅； (2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A，因此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合 A或B可能是∅，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.
反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难 则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A．
1.3 第2课时补集及综合运用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共36张P PT)
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• 如图，
• 由图可得∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
• 如图，
• 由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}， • ∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， • A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．
• [归纳提升] 求集合交、并、补运算的方法
• 【对点练习】❷ (1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，
②当 B 是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4 或 a＝4.
若 a＝－4，则 B＝{2} A；若 a＝4，则 B＝{－2}⊆A；
③当 B＝{－2,4}时，－2,4 是方程 x2＋ax＋a2－12＝0 的两根，∴
－a＝－2＋4 a2－12＝－2×4
，∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A 时，a 的取值集合为{a|a<－4 或 a＝－2 或 a≥4}．
则A∪(∁UB)＝_______________； • (2)设U＝R，A＝{{x1|,x2＞,3}0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝( )
• A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
B
• C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
• [解析] (1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,2,3}． • (∴2A)∩∵(U∁＝UBR)，＝B{＝x|{0x＜|xx＞≤11}}，．∴∁UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，
• [解析] ∵A＝{x|x<－5或x>7}，∴∁RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
• 2．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A
＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝( )
• A．{2,4,5} B．{1,3,4}
A
• C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}
• 【对点练习】❸ 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实 数a的取值范围为_____{_a_|_a_≥__98_或__a_＝__0_}____.
[解析] 假设集合 A 中含有 2 个元素，即 ax2＋3x＋2＝0 有两个不相 等的实数根，则aΔ≠＝09，－8a>0， 解得 a<98且 a≠0，则此时实数 a 的取值 范围是{a|a<98且 a≠0}．在全集 U＝R 中，集合{a|a<98且 a≠0}的补集是 {a|a≥98或 a＝0}．
题型二 交集、并集、补集的综合运算
• 3≤x≤例2}2，求已A知∩全B，集(U∁＝UA{)x∪|xB≤，4A}∩，(集∁U合B)A．＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－ • [分析] 对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，
先求出∁UA及∁UB，再求解．
• [解析] 如图，
• 由图可得∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
题型三 与补集相关的参数值的求解
• A∩B≠例∅，3 求已实知数集a的合取A＝值{范y|围y>．a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若 • [分析] 由于集合A包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，
则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
[解析] 因为 A＝{y|y>a2＋1 或 y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先 考虑当 A∩B＝∅时 a 的取值范围，在数轴上表示集合 A，B，如图所示．
则∁UA＝( )
• A．∅ B
B．{2}
• C．{5} D．{2,5}
• (则2a)＝已_知__全_集_.U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，
2
[解析] (1)由题意知集合 A＝{x∈N|x≥ 5}，则∁UA＝{x∈N|2≤x＜ 5}＝{2}，故选 B．
(2)∵A∪(∁UA)＝U，且 A∩(∁UA)＝∅， ∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
∴B∪A≠A 的实数 a 的取值集合为{a|－4≤a<4 且 a≠－2}．
1.3 第2课时补集及综合运用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共36张P PT)
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①当 B≠∅时，有aa>≤32，a－1 或2aa≤－21a<－－1，2， 解得 a>3. ②当 B＝∅时，由 a>2a－1，得 a<1. 综上可知，实数 a 的取值范围是{a|a<1 或 a>3}，故填{a|a<1 或 a>3}．
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学科素养 • “正难则反”思想的应用 • “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其
• [解析] ∵∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
• 3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝
{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝( )
• A．{－1} B．{0,1}
A
• C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
• [归纳提升] 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今 后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能 “柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能， 这是转化思想的一种体现．
• (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定
全集U的情况下，求集合A的补集的前提是也是不同的．
基础自测
• 1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则∁RA＝( B)
• A．{x|－5<x<7}
B．{x|－5≤x≤7}
• C．{x|x<－5}∪{x|x>7} D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
• [解析] ∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，
故选A．
• 4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系
是______________. ∁UA ∁UB
[解析] 全集 U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA＝
• B∪A≠例A，5 求已实知数Aa＝的{取x|值x2集－合2x．－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若 • [分析] 要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集
合在实数集R中的补集即可．
• [解析] 若B∪A＝A，则B⊆A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集 合B有以下三种情况：
从而有aa>≤32，a－1 或2aa≤－21a<－－12， 解得 a>3. 故实数 a 的取值范围是 a>3.
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• [错因分析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪∅ ＝A，所以错解忽略了B＝∅时的情况． [正解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A．
• 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
• [归纳提升] 求集合的补集的方法
• 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
• 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
• 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需 注意端点问题．
• 【对点练习】❶ (1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，
所以满足题意的实数 a 的取值范围是{a|a≥98或 a＝0}．
误区警示
• 忽视空集的特殊性
•
已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若
A∪B＝例A，4 则实数a的取值范围为_____________________.
{a|a<1或a>3}
[错解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A，
• 思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ • 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，
所以全集因问题的不同而异．
•知识点2 补集
• 思考2：怎样理解补集？
• 提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不 存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
{4,5，…}，则∁UB＝{3,4,5，…}，则∁UA ∁UB．