等比数列基础习题选附详细解答

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等比数列练习题(含答案)

等比数列练习题（含答案）之勘阻及广创作一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 21 B.22 C. 2 D.2【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =故21a a q ===,选B2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{na 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n an n则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 1011S S =，则1a =（）A.18B.20C.22D.24 答案：B 解析： 20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()A.(],1-∞-B.()(),01,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( )答案 C7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案：B9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（） A ．4122- B ．2122-C ．10122-D ．11122-答案 B11.（2006湖北）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且310a b c ++=，则a =A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D解析由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由,,a b c,,c a b310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（）A.16（n --41）B.6（n--21）C.332（n --41）D.332（n--21）答案 C二、填空题：三、13.（2009浙江理）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．答案：15解析对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

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A．2B．2或 C． D．
14．已知等比数列中，，，则（）
A． B． C． D．
15．设等差数列的公差，若是与的等比中项，则 ()
A．3或6B．3或-1
C．6D．3
16．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）
A． B．9C． D．3
17．在等比数列中，，则（）
A． B． C． D．
18．已知正项等比数列满足，，又为数列的前n项和，则（）
A．或 B．
C．15D．6
19．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）
A． B． C． D．
20．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58
【详解】
解：因为等比数列中，，，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：A
14．B
【分析】
根据等比中项的性质可求得的值，再由可求得的值.
【详解】
在等比数列中，对任意的，，
由等比中项的性质可得，解得，
，，因此， .
故选：B.
15．D
【分析】
由是与的等比中项及建立方程可解得 .
A． B．
C． D．
33．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）

等比数列典型例题及详细解答

等比数列典型例题及详细解答(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·qn －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)G 为a ，b 的等比中项G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a .( × ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n －1. 5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案 27,81解析设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题型一等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9q ＝－13(舍去)， ∴S 5＝a 11－q 51－q ＝41－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4. 思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 题型二等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式．解由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)C (2)C 解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25， ∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C. (2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分] 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋12n 2n ＋1，n 为奇数，2＋12n 2n －1，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分] 当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分] 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分] 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧]1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n}也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1.2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 C解析因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 A解析由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n . 方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 015·1010B ．2 015·1011C ．2 016·1010D ．2 016·1011 答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 11－q 2m1－q a 11－qm 1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．答案 3解析由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q＝1－－253＝11. 8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)，∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2＝22n －12－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n . ∴S n ＝41－2n 1－2－n 2＋2n 2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)． 10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－449λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ9＝0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案 D解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.13．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 8 2n ＋1－2解析 ∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，∴S n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2. 14．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．答案 ①③解析设{a n }的公比为q ，验证①fa n ＋1fa n ＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③fa n ＋1fa n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，故①③为“保等比数列函数”． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

等比数列基础练习题及答案

等比数列基础练习题及答案一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是15．在等比数列{an}中，，则tan=17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则= 222．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为2二．填空题28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是29．数列30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 _________ ．的前n项之和是22参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} 数列测试题优能提醒：请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、单项选择题：1．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于B2．设数列{an}的前n项和，则a8的值为A3．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为A． an=2n﹣1C． an=nB． an=n D． an=nB4．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，则a5? A．?16B．1C．31 D．32B5．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为C6．已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1，则a4=A．0 B． 1C．1 D． 15D7．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项，则k?等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________． 1511．在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5，a7a8a9?40，则a5a6a7?2012．已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1，则数列{an}的前n 项和Sn?_______．Sn?2n?n2?113．在等差数列?an?中，已知a2?a7?a8?a9?a14?70,则a8?．1414．在数列?an?中，已知a1?a2?1，an?2?an?1?an815．已知?an?等差数列Sn为其前n项和．若a1??n?N?，则a*6 ?___________．1，S2?a3，则a21等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________ 1517．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a8=9，则log3a1+log3a10218．已知{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于．66919．等比数列{an}中，已知a+a2+a3=7，a1a2a3=8，且{an}为递增数列，则a4820．已知三个数﹣7，a，1成等差数列，则a等于．﹣321．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______-222．在等比数列{an}中，若，则公比q的值等于．﹣或123．等比数列{an}中，公比q?1，其前3项和S3?3a1，则q=?2考点：等比数列求和24．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________?3525．若等比数列?an?满足a2a4?1，则a1a32a5?__________．1426．已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an=____?2n-127．s13设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a7?7a4，则s7= ．1328．设数列{an}的前n项和Sn?n2?n，则a7的值为__．1429．参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列练习题(有答案) 百度文库

一、等比数列选择题1．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（） A ．5B ．7C ．9D ．112．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列4．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（） A ．2±B ．2C ．3±D ．35．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（） A ．40B ．81C ．121D ．2427．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （） A ．180B ．160C ．210D ．2508．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（） A ．1B ．2C ．3D ．410．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（） A ．32 B ．16C ．8D ．411．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（）A ．152B ．142C ．132D ．12213．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（） A ．14 B ．1 C ．12D ．1314．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（） A ．19B ．17C ．13D ．715．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列16．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（）A ．19B ．9C ．13D ．317．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（） A ．35B ．35C ．53D ．53-18．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（） A ．50B ．60C ．70D ．8020．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为124．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 26．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列27．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（） A ．1023B ．341C ．1024D ．34228．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（） A ．数列{a n }为等差数列B ．1233BE BA BC =+C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=32．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列33．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列34．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S35．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98na n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（） A ．3B ．2C ．7D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 2．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 3．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 4．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 5．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--，故选：C. 7．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C8．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =，所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =，故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=. 故选：D 10．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列．因为32a =，所以235328a a q ===．故选：C11．无12．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =，故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 13．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =，所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=，解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 14．B【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2174a a a =可求得7a 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得24354a a a a ==，解得41a =， 17a =，21741a a a ==，因此，717a =. 故选：B. 15．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24n n a =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误；对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列；（2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若nn a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 16．D【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==，故选：D 17．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-，故选：D 18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项．【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23nn n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列，故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列，易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 20．C 【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C二、多选题 21．无 22．无23．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可【详解】解：因为112a =，所以1(1)2f =，所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-，所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==，故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 24．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确；假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯，即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误；由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 25．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.26．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-，则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦，所以{}n A 是等差数列，故A 正确；对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时，则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==，当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 27．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±，当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 28．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132nn n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-，因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数，所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 29．BD 【分析】证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-，所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=，所以()11322n n n n a a a a +--=-，易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 30．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==，故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 32．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222d a ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错；对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x q x r x --=<=，故B 正确；对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合；对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 33．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 34．BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 35．AD 【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD . 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

等比数列练习题(有答案)

一、等比数列选择题1．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞2．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或63．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（）A ．312或112B ．312C ．15D ．6 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（） A ．40B ．81C ．121D ．2428．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（）.A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（）A ．7-B ．3-C ．3D ．711．题目文件丢失！12．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±13．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．214．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（） A ．16B ．32C ．64D ．12815．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．316．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（） A ．1B ．2C ．4D ．817．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（） A ．35B ．35C ．53D ．53-18．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99219．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（） A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-二、多选题21．题目文件丢失！22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（） ABCD23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <26．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（） A ．25B ．26C ．27D ．2828．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}2lg na是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列29．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+30．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <33．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（） A ．8B ．9C ．10D ．1134．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围．【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数．2．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去）又112a =， 2314a q a ∴==，解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a qSqa qSq⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以a n=a1q n-1=2n-1，所以na n=n×2n-1.设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-T n=1+2+22+…+2n-1-n×2n=1212n---n×2n=-1+(1-n)×2n，故T n=1+(n-1)×2n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．B【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案.【详解】解：根据题意得该单音构成公比为因为第六个单音的频率为f，141422ff-==.661122ff-==.所以第五个单音的频率为1122f=.所以第八个单音的频率为1262f f=故选：B.6．A【分析】设等比数列{}n a的公比为q，依题意可得1q≠．即可得到不等式112nq-⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 7．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--，故选：C. 8．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =，所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =，故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-，当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A11．无12．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩，故选：C. 13．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±，所以91012a a q ==±.故选：C. 14．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 15．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k .【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 16．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 17．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-，故选：D 18．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a 14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a 14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---，故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.二、多选题 21．无22．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+，整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+，因为0q >，所以解得12q +=， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=，因为0q >，所以解得q =，综上q =或q =，故选：AB 23．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q ，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确；假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯，即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误；由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 24．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确；由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 25．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确；故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>；当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>；当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>；当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=，对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确；对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 29．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈，所以1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 30．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 31．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn nkn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ．【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故A 错误，B ，C ，D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212nn -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019；当n ＝10时，T n ＝2036＞2019．∴n 的取值可以是8，9．故选：AB【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.34．AD【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+，虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----，首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n b a a =-<，当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n nb a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。

等比数列基础习题(含解析)

等比数列概念---习题一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14 2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2 3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14 4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．18．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16 9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．252023.05.28等比数列概念---习题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，则，解得，∴a6＝＝96×＝3．故选：A．2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2【解答】解：由题意，a3＝a1q2，即4＝q2，解得q＝±2．故选：D．3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：设公比为q，由a2+a4＝32，a6+a8＝16，可得：a6+a8＝16＝q4（a2+a4），解得q4＝；∴a10+a12+a14+a16＝q8（a2+a4+a6+a8）＝×（32+16）＝12．故选：C．4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．【解答】解：设等比数列﹣1、x、y、z、﹣2的公比为q（q≠0），则y＝﹣1×q2＜0，由等比中项的性质可得y2＝（﹣1）×（﹣2）＝2，所以，，因此，．故选：C．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a1a3＝16，a2+a4＝12，所以，由可得a1q＞0，所以a1q＝4，，当时，，当时，．故选：D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或【解答】解：易知q≠0，由a1+a2＝4，a3＝9，可得，解得q＝3或．故选：C．7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：因为a2a6＝16，由等比数列的性质可得：，又因为数列{a n}各项均为正数，所以a4＝4，因为公比q＝2，则．故选：C．8．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16【解答】解：根据题意，若1，a，b，c，16成等比数列，设其公比为q，则有q4＝＝16，变形可得q2＝4，则b＝1×q2＝4，又由ac＝b2＝16，则abc＝16×4＝64．故选：A．9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．25【解答】解：在等比数列{a n}中，设它的公比为q，若a3＝1，a11＝25，则＝a3•a11＝25，∴a7＝±5．再根据a11＝a7•q4＝25＞0，∴a7＞0，∴a7＝5．故选：A．。

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等比数列基础习题选（附详细解答）一．选择题（共27小题）1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2D．2．在等比数列{a n}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）A．81 B．27C．D．2433．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣9 4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．5．正项等比数列{a n}满足a2a4=1，S3=13，b n=log3a n，则数列{b n}的前10项和是（）A．65 B．﹣65 C．25 D．﹣256．等比数列{a n}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（）A．8B．16 C．±8D．±16 9．（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a210．（2011•辽宁）若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为（）A．2B．4C．8D．16 11．（2010•江西）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n12．已知等比数列{a n}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{a n}的公比是（）A．﹣1 B．2C．3D．413．正项等比数列{a n}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（）A．﹣1 B．1C．2D．014．在等比数列{b n}中，b3•b9=9，则b6的值为（）A．3B．±3C．﹣3 D．915．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）A．B．C．D．16．若等比数列{a n}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（）A．9B．6C．3D．﹣317．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．B．C．D．118．在等比数列{a n}中，a n＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．8119．在等比数列{a n}中a2=3，则a1a2a3=（）A．81 B．27 C．22 D．920．等比数列{a n}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．15 B．10 C．12 D．4+log2521．等比数列{a n}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（）A．8B．±2C．﹣2D．222．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）A．9B．6C．3D．223．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（）A．3或﹣3 B．3或C．3D．25．（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和s n满足：s n+s m=s n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1B．9C．10 D．5526．在等比数列{a n}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（）A．8B．C．6D．27．等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（）A．7B．8C．16 D．15二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是_________ ．29．数列的前n项之和是_________ ．30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于_________ ．参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2D．考点：等比数列．专题：计算题．分析：根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选D点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．2．（2006•湖北）在等比数列{a n}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）A．81 B．27C．D．243 考点：等比数列．分析：由等比数列的性质知（a2a9）=（a3a8）=（a4a7）=（a5a6）=（a1a10）．解答：解：因为数列{a n}是等比数列，且a1=1，a10=3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81，故选A点评：本题主要考查等比数列的性质．3．（2006•北京）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣9 考点：等比数列．分析：由等比数列的等比中项来求解．解答：解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，b×b=9且b与奇数项的符号相同，∴b=﹣3，故选B点评：本题主要考查等比数列的等比中项的应用．4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3d=4﹣1=3，即d=1，∴a2﹣a1=d=1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=b2＞0，∴b2=2，则=．故选A点评：本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点5．正项等比数列{a n}满足a2a4=1，S3=13，b n=log3a n，则数列{b n}的前10项和是（）A．65 B．﹣65 C．25 D．﹣25考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得=a2a4 =1，解得 a3=1，由S3=13 可得 a1+a2=12，，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得 q和a1的值，由此得到a n 的解析式，从而得到b n 的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．解答：解：∵正项等比数列{a n}满足a2a4=1，S3=13，b n=log3a n，∴=a2a4 =1，解得 a3=1．由a1+a2+a3=13，可得 a1+a2=12．设公比为q，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q=，a1=9．故 a n =9×=33﹣n．故b n=log3a n=3﹣n，则数列{b n}是等差数列，它的前10项和是=﹣25，故选D．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出a n =33﹣n ，是解题的关键，属于基础题．6．等比数列{a n}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（）A．8B．16 C．±8D．±16考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．解答：解：设此等比数列的首项为a，公比为q，由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，所以等比数列的通项公式a n=2n﹣1，则a4=23=8．故选A点评：此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6．7．已知数列{a n}满足，其中λ为实常数，则数列{a n}（）A．不可能是等差数列，也不可能是等比数列B．不可能是等差数列，但可能是等比数列C．可能是等差数列，但不可能是等比数列D．可能是等差数列，也可能是等比数列专题：等差数列与等比数列．分析：由于=n2+n﹣λ，而 n2+n﹣λ 不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是等差数列，则由 a1+a3=2 a2，解得λ=3，此时，，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．解答：解：由可得=n2+n﹣λ，由于 n2+n﹣λ 不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．若数列是等差数列，则应有 a1+a3=2 a2，解得λ=3．此时，，显然，此数列不是等差数列，故选A．点评：本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意n∈N*，点P n（n，S n）都在直线y=3x+2上，则数列{a n}（）A．是等差数列不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是常数列D．既不是等差数列也不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定．专题：计算题．分析：由点P n（n，S n）都在直线y=3x+2上，可得S n=3n+2，再利用a n=S n﹣S n﹣1求解．解答：解：由题意，∵点P n（n，S n）都在直线y=3x+2上∴S n=3n+2当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3当n=1时，a1=5∴数列{a n}既不是等差数列也不是等比数列点评：本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．9．（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2考点：等比数列的性质．专题：探究型．分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．（2011•辽宁）若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为（）A．2B．4C．8D．16考等比数列的性质．专题：计算题．分析：令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．解答：解：当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，②÷①得：=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选B点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．11．（2010•江西）等比数列{a n}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则a n=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）n D．﹣（﹣2）n考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到a n的值即可．解解：由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1则a n=a1q n﹣1=（﹣2）n﹣1故选A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．12．已知等比数列{a n}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{a n}的公比是（）A．﹣1 B．2C．3D．4考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．解答：解：由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：，由①得：q（a1q4﹣2a1q）=2③，把②代入③得：q=2．故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．13．正项等比数列{a n}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（）A．﹣1 B．1C．2D．0考等比数列的性质．点：专题：计算题．分析：等比数列的定义和性质，得到 a3a4=10，故有 lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．解答：解：∵正项等比数列{a n}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，故选B．点评：本题考查等比数列的定义和性质，得到 a3a4=10，是解题的关键．14．在等比数列{b n}中，b3•b9=9，则b6的值为（）A．3B．±3C．﹣3 D．9考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：在等比数列{b n}中，由b3•b9=b62=9，能求出b6的值．解答：解：∵在等比数列{b n}中，b3•b9=b62=9，∴b6=±3．故选B．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．分析：由，根据等比数列{a n}的通项公式得a1a4a9=，再结合三角函数的性质可求出tan（a1a4a9）的值．解答：解：∵，∴a1a4a9=，∴tan（a1a4a9）=．故选B．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．16．若等比数列{a n}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（）A．9B．6C．3D．﹣3 考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，进而得到答案．解答：解：由题意可得：在等比数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q．因为a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，所以a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=9．故选A．点解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以评：选择题的形式出现．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n ，若=3，则=（）A．B．C．D．1等比数列的性质．考点：计算题．专题：分首先根据等比数列的前n 项和对=3进行化简，求出q3，进而即可求出结果．析：解解：∵=3，答：∴整理得，1+q3=2，∴q3=2∴=故选B．本题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．点评：18．在等比数列{a n}中，a n＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81 等比数列的性质．考点：专题：计算题．分析：首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．解答：解：∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1 ①a1q3+a1q2=9 ②两式相除得，q=±3∵a n＞0∴q=3 a1=∴a4+a5=a1q3+a1q4=27故选B．点评：本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．19．在等比数列{a n}中a2=3，则a1a2a3=（）A．81 B．27 C．22 D．9考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由等比数列的性质可得：a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．解答：解：由等比数列的性质可得：a1a2a3=a23，因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．故选B．点本题考查了等比数列的性质，解题的关键a1a n=a2a n﹣1=…=a k a n﹣k，属于中档题．20．等比数列{a n}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．15 B．10 C．12 D．4+log25 考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先用等比数列{a n}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10=（a5a6）5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项．解答：解：∵等比数列{a n}各项均为正数∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0∵a4a7+a5a6=16∴a5a6=a4a7=8根据对数的运算性质，得log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a5a6）5=log2（8）5=15 ∵（8）5=（23）5=215∴log2（8）5=log2215=15故选A点评：本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，考查了转化化归的数学思想，属于基础题．21．等比数列{a n}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（）A．8B．±2C．﹣2D．2考等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积，又根据韦达定理，由a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项与第8项的积，进而求出第6项的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质变为关于第6项的式子，把第6项的值代入即可求出值．解答：解：根据等比数列的性质得：a62=a4a8，又a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，得到a4a8=2，则a62=2，解得a6=±，则a5a6a7=（a5a7）a6=a63=±2．故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及韦达定理化简求值，是一道基础题．22．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）A．9B．6C．3D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先利用等比数列通项的性质，求得a5=3，再将化简，即可求得的值．解解：∵等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，答：∴∴a5=3设等比数列的公比为q∵==∴=3故选C．点评：本题重点考查等比数列通项的性质，考查计算能力，属于基础题．23．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据题设条件，设中间两数为x，y，由3，x，y成等比数列，知x2=3y，由x，y，9等比数列，知2y=x+9，列出方程组，从而求得这两个数的和．解答：解：设中间两数为x，y，则，解得，所以=11．故选C．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，是基础题，难度不大，解题时要认真审题，仔细解答．24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（）A．3或﹣3 B．3或C．3D．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式可得9=1×a4，解得 a2=3，从而得到公比．解答：解：由题意可得9=1×a4，∴a2=3，故公比为=3，故选 C．点评：本题考查等比数列的通项公式，求出a2的值，是解题的关键．25．（2011•江西）已知数列{a n}的前n项和s n满足：s n+s m=s n+m，且a1=1，那么a10=（）A．1B．9C．10 D．55考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．解解：根据题意，在s n+s m=s n+m中，答：令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，故选A．点评：本题考查数列的前n项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法．26．在等比数列{a n}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（）A．8B．C．6D．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{a n2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出的值代入即可求出值．解答：解：∵S7==16，∴a12+a22+…+a72==•=128，即=8，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7=a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6=+a1q6 ==8．故选A点评：此题考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．27．等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（）A．7B．8C．16 D．15考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，求得等比数列的公比，即可求出S4的值．解答：解：设等比数列的公比为q，则∵a1=1，4a1，2a2，a3成等差数列，∴4q=4+q2，∴q=2∴S4=1+2+4+8=15故选D．点评：本题考查等比数列的通项与求和，考查等差数列的性质，解题的关键是确定数列的公比，属于基础题．二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是2n+1﹣3 ．考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：由a1=1，a n=2a n﹣1+3，可得a n+3=2（a n﹣1+3）（n≥2），从而得{a n+3}是公比为2，首项为4的等比数列．解答：解：∵数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，∴a n+3=2（a n﹣1+3）（n≥2），∴{a n+3}是公比为2，首项为4的等比数列，∴a n+3=4•2n﹣1，∴a n=2n+1﹣3．故答案为：2n+1﹣3．点评：本题考查等比关系的确定，关键在于掌握a n+1+m=p（a n+m）型问题的转化与应用，属于中档题．29．数列的前n项之和是．考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用分组求和，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解解答：解：∵S n==（3+4+…+n+2）===故答案为：点评：本题主要考查了利用分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用，属于基础题30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式得出=1+q5=，解出q即可．解答：解：∵{a n}是等比数列，由数列前n项和的定义及等比数列通项公式得S10=（a1+a2+ (5)+（a6+a7+…+a10）=S5+q5（a1+a2+…a5）=（1+q5）S5∴=1+q5=，q5=，q=，故答案为：．点评：本题主要考查等比数列前n项和的计算、通项公式．利用数列前n项定义，避免了在转化时对公比q是否为1的讨论．。