第二章线性不变系统解析
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
交换积分顺序,先对x求积分:
- -
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f - f ' ) x]dx
-
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f '- f )dfdf ' - -
- -
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) - d ( f x f 0 )] 2j
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( - )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
叠 加 积 分
g ( ) H ( f ) exp(- j 2pf )d
-
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp(- j 2pf )d
-
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp(- j 2pfx)dx g ( )h( x - )d
- -
交换积分顺序:
g ( ) h( x - ) exp( - j 2pfx) dx d - -
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[- j 2p ( f x x f y y)dxdy
-
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 -1 y tan ( x ) y r sin
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
-
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
-
G( f x , f y )
2
df x df y
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; ,h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
-
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2 -
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp(- j 2pf ' x)df ' dx - - -
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
-
f ( ,h)d ( x - , y -h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(, h)的d 函 数的权重因子是 f (, h).
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
交换积分顺序,先对x求积分:
- -
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f - f ' ) x]dx
-
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f '- f )dfdf ' - -
- -
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) - d ( f x f 0 )] 2j
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( - )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
叠 加 积 分
g ( ) H ( f ) exp(- j 2pf )d
-
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp(- j 2pf )d
-
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp(- j 2pfx)dx g ( )h( x - )d
- -
交换积分顺序:
g ( ) h( x - ) exp( - j 2pfx) dx d - -
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[- j 2p ( f x x f y y)dxdy
-
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 -1 y tan ( x ) y r sin
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
-
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
-
G( f x , f y )
2
df x df y
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; ,h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
-
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2 -
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp(- j 2pf ' x)df ' dx - - -
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
-
f ( ,h)d ( x - , y -h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(, h)的d 函 数的权重因子是 f (, h).
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
第二章 线性系统分析
2-1
线性系统
一、定义 1）线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，
S a1 f1 x1 , y1 a2 f 2 x1 , y1 a1S f1 x1,y1 a2 S f 2 x1,y1 a1 g1 x2 ,y2 a2 g 2 x2 ,y2
(二)光在自由空间的传播
f x1 , y1
输入,如图像
光学系统
S{ }
g x2 , y2
输出，如图像、频谱
（如成像、FT等）
g x2 , y2 S f x1 , y1
严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统,可 近似作为线性系统来处理，得到与实际相符的结果。 线性系统可用FT、卷积运算来描述。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
三、线性平移不变系统的传递函数
线性平移不变系统的空域描述：
g x, y f x, y hx, y
由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的 频域描述为
Gu, v F u, v H u, v
其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y) 和h(x,y)的频谱. 该式在频域中描述线性平移不变系统的性质、作用。
H(u,v) 称为线性平移不变系统的传递函数。一般是
H u, v Au, vexp j u, v
其模A(u,v)的作用是改变输入信号各频率基元成分的模 其辐角(u,v)的作用是改变这些频率基元成分的初相位
第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
第二章 线性系统分析
b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
线性系统理论课件02-第二章状态空间描述-2.1系统的状态空间描述2.2系统的状态空间表达式的分类
上式即为图2-1所示电路的状态方程，并将其写成 向量-矩阵形式，即
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 0 u ( t ) c C 1 u (t ) R i(t ) L L
(3)状态向量 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这 些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态 向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量 间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
Ax Bu x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态 变量，根据电路原理有
不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部 变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立 变量
假定电容器初始电压值均为0，有
c3 x2 x1 c 2 c3
因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其 中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以 确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等 效为一个电容。
包装测试第二章 线性时不变系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
第二章 线性不变系统.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
g(x) g(ax) a=2
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f ( ,h)d ( x , y h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于( h)的d 函 数的权重因子是 f ( h).
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
第二章 线性时不变系统
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
傅立叶光学
用算符表示系统
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems