多项式除以单项式
第2课时 多项式除以单项式
探究点二:整式的混合运算 【例2】 计算:(1)[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)]÷2b; (2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y. 【导学探究】 应先计算 括号内 的,再算除法.
解:(1)原式=(4a2+12ab+9b2-4a2+b2)÷2b=(12ab+10b2)÷2b =12ab÷2b+10b2÷2b =6a+5b.
(2)原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y =(2x3y2-2x2y)÷x2y =2xy-2.
整式混合运算有三个易错点 (1)运算顺序. (2)同底数幂乘、除、乘方运算中指数的变化规律. (3)运算过程中的符号问题.
1.计算(14a3b2-21ab2)÷7ab2等于( A )
(A)2a2-3
第2课时 多项式除以单项式
1.法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以 单项式 ,再 把所得的商相 加 . 2.符号表示:(a+b+c)÷m= a÷m+b÷m+c÷m (其中a,b,c,m都是单项式) 3.实质:多项式除以单项式法则的实质是将多项式除以单项式转化为
单项式除以单项式 的除法运算.
须是2xy,则小亮报的一个除式是
1 x2 y 2
.
9
4
解:(1)原式=25x2÷5x+(-10xy)÷5x+15x÷5x =5x-2y+3.
(4)[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x.
点击进入 训练案
(B)2a-3
(C)2a2-3b
(D)2a2b-3
2.[(a2)4+a3·a-(ab)2]÷a的结果为( B )
多项式除以单项式（课件）
(ad+bd) ÷d
=(ad+bd)·
1 d
=ad·
1 d
+bd·
1 d
=a+b
除以一个数等于乘以这个数的倒数。 根据多项式乘以单项式法则。
新知讲解
类比有理数的除法
（ma+mb+mc) ÷m=（ma+mb+mc) · 1 =a+b+c. m
(a2b+3ab) ÷a
=(a2b+3ab)·
1 a
=a2b·
新知讲解
【做一做】
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为 t1；第二
阶段的平均速度为
1 2
v，所用时间为t2.
下山时，小明的平均速度保持为4v．已知小明上山的路程和下山的
路程是相同的，问小明下山用了多长时间？
【解】（12 vt2 + vt1）÷
4v
=
1 8
t2
+
1 4
t1
.
答：小明下山所用时间为
板书设计
1．多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再 把所得的商相加． 2．多项式除以单项式的应用
作业布置
课本 P31 练习题 P31 习题1.14
C．3个
D．4个
课堂练习
4.计算：(－2x2y＋6x3y4－2xy)÷(－2xy)．
解：(－2x2y＋6x3y4－2xy)÷(－2xy) ＝－2x2y÷(－2xy)＋6x3y4÷(－2xy)－2xy÷(－2xy) ＝x－3x2y3＋1.
拓展提高
5. 先化简，再求值： [2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
多项式除以单项式(原卷版)
单项式除以单项式1.掌握多项式除以单项式的运算法则，会运用这个法则进行多项式与单项式除法的计算2.经历多项式除以单项式的过程,体验数学的化归思想知识点一 多项式除以单项式（1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加（2）式子表示：()÷÷÷÷.(0)ma mb mc m ma m mb m mc m a b c m ++=++=++≠其中把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式注意：(1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错;(2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉.即学即练1 化简求值：[2(x +y )(x −y )−2(x +y )2]÷(−4y )，其中x =−2，y =3． 即学即练2 化简：[(a +3b)(−a +3b)−(2a −3b)2−5a(a −4b)]÷2a ． 题型一 多项式除以单项式例1（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：(20x 4+15x 3−25x 2)÷题型二 整式四则混合运算例2（2022秋·上海奉贤·七年级统考期中）计算：(2a +b)(a −2b)−(2a −b)2. 举一反三1（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：(1)2a 2b ⋅(−3ab 2)+(2ab)3； (2)(2a +b −5)(2a −b +5)﹒举一反三2（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）计算：(1)(a 2)3⋅(a 2)4÷(a 2)5； (2)(3a +14b 2)(14b 2−3a)．举一反三3（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）计算：3a 2b 2·(−2ab 4)−(−ab 2)3题型三整式的混合运算例3 （2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：(4x3−2x)÷(−2x)−(1+ 2x)(1−2x)．举一反三1（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）计算：[(−2+x)(2+x)+(2+3x)2]÷2x 举一反三2（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：(a+2b−c)(a−2b−c)举一反三3（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：(0.25a3b2)2⋅(4a2b)3−3(−a2b)5⋅a2b2一、单选题1．下列计算正确的是（）A．(x3)2=x5B．x3+x2=x5C．(x2−x)÷x=x(x≠0)D．x2÷x2=1(x≠0)2．一个长方形的面积为4a2−2ab，且一边长为2a，则该长方形的周长为（）．A．2a−b B．4a−b C．4a2−2ab D．8a−2b3．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（）A．（2a+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）4．（2019秋·上海静安·七年级校考期中）下列计算中，正确的是()A．a²+a²=3a4B．2x³⋅(−x²)=−2x5C．(−2a²)³=−8a5D．（6x2m+2x m)÷2x m=3x²+1 5．（2020秋·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）下列运算正确的是（）A．(a3)2=a5B．a3+a2=a5C．(a3−a)÷a=a2D．a3÷a3=1二、填空题1．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式．÷（−12三、解答题1．化简：(1)(−2x2y)3÷(2y)·12y2(2)(21x4y3−35x3y2+7x2y2)÷(−7x2y)(3)(2x−1)2−(2x+5)(2x−5)．2．计算：(x2+3x3+2x4)⋅x−(x2+2x3+3x4)÷(−x)2．3．计算：(1)(12ax3−27ax)÷3ax；(2)(4x2y3+8x2y2−2xy2)÷2xy2．4．小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：(30x4y2+M+12x2y2)÷(−6x2y)=N+3xy−2y．(1)请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．5．（2021秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考期中）化简求值：[(−2a3x2)(a−2x)−34a2x3]÷[−(ax)2]，其中a=12，x=−4．。
多项式除以单项式
多项式除以单项式教学目标：知识与能力1.理解整式除法运算的算理，体会除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
2.会进行多项式除以单项式的运算法则。
过程与方法：.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
情感态度价值观：培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。
重点和难点：重点：多项式与单项式相除的法则。
难点：单项式的系数的符号是负时的情况。
教学过程一、复习提问1．计算并回答问题：以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？2．计算并回答问题：(3)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？3．请同学利用2、3、6其间的数量关系，写出仅含以上三个数的等式．说明：希望学生能写出2×3=6，(2的3倍是6)3×2=6，(3的2倍是6)6÷2=3，(6是2的3倍)6÷3=2．(6是3的2倍)然后向大家指明，以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的，只是表示的角度不同，让学生理解被除式、除式与商式间的关系．二、新课1．新课引入．对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？在学生思考的基础上，点明本节的主题，并板书标题．2．法则的推导．引例：(8x3-12x2+4x)÷4x=(？)分析：利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为4x · ( ？ ) =8x3-12x2＋4x．原乘法运算：乘式乘式积(现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式)然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答．解：(8x3-12x2+4x)÷4x=8x3÷4x-12x2÷4x+4x÷4x=2x2-3x+4x．思考题：(8x3-12x2＋4x)÷(-4x)=？以上的思想，可以概括为“法则”：法则的语言表达是3．巩固法则．例1计算：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)．解：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a=28a3÷7a-14a2+7a＋7a÷7a=4a2-2a+1；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)=36x4y3÷(-6x2y)-24x3y2÷(-6x2y)＋3x2y2÷(-6x2y)小结：(l)当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意；(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的．(3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量要求学生写出表现法则的那一步．本节是学习多项式与单项式的除法，因此对于单项式除以单项式的计算则可以从简．练习1．计算：(1)(6xy+5x)÷x； (2)(15x2y-10xy2)÷5xy；(3)(8a2b-4ab2)÷4ab；(4)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d)．例2 化简［(2x＋y)2-y(y+4x)-8x］÷2x．解：[(2x＋y)2-y(y＋4x)-8x]÷2x=(4x2+4xy＋y2-y2-4xy-8x)÷2x=(4x2-8x)÷2x=2x-4．三、小结1．多项式除以单项式的法则写成下面的形式是否正确？(a+b＋c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m．答：上面的等式也反映出多项式除以单项式的基本方法(两个要点)：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)所得的商相加．所以它也可以是多项式除以单项式法则的数字表示形成．学习了负指数之后，我们可以理解a、b、c是否能被m整除不是关键问题．2．多项式除以单项式的商在项数与各项的符号与什么式子有联系？有何联系？教学后记：。
多项式除以单项式
第13章 整式的乘法§13.4 整式的除法2. 多项式除以单项式【学习目标】1.通过探索过程理解多项式除以单项式的法则.2.会用多项式除以单项式的法则进行多项式除以单项式的除法及简单综合运算.【课前导习】1.下列运算正确的是( )A ．422x 3x x 2-=--B ．642x 16)x 2(=-C ．m m 2)1m 2(m 2-=-D ．232x x )1x x (x -=+-2.计算：)133()2(23--⋅-xy xy y x = . 3.填空：∵m （a ＋b ＋c ）＝∴（ma ＋mb ＋mc ）÷m ＝概括：多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 ．4.（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x＝9x 4÷３x － ＋＝（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）＝ ＋a 2b 3÷（－7a 2b ）－ ＝【主动探究】试一试计算： （1） （ax ＋bx ）÷x ；（2） （ma ＋mb ＋mc ）÷m ．概 括：法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的 相加．先做后说，点评例题例3计算：（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x ；（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）．【当堂训练】1. 计算：（1） （3ab －2a ）÷a ； （2） （5ax 2＋15x ）÷5x ；（3） （12m 2n ＋15mn 2）÷6mn ； （4） （x3－2x 2y ）÷（－x 2）．2. 计算：（1）22232)2()41()2(xy y x xy -÷-⋅- ⑵()()a a a a 296423-÷+-3. （1） [(x+y)2+(x+y)(x －y)]÷2x （2）（16x 3－8x 2＋4x ）÷（－2x ）．4. 计算：（1） （4a 3b 3－6a 2b 3c －2ab5）÷（－２ab 2）；（2） x 2y 3－1/2x 3y 2＋2x 2y 2÷1/2xy 2．【回学反馈】1.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．2.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．3. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．。
(附答案)《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a8234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式说课稿
多项式除以单项式说课稿一、说教材《多项式除以单项式》是数学教学中的重要内容，它位于代数学的初期阶段，起着承前启后的作用。
本文在课文中占据了显著的地位，不仅是学习整式除法的基础，也是培养学生数学运算能力和逻辑思维能力的有效载体。
（1）作用与地位：多项式除以单项式是整式除法运算的基础，是学生从算术除法过渡到代数除法的桥梁。
通过这部分内容的学习，学生可以巩固以往所学的整式知识，为后续学习多项式除法打下坚实基础。
（2）主要内容：本文主要介绍了多项式除以单项式的法则，包括商的确定、余数的判定以及除法运算的步骤。
通过具体实例，让学生掌握如何将多项式除以单项式的运算过程，并能够熟练运用到实际问题中。
（3）教材编排：本文按照“引入概念—讲解法则—举例说明—巩固练习”的顺序编排，旨在让学生在理解概念的基础上，通过具体实例掌握运算方法，从而提高解题能力。
二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）理解多项式除以单项式的概念，掌握其运算规则。
（2）能够熟练地将多项式除以单项式，并正确求出商和余数。
（3）培养逻辑思维能力和数学运算能力，提高解题速度和准确率。
（4）通过本节课的学习，激发学生对数学学习的兴趣，增强克服困难的信心。
三、说教学重难点（1）重点：多项式除以单项式的运算规则，如何确定商和余数。
（2）难点：如何将多项式除以单项式的运算过程应用到实际问题中，提高解题能力。
在教学过程中，要充分关注这两个方面，确保学生能够扎实掌握多项式除以单项式的运算方法。
同时，注意引导学生克服难点，将所学知识运用到实际问题中，提高数学素养。
四、说教法在教学《多项式除以单项式》这一部分内容时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高教学效果，凸显教学亮点。
1. 启发法：在引入新课内容时，我将以实际生活中的问题作为切入点，引导学生发现多项式除以单项式的实际意义，激发学生的探究兴趣。
通过设置问题情境，让学生在思考中逐步理解多项式除以单项式的运算规则。
整式的除法多项式除以单项式
汇报人： 2024-01-06
目录
• 整式的除法概述 • 多项式除以单项式的步骤 • 整式的除法运算实例 • 整式的除法在数学中的应用 • 练习与巩固
01
整式的除法概述
整式的除法定义
整式的除法是指将一个多项式除以一个单项式的运算。
整式的除法运算可以表示为：多项式除以单项式，即 $P(x) div Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式，$Q(x)$ 是一个非零单项式。
综合练习题
综合练习题1
$(x^4 - 2x^3y + xy^3) div (x + y)$
综合练习题2
$(4x^3y - 3xy^2 + 2y^4) div (x - y)$
综合练习题3
$(x^3y + 2xy^2 - y^4) div (x - y)$
THANKS
谢谢您的观看
化简复杂代数式
在代数中，有时需要化简复杂的 代数式，整式的除法可以帮助我 们化简这些代数式，使其更易于 理解和计算。
在函数中的应用
函数的简化
在研究函数的性质时，我们经常需要 将函数进行简化，整式的除法可以帮 助我们化简函数表达式。
函数的切线
在求函数的切线时，我们需要用到导 数，而整式的除法是求导数的一个重 要工具。
$(3x^2 - 4y) div (x)$
基础练习题3
$(2xy^2 + x^3) div (x^2)$
进阶练习题
01
02
03
进阶练习题1
$(x^3 - 2x^2y + xy^2) div (x)$
进阶练习题2
$(4x^2y - 3xy^2 + 2y^3) div (y)$
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单项式除以单项式
1、系数相除； 2、同底数幂相除； 3、只在被除式里的幂不变。
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm (am+bm+cm)÷m am÷m+bm÷m+cm÷m =a+b+c 请说出多项式除以单项
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先 把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得 的商相加。
例1 计算： 多项式除以单项式的法则：
（1） (28a3 14a2 7a) 7a
解：原式 28a3 7a 14a2 7a 7a 7a
4a2 2a 1
(2)
(36 x4 y3 24 x3 y2 3x2 y2 ) (6x2 y)
多项式除以单项式的法则：
练习：
（2）计算：
① (16m3 24m2 ) (8m2 );
② (9x3 y2 21xy2 ) 7xy2 ;
③ (25x2 15x3 y 20x4 ) (5x2 ); ④ (4a2 12a2b 7a3b2 ) (4a2 ).
练习：
（3）错例辩析：
( 3 a6x3 6 a3x4 3 ax3) 3 ax3 5 a5 2a2x 4 5 5 54
计算：
① 6x3 y4 z ( 3 x3 y3) 2
② 9m3n4 (6mn)2 ( 4 n) 3
③
6(a
b)3
c3
3 5
(b
பைடு நூலகம்a)2
c
2(a
b)c
15.3.3多项式除以 单项式
问题
（l）用式子表示乘法分配律． （2）单项式除以单项式法则是什么？
例2 化简：
(2x y)2 y( y 4x) 8x 2x
多项式除以单项式的法则的应用：
例3 一个长方形的面积是 4（ab2)2+6ab-2b2，宽是 2b,求它的长是多少?
例4.计算：
[5xy2(x2-3xy)-(-3x2y)3]
÷(2xy)2
=[5x3y2-15x2y3 - (-27x6y3)]
有两个错误：第一，丢项，被除式有三 项，商式只有二项，丢了最后一项1；第 二项是符号上错误，商式第一项的符号
请你在心中想一个自然数， 并且先按下列程序运算后，告诉答案：
n 平方 加n 除以n 答案
1小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术节 目如下：
请你在心中想一个自然数，并且先按下列 程序运算后，直接告诉他答案：
÷4x2y
=[5x3y2-15x2y3+27x6y3)]
÷4x2y
= 5x- 15y + 27 x4y
44
4
练习：
（1）计算：
① (6xy 5x) x;
② (15x2 y 10xy2 ) 5xy;
③ (8a2b 4ab2 ) 4ab;
④ (4c2d c3d 3) (2c2d ).
n 平方 加n 除以n 答案
他能马上说出你所想的自然数。 你知道其中的奥妙在哪里吗？请你用所学
的数学知识来进行解释。
小结
1．多项式除以单项式的法则是什么？ 2．运用该法则应注意什么？
正确地把多项式除以单项式问题转化 为单项式除以单项式问题。计算不可丢 项，分清“约掉”与“消掉”的区别： “约掉”对乘除法则言，不减项；“消 掉”对加减法而言，减项。