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近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳

一、填空题

1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足??

?

??-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+?++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.

2.（ 2010年上海高考文12）在n 行m 列矩阵12321

234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ?

????

?????????????????????? ? ????---??

中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???，当9n =时，11223399a a a a +++???+= .

答案：45

3．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*

n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞

=

答案：

1

2

4.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*

n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞

=

答案：1

5.（2011年上海高考文2）3lim(1)3

n n

n →∞

-

=+ 答案：2-

6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记

其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，

则0l im||n n Q P →∞

= 答案：3

7.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、

2

1

为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞

→)(lim 21n n V V V .

答案：

8

7

8.（2012年上海高考文14）已知1

()1f x x

=

+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012

a a =，则2011a a +的值是 .

答案：

3+13526

9. (2013年上海高考理1）计算：20

lim

313

n n n →∞+=+ ．

答案：

13

10.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值

12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．

答案：2

30d

11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．

答案：15

二、选择题

12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则

{}n A 为等比数列的充要条件为（）

A {}n a 是等比数列

B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列

C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列

D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同

答案：D

13.（2012年上海高考文18）若2sin

sin

...sin 7

77

n n S π

ππ=+++（n N *

∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）

A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C

14.（2012年上海高考理18）设25

sin 1π

n n a n =

，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100

答案：D

15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素

,i j i j i j c a a a a =?++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ）

，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63

答案：A

16.（2013年上海高考文18）记椭圆

22

1441

x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞

=（）．

A. 0

B.

1

4

C. 2

D. 22 答案：D

三、解答题

17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列

（1）若31n a n =+，是否存在*

m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；

（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得4

2,3

k m -=

m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。

（2）当1m =时，则2312,k k b b b a q aq ?=∴?=

3,k a q -∴=即c a q =，其中c 是大于等于2-的整数

反之当c a q =时，其中c 是大于等于2-的整数，则n c n b q +=，显然12121m c m c m c m m k b b q q q b ++++++?=?==，其中21k m c =++

∴a 、q 满足的充要条件是c a q =，其中c 是大于等于2-的整数

（3）设12m m m p k b b b a ++++++=

当p 为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数，当p 为偶数时，(*)式不成立。

由(*)式得

13(13)

2113

m p k +-=+-，整理得13(31)42m p k +-=+ 当1p =时，符合题意。当3p ≥，p 为奇数时，

31(12)1p p -=+-

()()011221122121222222212222222222p p p p p p p p p p p p p p p p

p p p p p C C C C C C C C C C C C C p --=+?+?++?-=?+?++?=+?++???=+?++?+??

∴ 由13(31)42m p k +-=+，得

()12222

322221m p p p p p C C C p k +-??+?++?+=+??

∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。

∴当p 为奇数时，命题都成立。

18.（2009年上海高考理23）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（1）若31n a n =+，是否存在*

m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由；（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*

n N ∈,

1

n n n

a b a +=,并说明理由；（3）若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明

解（1）1,6531m m k a a a m k ++=+=+得， ……2分

整理后，可得4

23

k m =+

*m k N ∈、，∴2k m -为整数， ∴不存在*m k N ∈、，使等式成立。 ……5分

（2）解法一若1

,n n n

a b a +=即，

（*）

（i ）若110,1n n d b q b -===则，

当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。……7分（ii ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得（*）式等号

右只边只有当1q =时，才可能等于1，此时等号左边是常数，0d =，矛盾。

综上所述，只有当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。……10分解法二设n a nd c =+，若

1

n n n a b a +=，对n *∈N 都成立，且{}n b 为等比数列，则211/n n n n

a a q a a +++=，对n *∈N 都成立，即2

21n n n a a qa ++=，

∴2

()(2)()d n c d n d c q d n d c +++

=

++，对n *∈N 都成立，∴22d qd =……7分

（i ）若0,0n d a c ==≠则，∴1,n b =n *

∈N . （ii ）若0d ≠，则1,(,0,n dn d c

q b m m d dn c

++=∴===+常数），即

则矛盾.

综上所述，01n n a c b =≠=有，，使对一切n *

∈N ，1

n n n

a b a +=. ……10分（3）*41,3,n n n a n b n N =+=∈，

设*

123,,k m m m p k a a a b p k N m ++++++==∈∈N. 、

4(1)14()1

32

k m m p p +++++=，

∴3423k

m p p

+++， *p k N ∈、，∴3,s p s N =∈ ……13分

取22

s 2s 32,43

234-1230s k s m +=+=-?3-=-?(4-1)-≥s+2

（），……15分

由二项展开式可得整数12M M 、，使得2s+2

14-1=4M +1（），

11lim

1,

(1)n a nd

a n d →∝+=+-1111(1)n a nd

b q a n d -+=+-

s

224-18(1)2S M ?=+-（）

∴1244(2)((1)1)2,S m M M =---+∴存在整数m 满足要求。故当且仅当3,s p s N =∈，命题成立。 ……18分说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p 为偶数，则12m m m p a a a ++++++ 为偶数，但3k

为奇数。

故此等式不成立，∴p 一定为奇数。 ……1分当1p =时,则1,453k m k a b m +=+=即，而3(41)k k =-

0111144

(1)4(1)(1)4(1),k k k k k k k k k k k c c c c M M ---=?+??-++??-+?-=+-∈Z. 当k 为偶数时，存在m ，使453k

m +=成立， ……1分当3p =时,则 1232,3m m m k m k a a a b a b ++++++==即，也即3(49)3k m +=，∴11493,4(1)53k k m m --+=++=，

由已证可知，当1k -为偶数即k 为奇数时，存在m ，493k

m +=成立，……2分当5p =时,则1253,5m m m k m k a a a b a b +++++++== 即，

也即5(413)3k

m +=，而3k

不是5的倍数，∴当5p =时,所要求的m 不存在，

故不是所有奇数都成立.

19.（2010年上海高考文21）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*

n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 解：(1)由*585,n n S n a n N =--∈ （1）可得：1111585a S a ==--，即114a =-.

同时 11(1)585n n S n a ++=+-- （2）从而由(2)(1)-可得：1115()n n n a a a ++=-- 即：*15

1(1),6

n n a a n N +-=

-∈，从而{1}n a -为等比数列，首项1115a -=-，公比为56，通项公式为

15115()6n n a --=-?，从而15

15()16

n n a -=-?+

（2）1n n S S +>即10n a +>，515*()106n -+>，51

()615

n <，

解得 log(15)

14.8532log(5)log(6)

n ->

≈-，从而min 15n =.

20.（2010年上海高考理20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*

n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 解：（1）略（2）90)

6

5

(751

-+=-n n n S ， 15=n 取得最小值

21.（2011年上海高考文23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*

n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项；（2）12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由；（3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*

n N ∈）解：（1）三项分别为9,15,21. （2） 12340,,,,c c c c 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67

（3）32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+

∵ 63656667

k k k k +<+<+<+ ∴ *63(43)

65(42),66(41)67(4)

n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-?

=∈?+=-??+=?.43424142421k k k k c c c c k ---+++=+

2412344342414(1)

()()242112332

n n n n n n n S c c c c c c c c n n n ---+=++++++++=?+=+

22.（2011年上海高考理22）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*

n N ∈），将集

合*

*

{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。（1）求1234,,,c c c c ；

（2）求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式

解：（1）12349,11,12,13c c c c ====；

（2）① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=

② 假设26627n k a n b k =+==+?*1

32

k n N =-

∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ? ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。

（3）32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+

∵ 63656667

k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……

∴ *63(43)

65(42),66(41)67(4)

n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-?

=∈?+=-??+=?.

23.（2012年上海高考文23）对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即

k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.

求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）

（3）设m =100，常数)1,(2

1∈a .若n an a n n n 2

)

1()1(2

+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，

求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .

解：（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，

所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分

（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(2

24-+-=-k k a a k ；

)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(2

4k k a a k -=.

比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分

因为121<k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，

从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分

因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-

=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =

)38()1(k k a =)1(2525

a -. ……18分

24.（2012年上海高考理23）对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集

},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=?a a ，则称X 具有性质P. 例如

}2,1,1{-=X 具有性质P.

（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；

（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式. 解：（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从而x =4. ……4分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=?a a .

由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.

因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，

故1∈X . ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.

选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=?a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；

若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.

所以x 1=1. ……10分

（3）[解法一]猜测1

x ，i =1, 2, …, n . ……12分

记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.

任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=?a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.

因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=?a a ，

从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.

假设1t ∈1+k A 且1t ?k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以

1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分

现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . 当n =2时，结论显然成立；

假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -= 也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .

取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=?a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有一个为

若1-=t ，则1，不可能；

所以1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分 [解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=?a a 等价于

记|}|||,,|{t s X t X s B t

s >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分

注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于

x x x x x x x x n n n n n n <

-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵

x x x x x x x x n n n n n n <

1x x x x x x n n n n n -----<

2x x 注意到1

x x x x x x n n >

x x x x x x n n n n =

--- ，从而数列的通项公式为

2--==k k x x k q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分

25.（2013年上海高考文22）已知函数()2f x x =-，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a +=，*

n N ∈．（1）若10a =，求234,,a a a ；

（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；

（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解（1）22a =，30a =，42a =．

（2）21122a a a =-=-，321222a a a =-=--．

① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()2

112a a =-，得11a =．

② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()2

11142a a a -=-，得122a =-（舍去）或

综合①②得11a =或122a =+．

（3）假设这样的等差数列存在，那么212a a =-，3122a a =--．

由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）．以下分情况讨论：

① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；

② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n = ，所以{}n a 是一个等差数列；

③ 当10a ≤时，则公差()2111220d a a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得

()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．

综合①②③可知，当且仅当11a =时，123,,a a a 构成等差数列．

26.（2013年上海高考理23）给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+．数列123,,,a a a 满足

1()n n a f a +=，*n N ∈．（1）若12a c =--，求2a 及3a ；

（2）求证：对任意*

n N ∈，1n n a a c +-≥；

（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解（1）232,10a a c ==+．

（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++??

,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--

当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>；

当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；当4n a c <--时，()128248n n n a a a c c c c +-=---≥-----=．所以，对任意n N *

∈，1n n a a c +-≥．

（3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．

又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而，1()8n n n a f a a c +==++．

由于{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+． ① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，

又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =．当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，所以，1()8n n n a f a a c +==++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；

② 若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求．综上，1a 的取值集合为[){},8c c -+∞-- ．

2015高考数学分类汇编数列

专题六数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

20180324上海高考数列汇编

上海市高考二模数列汇编 1．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知有穷数列A ：n a a a ,,,21???（N n n ∈≥,2）. 定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将 j i j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除 j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：3 1 ,21,43,75- ,则A 3的可能结果是（）（A ）0；（B ）34；（C ）13；（D ）1 2 . 3．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞ 的值为（） A ． 23 B ．43 C ．8 3 D ．163 4．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，* ()n S n N ∈是数列的前n 项和，则 2l i m 1 n n S n →∞-= ． 6．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么lim n n n na S →+∞= ． 7、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)数列{}n a 的前n 项和 32-+=n n S n ，则通项公式=n a ． 8、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)各项都为正数的等比数列 {}n a 中，11=a ，)1 1 (273 2 32a a a a + =+，则通项公式=n a ． 9、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于． 10. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知等比数列}{n a 的公比为正数，且 3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = ．

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

【高考真题】2016---2018三年高考试题分类汇编

专题01 直线运动【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷）【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题【答案】 C

【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷）【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题

4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷）为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。

上海市2020届高三数学试题分类汇编：数列(含解析)

高三上期末考试数学试题分类汇编数列一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围是 12、（长宁区2019届高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由，得，解得．因此数列为“M—数列”. （2）解：①因为，所以．由得，则 . 由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ，所以，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

2020年高考试题分类汇编(集合)

2020年高考试题分类汇编（集合）考法1交集 1.（2020·上海卷）已知集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，求A B = . 2.（2020·浙江卷）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{3,}A x x x Z =<∈，{1,}A x x x Z =>∈，则A B = A ．? B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥， {(,)8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 8.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a = A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 考法2并集 1.（2020·海南卷）设集合{13}A x x =≤≤，{24}B x x =<<，则A B =

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

2019年高考真题分类汇编(全)

2019年高考真题分类汇编第一节集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}.

最新上海高考数列大题整理

（2012春）22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}{}{}n n n a b c 、　、　满足*11()()().n n n n n a a b b c n N ++--=∈ （1）设36,{}n n c n a =+是公差为3的等差数列.当11b =时，求23b b 、的值；（2）设32,8.n n c n a n n ==-求正整数,k 使得一切* ,n N ∈均有;n k b b ≥ （3）设1(1)2,.2 n n n n c n a +-=+= 当11b =时，求数列{}n b 的通项公式.

22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（* n N ∈），将集合 **{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列 123,,,,, n c c c c 。 ⑴ 求1234,,,c c c c ； ⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,, n a a a ； ⑶ 求数列{}n c 的通项公式。 22、⑴ 12349,11,12,13 c c c c ====； ⑵ ① 任意* n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即 2132n n a b --= ② 假设26627n k a n b k =+==+?*1 32 k n N =- ∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ? ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,, n a a a 。 ⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=， 3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+ ∵ 63656667k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，…… ∴ *63(43)65(42),66(41)67(4) n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-? =∈? +=-??+=?。

2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)

2017年高考试题分类汇编之数列一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a

2017年高考试题分类汇编(集合)

2017年高考试题分类汇编（集合）考点1 数集考法1 交集 1.（2017·北京卷·理科1）若集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，则 A B = A. {}21x x -<<- B. {}23x x -<< C. {}11x x -<< D. {}13x x << 2.（2017·全国卷Ⅱ·理科2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若 {}1A B =，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.（2017·全国卷Ⅲ·理科2）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.（2017·山东卷·理科1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(2,1)- D ．[2,1)- 5.（2017·山东卷·文科1）设集合{}11M x x =-<,{}2N x x =<,则M N = A.()1,1- B.()1,2- C.()0,2 D.()1,2 6.（2017·江苏卷）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为______. 考法2 并集 1.（2017·全国卷Ⅱ·文科2）设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则A B = A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（2017·浙江卷1）已知集合{}11P x x =-<<,{}02Q x x =<<，那么P Q = A. (1,2)- B. (0,1) C.(1,0)- D. (1,2) 考法3 补集

上海市2021届高考数学考点全归纳

2021上海高考数学考点笔记大全 1．上海高考数学重难点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。难点：函数、数列、圆锥曲线。 2．上海高考数学考点：（1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。（2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。（3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。（4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最简三角方程。（5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。（6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。 ⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。（8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。（9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。（10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。（11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。（12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。（13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。（14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。

2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14）若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128

2017年全国高考英语试题分类汇编(共23份) (1)

2017年全国高考英语试题分类汇编（共23份）目录 2017全国高考汇编之定语从句 (2) 2017全国高考汇编之动词+动词短语 (13) 2017全国高考汇编之动词时态与语态 (30) 2017全国高考汇编之非谓语动词 (47) 2017全国高考汇编改错 (68) 2017全国高考汇编之交际用语 (82) 2017全国高考汇编之介词+连词 (96) 2017全国高考汇编之名词性从句 (112) 2017全国高考汇编之完型填空 (187) 2017全国高考汇编之形容词+副词 (330) 2017全国高考汇编之虚拟语气+情态动词 (341) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (355) 2017全国高考汇编阅读之广告应用类 (375) 2017全国高考汇编阅读之科普知识类 (409) 2017全国高考汇编阅读之人物传记类 (456) 2017全国高考汇编阅读之社会生活类 (471) 2017全国高考汇编阅读之文化教育类 (552) 2017全国高考汇编阅读新题型 (658) 2017全国高考汇编阅读之新闻报告类 (712) 2017全国高考汇编之代词+名词+冠词 (740) 2017全国高考汇编之状语从句 (761)

2017全国高考汇编之定语从句 The exact year Angela and her family spent together in China was 2008. A. When B. where C. why D. which 【考点】考察定语从句【答案】D 【举一反三】Between the two parts of the concert is an interval, _______ the audience can buy ice-cream. A. when B. where C. that D. which 【答案】A 二I borrow the book Sherlock Holmes from the library last week, ______ my classmates recommended to me.. A.who B. which C. when D. Where 【考点】考察定语从句【答案】B 【举一反三】The Science Museum, we visited during a recent trip to Britain, is one of London’s tourist attractions.

上海高中数学数列的极限(完整资料)

【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在

②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在问题解析：一、求极限：例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：

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