近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.2.（ 2010年上海高考文12） 在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅，当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= .答案：453．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：124.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：15.（2011年上海高考文2）3lim(1)3n nn →∞-=+ 答案：2-6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0l im||n n Q P →∞= 答案：37.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .答案：878.（2012年上海高考文14）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .答案：3+135269. (2013年上海高考理1）计算：20lim313n n n →∞+=+ ．答案：1310.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．答案：230d11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．答案：15二、选择题12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D13.（2012年上海高考文18）若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C14.（2012年上海高考理18）设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100答案：D15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63答案：A16.（2013年上海高考文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）．A. 0B.14C. 2D. 22 答案：D三、解答题17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。

（2）当1m =时，则2312,k k b b b a q aq ⋅=∴⋅=3,k a q -∴=即c a q =，其中c 是大于等于2-的整数反之当c a q =时，其中c 是大于等于2-的整数，则n c n b q +=， 显然12121m c m c m c m m k b b q q q b ++++++⋅=⋅==，其中21k m c =++∴a 、q 满足的充要条件是c a q =，其中c 是大于等于2-的整数（3）设12m m m p k b b b a ++++++=当p 为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数， 当p 为偶数时，(*)式不成立。

由(*)式得13(13)2113m p k +-=+-，整理得13(31)42m p k +-=+ 当1p =时，符合题意。

当3p ≥，p 为奇数时，31(12)1p p -=+-()()011221122121222222212222222222p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p C C C C C C C C C C C C C p --=+⋅+⋅++⋅-=⋅+⋅++⋅=+⋅++⋅⎡⎤=+⋅++⋅+⎣⎦∴ 由13(31)42m p k +-=+，得()12222322221m p p p p p C C C p k +-⎡⎤+⋅++⋅+=+⎣⎦∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。

∴当p 为奇数时，命题都成立。

18.（2009年上海高考理23）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列 （1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n na b a +=,并说明理由； （3）若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明解（1）1,6531m m k a a a m k ++=+=+得， ……2分整理后，可得423k m =+*m k N ∈、，∴2k m -为整数， ∴不存在*m k N ∈、，使等式成立。

……5分（2）解法一 若1,n n na b a +=即，（*）（i ）若110,1n n d b q b -===则，当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。

……7分 （ii ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当1q =时，才可能等于1，此时等号左边是常数，0d =，矛盾。

综上所述，只有当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。

……10分 解法二 设n a nd c =+，若1n n n a b a +=，对n *∈N 都成立，且{}n b 为等比数列，则211/n n n na a q a a +++=，对n *∈N 都成立，即221n n n a a qa ++=，∴2()(2)()d n c d n d c q d n d c +++=++，对n *∈N 都成立，∴22d qd =……7分（i ）若0,0n d a c ==≠则，∴1,n b =n *∈N . （ii ）若0d ≠，则1,(,0,n dn d cq b m m d dn c++=∴===+常数），即则矛盾.综上所述，01n n a c b =≠=有，，使对一切n *∈N ，1n n na b a +=. ……10分 （3）*41,3,n n n a n b n N =+=∈，设*123,,k m m m p k a a a b p k N m ++++++==∈∈N. 、4(1)14()132k m m p p +++++=，∴3423km p p+++， *p k N ∈、，∴3,s p s N =∈ ……13分取22s 2s 32,43234-1230s k s m +=+=-⨯3-=-⨯(4-1)-≥s+2（），……15分由二项展开式可得整数12M M 、，使得2s+214-1=4M +1（），11lim1,(1)n a nda n d →∝+=+-1111(1)n a ndb q a n d -+=+-s224-18(1)2S M ⨯=+-（）∴1244(2)((1)1)2,S m M M =---+∴存在整数m 满足要求。

故当且仅当3,s p s N =∈，命题成立。

……18分 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p 为偶数，则12m m m p a a a ++++++ 为偶数，但3k为奇数。

故此等式不成立，∴p 一定为奇数。