高中数学必修1专题辅导三

高中数学必修1专题辅导三

一、知识要点

1、函数的单调性

①定义 ②用定义证明函数单调性的步骤 ③在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ④复合函数

[()]y f g x =：

⑤函数

()(0)a

f x x a x

=+>的单调性：

2、函数的奇偶性

①定义： 前提条件： ②若函数

()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则 ．

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性 ，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减 ．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或

奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是 ．

⑤分类：

二、精典例题

例1、函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，求k 的取值范围.

例2、函数c bx x y ++=2

))1,((-∞∈x 是单调函数时，求b 的取值范围.

例3、已知]3,1[,)2()(2

-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.

例4、求函数||2

x x y +-=的单调区间最值.

例5、判断下列函数的奇偶性 ①x

x y 1

3

+

=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4

； ④??

???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 。

例6、已知8)(32005

--

+=x

b

ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .

例7、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=

x x x f ，则当0

=)(x f .

三、强化训练

一、选择题

1．下列判断正确的是（ ）

A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数

B ．函数1()(1)1x

f x x x

+=--是偶函数

C ．函数2()1f x x x =+

-是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数

2．若函数2

()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞

3．函数11y x x =

+--的值域为（ ）

A ．(

]2,∞- B ．(]

2,0

C ．[

)

+∞,2 D ．[)+∞,0

4．已知函数()()2

212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）

A ．3a ≤-

B ．3a ≥-

C ．5a ≤

D ．3a ≥

5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；

(2)若函数2

()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2

80b a -<且0a >；(3) 2

23y x x =--的

递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x =

+表示相等函数。

其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）

二、填空题

7．函数x x x f -=2

)(的单调递减区间是____________________。

8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2

-+=x x x f ，那么0x <时，

d d 0 t 0 t

O A ．

d d 0 t 0 t

O B ．

d d 0 t 0 t

O C ．

d d 0 t 0 t

O D ．

()f x = .

9．若函数2()1

x a

f x x bx +=

++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.

10．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则

2(6)(3)f f -+-=__________。

11若函数2

()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。

三、解答题

12．判断下列函数的奇偶性（1）2

1()22

x f x x -=+- （2）[]

[]()0,6,22,6f x x =∈--

13.已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数。

14．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且

1

()()1

f x

g x x +=

-,求()f x 和()g x 的解析式.

15．设a 为实数，函数1||)(2

+-+=a x x x f ，R x ∈，讨论)(x f 的奇偶性.

参考答案

一、选择题

1. C 选项A 中的2,x ≠而2x =-有意义，非关于原点对称，选项B 中的1,x ≠

而1x =-有意义，非关于原点对称，选项D 中的函数仅为偶函数；

2. C 对称轴8k x =，则58k ≤，或88

k

≥，得40k ≤，或64k ≥ 3. B 2

,111

y x x x =

≥++-,y 是x 的减函数，当1,2,02x y y ==<≤

4. A 对称轴1,14,3x a a a =--≥≤-

5. A （1）反例1()f x x

=

；（2）不一定0a >，开口向下也可；（3）画出图象 可知，递增区间有[]1,0-和[)1,+∞；（4）对应法则不同

6. B 刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！

二、填空题

1． 11(,],[0,]22

-∞- 画出图象

2. 2

1x x --+ (设0x <，则0x ->，2

()1f x x x -=+-，

∵()()f x f x -=-∴2

()1f x x x -=+-,2

()1f x x x =--+)

3. 2()1x f x x =

+ ( ∵()()f x f x -=-∴(0)(0),(0)0,0,01

a

f f f a -=-===

即211

(),(1)(1),,0122x f x f f b x bx b b

-=-=-=-=++-+)

4. 15- (()f x 在区间[3,6]上也为递增函数，即(6)8,(3)1f f ==-

2(

6)(3)2(6)(3)f f f f -+-=--=-)

5. (1,2) (2

320,12k k k -+<<<) 三、解答题

1．解：（1）定义域为[)

(]1,00,1-，则22x x +-=，2

1(),x f x x

-= ∵()()f x f x -=-∴2

1()x f x x

-=为奇函数。

（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数。

2．证明：(1)设12x x >，则120x x ->，而()()()f a b f a f b +=+

∴11

22

12

2()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=

-

+

<

∴函数()y f x =是R 上的减函数;

(2)由()()()f a b f a f b +=+得()()()f x x f x f x -=+- 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =

∴()()f x f x -=-，即函数()y f x =是奇函数。

3．解：∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()f x f x -=，且()()g x g x -=-

而1()()1f x g x x +=

-,得1

()()1f x g x x -+-=--, 即11

()()11f x g x x x -==-

--+， ∴21()1f x x =-，2()1

x

g x x =-。

4．解：（1）当0a =时，2

()||1f x x x =++为偶函数，

当0a ≠时，2

()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；

（2）当x a <时，2

213

()1(),24

f x x x a x a =-++=-++

当12a >时，m i n 13

()()24f x f a ==+，

当1

2

a ≤时，m i n ()f x 不存在；

当x a ≥时，2

213()1(),24

f x x x a x a =+-+=+-+

当1

2a >-时，2m i n ()()1f x f a a =

=+， 当12a ≤-时，min 13

()()24

f x f a =-=-+。