怎样判定两个三角形相似
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
多种方法判定直角三角形相似
多种方法判定直角三角形相似
除了上述提到的判定方法，直角三角形相似的判定方法还有以下几种：
1.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
2.如果直角三角形的斜边上的高相等，那么这两个直角三角形相似。
3.如果直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形相应的两条直角边分别
平行，那么这两个直角三角形相似。
4.直角三角形的两个锐角分别为α和β，如果α=β，那么这两个三角形相似。
5.如果两个直角三角形的两个角分别为α和β，且α+β=90°，那么这两个三角
形相似。
这些判定方法都是基于三角形相似的定义和性质推导出来的，可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个直角三角形是否相似。
判定直角三角形相似的方法
判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相近。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
相似三角形介绍：
三角分别成正比，三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
投影全系列等三角形的认定定理，可以得出结论以下结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相近。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的五种判定
相似三角形的五种判定
三角形是基本图形之一，也是数学中研究最为深入的形状，因此判断相似三角形之间有什么不同成为许多学者研究的课题。
经过时间的考验，目前已经推出了五种判定相似三角形的方法。
首先，边比较法是一种最常用的判定方法，即三角形的两个边之比若相等，而第三边之比不相等，则它们便是相似三角形。
换言之，它们的两个边长按照一定的比例进行缩放就可以构成另一个三角形。
其次，锐角比较法是判定相似三角形最直接的方法，即两个三角形的锐角一定是完全一致的，而直角和钝角则可以是正交也可以是非正交。
第三，调和平均数比较法是另外一种常用的判定相似三角形的方法，即若两个三角形的调和平均值相等，则可以断定它们之间存在相似关系。
同时，调和平均值也可以应用在更为复杂的图形上，比如四边形和椭圆等。
第四，三角隐积法则是根据三角形内部坐标之间的隐积关系，判断它们之间存在相似关系的方法。
在计算机中，把这种关系表达为两个数字就可以，即三角形在外武器空间中的向量变换，这一点有助于更快速判断出两个三角形之间的相似关系。
最后，两个三角形的邻边角可以用于判断它们的相似性，如果两个三角形的邻边角相互一致，则可以判断它们之间存在相似关系。
同时，由于这种方法既便于推理又易于实现，比如在计算机应用中，它也是一种十分流行的判定相似三角形的方法。
通过上述介绍，我们可以发现，判定相似三角形有多种方法。
其中，比较两个三角形的边长、锐角、调和平均值、三角隐积法则以及邻边角等都是最基本也是最实用的方法，在不同语境下都可以使用，十分灵活。
这些方法在解决相似三角形的问题上给出的结论是可靠的，也吸引了许多学者的关注。
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要判定两个三角形是否相似，因此掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
接下来，我们将介绍相似三角形的判定方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看相似三角形的定义。
两个三角形中，对应的三条边的比值相等，并且对应的角度也相等，那么这两个三角形就是相似的。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的判定方法。
一、AAA相似判定法。
AAA相似判定法是最简单的相似三角形判定方法之一。
当两个三角形的对应角分别相等时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF的对应角分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形就是相似的。
二、AA相似判定法。
当两个三角形的一个角相等，且其对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
三、SAS相似判定法。
SAS相似判定法是指当两个三角形的一个角相等，且两对边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，AC/DF=BC/EF，那么这两个三角形就是相似的。
四、SSS相似判定法。
SSS相似判定法是指当两个三角形的三条边成比例时，这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
以上就是相似三角形的判定方法，通过这些方法，我们可以轻松地判断两个三角形是否相似。
在实际问题中，我们可以根据这些判定方法来解决各种相关的几何问题，例如计算相似三角形的边长比例、求解相似三角形的面积等等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，掌握相似三角形的判定方法对于解题至关重要。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握相似三角形的判定方法，为解决实际问题提供帮助。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似的判定条件
相似的判定条件
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
相似的判定条件 1
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似.).
相似的判定条件 2
1.相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。
2.相似三角形所有对应线段的比值(对应高度、对应中线、对应平分线、外接圆半径、内切圆半径等。
)等于相似比。
3.相似三角形的周长之比等于相似比。
4.相似三角形面积之比等于相似比的平方。
5.相似三角形中内切圆和外接圆的直径比和周长比与相似比相同，内切圆和外接圆的面积比是相似比的平方。
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怎样判定两个三角形相似
如何正确理解与灵活应用有关相似三角形的各种判定方法，具有十分重要的意义，它与“判定两个三角形全等”构成了平面几何问题的两大基本思想体系，也就是说，平面几何中的大量问题，主要依赖于全等形或相似形求解．
1．利用“定义”判定两个三角形相似．
“对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形”．
相似三角形的定义属演绎性定义，又称实质性定义，定义指出这个概念区别于其他概念的主要特征．由于它从“等角”和“比例线段”两个方面在数量关系上作出了明确规定，所以，相似三角形的定义就成为判定两个三角形相似的最基本方法．也是推导其它判定方法的理论依据．(有些演绎性定义不能作为判定方法应用，例如平行线定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，由于无法从其他途径得知两条直线在同一平面内是否相交，故平行线的定义不能用来判定两条直线平行．)
根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似．
如图1，在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′∠B=∠B′
∠C=∠C′
∴△ABC∽△A′B′C′．
这种判定方法正确无疑．但是由于它需要的条件太繁，应用时有不便之感，更主要的是它的实用价值不大．因此，人们不断研究、探讨，努力寻求只需少许条件，便能判定两个三角形相似，然后再利用相似三角形的性质，解决大量的实际问题，这是应具备的科学态度和思想方法．
2．利用“预备定理”判定两个三角形相似．
定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
如图2，若DE∥BC．则△ADE∽△ABC．
显然，定理的题设部分简单易得，只需要一条平行于三角形一边的平行线，即可获得相似三角形．
(1)定理证明的理论依据是“相似三角形的定义”．
(2)定理构成的特点决定了它在判定三角形相似问题中的重要地位．是否能在组合图形中迅速而准确地找到予备定理的基本图形，直接影响着解题思路的顺利进展．
(3)定理所需平行线大致有以下几种来源．
①利用同位角相等，内错角相等或同旁内角互补．
②利用比例线段．
③利用三角形中位线或梯形中位线．
④利用平行四边形对边平行或梯形的两底平行．
⑤结合题目的具体情况添加的辅助平行线．
[例1]已知：如图3，D是AB中点．CF∥AB， G、F、E、D在一条直线上．
分析：由已知CF∥AB，结合图形，应迅速准确地判断出△GCF∽△GAD，
△CEF∽△BED，从而可以获得比例式
再由D是AB中点，易知AD=DB，
证明：略．
求证：FE=FC
证明：略．
3．利用“三角形相似的判定定理”判定两个三角形相似
由以上分析看出，利用“予备定理”判定相似三角形的方法简便易行，但存在着一定的局限性．当题目中不能构成“予备定理”的基本图形时，应考虑利用三角形相似的判定定理．
三角形相似的判定定理不受“予备定理”基本图形的限制，是判定相似三角形的主要方法．首先应熟悉每个定理的题设和结论，牢记每个定理的构成特点．其次是能根据已知条件，配合与之相适应的定理．方能收到事半功倍的效果，特别要注意以下几点．
(1)判定定理1的题设简而明，所以这个定理的应用较为广泛．
当题目中出现一个等角时，应考虑到三种可能性：
①如能继续找到另一对等角，可利用判定定理1；
②如能继续找到等角的夹边成比例，可利用判定定理2；
③如果这对等角是直角，还可考虑用直角三角形相似的判定定理．
(2)判定定理3的题设比较单调，只需对应边的比例关系．所以这个定理的应用不广泛，必须使用时，条件也比较明显．
(3)判定定理2的题设要求比较高，既有等角，又有比例线段．而且必须满足夹等角的边对应成比例，所以使用这个定理时一定要注意落实题设的条件，不可粗心大意．
(4)有关直角三角形相似的判定，除上述定理外，应重视定理“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似”的应用．
[例3]已知：如图5，AC⊥BE于C，EF⊥AB于F，且AF=FB
求证：FC2=FE·FD
分析：欲证FC2=FE·FD，
因为∠CFE=∠DFC是公共角，关键是能否再证出另一对角对应相等．
由AC⊥BE于C，EF⊥AB于F，易证∠E=∠A．
由CF为RtΔABC斜边AB上的中线，得∠A=∠FCD．
进而推出∠E=∠FCD．
根据三角形相似的判定定理1即可获证．
证明：略．
[例4]已知：如图6，∠BAD=∠BCE，∠ABD=∠CBE
求证：ΔABC∽ΔDBE．
分析：由∠ABD=∠CBE，易知∠ABC=∠DBE，但是，若想仿照例3的解法，在ΔABC和ΔDBE中获得另一对等角，却感到十分棘手．此时，应从已知两对角相等的条件，首先考虑到
△ABD∽△BECO（三角形相似判定定理1），借以得到比例式AB BD
AC BE
，从而可根据判定
定理2获证。
证明：略
求证：∠BAD=∠CAE
分析：根据三角形相似的判定定理3，首先证明ΔABC∽ΔADE，利用相似三角形对应角相等，得∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
证明：略．。