关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法

n 阶行列式的定义

n 阶行列式

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

122221112

11=

∑-n

n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)

()1(τ

2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;

3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;

特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;

(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:

(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.

§ 行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

122221112

11=

nn

n

n n n a a a a a a a a a

212221212111；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

如: D=d

c b a =ad-bc , b a d

c =bc-ad= -D

以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

32

2311332112312213a a a a a a a a a ---32

21133123123322113332

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值

等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k

的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）

推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行

列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行

列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列

式值等于零。

性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么

行

列

式

D

等

于

两

个

行

列

式

D 1

和

D 2

的

和

。

nn

n nj n n n j n

j a b a a a a b a a a a b a a a

+++2122222211111211=

nn

nj n n n j n

j a a a a a a a a a a a a 21222221111211+

nn

n n n n n a b a a a b a a a b a a

21222221111211

性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或

另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和(m>2)，则此行列

式等于m 个行列式之和。

一个n 阶行列式，如果它的元素满足：n

j i a a i j j i 2,1,=-=；试证：当n 为奇数时，此行列式为零。

列式。

则称此行列式为对称行；如果满足：定义：行列式),,1,(n j i a a a ji ij ij ==

每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）n D

性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++0

2211

将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：

⎩⎨⎧≠==∑=j i j i D

A a n

k jk k i 0

1 （1）

和

⎩⎨⎧≠==∑=j

i j i D A a n

k kj ki 0

1 （2）

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式

0010020

1

000

00n D n n

=

-

解 D n 中不为零的项用一般形式表示为

1122

11!n n n nn a a a a n ---=.

该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于

(1)(2)

2

n n --，故 (1)(2)

2

(1)

!.n n n D n --=-

2．利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足

,,1,2,

,,ij ji a a i j n =-=

则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即

0,1,2,

,ii a i n ==