6.2函数图象综合性问题(热点题型)·数学中考分类精粹
ɦ６．２㊀函数图象综合性问题ʌ题型概述ɔ函数图象综合题是指综合函数图象㊁几何图形考查数学知识的一类综合性问题．通常是给定直角坐标系,对图象㊁点的坐标或图形性质进行研究．在解决问题时,常需求点的坐标㊁函数解析式．求已知函数解析式的主要方法是待定系数法,求点的坐标的基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)．ʌ典题演示ɔʌ例１ɔ㊀(２０１２ 湖南岳阳)如图(１),两个边长相等的正方形A B C D 和E F G H ,正方形E F G H 的顶点E 固定在正方形A B C D 的对称中心位置,正方形E F G H 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为θ,S 与θ的函数关系的大致图象是(㊀㊀)．(１)㊀(２)ʌ思路点拨ɔ如图(２),过点E 作E M ʅB C 于点M ,E N ʅA B 于点N ．ȵ㊀点E 是正方形的对称中心,ʑ㊀E N ＝E M ．由旋转的性质可得øN E K ＝øM E L ．在R t әE NK 和R t әE M L 中,øN E K ＝øM E L ,E N ＝E M ,øE NK ＝øE M L ,故可得әE NK ɸәE M L ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的１４．ʌ完全解答ɔB ．ʌ归纳交流ɔ本题是一道考查几何图形中动点问题的函数图象的综合题．证明әE NK ɸәE M L ,得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的１４是解答本题的关键．ʌ例２ɔ㊀(２０１２ 江西)某人驾车从A 地上高速公路前往B 地,中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油４０升,到B 地后发现油箱中还剩油４升,则从出发后到B 地油箱中所剩油y (升)与时间t (小时)之间函数的大致图象是(㊀㊀)．ʌ思路点拨ɔ本题考查对函数图象的认识．根据某人驾车从A 地上高速公路前往B 地,中途在服务区休息了一段时间,休息时油量不发生变化,再次出发油量继续减小,即可得出符合要求的图象．ȵ㊀某人驾车从A 地上高速公路前往B 地,中途在服务区休息了一段时间,ʑ㊀休息时油量不发生变化．又㊀再次出发油量继续减小,到B 地后发现油箱中还剩油４升,ʑ㊀只有C 符合要求．ʌ完全解答ɔC ．ʌ归纳交流ɔ本题考查了利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横㊁纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决．ʌ名题选练ɔ一㊁选择题１．(２０１２ 重庆)２０１２年 国际攀岩比赛 在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看,途中发现忘了带门票,于是打电话让妈妈马上从家里送来,同时小丽也往回开,遇到妈妈后聊了一会儿,接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t,小丽与比赛现场的距离为s．下面能反映s与t的函数关系的大致图象是(㊀㊀)．２．(２０１２ 山东日照)洗衣机在洗涤衣服时,每浆洗一遍都经历了注水㊁清洗㊁排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中,洗衣机内的水量y(升)与浆洗一遍的时间x(分)之间函数关系的图象大致为(㊀㊀)．３．(２０１２ 浙江温州)如图,在әA B C中,øC＝９０ʎ,M是A B 的中点,动点P从点A出发,沿A C方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿C B方向匀速运动到终点B．已知P㊁Q两点同时出发,并同时到达终点,连接M P㊁M Q㊁P Q．在整个运动过程中,әM P Q的面积大小变化情况是(㊀㊀)．A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少(第３题)㊀㊀(第４题)４．(２０１２ 辽宁营口)如图,菱形A B C D的边长为２,øB＝３０ʎ．动点P从点B出发,沿B C D的路线向点D运动．设әA B P的面积为y(B㊁P两点重合时,әA B P的面积可以看作０),点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图象大致为(㊀㊀)．５．(２０１２ 辽宁铁岭)如图,▱A B C D的一边长为８,面积为３２,四个全等的小平行四边形对称中心分别在▱A B C D的顶点上,它们的各边与▱A B C D的各边分别平行,且与▱A B C D相似．若小平行四边形的一边长为x,且０＜xɤ８,阴影部分的面积的和为y,则y与x之间的函数关系的大致图象是(㊀㊀)．(第５题)㊀㊀(第６题)６．(２０１２ 黑龙江绥化)如图,点A㊁B㊁C㊁D为☉O的四等分点,动点P从圆心O出发,沿O C－C D︵－D O的路线做匀速运动,设运动的时间为t秒,øA P B的度数为y度,则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间函数关系最恰当的是(㊀㊀)．７．(２０１２ 浙江嘉兴)如图,正方形A B C D的边长为a,动点P第六章㊀综合性问题从点A出发,沿折线AңBңDңCңA的路径运动,回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为x,A P长为y,则y关于x的函数图象大致是(㊀㊀)．(第７题)㊀㊀(第８题)８．(２０１２ 黑龙江佳木斯)如图所示,四边形A B C D是边长为４c m的正方形,动点P在正方形A B C D的边上沿着AңBңCңD的路径以１c m/s的速度运动,在这个运动过程中әA P D的面积S(c m２)随时间t(s)的变化关系用图象表示正确的是(㊀㊀)．９．(２０１２ 北京)小翔在如图(１)所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时３０秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图(２)所示,则这个固定位置可能是图(１)中的(㊀㊀)．(１)㊀(２) (第９题)A．点M B．点NC．点P D．点Q二㊁填空题１０．(２０１２ 江苏苏州)如图(１),在梯形A B C D中,A DʊB C,øA＝６０ʎ,动点P从点A出发,以１c m/s的速度沿着AңBңCңD的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止．已知әP A D的面积S(单位:c m２)与点P移动的时间(单位:s)的函数关系如图(２)所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了㊀㊀㊀㊀秒．(结果保留根号)(１)㊀(２)(第１０题)１１．(２０１２ 湖北荆门)如图(１)所示,E为矩形A B C D的边A D 上一点,动点P㊁Q同时从点B出发,点P沿折线B E E D D C运动到点C时停止,点Q沿B C运动到点C时停止,它们运动的速度都是１c m/s．设P㊁Q同时出发t s 时,әB P Q的面积为y c m２．已知y与t的函数关系图象如图(２)(曲线O M为抛物线的一部分),则下列结论:①A D＝B E＝５;②c o søA B E＝３５;③当０＜tɤ５时,y＝２５t２;④当t＝２９４秒时,әA B EʐәQ B P．其中正确的结论是㊀㊀㊀㊀．(填序号)(１)㊀(２)(第１１题)三㊁解答题１２．(２０１２ 湖南永州)在әA B C中,点P从点B开始出发向点C运动,在运动过程中,设线段A P的长为y,线段B P 的长为x(如图(１)),则y关于x的函数图象如图(２)所示．Q(１,３)是函数图象上的最低点．请仔细观察(１)㊁(２)两图,解答下列问题．(１)(２)(第１２题)(１)请直接写出边A B的长和边B C上的高AH的长; (２)求øB的度数;(３)若әA B P为钝角三角形,求x的取值范围．１３．(２０１２ 江苏徐州)如图(１),A㊁B㊁C㊁D为矩形的四个顶点,A D＝４c m,A B＝d c m．动点E㊁F分别从点D㊁B同时出发,点E以１c m/s的速度沿边D A向点A移动,设点F以１c m/s的速度沿边B C向点C移动,点F移动到点C时,两点同时停止移动．以E F为边作正方形E F G H,点F出发x s时,正方形E F G H的面积为y c m２．已知y 与x的函数图象是抛物线的一部分,如图(２)所示．请根据图中信息,解答下列问题:(１)自变量x的取值范围是㊀㊀㊀㊀;(２)d＝㊀㊀㊀㊀,m＝㊀㊀㊀㊀,n＝㊀㊀㊀㊀; (３)点F出发多少秒时,正方形E F G H的面积为１６c m２?(１)㊀(２)(第１３题)１４．(２０１２ 贵州黔东南)如图,已知抛物线经过点A(－１,０)㊁B(３,０)㊁C(０,３)三点．(１)求抛物线的解析式;(２)点M是线段B C上的点(不与B㊁C重合),过点M作MNʊy轴交抛物线于点N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长;(３)在(２)的条件下,连接N B㊁N C,是否存在m,使әB N C的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．(第１４题)ɦ６．２㊀函数图象综合性问题１．B ㊀２．D ㊀３．C ㊀４．C ㊀５．D ㊀６．C ㊀７．D ㊀８．D ㊀９．D １０．４＋２３㊀１１．①③④１２．(１)当x ＝０时,y 的值即是AB 的长度,故A B ＝２．图(２)函数图象的最低点的y 值是A H 的值,故A H ＝３．(２)在R t әA B H 中,AH ＝３,B H ＝１,t a n B ＝３,故øB ＝６０ʎ．(３)①当øA P B 为钝角时,此时可得x ＜１;②当øB A P 为钝角时,过点A 作A P ʅA B ,(第１２题)则B P ＝A B c o s B,得B P ＝４,即当４＜x ɤ６时,øB A P 为钝角．综上可得０＜x ＜１或４＜x ɤ６时әA B P 为钝角三角形．１３．(１)０ɤx ɤ４;(２)３㊀２㊀２５(３)如图,过点E 作E I ʅB C ,垂足为I ,则四边形D E I C为矩形．ʑ㊀EI ＝D C ＝３,C I ＝D E ＝x ．ȵ㊀B F ＝x ,ʑ㊀I F ＝４－２x ．(第１３题)在R tәEF I 中,E F ２＝E I ２＋I F ２＝３２＋(４－２x )２．ȵ㊀y 是以EF 为边长的正方形E FGH 的面积,ʑ㊀y ＝３２＋(４－２x )２,当y ＝１６时,３２＋(４－２x )２＝１６,整理得４x ２－１６x ＋９＝０,解得x １＝４＋７２,x ２＝４－７２．ȵ㊀点F 的速度是１cm /s ,ʑ㊀点F 出发４＋７２或４－７２秒时,正方形E F G H 的面积为１６c m ２．１４．(１)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋１)(x －３),则a (０＋１)(０－３)＝３,a ＝－１．ʑ㊀抛物线的解析式y ＝－(x ＋１)(x －３)＝－x ２＋２x ＋３．(２)设直线B C 的解析式为y ＝k x ＋b ,则有３k ＋b ＝０,b ＝３．{解得k ＝－１,b ＝３．{故直线B C 的解析式y ＝－x ＋３．已知点M 的横坐标为m ,则M (m ,－m ＋３)㊁N (m ,－m ２＋２m ＋３)．ʑ㊀故MN ＝－m ２＋２m ＋３－(－m ＋３)＝－m ２＋３m(０＜m ＜３)．(３)如图．(第１４题)ȵ㊀S әB N C ＝S әM N C ＋S әM N B ＝１２MN (O D ＋D B )＝１２MN O B ,ʑ㊀S әB N C ＝１２(－m ２＋３m )３＝－３２m －３２()２＋２７８(０＜m ＜３)．ʑ㊀当m ＝３２时,әB N C 的面积最大,最大值为２７８．。
人教版数学中考专题复习《函数图象及其解析式》知识点及经典考题归纳
人教版初中数学中考专题复习《函数图象、解析式、图形变换》第1课时 函数图象及其函数解析式求法姓名： 班级：一、函数图象1、正比例函数图象：（1）一般形式：)0(≠=k kx y ，（2）图象画法：两点法. （3）图象：①时的图象＞0k ： ②时的图象＜0k ：特点：经过原点， 特点：经过原点， 从左往右“上坡”. 从左往右呈“下坡”.2、一次函数图象：（1）一般形式：)0(≠+=k b kx y ，（2）图象画法：两点法. （3）图象：①时的图象＞，＞00b k ，特点：从左往右“上坡”， 交轴y 于正半轴.经过第一、二、三象限.②时的图象＜，＞00b k ：特点：从左往右“上坡”， 交轴y 于负半轴.经过第一、三、四象限. ③时的图象＞，＜00b k ：从左往右“下坡”， 交轴y 于正半轴.经过第一、二、四象限.④时的图象＜，＜00b k ：从左往右“下坡”，交轴y 于负半轴.经过第二、三、四象限.3、反比例函数图象：（1）一般形式：)0(≠=k xky ， （2）图象画法：描点法.（3）图象：①时的图象＞0k ：特点：图象有两支，分别在第一三象限. ②时的图象＜0k ：特点：图象有两支，分别在第二、四象限.（4）比例系数k 的几何意义：PON POM PMON S 2S 2△△矩形===S k 如下图所示：3、二次函数图象：（1）一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y ，（2）图象画法：描点法.（3）顶点坐标公式)44,2(2ab ac a b --（4）对称轴：直线a b x 2-=（5）图象：二、函数解析式的求法1、一次函数、正比例函数解析式的求法：2、反比例函数解析式的求法：3、二次函数解析式的求法：在求二次函数解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式: ①已知抛物线上的三点坐标时，设一般式来求解②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为）0≠a 常数，c b,a,（y 2c bx ax ++=一般式：③当已知抛物线与x 轴的两个交点 ()()0,,0,21x x 时，可设函数的解析式为考点：一.函数图象综合考题（选择题）二.函数与不等式、方程（选择题、填空题、解答题） 三.二次函数图象与系数的关系（选择题、填空题） 四.求函数解析式（解答题）考点一.函数图象综合考题例1(2015黔东南州第8题4分)若ab<0，则正比例函数y ＝ax 与反比例函数x by =在同一坐标系中的大致图象可能是( )例2(2016黔东南州6题4分)已知一次函数和反比例函数xb y =2的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=23的大致图象是( )）k h,顶点坐标为（）0≠a 常数，k h,a,（)(2k h x a y +-=顶点式：）0a 轴交点的横坐标，x 为抛物线与,))((2121≠--=x x x x x x a y （交点式：小试牛刀：1.(2016铜仁第8题4分)如图，在同一直角坐标系中，函数x ky =与22kkx y +=的大致图象是( )2.(2021黔东南州中考模拟第8题4分)二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则一次函数y=ax+c 与反比例函数x b y =在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )3.(2020黔南州14题3分)函数y ＝x －1的图象一定不经过第________象限．4.(2020黔西南州15题3分)如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________________．考点二.函数与不等式、方程例3(2017黔南州15题4分)一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则不等式kx ＋b<0的解集为______________．例4如图，已知直线b kx y +=1与抛物线c bx ax y ++=22相交于A(1，3)和B(4，6)，则方程c bx ax b kx ++=+2的解为___________，不等式c bx ax b kx ++≥+2的解集为______________，不等式21y y ＜的解集为_________.归纳：1、函数与方程：对应方程的解是函数图象交点的横坐标；2、函数与不等式：找交点，分区间，符号上下莫跑偏. 一试牛刀：1、(2019三州联考19题3分)如图所示，一次函数y ＝ax ＋b(a 、b 为常数，且a>0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax ＋b<1的解集为___________．2、如图，已知正比例函数x k y 1= 的图象与一次函数b x k y +=2的图象相交于点P.则方程b x k x k +=21的解为________，不等式b x k x k +≤21的解集为________．考题三.二次函数图象与系数的关系一试牛刀：1、 (2020毕节14题3分)已知)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，若21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，且21x x ＜，－1<1x <0，则下列说法正确的是( ) A. 021＜x x + B. 4<2x <5C. 042＜ac b -D. 0＞ab2、(2019安顺10题3分)如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA ＝OC.则由抛物线的特征写出如下结论：① abc ＞0；② 042＞b ac -；③ a －b ＋c ＞0；④ ac ＋b ＋1＝0.其中正确的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个3、(2017黔东南州9题4分)如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线x ＝－1，给出下列结论：①ac b 42=；②abc>0；③a>c ；④4a －2b ＋c>0，其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、(2015黔东南州10题4分)如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，给出以下四个结论①abc＝0；②a＋b ＋c>0；③a>b；④ 042＜b ac -.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点四.求函数解析式例1（2020黔西南州26（1））已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)交x 轴于点A (6，0)和点B (－1，0)，交y 轴于点C.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A (6，0)，B (－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧36a ＋6b ＋6＝0，a －b ＋6＝0.(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5.(2分)∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋5x ＋6.(3分) y ＝－x 2＋5x ＋6＝－(x －52)2＋494，∴抛物线的顶点坐标为(52，494)；(4分)例2. (2015黔东南州22题)如图，已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限相交于点A (1，－k ＋4)．(1)试确定这两个函数的表达式；(1)求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并求△AOB 的面积． 解：(1)∵点A (1，－k ＋4)在反比例函数y ＝kx 的图上，∴－k ＋4＝k ，解得k ＝2.∴反比例函数解析式为y ＝2x ，点A 的坐标为(1，2)．将点A (1，2)代入一次函数y ＝x ＋b 得b ＝1. ∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝－1，∴点B 的坐标为(－2，－1)．对于直线y ＝x ＋1，令y ＝0得x ＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，0)． ∴S △ABO ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·|y A |＋12OC ·|y B |＝12×1×2＋12×1×1＝32.一试牛刀：1、（2019黔三州联考26题（1））已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1) 抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________；2、（2017年黔西南州26题（1））如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋74经过A (1，0)，B (7，0)两点，交y 轴于D点，以AB 为边在x 轴上方作等边△AB C. (1)求此抛物线的解析式；。
初中函数及其图象热点专项
热点专题三 函数及其图象【考点聚焦】函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．【热点透视】热点1：通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系例1 （1）（2008郴州）点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________．（2）（2007常德）若反比例函数k y x=的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为_____． 分析：（1）将点(24)，代入2y kx =+．（2）将点的坐标直接代入可以求出 k 值． 解：（1）1k =；（2）2y x=-． 点评：直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查．热点2：重视对函数图象及性质的考查例2 （1）（2008怀化）均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是（ ）（2）（2008长沙）星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y （千米）与时间x （分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ）（A）小王去时的速度大于回家的速度（B）小王在朋友家停留了10分钟（C）小王去时所花的时间少于回家所花的时间（D）小王去时走上坡路，回家时走下坡路解答：（１）（Ａ）；（２）（B）．点评：本例以实际生活为背景，用分段函数来描述实际问题，在加强对函数图象的识图能力和分析问题能力的考查的同时，也引导同学们平时关注生活中蕴含的数学问题．这样的题目，既突出了函数的基础性功能，又突出了它的应用性功能，对改进和完善中考数学命题具有积极的启示作用．热点3：重视对函数知识实际应用的考查例3今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图3所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题：（1）点Ｂ的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h，点B的纵坐标300的意义是____________．（2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（单位：km）与时间t（单位：h）的函数图象．（3）若普通快车的速度为100km/h；①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围．②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇．③直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．解：（1）晚0.5，甲、乙两城相距300km．（2）如图4：（3）①设直线BC 的解析式为s kt b =+．∵(0.5300)B ，，(3.50)C ，，∴ 3.500.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得100350k b =-⎧⎨=⎩． ∴100350s t =-+．自变量t 的取值范围是0.5≤t ≤3.5．②解法1：设直线MN 的解析式为11s k t b =+．∵(10)M ，，(3300)N ，，∴111103300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得11150150k b =⎧⎨=-⎩． ∴150150s t =-．由①可知直线BC 的解析式为100350s t =-+．∴150150100350t t -=-+．解得2t =． ∴211-=．解法2：设直线MN 的解析式为1150s t b =+．∵点M 在直线上，∴101501b =⨯+．解得1150b =-．∴150150s t =-．∴100350150150t t -+=-．解得2t =．解法3：设第二列动车组列车出发x 小时后与普通列车相遇，根据图中信息，得150100(0.5)300x x ++=．解得1x =．答：第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇．③35小时（或36分钟）．点评：对函数应用性问题的重视，一方面体现了初、高中数学知识衔接的需要，另一方面体现了数学新课程基本理念的要求，本例在这方面起到很好的导向作用，中考复习时应当着力把握这方面的动态．热点4：重视对函数知识与其它知识的综合考查例4 （2008衡阳）如图5，在等腰三角形ABC 中，5AB AC ==cm ，6BC =cm ，AD BC ⊥，垂足为点D ．点P Q ，分别从B C ，两点同时出发，其中点P 从点B 开始沿BC 边向点C 运动，速度为1cm/s ，点Q 从点C 开始沿CA 边向点A 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）．（1）当x 为何值时，将PCQ △沿直线PQ 翻折180，使C 点落到C '点，得到的四边形CQC P '是菱形？（2）设PQD △的面积为y （2cm ），当0<x <2.5时，求y 与x 的函数关系式．（3）当0<x <2.5时，是否存在x ，使得PDM △与MDQ △的面积比为5:3，若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）6PC x =-，2CQ x =，要使四边形CQC P '是菱形，则PC CQ =． 即62x x -=，得2x =．当2x =时，四边形CQC P '是菱形．（2）过点Q 作QE BC ⊥，垂足为E ，∵5AB AC ==cm ，6BC =cm ，AD BC ⊥，∴4AD ==（cm ）．∵QE AD ∥，∴QEC ADC △∽△， ∴QE CQ AD CA =，即245QE x =，∴85QE x =． 又3PD x =-，∴118(3)225y PD QE x x ==- ， 即2412(0 2.5)55y x x x =-+<<． （3）存在．理由如下：过点Q 作QF AD ⊥，垂足为F ，∵:5:3PDM MDQ S S =△△，∴:5:3PD QF =．在Rt QEC △中，65EC x ==，635QF DE x ==-， （也可由Rt Rt AFQ ADC △∽△，求得QF ）．∴35335x x -=-，解得2x =． ∴当2x =时，:5:3PDM MDQ S S =△△．例5（2008怀化）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形AOB 和CED 按图6所示的位置放置，A 与C 重合，O 与E 重合．（1）求图6中，A B D ，，三点的坐标．（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图7所示的位置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由． 分析：（1）略（2）应分两种情况进行讨论，一是0≤x ＜3时，求y 与x 之间的函数关系式；二是3≤x ≤6时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）计算：4x =时，A G C ，，三点的坐标，代入抛物线解析式．（4）先可假设⊙P 与坐标轴相切，进而求出此时点P 的坐标．解：（1）(06)(60)(60)A B D -，，，，，．（2）当０≤x <3时，位置如图8所示，作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =，62DO x =-，6DH x =-，∴22()GHD IOD IOHG y S S S ==-△△梯形22221132(6)(62)26312222x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=---=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当3≤x ≤6时，位置如图9所示．可知：12DB x =-，2122DGB y S DB ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭△221(122)123622x x x ⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦． ∴y 与x 的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤ （3）图7中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=，∴122GH DH DB ===，1666242OH HB DB =-=-=-=． ∴可知：(06)(42)(86)A G C ，，，，，．∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+． （4）假设P 在运动过程中，存在P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，， 当P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，∴1(211)P -，．由02x =，得03y =，∴2(23)P ，．当P 与x 轴相切时，有02y =，∵21(4)204y x =-+>，∴02y =，得：04x =，∴3(42)P ， 综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：123(211)(23)(42)P P P -，，，，，． 例6 （2008湘潭）某中学要印制期末考试卷，甲印刷厂提出：每套试卷收0.6元印刷费，另收400元制版费；乙印刷厂提出：每套试卷收1元印刷费，不再收取制版费．（1）分别写出两个厂的收费y （元）与印刷数量x （套）之间的函数关系式；（2）请在图10的直角坐标系中，分别作出（1）中两个函数所在的直线；并根据图象回答：印800套试卷，选择哪家印刷厂合算？若学校有学生2 000人，为保证每个学生均有试卷，那么学校至少要付出印刷费多少元？（3）从图象上你还获得了哪些信息．（写一条与（2）中不同的信息即可）分析：（1）分别写出函数关系式．（2）作出函数图象时应注意自变量x 的取值范围．（3）从图象中获取信息，应紧紧围绕试题所提出的数学问题来回答．解：（1）4000.6y x =+甲；y x =乙．（2）如图11：由图象可知：印800套，选择乙厂，印2000套至少要1 600元．（3）当印1 000套时，不论哪个印刷厂都付出一样多的钱；当超过1 000套时，选甲厂印刷合算；当小于1 000套时，选乙厂印刷合算；或者y乙是正比例函数；。
函数的综合应用题型总结-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
函数的综合应用题型总结题型解读|模型构建|通关试练本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位.一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论.反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等.二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力.二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结.模型01一次函数的性质与应用一、一次函数的图象与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四一次函数y =kx +b (k ≠0)当b =0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k >0时，图象过一三象限，k <0时图象过二四象限.二、一次函数的应用1．主要题型：(1)求相应的一次函数表达式；(2)结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第(2)种方法更简单快捷．模型02反比例函数的性质与应用一、反比例函数的图象与性质反比例函数y =kxk ≠0 的图象是由两个分支组成的曲线，双曲线y =kx(k ≠0)图象k ＞0k ＜0位于第一、三象限位于第二、四象限自变量x 的取值范围x ＜0增减性在其每一象限内，y 随x 的增大而减小在其每一象限内，y 随x 的增大而增大中心对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点轴对称性反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线y =±x二、反比例函数y =kx(k ≠0)的几何意义：S Rt△AOP=k2S矩形AOBP=k三、反比例函数的应用：反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分.模型03二次函数的图象性质应用(最值问题、交点问题、存在性问题)二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．2．二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：配方：二次函数y=ax2+bx+c=a x+b2a2+4ac-b24aa的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性a>0向上-b2a，4ac-b24ax=-b2ax>-b2a时，y随x的增大而增大；x<-b2a时，y随x的增大而减小；x=-b2a时，y有最小值4ac-b24a．a<0向下-b2a，4ac-b24ax=-b2ax>-b2a时，y随x的增大而减小；x<-b2a时，y随x的增大而增大；x=-b2a时，y有最大值4ac-b24a．4．二次函数顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性a>0向上(h，k)x=h x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下(h，k)x=h x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．模型04二次函数的实际应用二次函数的实际应用以顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们认真、细致.模型01一次函数的性质与应用考|向|预|测一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.答|题|技|巧第一步：审题.认真读题，分析题中各个量之间的关系；第二步：找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；第三步：列函数.根据各个量之间的关系列出函数；第四步：求解，求出满足题意的数值.1(2023·广东)如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k1x，y2=k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是()A.k1>0，k2<0B.k1<0，k2>0C.|k1|<|k2|D.|k1|>|k2|【答案】C【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m<0，的两个点A和B，则A(m,k1m)，B(m,k2m)，∵k1m<k2m，∴k1>k2，当取横坐标为正数时，同理可得k1>k2，∵k1<0，k2<0，∴|k1|<|k2|，故选：C2(2023·新疆)表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是()A. B. C. D.【答案】A【详解】解：对于A、B，由一次函数的图象可知，m<0,n>0，所以mn<0，正比例函数应该经过第二、四象限，故A正确，B错误；对于C，由一次函数的图象可知，m>0,n>0，所以mn>0，正比例函数应该经过第一、三象限，故C错误；对于D，由一次函数的图象可知，m>0,n<0，所以mn<0，正比例函数应该经过第二、四象限，故D错误．故选A ．例3．(2023·江苏)快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h ．两车之间的距离y km 与慢车行驶的时间x h 的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A 的实际意义；(2)求出图中线段AB 所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km (2)y =-70x +330(3)2.8小时【分析】(1)根据点A 的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；(2)根据题意得出B 3.5,85 ，进而待定系数法求解析式，即可求解；(3)先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．【详解】(1)解：根据函数图象，可得点A 的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km(2)解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min ，则点B 的横坐标为3+12=3.5，此时慢车继续行驶12小时，则快车与慢车的距离为120-70×12=120-35=85，∴B 3.5,85设直线AB 的表达式为y =kx +b ∴85=3.5k +b 120=3k +b解得：k =-70b =330 ∴直线AB 的表达式为y =-70x +330(3)解：设快车去乙地的速度为a 千米/小时，则3a -70 =120，解得：a =110∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，设快车返回的速度为v 千米/小时，根据题意，12×v +70 =330-3+12 ×70解得：v =100，∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需330-12×100100=2.8(小时)模型02反比例函数的性质与应用考|向|预|测反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分.从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！答|题|技|巧第一步：根据图象特点求解反比例的表达式；第二步：判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；第三步：求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算.1(2023·江苏)反比例函数y =kxk <0 ，当1≤x ≤3时，函数y 的最大值和最小值之差为4，则k 的值为()A.-3 B.-4C.-5D.-6【答案】D 【详解】解：∵k <0∴反比例函数y =kx(k ≠0)的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∵当1≤x ≤3时，函数y 的最大值和最小值之差为4，∴k 3-k 1=-2k 3=4，解得：k =-6．故选：D2(2023·上海)如图是反比例函数y =k 1x ，y =k 2x在x 轴上方的图像，平行四边形OABC 的面积是5，若点A 在x 轴上，点B 在y =k1x 的图像上，点C 在y =k 2x的图像上，则k 2-k 1的值为．【答案】-52【详解】解：如图所示，连接BO ，∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形OABC的面积是5，点B在y=k1x的图像上，点C在y=k2x的图像上，∴S▱ABCD=2S△BCO=2k1-k2=5∴k2-k1=-52故答案为：-52．模型03二次函数的图象性质应用考|向|预|测二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例.答|题|技|巧第一步：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；第二步：用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；第三步：结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，第四步：结合其它相关知识解题；1(2023·河南)对于二次函数y=2x+12+2的图象，下列说法错误的是()A.开口向上B.顶点坐标是-1,2C.当x>-1时，y随x的增大而增大D.对称轴是直线x=1【答案】D【详解】解：A、a=2>0，开口向上，故A说法正确，不合题意；B、顶点坐标为-1,2，故B说法正确，不合题意；C、当x>-1时，抛物线右侧部分，y随x的增大而增大，故C说法正确，不合题意；D、抛物线对称轴为x=-1，故D说法错误，符合题意；故选：D．2(2023·浙江)设函数y1=-(x-m 2，y2=-(x-n)2，直线x=1与函数y1,y2的图象分别交于点A1,a1，B1,a2，得()A.若1<m<n，则a1<a2B.若m<n<1，则a1<a2C.若m<1<n，则a1<a2D.若m<n<1，则a2<a1【答案】B【详解】解：如图所示，若1<m<n，则a1>a2，故A选项错误；如图所示，若m<1<n，则a1>a2或a1<a2，故C选项错误；如图所示，若m<n<1，则a1<a2，故B选项正确，D选项错误；故选：B3(2023·江苏)已知二次函数y=x2的图象与直线y=x+2的图象如图所示．(1)判断y=x2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y=x+2与抛物线y=x2的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．【答案】(1)抛物线y=x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为0,0(2)A点坐标为2,4，B点坐标为-1,1(3)3【详解】(1)抛物线y=x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为0,0；(2)由题意得x2=x+2，即x2-x-2=x+1x-2=0，解得x=2或x=-1，则y=4或y=1，∴A点坐标为2,4，B点坐标为-1,1；(3)∵y=x+2与y轴交点的坐标为0,2，∴△AOB的面积=12×2×1+12×2×2=3．模型04二次函数的实际应用考|向|预|测二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误.答|题|技|巧第一步：理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；第二步：根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；第三步：根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算.1(2024·江苏扬州·一模)冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y =-124x 2+12x +20≤x ≤16 ，当他与跳台边缘的水平距离为m 时，竖直高度达到最大值．【答案】6【详解】解：∵运动员的竖直高度y 与x 的函数关系式为y =-124x 2+12x +20≤x ≤16 ，图象是一段开口向下的抛物线，对称轴为：x =-b 2a =-12-2×124=6，在区间0≤x ≤16内，∴当x =6，竖直高度y 达到最大值．故答案为：6．2(2024·贵州黔东南·一模)小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m ，小明从点A 8,2 处将球传出，其运动路线为抛物线C ₁∶y =a x -4 ²+4的一部分，小亮在B 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线C 2∶y =-110x 2+n 10x +52的一部分．(1)求抛物线C 1的函数表达式；(2)设抛物线C 1的顶点为点M ，在x 轴上找一点P ，求使PA -PM 的值最大的点P 的坐标；(3)若小明在x 轴上方2m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到球，求符合条件的n 的整数值．【答案】(1)y =-18(x -4)2+4(2)P 坐标为12,0(3)符合条件的n 的整数值为7，8【详解】(1)解：∵点A 8,2 在抛物线C 1:y =a (x -4)2+4上，∴a (8-4)2+4=2，解得a =-18，∴抛物线的表达式为y =-18(x -4)2+4；(2)解：直线AM 与x 轴的交点就是所求的点P ，如图所示：∵y =-18(x -4)2+4的顶点M 的坐标为4,4 ，设直线AM 的解析式为y =kx +b ，∵A 8,2 ,M 4,4 ，∴8k +b =24k +b =4 ，解得k =-12b =6 ，∴直线AM 的解析式为y =-12x +6，∵当y =0时，解0=-12x +6得x =12，即直线AM 与x 轴的交点为12,0 ，∴点P 坐标为12,0 ；(3)解：∵小明在x 轴上方2m 的高度上，且到点A 8,2 水平距离不超过1m 的范围内可以接到球，∴设接球点为点Q ，点Q 坐标为x ,2 ，如图所示：则7≤x ≤9，把7,2 代入C 2:y =-110x 2+n 10x +52，得-110×49+n 10×7+52=2，解得n =447；把9,2 代入C 2:y =-110x 2+n 10x +52，得-110×81+n 10×9+52=2，解得n =769；∴447≤n ≤769，∴符合条件的n 的整数值为7，8．1(2023·四川)在平面直角坐标系中，已知A 0,2 ，B 0,4 ，若把直线y =x -2向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点，则k 的取值范围是()A.4≤k ≤6B.4<k ≤6C.3≤k ≤5D.1≤k ≤3【答案】A【详解】解：直线y=x-2向上平移k个单位后得到y=x-2+k，若直线y=x-2向上平移k个单位后与线段AB有交点A0,2，B0,4，则2≤-2+k≤4，解得4≤k≤6，故选：A．2(2023·南京)已知点A-1,y1，B2,y2，C3,y3都在反比例函数y=kx(k<0)的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y3<y1<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1【答案】D【详解】解：∵k<0，∴反比例函数y=kxk<0的图象经过第二、四象限，∴在每一个象限中，y随x的增大而增大，∵2<3，点B2,y2，C3,y3在第四象限，∴0>y3>y2，∵点A-1,y1在第二象限，∴y1>0，∴y2<y3<y1，故选：D．3(2023·贵州)在反比例函数y=k-1x的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2-kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为()A.y=-3x B.y=3xC.y=-5xD.y=1x【答案】B【详解】解：∵在反比例函数y=k-1x的图象的每一支上，y都随x的增大面减小∴k-1>0，则k>1，∵整式x2-kx+4可以用完全平方公式进行因式分解．∴-k=2×1×2=±4，则k=±4，故k=4，∴该反比例函数的表达式为y=k-1x =3 x．故选：B．4(2023·湖南)二次函数y=a x-m2-k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是()A.m <0，k <0B.m >0，k >0C.m >0，k <0D.m <0，k >0【答案】A【详解】解：由函数图象知，二次函数的图象顶点在第二象限，∵顶点坐标为m ，-k ，∴m <0，-k >0，∴m <0，k <0，故选：A ．5(2023·安徽)如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°,AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A -B -C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为()A. B.C. D.【答案】D【详解】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°-60°=30°,∴AN =12AQ =12×2x =x ，∴QN =AQ 2-AN 2=3x ，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×3x =32x 2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM =12AB =12×4=2，∴BM =AB 2-AM 2=23，∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD ,CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM =23,y =12AP ⋅QN =12x ×23=3x ，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx +b (k ≠0)与x 轴交于点-2,0 ，与y 轴交于点0,1 ，则不等式kx +b >0的解集为．【答案】x >-2/-2<x【详解】解：∵直线y =kx +b 与x 轴交于点-2,0 ，与y 轴交于点0,1 ，∴根据函数图象可知，不等式kx +b >0的解集是x >-2．故答案为：x >-2．7(2023·甘肃)若点A a ,b 是正比例函数y =kx 图象上的一点，且a ≠0，2a +b =0，则k 的值为．【答案】-2【详解】解：∵点A a ,b 是正比例函数y =kx 图象上的一点，∴ak =b ，∵2a+b=0，∴b=-2a，∴k=-2，故答案为：-2．8(2023·福建)已知y=m-2x m -1+3是关于x的一次函数，则m=．【答案】-2【详解】解：函数y=m-2x m -1+3是关于x的一次函数，则m-2≠0，m-1=1，解得m=-2，故答案为：-2．9(2023·上海)在平面直角坐标系中，直线l：y=x-1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1 C1O、正方形A2B2C2C1，、⋯、正方形A n B n C n C n-1，使得点A1、A2、A3⋯在直线l上，点C1、C2、C3⋯在y轴正半轴上，则△A2023A2024B2023的面积是．【答案】24043【详解】解：观察，发现：A1(1,0)，A2(2,1)，A3(4,3)，A4(8,7)，A5(16,15)，A6(32,31)，⋯，∴A n2n-1,2n-1-1(n为正整数)．观察图形可知：点B n是线段C n A n+1的中点，∴点B n的坐标是2n-1,2n-1，A n2n-1,2n-1-1(n为正整数)，∴△A n A n+1B n的面积是12(2n-1)2=22n-3，∴△A2023A2024B2023的面积=22×2023-3=24043，故答案为：24043．10(2023·山东)如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是16，cos∠OAC=34，则k=．【答案】-9【详解】解：∵矩形OABC的面积是16，cos∠OAC=3 4，∴S△AOC=12×16=8，AOAC=34，∵AC∥x轴，∴∠ADO=90°，∵矩形OABC，∴∠AOC=90°，∴∠ADO=∠AOC，又∵∠DAO=∠OAC，∴△AOD∽△ACO，∴S△AODS△ACO=AOAC2∴S△AODS△ACO=916，∴S△AOD=916×8=92，∵k =2S△AOD=9，反比例函数图象在第二象限，∴k=-9．故答案为：-9．11(2023·江苏)函数y=x2-2ax-2在-1≤x≤4有最小值-5，则实数a的值是．【答案】-2或3【详解】解：∵y=x2-2ax-2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--2a2×1=a，当a≤-1时，则x=-1时，函数有最小值-5，∴此时y=1+2a-2=-5，解得a=-2；当a≥4时，则x=4时，函数有最小值-5，∴此时y=16-8a-2=-5，解得a=198(不合题意，舍去)；当-1<a<4时，则x=a时，函数有最小值-5，∴此时y=a2-2a2-2=-5，解得a1=3，a2=-3(舍去)，综上，实数a的值是-2或3，故答案为：-2或3．12(2023·安徽)在平面直角坐标系xOy中，点A-3,2，B1,1，C0,4．(1)求直线AB的解析式；(2)一次函数y=ax+3a+2(a为常数)．①求证：一次函数y =ax +3a +2的图象一定经过点A ；②若一次函数y =ax +3a +2的图象与线段BC 有交点，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)y =-14x +54(2)①见解析；②-14≤a ≤23且a ≠0【详解】(1)解：设过AB 的直线的解析式为y =kx +b k ≠0 ，∵A -3,2 ，B 1,1 ，∴-3k +b =2k +b =1 ，解得k =-14b =54，∴直线AB 的解析式y =-14x +54；(2)①证明：把x =-3代入y =ax +3a +2得，y =2，∴图象必经过点A -3,2 ；②解：一次函数y =ax +3a +2的图象与线段BC 有交点，把B 1,1 代入直线得：1=a +3a +2，∴a =-14，把C 0,4 代入直线得：4=3a +2，∴a =23，当a =0时，y =ax +3a +2不是一次函数，综上：a 的取值范围为：-14≤a ≤23且a ≠0．13(2023·黑龙江)在一条平坦笔直的道路上依次有A ，B ，C 三地，甲从B 地骑电瓶车到C 地，同时乙从B 地骑摩托车到A 地，到达A 地后因故停留1分钟，然后立即掉头(掉头时间忽略不计)按原路原速前往C 地，结果乙比甲早2分钟到达C 地，两人均匀速运动，如图是两人距B 地路程y (米)与时间x (分钟)之间的函数图象．请解答下列问题：(1)填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；(2)求图象中线段FG 所在直线表示的y (米)与时间x (分钟)之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．【答案】(1)300，800(2)y =800x -2400(3≤x ≤6)(3)611分钟，185分钟，6分钟【详解】(1)解：由题意可得：乙的速度为：(800+800)÷(3-1)=800米/分钟，∴乙到达C 地的时间为：3+2400÷800=6分钟，∴甲到达C 地的时间为：6+2=8分钟，∴甲的速度为：2400÷8=300米/分钟，故答案为：300，800；(2)解：由(1)可知G (6，2400)，设直线FG 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，∵y =kx +b 过F (3，0)，G (6，2400)两点，∴3k +b =06k +b =2400 ，解得：k =800b =-2400 ，∴直线FG 的解析式为：y =800x -2400，自变量x 的取值范围是3≤x ≤6；(3)解：设出发t 分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，①乙从B 地到A 地时，两人相距600米，由题意得：300t +800t =600，解得：t =611；②乙从A 地前往C 时，两人相距600米，由题意得：300t -800(t -3)=600或800(t -3)-300t =600，解得：t =185或6，答：出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．14(2023·吉林)如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =kx的图象(x >0)经过点A (2,m )，过A 作x 轴的垂线AB ，垂足为B ，且△OAB 的面积为1．(1)求m 和k 的值；(2)若点C (x ,y )也在这个函数的图象上，当1≤x ≤3时，求y 取值范围【答案】(1)m =1，k =2；(2)23≤y ≤2．【详解】(1)解：∵A (2,m )，∴OB =2，AB =m ，∴S△AOB=12⋅OB⋅AB=12×2×m=1，∴m=1；∴点A的坐标为(2,1)，把A(2,1)代入y=k x，解得k=2；(2)解：∵当x=1时，y=2；当x=3时，y=23，∴当1≤x≤3时，y的取值范围为23≤y≤2．15(2023·广西)如图，一次函数y=k1x+b k1≠0的图象与反比例函数y=k2xk2≠0的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为-2,1，点B的坐标为1,n．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足k1x+b>k2x的取值范围；(3)求△ABO的面积；【答案】(1)反比例函数关系式为y=-2x，一次函数关系式为：y=-x-1；(2)x<-2或0<x<1；(3)32．【详解】(1)解：∵图象过点A-2,1，则1=k-2，解得：k=-2，∴反比例函数关系式为y=-2x，当x=1时，y=-2，∴B点坐标为1,-2，设一次函数关系式为y=kx+b,则-2k+b=1 k+b=-2 ，解得：k=-1 b=-1，∴一次函数关系式为：y=-x-1；(2)解：由图象得，当x<-2或0<x<1时，一次函数的值大于反比例函数的值；(3)解：设直线AB与x轴的交点为C，由(2)知，y =-x -1，令y =0，则x =-1，即OC =1．则S △ACB =S △ACO +S △BCO =12×1×1+12×1×2=32.16(2023·河南)高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC ，上部近似为一条抛物线．已知OA =10米，AB =1米，高速隧道的最高点P (抛物线的顶点)离地面OA 的距离为10米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E ，F ，若平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，则点E 与隧道左壁OC 之间的距离为多少米？【答案】(1)y =-925x 2+185x +1(2)点E 与隧道左壁OC 之间的距离为103米．【详解】(1)解：由题意可得：C 0,1 ，P 5,10 ，B 10,1 ，设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，则有：1=c 10=25a +5b +c 1=100a +10b +c，解得：a =-925b =185c =1，∴y =-925x 2+185x +1．(2)解：∵平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，矩形OABC 且AB =1，∴点E 到x 轴的距离为9且在第一象限，∴点E 的纵坐标为9，∴9=-925x 2+185x +1，解得：x =103或x =403>5(舍去)．∴点E 与隧道左壁OC 之间的距离为103米．1(2024·广西桂林·一模)一次函数y=x-3的图象不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【详解】解：∵一次函数y=x-3，k=1>0，b=-3<0，∴一次函数y=x-3的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选B．2(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列判断中正确的是()A.k>0，b<0B.方程kx+b=0的解是x=-3C.当x>-3时，y<0D.y随x的增大而减小【答案】B【详解】解：∵图象过一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，∴k>0，b>0，故A错误，不符合题意；∵图象与x轴交于点-3,0，∴方程kx+b=0的解是x=-3，故B正确，符合题意；由图知，当x>-3时，y>0，故C错误，不符合题意；∵k>0，∴y随x的增大而增大；故D错误，不符合题意；故选：B．3(2024·湖南长沙·一模)对于二次函数y=x2-12x+42，有以下结论：①当x>5时，y随x的增大而增大；②当x=6时，y有最小值6；③图像与x轴有两个交点；④图像是由抛物线y=x2向左平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的．其中结论错误的有()A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④【答案】B【详解】解：∵二次函数y=x2-12x+42=x-62+6，∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图像开口向上，当5<x<6时，y随x的增大而减小，当x>6时，y随x的增大而增大，故①符合题意；当x=6时，y有最小值6，故②不符合题意；当y=x2-12x+42=0时，-122-4×42=144-168<0，则该方程无实数根，∴二次函数的图像与x轴无交点，故③符合题意；图像是由抛物线y=x2向右平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，故④符合题意．故选：B．4(2024·广东东莞·一模)将抛物线y=x2+2的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，得到的抛物线的解析式为()A.y=x+22+32+1 D.y=x-2 2+3 B.y=x+22+1 C.y=x-2【答案】C【详解】根据二次函数图象的平移规律，得y=x-22+1，2+2-1=x-2故选：C．5(2024·甘肃天水·一模)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k<0；②a>0；③当x<3时，y1<y2；④方程kx+b=x+a的解是x=3．其中正确的是(把序号填写在横线上)【答案】①④/④①【详解】∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，∴k<0，故①正确；∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，∴a<0，故②错误；当x<3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，∴y1>y2，故③错误；∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象交点横坐标为3，∴方程kx+b=x+a的解是x=3．故④正确．故答案为①④．6如图所示，在同一个坐标系中一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为-2,0，点B坐标为5,0，观察图象并回答下列问题：。
函数的图像知识点及题型归纳总结
函数的图像知识点及题型归纳总结知识点精讲一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①i:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； ii:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；iii: 函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②i:若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；ii: 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a ）和图2-21（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图2-21（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 题型归纳及思路提示题型1 由式选图（识图） 思路提示利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案例2.70 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2xy =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A . 解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22xy x =-的AxOxyO y xx yO O y BCD零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22x x >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .变式1 函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图像是（）变式2 在同一坐标系中画出函数log ,,xa y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是（）变式3 函数2y ax bx =+与log ,0,b ay x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图像可能是（）变式4（2012新课标全国卷10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）题型2 函数图像的应用 思路提示1利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例2.71函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D解析令0.5()2log 10xf x x =-=可得0.51log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()log g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在同一坐标系下分别画出函数(),()g x h x 的图像，如图2-23所示.可以发现两个函数一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.故选B .变式1 已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是变式2 直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是变式3 函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（）.3A .2B .1C .0D变式4 设定义域为R 的函数lg 1(1)()0(1)x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（）.00Ab c <>且.00B b c ><且.00C b c <=且.00Db c ≥=且变式5 设定义域为R 的函数1251(0)()44(0)x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程[]22()2()0f x mxf x m -+=有7个不同实数解，则m =思路提示2利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案例2.72设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图2-24所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞，故选D .变式1 (2010新课标全国卷理24)设函数(),142+-=x x f 若不等式()ax x f ≤的解集非空，求a 的取值范围.变式2 已知函数()()(),040422⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=x x x x x x x f 若不等式()()a f a f >-22，则实数a 的取值范围是 （ ） A 、()()+∞⋃-∞-,21, B 、()2,1- C 、()1,2- D 、()()+∞⋃-∞-,12,变式3 （2012福建理15）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-ba ab b ba ab a ,,22，设()()12-=x x f *()1-x ，且关于x 的方程()()R m m x f ∈=恰有3个互不相等的实数根1x32,,x x ，则321x x x 的取值范围是 .变式4（2010新课标全国卷理11）已知函数()(),10621)100(lg ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=x x x x x f 若c b a ,,互不相等，且()()(),c f b f a f ==则abc 的取值范围是 （ ）A 、()10,1B 、()6,5C 、()12,10D 、()24,20思路提示3利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质
中考数学试题分类解析 专题6：函数的图像与性质一、选择题 （1）c 0<（2）b 0> （3）4a 2b c 0++> （4）22(a c)b +<其中正确的有【 】 A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C 。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】（1）∵图象与y 轴交于y 轴负半轴，则c ＜0，正确。
（2）∵对称轴bx 12a=-=，开口向下，∴a ＜0，故b ＞0，正确。
（3）当x =2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＞0，错误。
（4）22(a c)b +<可化为（a －b ＋c ）（a ＋b ＋c ）＜0，∵当x =1时，a ＋b ＋c ＞0，当x =－1时，a －b ＋c ＜0，故22(a c)b +<正确。
故选C 。
2. （2002年福建福州4分）如果反比例函数ky x=的图象经过点（－2，－1），那么k 的值为【 】 （A ）21 （B ）－21 （C ）2（D ）－2【答案】C 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（－2，－1）代入ky x =，得k 12-=-，解得k =2。
故选C 。
3. （2002年福建福州4分）已知：二次函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，其顶点坐标为P（b2-，24c b4-），AB＝︱x1－x2︱，若S△APB＝1，则b与c的关系式是【】（A）b2－4c＋1＝0 （B）b2－4c－1＝0 （C）b2－4c＋4＝0 （D）b2－4c－4＝04. （2003年福建福州4分）反比例函数4yx=-的图象大致是【】（A）（B）（C）（D）【答案】A。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据反比例函数的图象性质并结合其比例系数k解答即可：∵在反比例函数4yx=-中，－4＜0，∴图象在二四象限。
故选A。
中考数学总复习第二部分热点专题解读专题一函数图象问题课件
C； • D．由图象可知当y＝3时，x＝1，故此方程只有一个根，即可判断结论
D．
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【解答】 A．∵抛物线开口向下，∴a<0. ∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0. ∵对称轴在y轴右侧，∴－2ba＞0， ∴b>0，∴abc<0，故错误；
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B．∵对称轴为直线x＝－2ba＝1，即b＝－2a， ∴2a＋b＝0，故错误； C．当x＝－1时，y<0，即a－b＋c<0. 又∵b＝－2a，∴3a＋c<0，故正确； D．∵ax2＋bx＋c－3＝0，∴ax2＋bx＋c＝3， 即y＝3，∴x＝1， ∴此方程只有一个根，故错误．故选C．
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• 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系解题一般规律： • ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小. • 当|a|越a＞大0开时口，越抛小物.线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；|a|还可以决定开口大小， • ②称轴一在次y项轴系左数侧b；和当二a次与项b异系号数时a共(即同a决b＜定0对)，称对轴称的轴位在置y.轴,当右a与侧b(简同称号：时左(即同ab右＞异0))，. 对 • ③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0，c). • ④0，抛抛物物线线与与x轴x轴交有点1个个数交.点,Δ＝；bΔ2＝＋b42a＋c＞4a0c，＜抛0，物抛线物与线x轴与有x轴2个没交有点交；点Δ. ＝b2＋4ac＝
解得kb＝＝3－，45.
∴yA＝3x－45(x≥25)，当x＝35时，yA＝3x－45＝60＞50，∴每月上网时间为35
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
初三数学 函数综合-中考必做题(详解版)
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随着运算次数的增加，运算结果越
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的面积恰好等于正方形的面积，求点
，一次函数解析式为．
，
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的图象相交于点，与轴相交于点．
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，试比较，对应的的范围．
；当时，
．
．
函数
函数基础知识
动点问题的函数图象
分段函数
二次函数
二次函数与方程不等式综合
二次函数与一元二次方程的关系
利用二次函数图象解决不等式问题26
的不等式组，恰有三个整数解，则关于
的图像的公共点的个数为
不等式组的解为：，
∵不等式组恰有个整数解，
．
联立方程组，得
，
这是一个二次函数，开口向上，
27
点关28
29
30。
解析中考中的函数图像类问题PPT课件
距离/米 900
距离/米 900
0 10 20 30 40 50 A．
时间/分
0 10 20 30 40 B．
时间/分 0 10 20 30 40 50 C．
时间/分
0 10 20 30 40 50 D．
时间/分
【分析】解这种问题，关键是找出y与x之间的函数关系，根据函数关系确 定它的图像。特别要注意小明到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟 的报纸，距离y始终不变，因此排除B、C答案，而A图像表示看报的时间 为20分钟，不符合题意，故选择D答案
解析中考中的函数图像类问 题
第一类：函数图像的选择 1、借助实际生活情境探究函数图像
例1.（山东省滨州市）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一 个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到 家．则下列图象能表示小明离家距离y与时间x关系的是（ ）
距离/米 900
距离/米 900
y (cm2) 48
16
O
4 6 x(s)
A．
y (cm2) 48
y (cm2) 48
16
16
O
4 6 x(s)
B．
O
4 6 x(s)
C．
y (cm2) 48
16
O
4 6 x(s)
D．
【分析】解这种问题，关键是找出y与x之间的函数关系，根据函数关系确 定它的图像。特别要注意自变量x的取值，题目中E点经过4s后到达B点时， F点距离D点还有2cm ,因此当0≤x≤4，y=48-2x2,此时图像应为开口向下、 顶点为（0，48）的抛物线；当4≤x≤6时，y=16-8x，此时图像应为经过（4， 16）、（6，0）两点的直线；这里自变量x在0到6之间，故图像反映只是 两种函数图像的一部分，从而选择A答案。
中考热点专题训练 函数图象与性质
中考热点专题训练（6） 函数图象与性质（时间：100分钟 总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．如图是某市一天的气温随时间变化的图象，那么这天（ ）A ．最高气温是10℃，最低气温是2℃；B ．最高气温是6℃，最低气温是2℃C ．最高气温是10℃，最低气温是-2℃；D ．最高气温是6℃，最低气温是-2℃2．一根蜡烛原长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，则燃烧的速度v （cm/h ）•与燃烧的时间t （h ）的关系用图象表示为（ ）3．甲、乙二人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图所示，•从图中可以看出，下列结论错误的是（ ） A ．这是一次100米赛跑； B ．甲比乙先到达终点 C ．乙跑完全程需12.5秒； D ．甲的速度是8米/秒 4．已知直线y=ax+b 经过一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ）A ．a>0，b>0；B ．a>0，b<0；C ．a<0，b>0；D ．a<0，b<05．图8-4所示图形中，表示函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （mn ≠0）图象的是（ ）6．如图，L 甲、L 乙分别是甲、乙两弹簧的长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1kg•物体伸长的长度为k 乙cm ，则k 甲与k 乙的关系是（ ）A ．k 甲>k 乙B ．k 甲=k 乙C ．k 甲<k 乙D ．不能确定（第6题）（第7题）（第8题）7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c）2<b2．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知一次函数y=kx+b的图象（如图），当x<0时，y的取值范围是（）A．y>0 B．y<0 C．-2<y<0 D．y<-29．下图中阴影部分的面积与算式│-34│+（12）2+2-1的结果相同的是（）10．已知a为常数，则函数y1=ax，y2=ax的图象大致是（）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，点P是反比例函数y=2x上的任意一点，PD⊥x轴于点D，则△POD的面积是__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．在空中，自地面算起，每升高1km，气温会下降若干摄氏度（℃），某地空中气温T（℃）与高度h（cm）间的函数图象如图所示,观察图象可知：地面温度为________℃，当高度为_______km时，气温为0℃．13.小明同学骑自行车去郊外春游，如图表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（时）之间关系的函数图象，请根据图象回答下列问题：(1)小明到达离家最远的地方用了_______小时;(2)明在途中休息了________小时．(3)小明出发________小时离家12千米．14．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1>y2成立的x的取值范围是_________．（第14题）（第15题）15.在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数图象如图所示．I与R的函数关系式为：___________．16．结合图象回答：当电路中的电流不得超过12A时，电路中电阻R•的取值范围是___________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间的关系，根据图象你能得到甲、乙两人旅行的哪些信息？（答题要求：至少提供4条信息，如由图象可知A、B两地相距100千米）18．已知二次函数y=-2x2+8x-6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．19．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时，•风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔的荒漠地，风速平均每小时增加4千米，•一段时间后，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被时，其风速每小时减少1千米，•最终停止．观察图，回答问题．（1）在图中（）内填上相应的数字．（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时．20．某单位急需用车，但又不准备买车，•他们准备和一个体车主和一国营出租车公司其中的一家签订租车合同，该汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的费用为y1元，应给出租车公司的费用为y2元，y1、y2分别关于x的函数图象如图8-17，•观察图象回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围时，租国营公司的车合算．（2）如果这家单位估计每月行驶的路程为2 300千米，•那么这家单位租哪家的车合算？21．小刚的爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都是步行，•三人步行的速度不等，小刚与爷爷骑自行车的速度相等，每个人离家的距离与行走的时间关系分别是图中的一个，问：（1）小刚、爸爸、爷爷往返各用了多少分钟？（2）他们三人步行的速度分别是多少？22．如图，点P在经过点B（0，-2），C（4，0）的直线上，且纵坐标为-1，Q点在y=3x的图象上，若PQ∥y轴，求Q点的坐标．23．已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2（a、t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y= x2-2x+1的顶点是B（如图），（1）判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值．②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，•求出t的值，若不能，请说明理由．答案:一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．B 10．A二、填空题11．1 12．24，4 13．3; 2; 0.8. 14．x<-2或x>8 15．I=36R16．R≥3Ω三、解答题17．①乙从A城到B城花了2个小时，②乙的速度为50千米/时，•③甲在途中休息过，④甲前3小时走了60千米．18．解：（1）y=-2x2+8x-6=-2（x2-4x+3）=-2（x-2）2+2，故顶点坐标为（2，2），•对称轴为x=2．（2）图略．1≤x≤3．19．解：（1）8，32．（2）25+32=57（时）．20．解：（1）x>2 500千米．（2）租个体车．21．解：（1）小刚用了21分钟，爸爸用了24分钟，爷爷用了26分钟．（2）小刚：1200216-=80（米/秒）爷爷：120020=60（米/分）．爸爸：120012=100（米/秒）22．解：设直线BC为y=kx+b，将（0，-2），（4，0）代入y=kx+b中有2,40,bk b=-⎧⎨+=⎩解得2,1.2bk=-⎧⎪⎨=⎪⎩故y=12x-2，令y=-1得x=2，故P点的坐标为（2，-1）．由于PQ∥y轴，所以Q点的横坐标为2，x=2时，y=332x=．所以点Q的坐标为（2，32）．23．解：（1）点A的坐标为（t+1，t2）代入y=x2-2x+1中，（t+1）2-2（t+1）+1=t2成立，故点A在y=x2-2x+1上．（2）①点B的坐标为（1，0），将（1，0）代入y=a（x-t-1）2+t2中，有0=at2+t2，解得a=-1．②能够成直角三角形．设此抛物线与x轴的一个交点为B，另一个交点为C，令y=0，得x1=1，x2=2t+1．• 故点B点C的坐标分别是（1，0）、（2t+1，0）由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰三角形．过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则AD=BD．当点C在点B左边时，t2=1-（t+1）解得t=-1或t=0（舍去）；当点C在点D右边时，t2=（t+1）-1，解得t=1或t=0（舍去）；故t=±1时，抛物线y=-（x-t-1）2+t2和x轴的两个交点与顶点A构成直角三角形．。