振动响应

第二章
动态系统分析
1、振动分类 自由、受迫和自激振动。 自由振动——没有强迫振动下发生的振动。 受迫振动——作用于系统的外力引起的振动。 自激振动——具有周期特点的确定性振荡。 其周期性振荡产生于振动系统本身。 如振动被抑制，则激励消失。 相反，在受迫振动中，激挠力与 振动系统本身无关，即使振动被抑制， 仍对系统有激扰作用。
2 n
1
对白噪声 S z ( ) S 0 (常数） ， 有
S y ( ) S 0 / 1 ( / n )
响应的均方值为：
E [ y (t )]
2
Hale Waihona Puke Baidu
2 2
2 ( /
2 n
2
S0 2
1 ( /
n)
2 2
2 ( /
5、瞬态激励下的振动分析 具有瞬时性、无周期性的激励—瞬态激励。 求解该问题的基本思路仍采用线性叠加法，把激励f(t)沿时间轴 划分为等间隔的一系列小曲边梯形的组合，求出小曲边梯形对应激 励的响应，再将其叠加获得总激励引起的响应。
自由振动的解：
用h(t)代替u(t)，称为单位脉冲响应函数，即
若不在时刻t=0，而在t-τ，则冲击响应将滞后时间τ，有
N自由度系统总有N个线性无关的固有振型φr (r=1,2,…,N),可 用它作基底来描述系统运动的空间。引入坐标变换 u=φq
一般，u是建立系统运动微分方程时用的坐标，具物理含义， 物理坐标，q不易直观看出其物理含义，称广义坐标。它反映每一 固有振型对系统运动的“贡献”量，称为主坐标，上式称为主坐标 变换，可借助主坐标变换实现系统方程的完全解耦。
n
d
E[ y (t )] S 0 n / 4
2
故可由此确定响应y超过某一位移的概率。
特解：
u (t ) Bd sin( d t d )
*
代入可得：
( m k ) Bd sin( d t d ) c Bd cos( d t d )
2
f 0 sin t
比较两式系数，可得：
稳态振动响应
4、周期激励下的振动分析 （1）周期函数的Fourier级数展开 若u(t)为周期函数，且设常数T0为其最小正周期，则
分别前乘{Xi}T与{Xj}T有
因[K]与[M]均是对称阵，故将上式转置后为
两式相减有
若λi≠λj，可得正交条件
同理，得
以上两式表明：任意两个主振型之间，既有对[M]的正交性，又 有对[K]的正交性，它们统称为主振型的正交性。这意味着，任何两 个主振动都是在多维空间沿着相互垂直的方向振动。
利用振型矩阵解耦
Rayleigh阻尼或比例阻尼。
自由振动
与单自由度系统的自由振动解类似，得到N个独立主坐标下的运动
矩阵形式
进而可得物理坐标下系统的自由振动
式中
为比例阻尼系统因各自由度单位初始位移或单位初始速度引 起的自由振动矩阵。
如果比例阻尼系统的初始条件满足
其自由振动将是衰减振动
这称为第r阶纯模态自由振动。
T
T
1
T
0
x (t ) dt
称为稳定的各态历经随机过程。
图 组成随机过程的一组样本
概率密度函数
概率测量图
概率密度曲线
自相关函数
功率谱密度函数（PSD）
互相关函数
PSD在动力学中的应用 轨道不平顺Z(x)是沿轨道距离x的函数。定义空间参数：

波长，F
1/

空间频率, 2F园频率（波数）
冲量为f(τ)dτ 产生的响应h(t-τ) f(τ)dτ，所有脉冲激起的系统响应 总和为：
杜哈梅积分或卷积积分。
系统响应解
u (t ) e
n t
(u 0 cos d t
u 0 n u 0
d
sin d t ) h (t ) f ( ) d
0
对线性系统，响应和激扰的均方PSD S x ( ) 和 S ( ) f 之间存在下列关系：
S x ( ) H ( ) S f ( )
2
响应的均方值：
R x ( 0 ) E x (t )
2


2
1


H ( ) S f ( ) d
2
SDOF系统对随机输入的响应
m c ( y z ) k ( y z ) 0 y
均方值可从PSD求出：
Z S x ( F ) dF S x ()d
2 0 0
S x (F )
为单边空间频率的PSD；
S x ( F ) 2S x ( )
当车辆前进速度为V时，
v 2v /
且有
S x ( ) v S x ( ) ( 2v ) S x ( F )
x (t ) E ( x ) lim
x (t ) dt 8、随机振动 T
T 0
1
T
振动过程中没有明显变化规律的振动过程称为随机振动。
如果均值E[x(t1)] 与时间t无关，即对所有t 均有E[x(t1)]= E[x(t1+t)] ，称为稳定的随机过程。
x (t ) E ( x ) lim
t
6、多自由度系统的振动 使用矩阵形式的微分方程有：
A、无阻尼系统的自由振动 (1) 固有频率与主振型 设解为
振型方程
化为标准特征值振型方程
其中
称为特征值。
上式要使{X}不全为零，则有
称为频率方程或特征方程。 其展开式是λ的n次代数方程。 [M]是正定实对称阵，[K]是正定或半正定的实对称阵，系统只能 在稳定平衡位置附近作微幅振动。
（3）欠阻尼情况（0<ζ<1） 这时特征根是一对共轭复根。
方程的通解是：
式中：
系统的阻尼振动频率或自然频率。
3、受迫振动 （1）简谐力激励下受迫振动的解 运动方程：
其解应为齐次方程通解和非齐次方程的一个特解叠加而成，即
分别满足下述方程
方程通解：
u (t ) e

n t
(a1 cos d t a 2 sin d t )
运动微分方程变换在主坐标下的形式为
由正交性条件可知，主坐标下的质量矩阵、刚度矩阵是对角阵， 方程是独立的N个独立的微分方程
说明在主坐标下系统的运动是解耦的。
解耦的系统运动正是它的N个固有振动
B、比例阻尼系统的振动
应用主坐标变换
变换为
Mq和 Kq是对角阵，但Cq不一定是对角阵。
Rayleigh提出：
主振型
齐次方程，其系数行列式为零时，各 绝对值不能确定。但其相对比值
是完全能确定的。 这一比值称为系统矩阵[S]特征矢量，也称主振型。
主振型的正交性 一个n自由度的振系，具有n个固有振型，这些振型之间存在着关 于质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]的正交性。 设振系第i个与第j个振型矢量分别为{Xi}与{Xj}，按振型方程有
u(t+T0)=u(t) 根据数学分析，如果函数u(t)在T0内只有有限个第一类间 断点和极值点，则可展开为Fourier级数
（2）周期激励下的受迫振动 周期激励下的单自由度系统
f(t)以T0为周期。将f(t)展开为Fourier级数，代入求解。
同前，方程的解由特解和通解相加而成。现着重讨论系统稳态振 动的特解。方程总的特解为：
7、无阻尼系统的受迫振动
时域分析
A、单位脉冲响应矩阵 应用主坐标变换
化为
现考察系统受单位脉冲后主坐标的响应
解出
系统响应为
这是单位脉冲响应矩阵的第j列，故单位脉冲响应矩阵为
B、任意激励下的响应
有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为
初始状态下的响应
振型叠加法，是处理线性振动问题的通用方法。
2 n y n y n f (t ) y
2 2
f (t ) ( 2 / n ) z z , t x / v
车辆响应的PSD为：
S y ( ) H ( ) S z ( )
2
H ( ) 1 ( / n )
2

2 2
2 ( /
1 1
S x (F ) 可按下式求得：
S x (F ) C / F N
或
S x ( ) C / N
C轨道不平顺的相对值，N为系数，一般取2。
因激扰与响应的付里叶变换 F ( ) 和 之间可通过传递函数 H ( ) 建立联系，即
X ( )
X ( ) H ( ) F ( )
2、单自由度系统振动
单自由度系统振动方程的一般形式：
自由振动方程：
设解为：
特征方程：
特征根：
为便于分析，引入一量纲为1的参数 即
定义 临界阻尼系数 —阻尼比。于是有：
显然，对于不同的阻尼比，上式将给出实特征根或复特征根。 （1）过阻尼情况（ ）
（2）临界阻尼情况（ζ=1） 这时特征根是一对相等的实根。