结构的强迫振动响应分析
建筑结构振动分析与控制研究
建筑结构振动分析与控制研究1. 引言建筑结构的振动是指结构在受到外界力的作用下发生的运动。
振动问题一直以来都是建筑工程中的一个重要课题，对于保证建筑结构的安全性、舒适性和耐久性至关重要。
本文将探讨建筑结构振动的分析和控制方法，以及相关研究进展。
2. 建筑结构振动分析2.1 建筑结构振动的分类建筑结构的振动可分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指建筑结构在没有外界力作用下的自身振动，如地震、风荷载等；而强迫振动是指建筑结构受到外界力作用的振动，如机械设备运转等。
2.2 振动模态分析振动模态分析是一种常用的建筑结构振动分析方法。
它通过求解结构的固有振动频率和模态形状，得到结构的振动特性。
通常采用有限元法作为振动模态分析的数值计算方法，这种方法具有计算精度高、适用范围广等优点。
3. 建筑结构振动控制3.1 主动控制方法主动控制方法是指通过引入外界控制力来改变建筑结构的振动特性。
常见的主动控制方法包括质量和刚度变化法、控制杆法以及智能材料控制等。
这些方法能够实时调节建筑结构的振动特性，从而减小结构的振动响应。
3.2 被动控制方法被动控制方法是指通过在结构上添加附加物用以吸收或耗散振动能量，从而减小结构的振动响应。
常见的被动控制方法包括隔震、摆锤、液体阻尼器等。
这些方法通过改变结构的动力特性，降低结构与外界激励的耦合效应，从而减小结构的振动响应。
4. 建筑结构振动控制研究进展4.1 结构振动控制理论研究近年来，随着计算机技术和控制理论的不断发展，建筑结构振动控制研究取得了重要进展。
研究人员通过建立结构动力模型和振动控制模型，提出了一系列高效的振动控制算法和方法。
4.2 智能材料在振动控制中的应用智能材料在振动控制中具有重要的应用潜力。
形状记忆合金和压电材料等智能材料可以根据外界激励的变化自动调节其力学性能，从而减小建筑结构的振动响应。
研究人员通过开展智能材料在建筑结构振动控制中的应用研究，为解决建筑结构振动问题提供了新的思路和方法。
振动分析
振动分析振动分析是计算机辅助工程学中的一个重要技术。
它主要是通过对系统所发生的振动进行分析和计算，得出相应的特征参数，并在此基础上提出有效的控制方法，以达到科学、合理地设计、维护和控制各种工程设备的目的。
本文将从振动分析的原理、分类、应用及其在各个领域的研究与探索等方面进行详细的解读。
一、振动分析的基本原理1.振动的概念振动是物体围绕着平衡位置做规则周期性的运动，同时这个运动方式又使得它们之间施加相应的作用力，进而导致物体发出声音、震动等现象。
换句话说，物体在空间中不断地发生快速反复的运动，这种运动方式被称之为振动。
2.振动的种类振动分为自由振动和强迫振动两种类型，其中自由振动是指的物体自身发生的无外力作用的振动；而强迫振动是指作用在物体上的外力作用下所产生的振动。
这里我们主要讲述的是自由振动，因为强迫振动需要采用不同的计算方法。
3.振动的分类根据振动的形式和性质特征，振动可以分成多种类型，如：（1）简谐振动：物体在周期内运动速度、加速度大小及方向都是相同的。
（2）非简谐振动：物体在周期内运动速度、加速度大小及方向都会变化。
（3）阻尼振动：物体进行振动时受到来自周围环境的阻力作用。
（4）无阻尼振动：物体进行振动时不受任何阻力作用。
（5）共振：外力频率与机构本身固有振动频率一致，便容易引起共振现象。
二、振动分析的分类根据振动分析的对象和方法不同，可将其分为以下几种类型：1.结构振动分析：主要研究结构物在外部激励下的应力响应及其变形等信息。
其主要应用于大型工程的设计、优化、调试等过程中，以判断各组件间的相互影响，并找出问题所在，进而提高整个结构系统的安全性、稳定性和耐久性等方面的指标。
2.机械振动分析：主要研究与机械有关的各种振动问题。
在制造和运行机械设备时，借助于振动分析手段可以有效地寻找故障出现的原因，并及时采取相应的维修措施，以确保机械的正常运转。
3.流体振动分析：主要研究流体中所发生的各种形式的振动问题。
钢结构的振动与减震设计
钢结构的振动与减震设计钢结构是一种广泛应用于大型建筑和桥梁中的结构体系，具有高强度、轻质化和可塑性好的特点。
然而，当钢结构面临自然环境的振动荷载时，如地震、风载等，振动问题成为了需要解决的重要课题。
本文将讨论钢结构的振动问题以及减震设计的方法。
一、钢结构的振动问题分析钢结构在自然环境的振动荷载下会发生振动现象，这对于结构的安全性和舒适性都会产生不良影响。
主要的振动问题可分为以下几种：1. 自由振动自由振动是指当钢结构被外力激励后，不受外力干扰的情况下，结构自身以一定频率和振型振动。
自由振动的频率由结构的质量、刚度以及边界条件等因素决定。
2. 强迫振动强迫振动是指钢结构受到外界激励力作用，产生与激励力具有相同频率的振动。
这种振动会对结构和使用者产生很大的影响，甚至可能引起结构破坏。
3. 随机振动随机振动是指钢结构在自然环境的随机激励下产生的振动。
例如，地震和风载会引起结构的随机振动，这种振动对结构疲劳寿命和安全性具有重要影响。
二、钢结构的减震设计方法钢结构的减震设计旨在减小结构受到的振动荷载，提高结构的稳定性和抗震性能。
常用的减震设计方法包括以下几种：1. 增加结构的阻尼通过增加钢结构的阻尼，可以有效地吸收振动能量，减小结构的振动幅值。
常用的阻尼措施有采用粘性阻尼器和摩擦阻尼器等。
2. 利用减振器减振器是一种能够通过调节结构的自然振动频率和振型来减小结构振动的装置。
常见的减振器有质量阻尼器、液体阻尼器和摩擦阻尼器等。
3. 考虑地震偏心在设计钢结构时，可以合理地配置结构的偏心，以减小地震力对结构产生的影响。
通过结构的多级抵消和重力偏心设计，可以有效地降低地震时引起的振动响应。
4. 结构控制装置结构控制装置是一种能够通过控制结构的刚度和阻尼来实现结构振动控制的装置。
常见的控制装置包括液态阻尼器、电液缓冲器和阻尼墙等。
三、典型案例分析以下是一些典型钢结构振动与减震设计的案例分析：1. 北京国家大剧院北京国家大剧院是一座标志性的剧院建筑，采用了大跨度的钢结构拱顶。
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性在工程力学中，振动是一个重要的研究领域。
振动被广泛应用于各种工程中，包括建筑结构、机械系统以及电子设备等。
振动可以分为自由振动和强迫振动两种类型。
本文将讨论自由振动和强迫振动的特性以及它们在工程中的应用。
一、自由振动的特性自由振动是指在没有外界干扰的情况下，结构或系统在其固有频率下进行的振动。
自由振动的特性主要包括振幅、周期、频率和阻尼等。
1. 振幅振幅是指振动的最大偏离量。
在自由振动中，振幅受到初始条件的影响，振幅越大，振动的能量也就越大。
2. 周期周期是指振动完成一个完整循环所需的时间。
自由振动的周期与结构的固有频率有关，固有频率越高，周期越短。
3. 频率频率是指振动单位时间内完成的循环次数。
频率是周期的倒数，用赫兹（Hz）表示。
自由振动的频率与周期相反，固有频率越高，频率越大。
4. 阻尼阻尼是指振动过程中能量的消耗。
在自由振动中，存在三种类型的阻尼：无阻尼、过阻尼和欠阻尼。
无阻尼振动指没有能量损耗的理想振动；过阻尼振动是指能量损耗过大，振动停止得很慢；欠阻尼振动是指振动的能量损耗较小，但是在振动停止时存在振荡。
二、强迫振动的特性强迫振动是指受到外界周期性力作用下的振动。
外界力的频率通常不等于结构的固有频率，因此会引发结构的共振。
强迫振动的特性主要包括固有频率、共振和受迫振动等。
1. 固有频率固有频率指的是结构或系统在自由振动状态下的固有频率。
在强迫振动中，结构的固有频率决定了其对外界激励的响应。
2. 共振共振是指外界力的频率与结构的固有频率相等或接近，导致结构振幅迅速增大的现象。
共振现象对于某些结构来说是有害的，因为会导致结构破坏或崩溃。
3. 受迫振动受迫振动是指在强迫振动中，结构受到外界激励而发生的振动。
外界激励可以是周期性的力或者者是其他形式的周期性变量。
三、自由振动和强迫振动在工程中的应用自由振动和强迫振动在工程中有着广泛的应用。
1. 自由振动的应用自由振动的研究可以用于建立结构的固有频率，通过调节结构的初始条件和强度来影响振动的特性。
桥梁结构动力特性分析
桥梁结构动力特性分析桥梁结构是城市交通建设中必不可少的重要组成部分。
为了确保桥梁的安全性和可靠性，在设计和施工过程中，必须对桥梁的动力特性进行充分的分析。
本文将对桥梁结构的动力特性进行详细讨论，包括桥梁结构的固有频率、自由振动、强迫振动以及可能引起的共振现象等。
一、固有频率固有频率是指桥梁结构在没有外力作用的情况下，自身固有特性所具有的振动频率。
桥梁结构的固有频率是通过结构的质量、刚度和几何尺寸来确定的。
一般来说，桥梁的固有频率越高，结构的刚度越大，相应地，结构的稳定性和抗风、抗震能力也会更高。
二、自由振动自由振动是指桥梁结构在受到外力激励之前的自由振动行为。
当桥梁结构受到外力干扰后，会出现固有频率下的自由振动。
自由振动是桥梁在没有外力干扰下的自然振动，也是研究桥梁动力特性的重要基础。
三、强迫振动强迫振动是指桥梁结构在受到外力激励时的振动行为。
在桥梁的正常使用过程中，会受到行车荷载、风力、地震等各种外力的作用，从而引起结构的强迫振动。
通过对桥梁结构的强迫振动进行分析，可以评估结构的动力响应和力学性能。
四、共振现象共振是指外力激励频率与桥梁结构的固有频率非常接近，从而导致结构发生巨大振幅的现象。
共振是桥梁结构动力特性中非常重要和危险的现象，因为共振会导致结构的破坏和失效。
因此，在桥梁设计和施工过程中，必须避免共振的发生。
五、动力特性分析方法为了分析桥梁结构的动力特性，工程师们可以采用多种分析方法。
常见的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析等。
模态分析是通过计算桥梁结构的固有振型和固有频率来进行分析，可以预测结构在不同固有频率下的振动情况。
频率响应分析是通过施加频率变化的外力激励，来分析桥梁结构的响应情况。
时程分析是通过实测或模拟不同的时间历程，来研究桥梁结构在动力加载下的响应和变形情况。
六、桥梁结构动力特性在实际工程中的应用在实际桥梁工程中，准确分析桥梁结构的动力特性对于设计和施工至关重要。
首先，通过分析桥梁的固有频率和自由振动，可以确定结构的稳定性和抗风、抗震能力。
震动现象实验与分析
震动现象实验与分析震动现象是指物体受到外力或内部扰动而出现振动的现象。
在科学研究和工程实践中，准确分析和理解震动现象的特性对于设计和优化结构、机器和设备至关重要。
本文将探讨震动现象的实验与分析方法，以及其在不同领域中的应用。
一、实验方法震动现象的实验常常需要使用震动台或振动传感器等设备。
以下是常用的震动实验方法：1. 自由振动实验：在无外力干扰的情况下，观察物体在初始位移或初始速度条件下的振动现象。
该实验常用于测量和分析结构的固有频率、振型和阻尼比等特性。
2. 强迫振动实验：通过施加外力或扰动来引起物体的振动。
该实验常用于研究物体的频率响应和传递函数，以及结构在不同激励频率和幅值下的振动响应。
3. 随机振动实验：模拟真实环境中的随机振动激励，以测试和评估物体的抗震性能。
该实验常用于评估车辆、建筑物和航空器等在不同地面激励下的振动响应。
二、分析方法在震动现象的分析中，常用的方法包括频域分析、时域分析和模态分析等。
以下是这些方法的简要介绍：1. 频域分析：将信号从时域转换到频域，以获取信号的频谱信息。
常用的频域分析方法包括傅里叶变换、功率谱密度和频谱图等。
频域分析可以用于分析物体的频率特性、主要频率成分和共振现象。
2. 时域分析：通过对信号进行时间上的观察和分析，以了解信号的振动特性。
常用的时域分析方法包括波形图、自相关函数和互相关函数等。
时域分析可用于分析物体的振幅、波形、周期性变化和非线性特性。
3. 模态分析：研究物体的固有振动模态，包括固有频率、振型和阻尼比等特性。
常用的模态分析方法包括模态测试和模态识别。
模态分析可用于评估结构的稳定性、识别潜在问题和优化设计。
三、应用领域震动现象的实验与分析广泛应用于工程、科学和其他领域。
以下是一些典型的应用领域：1. 结构工程：在建筑、桥梁和航空航天等领域中，震动现象的实验与分析可用于评估结构的抗震性能、振动响应和疲劳寿命等。
2. 汽车工程：在汽车设计和制造中，震动现象的实验与分析可用于评估车辆的悬挂系统、减震器和底盘的振动性能以及乘坐舒适性。
结构振动理论-定常强迫振动的复数解法与频率响应函数
bn
2 T
T /2
T / 2
f (t) sin ntdt
2 T
0
T / 2
Asin ntdt
2 T
T
0
/
2
A
sin
ntdt
2 ( A cosnt 0 ) 2 ( A cosnt T / 2 )
T n
T / 2 T n
0
2 2A (1 cos n ) 2A (1 cos n )
T n
n
bn
4A
如图所示基础激励振动系统： mx k(x y) c(x y)
整理后得到： mx cx kx ky cy
利用复数解法：
y Ye j t
x Xe je j t Xej(t)
m
o
x(t)
k
c
y Y cost
基础激励
单自由度系统的定常强迫振动
(m2 k jc)Xe j (k jc)Y
象的振动位移测试。 单自由度系统的定常强迫振动
加速度计： 令 y Ye j t 则 y 2Ye j t
Z
Y 2
(1 2 )2 (2 )2
|
Z
| |
y|
1 Ω2
1
(1 2 )2 (2 )2
4
0
如果测振仪设计得具有较高的固 3
有频率 ，使 / Ω 1
2
0.1
0.15 0.2
这时，记录下来的
同样，由于存在阻尼，我们只考虑(定常)稳态响应。
单自由度系统的定常强迫振动
设其稳态特解是 xc Xe jt
xc jX e jt xc 2 X e jt
代入原方程，消去
e jt 后，求出
结构动力学分析与优化
结构动力学分析与优化结构动力学是工程结构力学中的分支，主要研究结构在受到动力荷载（如振动、地震等）作用下的响应和稳定性，是建筑、桥梁、风力机、船舶等工程结构设计中必不可少的内容。
而结构动力学分析与优化则是在结构设计中不可或缺的一环，通过对结构的动态响应进行分析，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
1. 结构动力学分析结构动力学分析是对结构在受到动力荷载下的响应进行分析，包括了自由振动、强迫振动以及响应谱等分析方法。
自由振动是指结构在无外力作用下的振动，通过计算自然振动频率和振动模态，可以得到结构的基本特性。
强迫振动是指在结构受到外部动力荷载作用下的振动，可以通过计算结构的响应来确定结构在荷载作用下的状态和性能。
响应谱分析则是一种综合考虑外部荷载和结构响应的方法，通过计算结构在一定工况下的响应谱，得到结构受到该工况影响下的响应情况。
结构动力学分析的结果可以为结构设计、施工和维护提供重要的参考依据。
通过对结构的响应进行分析，可以确定结构重点部位、改善结构的响应性能、提高结构的稳定性和减小结构的损伤程度，为结构设计的安全、节能、环保提供技术保障。
2. 结构动力学优化结构动力学优化主要是在结构设计过程中，通过对结构响应进行分析，寻找和确定最优化方案，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
结构动力学优化主要包括两个方面，一是优化结构设计，二是优化结构的抗震性能。
优化结构设计是指在设计阶段通过对结构响应进行分析，调整结构的空间布置、结构的构型和减少结构的重量，达到最优化的结构设计方案。
在优化结构设计时，需要结合结构的工作环境、载荷条件和工艺要求等因素综合考虑，尽量减少结构的材料消耗，提高结构的力学性能。
同时，在优化结构设计时也需要考虑结构施工的方便性以及之后的日常维护和使用。
优化结构抗震性能是指在设计和施工过程中，通过对结构响应进行分析和改善，提高结构的抗震性能和防震能力。
在考虑结构抗震性能时，需要综合考虑结构的地质条件、工期、设计带来的经济效益、规范要求等因素，对结构进行合理优化设计。
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第五章 结构的强迫振动响应分析§5.1 概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。
求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。
考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。
直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。
§5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程)}({}]{[}]{[}]{[t P U K U C U M =++ （5－1）进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。
这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔t ∆的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻t 上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。
（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t ∆内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。
首先，设}{}{}{000U U U 表示初始时刻（0=t ）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0=t 到T t =的解，则把时间段T 均分为n 个间隔n T t /=∆，所用的积分是在T t t ,2,∆∆上求方程的近似解。
即要在t t t ,2,∆∆的解已知的情况下，求解t t ∆+时刻的解。
【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。
通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。
}){}({21}{}){}{2}({1}{2t t t t tt t t t t tU U t U U U U t U ∆∆∆∆∆∆-++--=+-= （5－2）假定}{t U 及前一时刻的位移}{t t U ∆-已经求得，则将}{t U }{t U 代入方程（5－1）得到：}]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222t t t t t t U C tM t U M t K P U C t M t ∆∆∆∆∆∆∆-+----=+ （5－3）由此式求出}{t t U ∆+上述格式是一个显式格式。
具体计算时，还有一个步进递推格式启动的问题，即}{}{}{000U U U 已知时，}{t U ∆-的求解问题。
由}{t U }{tU 的差分表达式，可求出： }{2}{}{}{0200U t U t U U t ∆∆∆+-=- （5－4） 中心差分法的具体步骤为：1． 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2． 计算初始值}{}{}{000U U U 3． 选择步长t ∆，并计算积分常数23021201,2,21,1a a a a t a t a ====∆∆ （5－5） 4． 计算}{}{}{}{0300U a U t U U t +-=-∆∆ （5－6） 5． 形成][][]ˆ[10C a M a M += （5－7） 6． 分解T L D L M]][][[]ˆ[= （5－8） 对每一步长，进行如下计算： 1． 求t 时刻的有效载荷}]){[][(}]){[]([}{}ˆ{102t t t t t U C a M a U M a K P P ∆-----= （5－9）2． 求解在时刻t t ∆+的位移}ˆ{}{]][][[tt t T P U L D L =+∆ （5－10） 3． 如果需要，计算t 时刻的加速度和速度：}){}{(}{}){}{2}({}{10tt tt ttt t t t t U U a U U U U a U ∆∆∆∆+-+-+-=+-= （5－11）中心差分格式使用中，一个重要的问题是步长必须小于临界步长nT t ncr =∆，以保证步进递推的数值稳定性，这里，n 为系统的阶数，n T 为系统最小自然周期，即：nT t t ncr =≤∆∆ （5－12） 因此，中心差分格式是条件稳定的。
中心差分法作为显式算法的优点是，当质量阵为对角阵，阻尼阵也可以对角化时，可以避免矩阵求逆运算，而矩阵的分解运算非常简单，特别在进行非线性系统的响应分析时，由于需要在每个时间增量步修改刚度矩阵，采用中心差分法可以避免每一增量步对刚度矩阵的分解。
【Houbolt 方法】Houbolt 方法也是一种差分方法，它是基于拉格朗日插值公式的步进方法，该方法利用向后差分，由位移导出速度和加速度的多步隐式公式。
Houbolt 方法得到的计算结果比较光滑。
其差分的格式为：}){2}{9}{18}{11(61}{}){}{4}{5}{2(1}{222t t t t t t t tt t t t t t t tU U U U t U U U U U tU ∆∆∆∆∆∆∆∆--+--+-+-=-+-= （5－13）考虑t t ∆+时刻的平衡方程}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆∆∆∆++++=++ （5－14）从而有：}]){[31][1})]){[23][4(}]){[3][5(}{}]){[][161][2(22222t t t t t t t t t U C tM t U C tM t U C t M t P U K C tM t ∆-∆-∆+∆+∆+∆+∆+∆-∆+∆+=+∆+∆ （5－15）显然，要求解}{t t U ∆+必须知道}{},{},{2t t t t t U U U ∆∆--在使用Houbolt 方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应}{},{2t t U U ∆∆，而是用其它方法如中心差分法，步长取t ∆的几分之一来求得。
Houbolt 方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，不受cr t ∆的限制，但为了保证计算精度，步长也不能取得太大。
Houbolt 方法的求解步骤总结如下：1．用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2．计算初始值}{}{}{000U U U 3．取步长t ∆，求9,2,22,3,5,611,237063504322120aa a a a a a a ta t a t a t a ==-=-=====∆∆∆∆ （5－16）4． 求}{}{2t t U U ∆∆（一般用一个特殊的启动格式如，中心差分法） 5．求解][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－17） 6．矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－18） 7． 对每一步长，求 （1）}){}{}{]([}{}{}{]([}{}ˆ{27532642t t t t t t t t t t t t t t U a U a U a C U a U a U a M P P ∆∆∆∆∆∆----++++++++= （5－19）（2） }ˆ{}{]][][[t t t t T P U L D L ∆∆++= （5－20） （3） 若需要，求出}{}{}{}{}{26420t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－21）}{}{}{}{}{27531t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－22）【Wilson －θ法】Wilson －θ法假定加速度从时刻t 到时刻t t ∆+θ为线性变化，所以，可以认为它是线性加速度法的推广。
在37.1≥θ时，它是无条件稳定的。
通常取4.1=θ。
具体方法为：令τ为时间增量，其中t ∆θτ≤≤0，则在时刻t 到时刻t t ∆θ+的区间，有：}){}({}{}{tt t t t U U tU U -+=++∆θτ∆θτ（5－23） 积分上式： }){}({2}{}{}{2t t t t t t U U tU U U -++=++∆θτ∆θττ （5－24） }){}({61}{21}{}{}{32tt t t t t t U U tU U U U -∆+++=∆++θττθττ （5－25） 当t ∆θτ=}){}({2}{}{tt t t t t U U t U U ++=++∆θ∆θ∆θ （5－26） })2}({6}{}{}{22tt t tt t t U U t U t U U +++=++∆θ∆θ∆θ∆θ （5－27） 由此解出：}2}{6}){}({6}{22t t t t t t t U U t U U t U -∆--∆=∆+∆+θθθθ （5－28） }2}{2}){}({3}{t t t t t t t U t U U U t U ∆---∆=∆+∆+θθθθ （5－29） 在t t ∆θ+时刻的平衡方程为：}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ （5－30）其中}){(}{}{t t t t t t P P P P -+=∆+∆+θθθ （5－31）为t t ∆θ+时刻的载荷。
Wilson －θ法的具体步骤为：（1） 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][Ct ∆{t U }t t ∆θ+（2） 计算初始值}{}{}{000U U U （3） 取步长t ∆，取4.1=θ，计算：6,2,31,,,2,2,3,)(628762504312120ta t a a a a a a t a a a t a t a ∆∆θθθ∆θ∆θ∆θ==-=-====== （5－32）（4）形成][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－33） （5）矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－34） （6） 对每一步长t ∆，计算时刻t t ∆θ+时刻的有效载荷：}){}{2}{]([}){2}{}{]([}){}({}{}ˆ{3120ttttt t t t t t t t U a U U a C U U a U a M P P P P ++++++-+=++∆∆θθ（5－35）（7）求解t t ∆θ+的位移：}ˆ{}{]][][[tt t t T P U L D L ∆θ∆θ++= （5－36） （7） 计算在t t ∆+时刻的加速度、速度、位移：将t t U ∆+θ代入（5-28）解出tt U ∆+θ ，再代入（5-23）式，并令t ∆=τ，得到： }{}{}){}({}{654tt t t t t t U a U a U U a U ++-=∆+∆+θ （5－37） 将（5-23）代入（5-24）、（5-25）式中，令t ∆=τ，得到：}){}({}{}{7t t t t t t U U a U U ++=∆+∆+ （5－38） }){2}({}{}{}{8tt t t t t t U U a U t U U +++=++∆∆∆ （5－39）【Newmark 方法】Newmark 方法也可以认为是线性加速度方法的推广。