高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件1北师大版必修4
探究点1 点到直线的距离公式
问题1 用向量方法解决平面几何问题的基本思 路是什么？
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂
l
线段哟！
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. M (x0,y0)
o
x
点到直线的距离公式
已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0. 则点M到直线 l 的距离d为:
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
量 AC CB ，即 AC CB 0 .
证明：设 AO OB a,OC b, 则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
2
2
a a b b a b r2 r2 0,
答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min.
本题方法： 1.计算速度的合速度. 2.计算时间必须使速度的方向和位 移的方向一致.
3.证明直径所对的圆周角是直角.
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点，不与AB重合. A 求证∠ACB=90°.
C
b
B
aO
【解题关键】 要证∠ACB=90°，只需证向
OAB,使∠A=90°,则 AB 的坐标为( B )
A.(2,-5)
B.(-2,5)或(2,-5)
C.(-2,5)
D.(7,-3)或(3,7)
2.一条河的两岸平行，河宽d 500 m，一艘船从A 出发航行到河的正对岸B处.航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v2 2 km / h，问行驶航程最 短时，所用的时间是多少？
2
将力F分解，它在铅垂线方向上的分力F1的大小为
F1Fsin
30o 50 1 25 N ,
2
所以，摩擦力f 的大小为
f G F 1 80 25 0.02 1.1N .
因此 f s fscos180o 1.1 20 1 22J .
直线的法向量.
o
n
.
P(x, y)
M(x0,y0)
x
y
n
.
n A
B
n0
n
, A2 B2
. A2 B2
于是，点M x0 , y0 到直线
l : Ax By C 0的距离等于向量
PM在n0方向上射影的长度:
P(x, y) M(x0,y0)
o
x
l: Ax+By+C=0
向量解决航空、航海问题方法： 1.按照题意正确作图. 2.分析图形的边角关系. 3.利用平面几何的知识求出答案.
例4 已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上）， 大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F 的作用在 动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？（g=10 m/s2）
C设B·MA为B CBA的C 中点2C，B则［有12A( AMB1ACA)B］. AC ,
所以
2
OB OC ·OB OC 2OA 2CB AM 0.
所以△ABC中，CB边上的中线AM也是CB 边上的高，
所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形.
d
PM
n0ຫໍສະໝຸດ x0x,
y0
y
A ,
A2 B2
B
A2 B2
A x0 x B y0 y Ax0 By0 Ax By
A2 B2
A2 B2
又因为P x, y为l上任意一点，所以c Ax By,
答 F和 f 所做的功分别是500 3J和-22J.
向量解决物理问题方法： 1.将物理中的矢量用向量表示. 2.找出向量与向量的夹角. 3.利用向量的数量积计算功.
变式训练 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂
一个箱子，已知箱子的重量为10 N，则每根绳
子的拉力大小10是N .
1.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形
d Ax0 By0 C A2 B2
问题2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离 公式？
证明：M x0, y0 是直线外一定点，
y
P x, y是直线上任意一点，由直 l
线l : Ax By C 0,可以取它的
方向向量v=B, A.一般地，称与
直线的方向向量垂直的向量为该
9 5
③P 0,0 , 4x + 7y = 37.
37 65 65
④P -1, -2 , x + y = 0. 3 2 2
⑤P 2,3 , x -1 = 0. 1
⑥P 1,-1 , y + 2 = 0. 1
探究点2 几何中的应用举例
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
探究点3 物理中的应用举例
问题4 物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种 运算? 提示：体现了向量的加减法的运算. 问题5 在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就 越多? 提示：不一定.力所做的功不仅取决于力的大小,还 和力与物体运动方向的夹角有关系.
例3 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行 1 000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A 地的南偏西60°，并且A，C两地相距2 000km，求 飞机从B地到C地的位移.
x
y (x1,y0) Q
M(x0,y0)
o
x
MQ y0 - y1
x=x1
MQ x0 - x1
例1 求点P 1,2到直线l：2x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2, A 2,B 1,C 1. 由点到直线的距离公式，得
21 1 2 1
d
5,
22 12
所以点P 1,2到直线l的距离为 5 .
【总结提升】 认清公式的形式，找准每一个变 量代表的数值，准确代入，精确 计算.
【变式练习】
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0.
12 5
②P -2,0 , 4x + 3y -1 = 0.
2.7 向量应用举例
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等， 是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由 向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几 何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决 问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践 中去探究、领会和总结.
1.了解直线法向量的概念. 2.掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解 析法和向量方法的区别与联系.(重点) 3.会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解 决实际问题.（难点）
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
变式练习
O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的
三点.若( OB - OC )·( OB + OC -2OA )=0,则 △ABC是( B )
A.以AB为底边的等腰三角形
B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形
D.以BC为斜边的直角三角形
解析 (OB OC ) OB OC 2OA
A
所以C，H，F 三点共线，H 在CF 上.
F
B
问题3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平 面几何问题的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
【解题关键】
C D
将相关的线段用向量表示，利用向 E
量的三角形法则和平行四边形法则，A
H
结合题目中的已知条件进行运算，
F
B
得出结果，再翻译成几何语言 .
证明 :设AD , BE交于点H，以下只需 证明点H在CF上.因为AD BC ,BE CA,
所以AH CB 0,BH CA 0.
故d Ax0 By0 c. A2 B2
特别提醒: 1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式． 2. A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一 般不用此公式计算距离．
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
M (x0,y0)
Q (x0,y1)
又 CH CA CB CH CB CA CB 0,
CH CB CA CH CA CB CA 0， C
两式相减，得CH CB CA 0，
E
D
即CH AB 0,所以CH AB，
H
CH AB,又CF AB,
即 AC CB 0，所以AC CB, ∠ACB=90°.
4、已知平行四边形ABCD的两条对角线 AC与BD相交于E，O是平面内任意一点，求 证：OA OB OC OD 4OE.
高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4
圆O的方程为x2+y2=9.
设 P(x,y),则������������=(-2-x,-y),������������=(2-x,-y),
于是������������ ·������������=x2-4+y2=x2+y2-4=9-4=5.故选 C.
答案:C
专题一 专题二 专题三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
专题一 专题二 专题三
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别 是DC和AB的中点,已知������������=a,������������=b,求������������, ������������.
分析:本题要求用 a,b 表示������������和������������,而 a,b 不共线,由平面向量基 本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图形 寻找������������, ������������与 a,b 的关系.
联立①②,解得
������ = -2, 或 ������ = 3
������ = 2, ������ = 1.
所以点D的坐标为(-2,3)或(2,1).
专题一 专题二 专题三
(2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,������������=(1,2),������������=(-1,3),������������=(-2,1).
专题一 专题二 专题三
【例 2】 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于 ()
高中数学第二章平面向量27向量应用举例课件北师大版必修4
解法二：(1)∵所求直线与向量 a＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝15(x－2)， 即 x－5y－7＝0. (2)∵所求直线与向量 a＝(5,1)垂直， ∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝－5(x－2)， 即 5x＋y－9＝0.
对直线 l：Ax＋By＋C＝0 的方向向量及法向量的两点说明 (1)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P→1P2＝ (x2－x1，y2－y1)及其共线的向量 λP→1P2均为直线的方向向量．显 然当 x1≠x2 时，向量(1，yx22－ －yx11)与P→1P2共线，因此向量(1，－AB) ＝B1(B，－A)为直线 l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B， －A)为直线 l 的方向向量．
又因为点 M(x0，y0)在圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即 x2＋y2＝1， 所以点 N 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
——易错警示——
向量在几何应用中的误区
【例 5】
在 △ ABC
中，
已
知向
量
→ AB
(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用 向量 表示； ②转化为 向量问题 的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
[答一答] 3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？
提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为 数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学 模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的 数值去解释一些物理现象．
2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量本章整合课件 北师大版必修4
∴������������
=
������������
−
������������
=
������������
−
2 3
������������ =2a-53b.
(2)设������������ =λ������������,
则������������ = ������������ − ������������ =λ������������ − ������������ =λa-2a+b=(λ-2)a+b.
9
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
由(a+kc)⊥(2b-a),得(-5)×(3+4k)+2(2+k)=0,
解得 k=-1118.
专题1 专题2 专题3
(3)设 d=(x,y)(x,y∈R),
则 d+b=(x-1,y+2).
由题意,可知 a-c=(-1,1),
又(d+b)∥(a-c),
∴������������=(-7,3)或������������=(-3,-7).
专题1 专题2 专题3
③当点 A 为等腰直角三角形 OAB 的直角顶点时,������������ ⊥ ������������,且
|������������|=|������������|,
∴
5(������-5) + 2(������-2) = 0, (������-5)2 + (������-2)2 = 52 + 22 ,
时,f (x)取得最大值,
即
|������ |2 4
−
| b|+1 =0.
北师版高中数学高一必修4课件2.7.2向量的应用举例
探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当 向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为 代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极 大的方便.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.
明目标、知重点
探究点一 平面向量在几何中的应用
导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点 共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清 晰、简洁直观.其基本方法是： (1)要证明线段 AB＝CD,可转化为证明|A→B|＝|C→D|. (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得A→B ＝λC→D,且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示,
在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, 得－G＝F1＋F2,|F1|＝co|Gs |θ, |F2|＝|G|tan θ, 当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角,α
为锐角),
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 3 km/h.
明目标、知重点
跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速
为4 3 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方 向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示,设此人的实际速度为O→B,水流速度为O→A.
明目标、知重点
1234
1234
3. 正 方 形 OABC 的 边 长 为 1, 点 D 、 E 分 别 为 AB 、 BC 的 中 点 , 试 求
高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件北师大版必修4
-
7 2
,-2
,则������������与������������(
)
A.不共线
B.平行
C.相交
D.以上均不对
解析:������������ =
2,
8 3
, ������������=(-3,-4),
由于 2×(-4)=83×(-3),因此,������������ ∥ ������������.
探究一
探究二
探究三
(方法二)设正方形边长为1,
由图形知������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
������������ ,
������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
+
1 2
������������
·������������
+
1 2
������������
·12
������������
=0+12 − 12+0
=0,
因此������������ ⊥ ������������,
即 AF⊥DE.
探究一
探究二
探究三
反思感悟 用向量证明平面几何问题的方法
用向量证明平面几何问题的方法,常见思路有两种. (1)向量的线性运算法: 选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算 或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法: 建立适当的平面直角坐标系→把相关向量坐标化→向量的坐标 运算找相应关系→把向量问题几何化
高中数学 第二章 平面向量 2.7 第27课时 点到直线的距离公式、向量在几何中的应用作业课件 北
＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12 ＝5(y－2)2－8.
∴当 y＝2，x＝4 时，P→A·P→B取得最小值－8.
此时P→A＝(Βιβλιοθήκη 3,5)，P→B＝(1，－1)．∴|P→A|＝ 34，|P→B|＝ 2，P→A·P→B＝－8，
∴
P→A，P→B
＝
－8 34×
＝－4 2
11．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，1且满足A→P＝15A→C＋25A→B， 则△APB 的面积与△APC 的面积之比为 2 .
解析：由题意得 5A→P＝A→C＋2A→B， 2A→P－2A→B＝A→C－A→P－2A→P， －2(P→A＋P→B)＝P→C. 如图所示，P→C＝2E→P＝4O→P，
——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( D )
1
3
A.2
B.2
2 C. 2
32 D. 2
解析：由点到直线的距离公式，得
d＝|1－12＋－1－＋112|＝3
2
2 .
2．已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋y－1＝0
4．在△ABC 中，若满足A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，则△ ABC 是( D )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：因为A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，所以A→B2＝A→B·(A→C－ B→C)＋C→A·C→B＝A→B2＋C→A·C→B，即C→A·C→B＝0，所以∠ACB＝π2，故△ ABC 为直角三角形．故选 D.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 9．若直线 l 过点 M(1,3)且与向量 n＝(－1,2)垂直，则直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 .
高中数学北师大版必修四《向量》课件
yp1 p2
所以 op1 x i , op2 y …j ….(1)
p2
p(x, y) a
j
O i p1
x
问题：把向量op 用向量 op1和op2来表示
探讨：我们发现 op 正好是平行四边形 op1 pp的2 对角线
结论：由平行四 边形法则有：op op1 op2……(2)
变式：将
op1
北师大版 高中数学
平面向量的 坐标表示
知识回顾：
1、什么是向量？什么是单位向量？
既有大小又有方向的量叫向量；大小是一个单位的向量叫
单位向量。
|a|
2、向量平行的充要条 件是什么？
a // b b a( 0)
3、什么叫向量的模？
向量的大小，称为向量的模。向量 a 的模，记作
向量的坐标表示
如右图，在直角坐标系中我们可 p1 p2
量模的大小呢？（结合向量坐标试试） 设a 是直则角坐a标系(x下，的y一) 个向量，如下图所示，
求向量 a的模，就是线段op的长度
yp1 p2
由勾股定理得
| a || op |
x2 y2
p2
P (x, y)
a j
O i p1
x
例题教学
例二
已知向量
a
(3， 4)，b (
3，1），求
解：由公式 | a || op |
x2 y2 可得
| a |
32 (4)2 5
| b | ( 3)2 12 2
|
a
|，| b
|
随堂练习
向量如a图，，b已，知c，基本d用向坐量标i表，示j，出试来将途中给出的
解：a
(3，3）
b （ 4，1)
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课件1北师大版必修4
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什 么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A (a,b)
O
a
x
1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（重点） 2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（重点） 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（难点）
探究点1 平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么 来表示?
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32
问题3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量 是否一一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有 序实数对的直观形象.
探究点3 平面向量线性运算的坐标表示 解：
结论1：向量和与差的坐标分别等于各向量相应 坐标的和与差.
结论2：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量 的相应坐标的乘积.
向量坐标与向量始点、终点之间的关系
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/7/9
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二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
高中数学北师大版必修4《平面向量应用举例》ppt导学课件
【解析】(法一)(基向量的方法)
������������·������������=(������������+1 ������������)·(������������+2 ������������)=(1 ������������-������������)·(������������+2 ������������-2 ������������)
∴A(a,0),B(0,a),E(������ ,2������ ),D(0,������ ),
33
2
∴������������ =(������ ,2������ ),������������ =(-a,������ ).
33
2
∴������������ ·������������ =-������ 2 +2������ ×������ =-������ 2 +������ 2 =0,
问题1 利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?
向量法解决几何问题的“三步曲”. (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的 几何元素,把平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
问题2 向量法可以解决几何中的哪些问题?
【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°. 在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
所以|������������|=|������������|cos 30°=300× 3=150 3(N),
2
|������������|=|������������|sin 30°=300×1=150(N),|������������|=|������������|=150(N).
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（ ） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。