2008年深圳益田中学高二数学竞赛试题及答案
2008年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ） （C ） （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．54171（第3题）E【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5（第4题）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．（第9题答案）D 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp∆===（第8题答案）（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
08年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
2008年全国高中数学联赛、加赛试题及答案
2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x xx+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a --且42a +<，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）A. 24181B.26681C.27481D.670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===， 2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设A B C ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 2C. 22D. )2+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C BB C B C++=++s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q B CA A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得2222q q q <<⎪⎨⎪><-⎪⎩从而22q <<22．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11nna a xb a -=+⋅-， 由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=2-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =--- 2212(cos )2122ax a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-+2a =--舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=． 的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+=(10a =)，有112n n b b +=，故12n nb =，所以)1(121+-=n n a nn ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知答12图1(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x xxxg x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=， 6(6)()(6)()226326320x x x xg x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面A B C ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S O D ∆=⋅⋅⋅，故44P D O D r ==，从而43P O P D O D r r r =-=-=．记此时小球与面P A B 的切点为1P ，连接1O P ，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为P A B )相切时的情况，易知小球在面P A B 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P E F ，如答12图2．记正四面体答13图答12图2的棱长为a ，过1P 作1P M PA ⊥于M ． 因16M P P π∠=，有11cos 2PM PP M PP =⋅==，故小三角形的边长12P E P A P M r=-=． 小球与面P A B 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1P A B P E F S S ∆∆-22())4a a =--2=-．又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2c o s 1s i n s i n 34ααααα+=+．[证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα=…15分 22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分14．解不等式121086422log (3531)1log (1)xxx x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxx x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->，…10分 所以 4210x x +->，22(022x x -->．…15分所以22x >x <x >．故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分[解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxx x x ++++>+．…5分 即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x xx+<+++++=+++，)1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于答15图2211x x<+，…15分 即222()10x x +->，解得22x >(22x <-)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于P B C ∆，求P B C ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线P B 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到P B 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形A B C D ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是A B C ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：2A EA B=，1B C E C=，12E C B E C A ∠=∠，又,D A D C 是O的切线，AC =求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅P B C A P D C A ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅． 因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在A B C ∆的外接圆且在A C 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为A B C ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）记E C B α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有sin 2sin 32AE ABαα==，从而s i n 32s i n 2αα=3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα--=， …30分解得cos 2α=cos α=-故30α=，60ACE ∠=．由已知1B C E C==()sin 30sin E A C E A C∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=∠1i n c o s 22EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==+75EAC ∠=， …40分从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，A D C ∆为等腰直角三角形．因AC =，则1C D =．又A B C ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅== …50分答一图1[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交A B C ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在AC D ∆内，从而在111A B C ∆内，记A B C ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽A B C ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A C A λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A B C P D C A P C A Bλλ=⋅+⋅+⋅ 0110111P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112AB C S ∆=11111M A B C M D C A M C A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记E C B α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有sin 2sin 32AE ABαα==32sin 2αα=，即3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα--=， …30分解得cos 2α=cos α=-故30α= ，60ACE ∠= ． 由已知1B C E C==()sin 30sin E A C E A C∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=∠1i n c o s 22EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==+75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，A B C ∆为等腰直角三角形，AC =1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BD C为矩形，11B C BD ==，故λ=，所以m in ()21f P ==…50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有答一图21212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P CA B ⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅，从而 P A B C P C A B P D C A ⋅+⋅+⋅P B A C P D A C ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2） …10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()(A P C B C P B A λ--=--， A P B A C P C Bλ--=--，所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在A B C ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1m a n b+=． 于是11m a nba bT ab T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令 111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n na a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n kn k k n k k k x x ax ax -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n kn k n k k x x ax x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 11122220082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． …10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得1122200820()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1kkk f s as ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10kk f a==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分 下取数列{}n x 为01nk n k x s==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且10011n nk n k s s x ss +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此10000lim lim11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而20082008200810001111()()n k n n kn n k k k n kn kk k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
广东省东莞市2008年高中数学竞赛决赛试题新人教A版
中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题,每小题6分,共36分．每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题表的相应位置．）1．若集合},,{c b a M =中的元素是ABC ∆的三边长,则ABC ∆一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．设k =︒100cos ,则︒80tan =（ ）A ．k k 21-B ．k k 21--C ．k k 21-±D ．21kk -±3．如图,一个空间几何体的正视图,左视图,俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长都为1,那么这个几何体的体积为（ ）A ．61 B ．31 C ．21D ．14． 若A 、B 两点分别在圆044840481662222=--++=-+-+y x y x y x y x 和上运动,则||AB 的最大值为（ ）A ．13B ．19C ．32D ．38 5．设21,x x 是函数()2008xf x =定义域内的两个变量,且21x x <,若)(2121x x a +=,那么,下列不等式恒成立的是（ ） A ．|)()(||)()(|21a f x f x f a f ->- B ．)()()(221a f x f x f >C ．|)()(||)()(|21a f x f x f a f -=-D ． |)()(||)()(|21a f x f x f a f -<-6．已知函数*)(5n cos)(N n n f ∈=π,则=++++++)43()32()21()10()2008()2()1(f f f f f f f （ ） A ．1B ．0C ． -1D ．4二、填空题（本大题共6小题,每小题6分,共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）正视图 左视图 俯视图7．右图的发生器对于任意函数()x f ,D x ∈可制造出一 系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据D x ∉0, 则发生器结束工作；②若输入数据D x ∈0时,则发生 器输出1x ,其中()01x f x =,并将1x 反馈回输入端.现 定义()12+=x x f ,)50,0(=D .若输入10=x ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 ．8．若点（1,1）到直线2sin cos =+ααy x 的距离为d ,则d 的最大值是 ． 9. 从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于0.25的概率是_______． 10．函数212y x x =++（[]1,+∈n n x ,其中n 为正整数）的值域中共有2008个整数,则正整数=n .11. 把1,2,3,…,100这100个自然数任意分成10组,每组10个数,将每组中最大的数取出来,所得10个数的和记为S .若S 的最大值为M ,最小值为N ,则=+N M . 12．设集合[]{}22=-=x x x A ,{}2<=x x B ,其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数,则=B A .三、解答题（本大题共6小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13．（本小题满分12分）已知向量)tan 1,tan 1(x x -+=,))4sin(),4(sin(ππ+-=x x ．（1）求证:BAC ∠为直角； （2）若]4,4[ππ-∈x ,求ABC ∆的边BC 的长度的取值范围．14．（本小题满分12分）已知函数1)2()(2++-=x a ax x f .若a 为整数,且函数()f x 在(2,1)--内恰有一个零点,求a 的值. 15．（本小题满分12分）设A 、B 是函数x y 2log =图象上两点, 其横坐标分别为a 和4+a , 直线2:+=a x l 与函数x y 2log =的图象交于点C , 与直线AB 交于点D . (1)求点D 的坐标；(2)当ABC ∆的面积大于1时, 求实数a 的取值范围.16．（本小题满分14分）如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证:EF ∥平面11D CB ； （2）求证:平面11C CAA ⊥平面11D CB ；（3）如果1=AB ,一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB 、11C B 、11D C 、D D 1、DA 上的点,最终又回到点F ,指出整个路线长度的最小值并说明理由.17．（本小题满分14分）已知以点)0,)(2,(≠∈t R t tt C 为圆心的圆与x 轴交于A O 、两点,与y 轴交于O 、B 两点,其中O 为坐标原点.（1）求证:OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点N M 、,若||||ON OM =,求圆C 的方程.A 118．（本小题满分14分）对于函数()f x ,若()f x x =,则称x 为()f x 的“不动点”,若()()f f x x =,则称x 为()f x 的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ,即(){}|A x f x x ==,()(){}|B x f f x x ==.（1）求证:A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈,且A B =≠∅,求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是R 上的单调递增函数,0x 是函数的稳定点,问0x 是函数的不动点吗？若是,请证明你的结论；若不是,请说明的理由.高中数学竞赛决赛 参 考 答 案一、选择题D B A C D C 二、填空题7．5 8．22+ 9．16π10．1003 11．1505 12．}3,1{- 三、解答题13．（1）证明:因为)4sin()tan 1()4sin()tan 1(ππ+-+-+=⋅x x x x AC AB=cos sin cos sin (sin cos )(sin cos )]cos cos x x x x x x x x x x+--++ =0, …………4分所以AC AB ⊥,即︒=∠90BAC ． …………5分所以ABC ∆是直角三角形． …………6分 （2）解:1)4(sin )4(sin ||22=-++=ππx x , 因为ABC ∆是直角三角形,且AC AB ⊥,所以x 2222tan 23||||||+=+= …………9分 又因为]4,4[ππ-∈x ,1tan 02≤≤x ,所以5||3≤≤． 所以,BC 长度的取值范围是[]5,3． …………12分14．解:（1）0=a 时,令012)(=+-=x x f 得21=x ,所以()f x 在(2,1)--内没有零点； …………2分（2）0≠a 时,由2()(2)1,f x ax a x =-++044)2(22>+=-+=∆a a a 恒成立, 知1)2()(2++-=x a ax x f 必有两个零点． …………5分 若0)2(=-f ,解得Z a ∉-=65；若0)1(=-f ,解得Z a ∉-=23, 所以0)1()2(≠--f f ． …………7分 又因为函数()f x 在(2,1)--内恰有一个零点,所以(2)(1)0f f --<即(65)(23)0a a ++<． …………10分 解得 35,26a -<<- 由,1a Z a ∈∴=-综上所述,所求整数a 的值为1-． …………12分15．解:（1）易知D 为线段AB 的中点, 因)log ,(2aa A ,)log ,4()4(2++a a B ,所以由中点公式得)log ,2()4(2++a a a D ． …………2分（2）连接AB,AB 与直线2:+=a x l 交于点D,D 点的纵坐标为))4(log (log 2122++=a a y D ． …………4分所以BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=)22(||21+⋅=CD ||2CD =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=))4(log (log 21)2(log 2222a a a= log 2)4()2(2++a a a …………8分由S △ABC = log 2)4()2(2++a a a >1, 得2220-<<a , …………10分因此, 实数a 的取值范围是2220-<<a . …………12分16．（1）证明:连结BD .在正方体1AC 中,对角线11//BD B D .又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点,//EF BD ∴.11//EF B D ∴. …………2分又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ,EF ⊄平面11CB D ,∴ EF ∥平面CB 1D 1. …………4分（2）证明:在正方体1AC 中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1,∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. …………6分 又B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1,∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． …………8分（3）最小值为. …………10分如图,将正方体六个面展开成平面图形, …………12分从图中F 到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的中点,所求的最小值为. …………14分17．解:（1）O C 过原点圆 ,2224t t OC +=∴． 设圆C 的方程是 22224)2()(tt t y t x +=-+-FF令0=x ,得ty y 4,021==；令0=y ,得t x x 2,021==. …………2分 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ,即:OAB ∆的面积为定值. ……4分 （2）|,||||,|||CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN . 21,2=∴-=oc MN k k ,∴直线OC 的方程是x y 21=.…………6分 t t 212=∴,解得:22-==t t 或. …………8分 当2=t 时,圆心C 的坐标为)1,2(,5=OC ,此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ,圆C 与直线42+-=x y 相交于两点． …………10分 当2-=t 时,圆心C 的坐标为)1,2(--,5=OC ,此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交,2-=∴t 不符合题意舍去． …………13分∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x . …………14分18．解:（1）若A =∅,则A B ⊆显然成立；若A ≠∅,设t A ∈,则()()()(),f t t f f t f t t===,t B∴∈,故A B ⊆. …………4分（2）2,1A ax x ≠∅∴-=有实根,14a ∴≥-.又A B ⊆,所以()2211a ax x --=,即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --, 从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=. …………6分A B =,2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根,要么实根是方程210ax x --=的根.若2210a x ax a +-+=没有实根,则34a <；若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根,则由方程210ax x --=,得22a x ax a =+,代入2210a x ax a +-+=,有210ax +=.由此解得12x a =-,再代入得111042a a +-=,由此34a =,故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. …………10分 （3）由题意:0x 是函数的稳定点则()()00f f x x =,设()00f x x >,()f x 是R 上的单调增函数,则()()()00f f x f x >,所以()00x f x >,矛盾.若()00x f x >,()f x 是R 上的单调增函数,则()()()00f x f f x >,所以()00f x x >,矛盾,故()00f x x =,所以0x 是函数的不动点. …………14分。
高中数学竞赛二试试题答案B卷
题一图答一图2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H 分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．[证] 由已知条件知FAG FAE EAG FAE FAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．又 180DAE DCE ∠+∠=︒， 所以 180FAG DCE ∠+∠=︒， 从而,,,A F C G 四点共圆，此圆记为1Γ．同理可证：,,,B F D H 四点共圆，此圆记为2Γ． 点E 在圆1Γ，2Γ内．延长FE 与圆1Γ相交于点I ，则 IP PF AP PC DP PB ⋅=⋅=⋅， 故,,,B F D I 四点共圆．所以I 在BFD ∆的外接圆上，故I 在2Γ上． 再用相交弦定理： E C E G E F E I E D⋅=⋅=⋅， 故,,,C D G H 四点共圆． 二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 的正整数解组(,,)x y z 的个数．[解] 令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为22220zp p zr r -+++=． （2）下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数． 令121r r =+，121p p =+，代入（2）得221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解． （ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得2211110p zp zr r -++=． （4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，2211220r ar za a +-+=． （5）因21122r z r a a=++为整数，故212a r ． 又1122()z z x p r a >-==+，因此22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，a <．因此，对给定的11,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件a 的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即211()(2)/2N r r σ=．由题设条件，1125r ≤≤．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：012341{2,2,2,2,2}A =，2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯， 223{23,25}A =⨯⨯， 34{23}A =⨯， 25{23}A =⨯，1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =， 222{3,5}B =，3{35,37}B =⨯⨯，从而易知012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=，2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=， 3()9218N A =⨯=， 4()12N A =， 5()10N A =， 1()3824N B =⨯=， 2()5210N B =⨯=， 3()9218N B =⨯=，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131． 三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，已证得存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．。
高二数学竞赛试题及答案.doc
高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
2008年全国高中数学联赛试题及答案
AB 2 EC
2
又 DA, DC 是 e O 的切线， AC 2 ，求 f (P) 的最小值．
二（本题满分 50 分） 设 f (x) 是周期函数， T 和 1 是 f (x) 的周期且 0 T 1 ．证明：
（Ⅰ）若 T 为有理数，则存在素数 p ，使 1 是 f (x) 的周期； p
（Ⅱ）若 T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 {an} 满足1 an an1 0 (n 1, 2, ) ， 且每个 an (n 1, 2, ) 都是 f (x) 的周期．
若 c 8 ，则 a2 b2 94 64 30 ， b ≤5 ．但 2b2 ≥ 30 ， b 4 ，从而 b 4 或 5．若 b 5 ， 则 a2 5 无解，若 b 4 ，则 a2 14 无解．此时无解． 若 c 7 ，则 a2 b2 94 49 45 ，有唯一解 a 3 ， b 6 ． 若 c 6 ，则 a2 b2 94 36 58 ，此时 2b2 ≥ a2 b2 58 ，b2 ≥ 29 ．故 b≥6 ，但 b ≤c 6 ， 故 b 6 ，此时 a2 58 36 22 无解．
B．
0
,
5 1 2
C．
5 1, 2
5 1 2
D．
5 1, 2
【解答】 C．
设 a , b , c 的公比为 q ，则 b aq , c aq2 ，而
sin Acot C cos A sin AcosC cos Asin C sin(A C) sin( B) sin B b q ． sin B cot C cos B sin B cosC cos Bsin C sin(B C) sin( A) sin A a 因此，只需求 q 的取值范围． 因 a , b , c 成等比数列，最大边只能是 a 或 c ，因此 a , b , c 要构成三角形的三边，必需且只需 a b c 且 b c a ．即有不等式组
深圳市益田中学数学高二上期末经典练习题(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13296]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球2．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn3．(0分)[ID ：13287]某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.754．(0分)[ID ：13284]下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝15．(0分)[ID ：13283]把8810化为五进制数是（ ）A ．324(5)B ．323(5)C ．233(5)D ．332(5)6．(0分)[ID ：13269]为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元7．(0分)[ID ：13260]要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ）A ．5个B ．10个C ．20个D ．45个8．(0分)[ID ：13251]设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变9．(0分)[ID ：13245]定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1D ．3210．(0分)[ID ：13241]根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( )x 8 10 11 12 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2911．(0分)[ID ：13233]执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A．10 B．17 C．19 D．3612．(0分)[ID：13231]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A．92，94B．92，86C．99，86D．95，9113．(0分)[ID：13230]有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．7214．(0分)[ID：13317]将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A ．0795B ．0780C ．0810D ．081515．(0分)[ID ：13286]高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号B ．32号C ．33号D ．34号二、填空题16．(0分)[ID ：13397]某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．17．(0分)[ID ：13375]从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 的距离不大于2的概率为________.18．(0分)[ID ：13374]在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．19．(0分)[ID ：13363]对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆy bx=+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.20．(0分)[ID ：13360]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.21．(0分)[ID ：13359]某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 ．22．(0分)[ID ：13348]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________23．(0分)[ID ：13343]使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =24．(0分)[ID ：13335]在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．25．(0分)[ID ：13379]现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13481]某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,...,90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数. 27．(0分)[ID：13475]我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.P A的估计值；（1）记事件A：“全市家庭月均用水量不低于6t”，求()（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.28．(0分)[ID：13470]今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a，b的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S店是否需要停业整顿．29．(0分)[ID：13447]某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率160,1650.05第1组[)165,1700.35第2组[)170,175①第3组[)175,1800.20第4组[)180,1850.10第5组[]()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．30．(0分)[ID：13438]在最强大脑的舞台上，为了与国际X战队PK，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A1,A2,A3，三名擅长数独的选手B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A1被选中的概率；(Ⅱ)求A1,B1不全被选中的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．C4．A5．B6．A7．A8．B9．D10．A11．C12．B13．B14．A二、填空题16．【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为这名运动员在赛场上的2次罚球中至少有一次命中的概率为故答案为【点睛】本题考查概率的求法考查对立事件概率计算公式17．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为18．【解析】【分析】以正方体的中心为球心1为半径做球若点在球上或球内时符合要求求其体积根据几何概型求概率即可【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心1为半径的球上或球内时此点到正方体中心的距离不大于19．【解析】【分析】由题意求得样本中心点代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程求出横坐标和纵坐标的平均数写出样本中心点将其代入线性回归20．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：3721．151020【解析】试题分析：抽取比例为45900=120∴300×120=15200×120=10400×120=2 0抽取人数依次为151020考点：分层抽样22．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有2423．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据24．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标25．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有51015202530354045505560657075808590951 00三、解答题26．27．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况． 故选C点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．2．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 3．C解析：C【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．4．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用倒取余数法可得8810化为五进制数. 【详解】 因为88÷5=17...3,17÷5=3...23÷5=0 (3)所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得 a ，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b =，∴ 80.78100.2a y bx --⨯===． ∴ 0.780.2y x =+．取16x =，得 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．7．A解析：A 【解析】应抽取红球的个数为5010051000⨯=，选A.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i ＝n∶N.8．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B9．D解析：D【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a ab a bSb a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a ab a bSb a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos43ππ⎛⎫⎛⎫⊗⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗-⎪⎝⎭，因为112 >-，所以，113 111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.10．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．11．C解析：C 【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ． 考点：程序框图． 12．B解析：B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.13．B解析：B 【解析】 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=，所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题. 14．A解析：A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为100020 50=所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.15．C解析：C【解析】【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷，已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号，故选C.【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为这名运动员在赛场上的2次罚球中至少有一次命中的概率为故答案为【点睛】本题考查概率的求法考查对立事件概率计算公式解析：8 9【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，∴这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为022181()39p C =-=． 故答案为89． 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为解析：34【解析】如图所示，,,,E F G H 分别为,,,AD DC AB BC 的中点，因为P 到对角线AC 的距离不大2P 落在阴影部分所在区域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得，P 到对角线AC 21222321444⨯⨯⨯-=⨯，故答案为34.18．【解析】【分析】以正方体的中心为球心1为半径做球若点在球上或球内时符合要求求其体积根据几何概型求概率即可【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心1为半径的球上或球内时此点到正方体中心的距离不大于解析：6π【解析】 【分析】以正方体的中心为球心，1为半径做球，若点在球上或球内时，符合要求，求其体积，根据几何概型求概率即可. 【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心，1为半径的球上或球内时，此点到正方体中心的距离不大于1， 因为344133V ππ=⨯⨯=球，2228V =⨯⨯=正方体因此正方体内点到正方体中心的距离不大于1的概率24132226V P V 球正方体ππ⨯⨯===⨯⨯， 故填6π. 【点睛】本题主要考查了几何概型，球的体积，正方体的体积，属于中档题.19．【解析】【分析】由题意求得样本中心点代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程求出横坐标和纵坐标的平均数写出样本中心点将其代入线性回归解析：16-【解析】 【分析】由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出b 的值 【详解】 由已知，()12101210330x x x y y y +++=+++=()12101310x x x x ∴=⨯+++= ()12101110y y y y =⨯+++=代入回归直线方程可得：3132b =+ 解得16b =-故答案为16- 【点睛】本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果20．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37解析：37 【解析】根据图得到：n=18,S=19,n=12 S=31,n=6,S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37. 故答案为：37.21．151020【解析】试题分析：抽取比例为45900=120∴300×120=15200×120=10400×120=20抽取人数依次为151020考点：分层抽样解析：15,10,20 【解析】试题分析：抽取比例为45900=120∴300×120=15,200×120=10,400×120=20，抽取人数依次为15，10，20 考点：分层抽样22．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24 解析：78【解析】 【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为1416=78．故答案为：78．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．23．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M 的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据 解析：9.7,8【解析】 【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果. 【详解】仔细分析程序框图的作用和功能， 所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7， 所以答案是9.7,8. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.24．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标 解析：14π-【解析】分析：根据题意，求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ，以及对应平面区域的面积，再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.详解：由题意，使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点， 则222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥，在平面直角坐标系中,a b 的取值范围，所以对应的区域，如图所示， 当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形，其面积为24π，所以其概率为2324144ππππ-=-.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，对于几何概型概率可以为线段的长度比，区域的面积、几何体的体积比等，其中这个“几何度量”值域大小有关，与形状和位置无关，解决的步骤为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”，在求出总的事件所对应的“几何度量”，最后根据公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.25．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100解析：80 【解析】 【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．三、解答题 26．（1）0.02x =；中位数为2203；平均数为74（2）1200 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出第4组的频率，从而得到0.02x =，从而可估计所抽取的50名学生成绩的平均数和中位数；（2）先求出50名学生中成绩不低于70分的频率为0.6，由此可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数. 【详解】（1）由频率分布直方图得，第4组的频率为为1(0.010.030.030.01)100.2-+++⨯= 则0.02x =故可抽到50名学生成绩的平均数为(550.01650.03750.03850.02950.01)1074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=， 故中位数在第3组.设中位数为t 分，则有()700.030.1t -⨯=，则2203t = 即所求中位数为2203（2）由（1）知50学生中不低于70分的的频率为0.30.20.10.6++=，用用样本估计总体，可估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯= 【点睛】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，频率分布直方图坐标轴的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.27．（1）0.3；（2）4.92 t .；（3）3.18t 【解析】 【分析】（1）通过频率分布直方图求得[]6,10的频率，由此求得()P A 的估计值.（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为0.25的位置，从而求得全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值. 【详解】（1）由直方图可知()P A 的估计值为()(0.090.06)20.3P A =+⨯=.（2）因为0.06210.11230.18250.09270.0629 4.92⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t .（3）频率分布直方图中，用水量低于2 t 的频率为0.0620.12⨯=. 用水量低于4 t 的频率为0.0620.1120.34⨯+⨯=. 故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为0.250.1222 3.18()0.22t -+⨯≈.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、百分位数，属于基础题.28．（1）a ＝0.05，b ＝0.15；（2）65；（3）4S 店需要停业整顿 【解析】 【分析】（1）由频数10得频率，频率除以组距可得a ，由所有频率和为1可求得b ； （2）求得分值在[6，10]的频率，然后可得频数； （3）由频率分布直方图计算均值可得． 【详解】（1）由题意得：()0.0250.10.175********a b a ⎧++++⨯=⎪⎨=⎪⨯⎩，解得a ＝0.05，b ＝0.15．（2）所打分值在[6，10]的频率为（0.175+0.15）×2＝0.65， ∴所打分值在[6，10]的客户人数为：0.65×100＝65． （3）由题意得该4S 店平均分为：1×0.025×2+3×0.05×2+5×0.1×2+7×0.175×2+9×0.15×2＝6.5，∵6.5＜7，∴该4S 店需要停业整顿． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数列期望，属于基础题．29．(1) 0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10 【解析】 【分析】（1）由表中所有频率和为1可求得①处频率，由频率分布图的作法作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，取各小矩形中点处值作为此组的估计值进行计算可得平均值，中位数是把所有小矩形面积等分的那点的值．【详解】（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：()10.050.350.200.100.30-+++=．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．0.050.350.5x++=，解得0.1x=，∴中位数为：1700.1170.10+=．【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题，考查了学生的数据处理能力．30．（Ⅰ）13（Ⅱ）89【解析】分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A1被选中的概率；(Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A1,B1不全被选中的概率.详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}，由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M表示“A1被选中”，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C1)}，因而.(Ⅱ)用N表示“A1、B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1、B1全被选中”，。
2008年全国中学生数学能力竞赛决赛试题高二年级组
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高二数学竞赛试题及答案
高二年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题:p 方程11522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<<m B ．1>m C ．51<<m D ．54<<m2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满足()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（ ）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（ ）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)3f x x π=+ B ．()2sin(2)6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等比数列，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A.)21,1 B.21,1⎤⎦C.(21⎤⎦D.20,2⎛⎝⎦12． 已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为（ ）A ．24B ．104C ．14D ．248+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有 ②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在ABC ∆中, 点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点,3272,cos ,273AE B ADB π==∠=. （1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线3y x =-相切. ⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．参考答案一、选择题1．D 解析：方程表示焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.3.D 解析：由已知1n na a +=4.A解析：,e ca =⇒==，渐近线方程222202x y xb b-=⇒=±，因此左顶点到一条2a b =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β⊂，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=，即OP AM ⊥，故夹角为2π，故选C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形111ABCC B A A 的对角线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对角线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥⇒≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线cos (4)sin 1x y θθ+-=的距离直线cos (4)sin 1x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合， ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=，其对称中心()0,4M如图所示：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =⎧⎨=⎩，可得M '（4，8）． 设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ∆的周长为小值，二、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0， 得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所示，①)(x f 的最大值为1，最小值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④由题意，可得，)22,2(+∈k k x ，kx f 21)(max =，1k 1x k min+=）（．证明k 211k 1≥+，即证明1k 2k +≥，又1k 2k +≥， )1(≥k ，所以k 211k 1≥+，所以对任意0>x ，不等式x k x f ≤)(恒成立，所以对任意0>x ，不等式()2f x x≤恒成立正确．故答案：①③④.三、解答题17. 解析：若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ ∴1212a -<≤.若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数， 即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴1021,201a a a ⎧<≤->⎪⎨⎪<≤⎩或即021a <≤-或112a <≤.∴实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦. 18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ∆中，2cos B =)2112732127214ADB ⎛⎫+∠=-+= ⎪⎝⎭, BD, 知 cos AD CD ADC ∠2250DC DC ∴--=,解得1DC =+.1sin 2AD DC ADC ∠=⨯ 332ADC S ∆+=20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩，所以()()max 13f x f ==， 因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ∀∈-都成立，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ∀∈-恒成立，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ⎧-+≥⎨++≥⎩，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ⎧+≤⎨-≤⎩， 所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>；联立22221x y a by x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯一根； 所以()()()222222223430ab a a a b =--+-=，得223b a +=又221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的方程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的方程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联立()22222212142202x y k x k x k y kx k⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩得，则12PQx =-= 同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ⎛⎫ ⎪++===- ⎪++++ ⎪⎝⎭=2211442410k k⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭， 因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 所以2211164,2429410k k ⎛⎫⎪⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪++⎝⎭，所以四边形PQMN 面积的最小值为169，最大值为2。
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深圳益田中学2008年10月高二数学竞赛试题班级_________________姓名______________________学号___________________________说明：1．共60道单项选择题,每题2分,满分120分； 2．考试用时60分钟；3．请将答案用2B 铅笔填涂在答题卡上．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B = ： A ．()0,2 B ．(]0,2 C ．[)0,2 D ．[]0,22下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是： A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-3．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为：A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，44．等差数列}{n a 的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2= ： A ．－6 B ．－8 C ．8 D ．65．已知53sin =α，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ2sin 的值为： A ．54± B ．54- C ．54D ．53-6．已知函数)2008(,4)20081(2loglog)(32f f x b x a x f 则且=++=的值为：A ．－4B ．2C ．0D ．－27．为得到函数)22cos(3π-=x y的图象，只需将函数)42sin(3π-=x y 的图象：A ．向左平移8π个长度单位 B ．向右平移8π个长度单位 C ．向左平移4π个长度单位D ．向右平移4π个长度单位8．在一个个体数目为2003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为：A ．120B ．1100C ．1002003D ．1200379844647939．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说辞，然而它的实际效果很大．这句话的等价命题是：A ．不拥有的人们不一定幸福B ．不拥有的人们可能幸福C ．拥有的人们不一定幸福D ．不拥有的人们不幸福 10. 集合{},A a b =的真子集的个数是：A ．1B ．2C ．3D ．411．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则(5)f 的值是： A. 2 B.1 C. 0 D. 1- 12.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值是：A.9B.91 C.-9 D.-9113.设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为： A.6π B.4π C.3πD.π12514.12m =是直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直的：A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15．直线y x b =+平分圆228280x y x y +-++=的周长，则b =： A ．3B ．5C ．－3D ．－5 16．已知函数()sin y x =ω+ϕ0,02π⎛⎫ω><ϕ≤⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，则点(),ωϕ的坐标是：A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭17．设q p ,是简单命题，则“q p ∧为真”是“q p ∨为真”的： A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底 角为045、腰和上底均为1的等腰梯形，面积为： A ．21+B ．221+C ．222+ D ．22+19．z y x lg ,lg ,lg 成等差数列是z y x ,,成等比数列的：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 20． 15cos 15sin =：A ．41 B ．43 C ．21 D ．2321．给出下列三个函数：①1)(+=x x f ，②xx f 1)(=，③2)(x x f =，其中在区间),0(+∞上递增的函数有：A ．0个B ．1个C ．2 个D ．3个22．设平面向量()()3,5,2,1a b ==- ，则2a b -=：A ．)3,7(B ．(7,3)--C ．10D ．-1023．函数3)4lg()(--=x x x f 的定义域为：A ．[]4,3B ．()()4,33, ∞-C ．()4,3D ．[)4,324．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是：A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310]25．设函数2211()1⎧-⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，，-2，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为： A ．34 B ．34- C ．3- D ．226．若2(1)ln 2ln ln ∈===x e a x b x c x ，，，，，则： A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a27. 方程2sin 2sin 0x x a --=x R ∈在上有解，则a 的取值范围是： A ．[)+∞-,1 B ．),1(+∞-C ．[)3,1-D ． ]3,1[-28. 已知定义在正整数集上的函数)(x f 满足条件：(1)2f =，(2)2f =-,(2)(1)()f n f n f n +=+-,则(2008)f 的值为：A ．－2B ． 2C ．4D ．－429．满足“对任意实数y x ,，)()()(y f x f y x f ⋅=⋅都成立”的函数可以是： A ．x x f 3)(= B ．x x f 3log )(= C ．3)(x x f = D ．xx f 3)(=30．期末考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M 与N 的比是： A ．40 ：41 B ．1 ：1 C ．41 ：40 D ．2 ：131．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为： A ．π3 B ．π37C ．π320D ．π32．若)1,0(∈n ,则方程02=++n x x 有实根的概率为： A ．21 B ．31 C ．41 D ．4333．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中不正确的是：A ．若m ∥α⊥m n ,，则α⊥nB ．若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥nC ．若⊥m βα⊥m ,，则α∥βD ．若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ34．有一条信息, 若1人得知后用1小时将其传给2人, 这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人, 如此继续下去, 要传遍100万人口的城市, 所需的时间大约是： A ．10天 B ． 2天 C ．1天 D ． 半天35．等差数列{}n a 中,公差为d ,,721581=++a a a 则=+d a 35： A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-正视图俯视图左视图36．若数列{}n a 的前n 项和为：221n S n =-，则数列{}n a 的通项公式为： A ．42n a n =-B ．42n a n =+C ． 1 142 2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩D ． 1 142 2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩37．已知命题:00p xy x =⇒=；命题:q a b >是22ac bc>的充分不必要条件，则：A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真38．计算机是将信息转换成二进制进行处理的。
二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制，将它转换成十进制形式，是3211212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数216(1111)转换成十进制形式是：A ．1722-B ．1622-C ．1621- D ．1521-39．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =：A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ． 1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭40．命题“若3≠x 且2≠x ，则0652≠+-x x ”的否命题是：A ．若3=x 且2=x ，则0652=+-x xB ．若3≠x 且2≠x ，则0652=+-x xC ．若3=x 或2=x ，则0652=+-x xD ．若3=x 或2=x ，则0652≠+-x x41．函数[]3,0,342∈+-=x x x y 的值域是：A .[]3,0B .[]0,1-C .[]3,1-D .[]2,042.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为： A ．24 B ．18 C ．16 D ．1243．圆221x y +=与直线2y kx =+有公共点，则k 的取值范围是：A [B (,)-∞+∞C [D (,)-∞+∞44．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大雪灾．大雪无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数将达到 ： A ．4800元 B ．8000元 C ．9600元 D ．11200元45．直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+y y x 的关系是： A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切46．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为：A ．1B ．C D ．347.命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是：A.,11a b a b >-≤-若则B.,11a b a b >-<-若则C.,11a b a b ≤-≤-若则D. ,11a b a b <-<-若则 48．若复合命题“p 且q ”，“p 或q ”仅有一个为真，则： A ．p 、q 都为真 B ．p 、q 都为假 C ．p 、q 一真一假 D ．不能判断49．在△ABC 中，已知C b a cos 2=，那么这个三角形一定是： A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形50．下列大小关系正确的是： A ．3.0log 34.044.03<<B ．4.04333.0log4.0<<C ．4.03434.03.0log<<D ．34.044.033.0log<<51．有关命题的说法错误．．的是： A ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题B ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ”C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件D ．对于命题p ：R x ∈∃使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x52．设)(x f 是定义在R 上的奇函数且当x ＞0时，32)(-=xx f ，则)2(-f ＝： A ．1 B ．41 C ．-1 D ．411-53．已知命题P :所有有理数都是实数；q :正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是： A ．q p ∨⌝)(B ．q p ∧C ．)()(q p ⌝∨⌝D ．)()(q p ⌝∧⌝54．命题“若0a >，则1a >”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是： A ．0 B ．1 C ．2 D ．355．下列各组函数中,表示同一函数的是： A.55x y =与 2x y =B.x e y ln =与 x e y ln =C.1)3)(1(-+-=x x x y 与 3+=x y D. 0x y = 与01xy =56．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的： A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 57．等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为：A ．—2006B ．2006C ．—2008D ．200858．若函数)(x f 是偶函数，且当),0[+∞∈x 时，1)(-=x x f ，则不等式1)1(>-x f 的解集是：A ．}31|{<<-x xB ．}3,1|{>-<x x x 或C ．}2|{>x xD ．}3|{>x x59．若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是： A ．]1,1[- B ．]21,21[- C ．]21,1[- D ．]1,21[-60．过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF ，AD ⊥EF 于D ，BE ⊥EF 于E ，CF ⊥EF 于F ，都有0=++CF BE AD ， 则点M 是△ABC 的： A ．三条高的交点 B ．三条中线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三内角平分线的交点2008年10月高二数学竞赛试题参考答案。