九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大)

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九年级上册数学同步练习题库：解一元二次方程(选择填空题：较难)

解一元二次方程（选择填空题：较难）1、对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a-b，如：f（2，3）=22+5×2-3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（）A．1或-6 B．-1或6 C．-5或1 D．5或-12、使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣63、实数x满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0，则x2+x的值等于（）A．2 B． C．2或 D．1或4、一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=155、对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{2，4}＝4.按这个规定，方程max{x，－x}＝的解为()A．1－ B．2－C．1－或1＋ D．1＋或－16、一元二次方程x2﹣2x﹣3="0" 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣27、若一个三角形的三边均满足，则此三角形的周长为（）A．6 B．12 C．10 D．以上三种情况都有可能8、设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．9、设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝_______.10、若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．11、设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．12、若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．13、已知关于的一元二次方程的两个实数根都是整数，则整数的值是______．14、若，则代数式的值为__________.15、方程的解是_______．16、已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个实数根，则m2+2n的值为_______17、写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是_____．18、三角形两边的长分别是8cm和6cm，第三边的长是方程x²－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的面积是_______19、设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_______.20、若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．21、方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．22、一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则=______．23、已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2②x1x2<ab③x12+x12<a2+b2,则正确结论的序号是______________.24、已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22< a2+ b2.则正确结论的序号是_____.(填上你认为正确结论的所有序号)25、若a，b分别是方程x2+2x-2017=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_________．26、有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________。

2021-2022学年九年级数学(人教版)专题03《一元二次方程公式法》重难点专练

专题03公式法重难点专练（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的方程（m 2﹣1）x 2+2（m ﹣1）x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ≥12．（2021·广东九年级一模）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．94m >B ．94m <-C ．94m ≤-D ．94m < 3．（2021·广东深圳市·九年级二模）已知y ＝kx +k ﹣1的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣k 2﹣k ＝0的根的情况是（）A ．无实数根B ．有两个相等或不相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根4．（2021·河北九年级一模）当10k -<<时，关于x 的一元二次方程240x x k +-=根的情况是（） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根5．（2021·河南平顶山市·九年级一模）关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定6．（2021·深圳市南山区华侨城中学九年级二模）对于实数 a ，b ，定义运算“#”如下：a #b ＝a 2－ab ，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x ＋1）#3＝2的根的情况是（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根7．若关于x 的一元二次方程x 2+5x +m ＝0有两个不相等的实数根，且m 为正整数，则符合条件的m 有（） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个8．（2021·河北九年级二模）定义；如果一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x 的方程20ax bx c ++=(a ≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）A ．a =c ≠bB ．a =b ≠cC ．b =c ≠aD ．a =b =c9．（2021·广西九年级学业考试）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k <C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠10．（2021·河南南阳市·九年级二模）对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx '--=+（m ，n 为常数）．例如：42y x x =+，则342y x x '=+．已知：()322123y x m x m x =+-+，若方程0y '=有两个相等的实数根，则m 的值为（）A ．0B ．12C ．32D ．111．（2021·山西阳泉市·九年级一模）将关于x 的一元二次方程20x px q +=﹣变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅==﹣…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x ＞，则31x +的值为（）A ．1B ．1C ．3D ．3+12．（2021·广东九年级二模）已知a 、b 、4分别是等腰三角形三边的长，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于（）A ．6B ．7C ．-7或6D ．6或713．（2021·广东九年级一模）关于x 的一元二次方程2100x x m -+=的两个实数根分别是1x ，2x ，且以1x ，2x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m 的值为（）A ．24B ．25C ．24或25D ．无法确定14．（2021·浙江九年级一模）如图，一次函数23y x =+与y 轴相交于点A ，与x 轴相交于点B ，在直线AB 上取一点P （点P 不与A ，B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，连结PO ，若PQO 的面积恰好为916，则满足条件的P 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2021·山东淄博市·九年级二模）若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx ＋1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2＋2k （1﹣k ）的值为（）A ．3B ．﹣3C ．72-D ．7216．（2021·河北石家庄新世纪外国语学校九年级月考）小刚在解关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =．他核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1，则原方程的根的情况是（）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有另一个根是1x =-D ．有两个相等的实数根 17．（2021·广东九年级二模）小明把分式方程24x x x =-去分母后得到整式方程2280x x --=，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（）A ．小明的说法完全正确B ．整式方程正确，但分式方程有2个解C ．整式方程不正确，分式方程无解D ．整式方程不正确，分式方程只有1个解18．（2021·河北九年级二模）定义“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a ＋b ）（a －b ）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（） A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根19．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k <且0k ≠B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠ D ．54k ≥ 20．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的一元二次方程()2310x k x k ---+=的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定21．（2021·河南九年级二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根22．（2021·河南九年级二模）关于x 的方程()53x x -=-的根的情况，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根23．（2021·山东中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 24．（2021·河南九年级二模）对于一元二次方程250x x c -+=来说，当254c =时，方程有两个相等的实数根，若将c 的值在254的基础上减小，则此时方程根的情况是（） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．只有一个实数根25．（2021·浙江八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令24433y b b m =--+，则（）A ．1y >-B ．1y ≥-C ．1y ≤D ．1y <26．（2021·浙江八年级期末）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（） ※若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；※若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根；※若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立；※若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2．A ．※※B ．※※C ．※※D ．※※27．（2020·上海八年级月考）下列方程一定有实数解的是（）A．220x x ++= B 10= C ．10x = D ．320x +=28．（2021·厦门市松柏中学九年级月考）已知关于x 的方程x 2﹣（a+2b ）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P 在直线l ：y ＝﹣x+12上，点Q(12a ，b)在直线l 下方，则PQ 的最小值为（）A B C ．12 D 29．（2021·蒙城县庄子体育艺术中等专业学校九年级其他模拟）若实数a （a ≠0）满足a ﹣b ＝3，a +b +1＜0，则方程ax 2+bx +1＝0根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有两个实数根30．（2021·浙江八年级期末）关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax ＋b ＋1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k ．（）A ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b> B ．若k k a b >，则0＜a ＜1 C ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b < D ．若k k a b <，则0＜a ＜1二、填空题 31．（2021·山东菏泽市·九年级一模）关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0的根的情况是_____． 32．（2021·浙江九年级一模）已知命题：“关于x 的一元二次方程210x bx ++=，当0b >时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．33．（2021·内蒙古九年级一模）已知关于y 的一元二次方程()21210k y y -++=有实数根，则k 的取值范围是__________．34．（2021·云南九年级一模）关于x 的一元二次方程140m x x n -+-=有两个相等的实数根，则m n +的值为_____．35．（2021·山东九年级一模）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x +-=，且0x >．则4323x x x -+的值为________．36．（2021·江苏中考真题）方程22142x x x -=--的解是_____________． 37．（2021·山东中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．38．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+bx +1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a ﹣2b 2+6的值是__．39．（2021·黑龙江九年级二模）对于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c ，有下列说法：※若0a b c ++=，则240b ac -≥；※若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；※若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；※若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()02224ax b b ac =+-．其中说法正确的有______（填序号）．40．（2021·成都市第二十中学校八年级期中）如图，Rt※ABC 中，※BAC ＝30°，AB ＝P 为边AB 上一动点，点P 关于AC 、BC 的对称点分别为点M ，N ，PM ，PN 分别与AC ，BG 交于点E 、F ，连接MN ，下列结论：※点M 、C 、N 在一条直线上；※线段MN 的最小值是6；当四边形CEPF 为正方形时，线段BP＝6﹣※当点P 从点A 运动到点B 时，线段MN 扫过的面积为___．41．（2019·四川绵阳实中、绵阳七中九年级月考）关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1=0，有以下三个结论：※当m=0时，方程只有一个实数解；※当m≠0时，方程有两个不等的实数解；※无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．42．（2020·全国九年级课时练习）若关于x 的方程(a+1)x 2+(2a ﹣3)x+a ﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是_____． 43．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC ， ※BAC=90°，O 为BC的中点，D 为AC 斜下方一点，30,6,ADC CD OD ︒∠===AD 的长为______．44．（2021·湖北十堰市·九年级其他模拟）对于实数m ，n ，定义运算m ※n ＝mn 2﹣n ．若2※a ＝1※（﹣2）则a ＝___________．45．（2021·黑龙江九年级一模）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，8BC =，245OE EF +=，则线段AB 的长为______．46．（2021·四川九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，点Q 是一次函数142y x =-+的图象上一动点，将Q 绕点()2,0C 顺时针旋转90︒到点P ，连接PO ，则PO PC +的最小值_________．47．（2021·浙江九年级一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()0b b >以及常数()01k k ≤≤确定实际销售价格为()c a k b a =+-，这里的k 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b a c a c a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于____． 48．（2021·江苏八年级期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD 边沿CF 折叠，D 点的对应点为D ，再将BC 沿CD '折叠，使得B 点恰好落在CF 边上的B '处折痕与AB 边交于E EF ，则AEF 的面积=_____．49．（2021·江西九年级二模）如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，P 是边AB 上的一个动点，过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，连接,DP DE ．若8AB PDE =,是等腰三角形，则BP 的长是_________________．三、解答题50．（2019·江苏省镇江中学附属初中九年级月考）如图所示，※ABC 中，※B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．（1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒，使※PBQ 的面积等于8cm 2？（2）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，线段PQ 能否将※ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s 的速度移动，P ，Q 同时出发，问几秒后，※PBQ 的面积为1cm 2？51．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．52．（2021·山东九年级一模）（1）先化简：2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从12x -≤≤中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．（2）解方程：231x +=．53．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．54．（2021·重庆一中八年级期中）（1）用公式法解一元二次方程：2221x x x -=+．（2）解分式方程：2233111x x x x +-=-+-． 55．已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax +a ＝0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）求使代数式（x 1+1）（x 2+1）值为负整数的实数a 的整数值；（3）如果实数a ，b 满足b ，试求代数式x 13+10x 22+5x 2﹣b 的值．56．（2021·利津县第一实验学校九年级一模）解方程（1）()2325x x +=+（2）2316x x -=（3）解方程：11222x x x-+=--57．（2021·北京九年级二模）已知关于x 的方程2(1)210k x x --+=有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数时，求此时方程的根．58．（2021·湖北九年级一模）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m 的值．59．（2021·北京九年级二模）关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．60．（2021·广东九年级一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣3＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC 中，AB =3，若AC 、BC 为方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣3＝0的两个实数根，求k 的值．61．如图四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c 、、是Rt ABC 和Rt BED △边长，易知=AE ，这时我们把关于x 的形如20+=ax b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”20+=ax b 必有实数根；（3）若1x =-是“勾系一元二次方程”20+=ax b 的一个根，且四边形ACDE 的周长是，求ABC 面积．62．（2021·河北九年级二模）嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D →→→的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+⨯--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B →→→的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说x ，对x 按C B D A →→→的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求x ． 63．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，请化简2111a a a +--64．设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．65．已知方程组242102y x y y kx ⎧--+=⎨=+⎩有两组不相等的实数解，求k 的取值范围． 66．（2021·云南九年级二模）通过“列表、描点、连线”画出函数图象，观察图象得出函数的性质是研究函数的常用方法．某兴趣小组对函数61y x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）函数61y x =-的自变量取值范围是______．（2）列表：则表中m 的值为_______．（3）描点，连线：根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．（4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：______．（5）直线11366y x =-+与函数61y x =-的图象的交点个数是______个． 67．（2021·上海八年级期末）解关于x 的方程：2221a x x -=-．68．（2021·浙江八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，FH ※AC 于点E ，交AD ，AB 于点F ，H ．（1）求证：CF ＝CH ；（2）若AH ＝13CH ，AB ＝4，求AH 的长．69．（2021·江苏八年级期中）已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．70．（2019·华东师范大学第二附属中学附属初级中学八年级月考）己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.71．（2021·全国）已知关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不等的实根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大整数值时，ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，求ABC ∆的周长．72．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．73．（2021·山东九年级一模）如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共点A ，点B 在线段DG 上．（1）判断DG 与BE 的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，正方形AEFG BE 的长．74．（2021·河北九年级一模）如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？75．（2021·安徽八年级期末）在ABCD 中，点M 为AB 的中点．（1）如图1，若90A ∠=︒，连接DM 且3BMD ADM ∠=∠，试探究AB 与BC 的数量关系；（2）如图2，若A ∠为锐角，过点C 作CE AD ⊥于点E ，连接EM ，3BME AEM ∠=∠，※求证：2AB BC =※若EA EC =，求ED EC的值．76．（2021·江苏八年级期末）在正方形ABCD 中，6AB =，E 、F 分别是BC 、AB 边上的动点，以DF 、EF 为边作平行四边形EFDG ．（1）如图1，连接AE ，若AF BE =，试说明EG 与AE 的关系；（2）如图2，若E 为BC 的中点，F 在AB 边上是否存在某个位置，使得四边形EFDG 为菱形？若存在，求出AF 的长；若不存在，说明理由．（3）设BE m =，若不论F 在何位置，FG 与DE 始终不可能相等，求m 的取值范围．77．（2021·江苏省盐城中学新洋分校八年级月考）阅读理解:材料1:对于一个关于x 的二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令2ax bx c y ++=（0a ≠）,然后移项可得:()20ax bx c y ++-=,再利用一元二次方程根的判别式来确定y 的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求225x x ++的取值范围: 解:令225x x y ++=()2250x x y ∴++-=,()244450b ac y ∴-=-⨯-≥,4y ∴≥即2254x x ++≥;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a >）有两个不相等的实数根1x ､2x （12x x >）, 则关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥（0a >）的解集为:1x x ≥或2x x ≤,则关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≤（0a >）的解集为:21x x x ≤≤;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x 的二次三项式23x ax ++（a 为常数）的最小值为-6,则a =_____.（2）求出代数式24221x x x -+-的取值范围．类比应用:（3）猜想:若Rt ABC △中,90C ∠=︒,斜边2AB a =（a 为常数,0a >）,则BC =_____时,AC BC +最大,请证明你的猜想．78．（2020·湖南中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒单位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．79．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根()OA OC >，5BE =，34AO BO =．（1）求点A ，C 的坐标；（2）M 为直线AB 上任一点，当DEM △的面积为40时，求点M 的坐标；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于第二象限的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大)

九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大）一、选择题：1、若关于x的方程2x m－1＋x－m＝0是一元二次方程,则m为（）A．1 B．2 C．3 D．02、一元二次方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（)A．3，﹣4，﹣2 B．3,﹣2，﹣4 C．3，2，﹣4 D．3，﹣4，03、已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为（)A．0 B．1 C．2 D．44、一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤15、已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b,则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣26、下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是( )A．（x＋)2＝ B．（x－）2＝C．(x－)2＝ D．(x＋)2＝7、一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根8、关于x的方程（m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠29、用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为（）A．(x＋1）2＝6 B．(x－1)2＝6 C．（x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 10、根据下面表格中的对应值：x 3。

23 3.24 3.25 3。

26ax2＋bx＋c －0。

06 －0.02 0.03 0.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a,b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3。

23＜x＜3.24 C．3。

24＜x＜3。

25 D．3.25＜x＜3。

26 11、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-10x+21=0的根，则该三角形的周长为 ( ） A．14 B．10 C．10或14 D．以上都不对12、关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种二、填空题：13、一元二次方程的一般形式是，其中一次项系数是．14、关于x的方程（m﹣2）x|m｜+3x﹣1=0是一元二次方程,则m的值为．15、若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个解，则方程的另一个解是．16、若关于x的一元二次方程（m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,则m的值等于_______．17、关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是．18、已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根,则2m2－4m＝______．19、若一元二次方程x2－2x－m=0无实数根，则一次函数y=(m＋1）x＋m－1的图像不经过第象限20、若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．三、计算题：21、3x2＋x－5＝0；(公式法) 22、x2＋2x－399＝0。

(完整版)一元二次方程练习题(难度较高)

一元二次方程练习题1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-⋅=+x x x x ，求k 的值。

2。

、已知关于x 的一元二次方程有两个实数根1x 与2x（1）求实数m 的取值范围； (2）若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。

3.已知)(11y x A ，，)(22y x B ，是反比例函数xy 2-= 图象上的两点，且212-=-x x ，321=⋅x x ．（1）求21y y - 的值及点A 的坐标；（2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围．4.(本小题8分)已知关于x 的方程014)1(22=+++-kx k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。

（1)k 为何值时,方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k 的值。

5已知关于x 的一元二次方程。

（1)求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC 的斜边长，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面积。

6如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜21x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”．（1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由；（2)已知关于x 的一元二次方程01)1(2=---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围．7设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1,另一根小于1，试求实数p 的范围．8已知方程052=++-m mx x 有两实数根α、β,方程0715)18(2=+++-m x m x 有两实数根α、γ,求βγα2的值。

9已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.10若关于x 的方程016821)14216()281(162234=+-+-+-+-a a x a x a x x 的各根均为整数，求a 的值并解此方程。

九年级数学-一元二次方程的解法大题专练(重难点培优30题)

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.7一元二次方程的解法大题专练（重难点培优30题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2021春•长兴县月考）解下列方程：（1）（x ﹣2）2＝2x ﹣4．（2）（23x +5）2﹣9＝0．（3）2x 2﹣5x +2＝0．2．（2020秋•海陵区期末）解下列方程：（1）（x ﹣3）2﹣4＝0；（2）x 2﹣4x ﹣8＝0．3．（2021春•包河区期中）选择合适的方法解方程：（1）2（x +3）2＝18；（2）3x 2﹣6x ﹣4＝0．4．（2020秋•番禺区期中）解方程（1）3x 2﹣6＝0；（2）2x 2﹣6x +3＝0．5．（2020秋•永定区校级期末）解方程：（1）4x 2﹣25＝0；（2）3（x ﹣1）2＝x （x ﹣1）．6．（2020秋•南山区期末）解下列方程：（1）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．（2）2x 2﹣4x ﹣1＝0．7．（2020秋•南京期末）解方程：（1）x 2+2x ﹣3＝0；（2）3x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）．8．（2020秋•开封期末）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）9．（2020秋•新市区校级月考）用指定方法解方程：（1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法）（2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法）（3）x2﹣5x+1＝0．（公式法）（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法）10．（2019秋•北碚区校级月考）解下列方程：（1）（x+2）2＝25（2）3x2+6x﹣5＝0（3）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9（4）6x−1−3x−1=111．（2020秋•陕州区期末）解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x（x﹣4）＝12﹣3x．12．（2021•武进区模拟）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣3＝0；（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．13．（2021•常州模拟）解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．14．（2019秋•涪陵区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0．15．（2020秋•宝安区期末）解方程：（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）2x2﹣4x+1＝0．16．（2020秋•南平期末）解方程：（1）x2﹣x＝0；（2）x2+x﹣3＝0．17．（2020秋•丹阳市期末）用适当的方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣5＝0．18．（2020秋•坪山区期末）解下列方程：（1）x2﹣5x+1＝0；（2）x（x﹣1）＝3x﹣3．19．（2021春•上城区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x+2）2＝3（x+2）；（2）4x2﹣28x+13＝0．20．（2020秋•雁江区期末）用适当的方法解方程（1）3x2﹣x﹣4＝0．（2）（x+3）2＝（2﹣2x）221．（2020秋•沭阳县期中）（1）（x﹣2）2＝1；（2）x2﹣4x﹣1＝0．22．（2020秋•锡山区期中）解方程：（1）（x+1）2﹣81＝0；（2）x2﹣4x+1＝0．23．（2021春•平谷区校级期中）选择适当方法解一元二次方程：（1）（x﹣5）2﹣36＝0；（2）2x2+4x﹣5＝0．24．（2021春•合肥期中）解方程：（1）5x+2＝3x2；（2）（x+1）2+2＝3（x+1）．25．（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．26．（2021春•镇海区期中）解方程：（1）x2＝x；（2）x2﹣8x﹣4＝0．27．（2021春•西城区校级期中）解方程：（1）4x2＝16．（2）x2﹣3x＝0．（3）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．（4）x2+x＝1（用公式法）．28．（2021春•东城区校级期中）选用适当方法解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）3x2+x﹣1＝0．29．（2021春•长沙期中）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x﹣3＝0；（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．30．（2021春•通川区校级月考）若x2+2x﹣4＝（x﹣a）2+b．（1）a＝，b＝．（2）当x＝时，代数式x2﹣2x﹣4有最小值，最小值是．（3）求代数式﹣x2﹣4x﹣8的最大值是．。

部编数学九年级上册21.2解一元二次方程专项训练(35题)2023考点题型精讲(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！解一元二次方程专项训练(35题)一、计算题1．解下列方程：（1）3x 2+6x−2=0 ；（2）3x(2x−1)=4x−2 .【答案】（1）解： 3x 2+6x−2=0∴a =3，b =6，c =−2，∴△=b 2−4ac =62−4×3×(−2)=36+24=60>0，∴x =−6±6=−3±3即 x 1=x 2=−3−153.（2）解： 3x(2x−1)=4x−2∴3x(2x−1)−2(2x−1)=0，∴(3x−2)(2x−1)=0，∴3x−2=0 或 2x−1=0，解得： x 1=23，x 2=12.【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，然后借助求根公式x =−b ±b −4ac 2a进行计算；（2）首先对右边的式子进行分解，然后移至左边，发现含有公因式(2x-1)，提取公因式法因式分解可得(3x-2)(2x-1)=0，据此求解.2．用公式法解方程： 2x 2−1=4x 【答案】解： 2x 2−4x−1=0a =2，b =−4，c =−1∴Δ=b 2−4ac =(−4)2−4×2×(−1)=24>0∴x =−b ±2a=4±4∴x 1x 2=2−62.【解析】【分析】首先将方程化为一般形式，然后求出b 2-4ac 的值，接下来借助求根公式进行计算即可.3．解下列方程：（1）x 2−4x =0 ；（2）(x−6)(x +1)=−12 .【答案】（1）解： x 2−4x =0x(x−4)=0解得 x 1=0，x 2=4（2）解： (x−6)(x +1)=−12x 2−5x−6=−12x 2−5x +6=0即 (x−2)(x−3)=0解得 x 1=3，x 2=2【解析】【分析】（1）对原方程提取公因式x 可得x(x-4)=0，据此计算；（2）首先将方程化为一般形式，然后分解因式可得(x-2)(x-3)=0，据此计算.4．解方程：（1）（x+2）2﹣9＝0；（2）x 2﹣2x ﹣3＝0.【答案】（1）解：（x+2）2﹣9＝0（x+2）2=9x+2=±3所以 x 1=−5，x 2=1 .（2）解：x2﹣2x﹣3＝0（x+1）（x-3）=0x-3=0或x+1=0所以x1=−1，x2=3.【解析】【分析】（1）原方程可变形为(x+2)2=9，然后利用直接开方法进行求解；（2）对原方程利用十字相乘法分解可得(x+1)(x-3)=0，据此求解.5．解方程：（1）x2－2x－3＝0；（2）x （x－2）－x＋2＝0.【答案】（1）解：x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝3＋1（x－1）2＝4x－1＝±2∴x1＝3，x2＝－1；（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0（x－2）（x－1）＝0x-2=0或x-1=0∴x1＝2，x2＝1.【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边分别加上一次项系数一半的平方“1”，对左边的式子利用完全平方公式分解，然后利用直接开方法进行计算；（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故直接利用因式分解法求解即可.6．解方程：(x+3)2−25=0【答案】解：（x+3）2=25，∴x+3=±5，解得：x1=2，x2=-8．【解析】【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】37921

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4） 0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋（4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ；（4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－（6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题答案1、【答案】（1）116±－；（2） 142±－；（3） 523±；（4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】（1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ；（4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。

中考数学一元二次方程(大题培优易错难题)

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．7．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：∵（a b -）2=a ﹣2ab +b ≥0∴a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为．当x ＜0时，x +1x 的最大值为；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2．故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25．当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80% 400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。

九年级数学·一元二次方程专项练习(含参考答案)

九年级数学一元二次方程专项练习（含参考答案）练习1用直接开平方法解一元二次方程162=x ；16)3(2=-x ；16)1(2=-x ；06)4(322=--x ；3)23(212=+x ；22)21(9)1(4x x -=+；042=-x ；942=x ；29)1(22=+x ；027)2(32=-+x ；22)1()12(-=+x x ；016)3(32=-+x .【参考答案】4,421-==x x /1,721-==x x /4,621-==x x /1,721==x x 362,36221--=+-=x x /45,8121==x x /2,221-==x x /23,2321-==x x 25,2121-==x x /5,121-==x x /2,021-==x x /3323,332321--=+-=x x0342=+-x x ;862=+x x ;16)8(=+x x ;024102=--x x ;2122=-x x ;04522=--x x ;342-=+x x ;0132=+-y y ;2432=-x x ;242=+x x ;032=+x x ;216121x x -=+.【参考答案】1,321==x x /173,17321--=+-=x x /244,24421--=+=x x 2,1221-==x x /261,26121-=+=x x /35,3521-=+=x x 3,121-=-=x x /253,25321-=+=y y /31032,3103221-=+=x x 62,6221--=+-=x x /3,021-==x x /4121==x x12312=+x ；0662=--x x ；2)4)(2(=+-x x ；03522=--x x ；0162=-+-x x ；0238322=-+y y ；0652=-+x x ；622=-x x ；20)8(=+x x ；16)8(=-x x ；04212=--x x ；01422=--x x .【参考答案】22123,2212321--=+-=x x /153,15321-=+=x x 11111121--=+-=x x /21,321-==x x /361,36121-=+=x x 727221--=+-=y y /6,121-==x x /71,7121-=+=x x 10,221-==x x /244,24421+=-=x x /2,421-==x x /261,26121-=+=x x1.用公式法解下列方程：03232=--x x ；8922-=x x ；0372=+-x x ；042522=+-x x ；0242=--x x ；2)1(3)1(2+=+-y y y .2.已知关于x 的一元二次方程)0(022)23(2>=+++-m m x m mx （1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值。

九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大)

九年级上册数学同步练习题库：解一元二次方程(选择填空题：较难)

2021-2022学年九年级数学(人教版)专题03《一元二次方程公式法》重难点专练

九年级一元二次方程解法专项练习(难度较大)

(完整版)一元二次方程练习题(难度较高)

九年级数学-一元二次方程的解法大题专练(重难点培优30题)

部编数学九年级上册21.2解一元二次方程专项训练(35题)2023考点题型精讲(解析版)含答案

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】37921

中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)

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