第5讲 角的平分线的性质(12.3)

第5讲 角的平分线的性质（12.3）一、知识要点1. 角的平分线的性质 （1）性质的推导如图所示，已知P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，且PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，求证：PE=PF 。

FAEB P1O 2∵ OC 平分∠AOB ，∴ ∠1=∠2∵ PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴ ∠OFP=∠OEP=90° 又∵ OP=OP ，∴ △POE ≌△POF ，∴ PE=PF （AAS ） （2）语言叙述角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（3）图形说明如图所示，若OC 平分∠AOB ，点P 是OC 上一点，PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，•则PE=PF2. 角平分线的判定 （1）判定的推导如图所示，已知PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，且PE=PF. 求证：点P 在∠AOB 的平分线上。

FAEB PO∵ PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴ ∠PEO=∠PFO=90° 又∵ PE=PF ，OP=OP ∴ △POE ≌△POF （HL ） ∴ ∠POE=∠POF ，即点P 在∠AOB 的平分线上 （2）语言叙述到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（3）图形说明如图所示，若PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，PE=PF ，则OP 平分∠AOB ，即点P 在角的平分线上。

3. 角的平分线的性质与判定的联系与区别角的平分线的性质角的平分线的判定 条件 如果一个点到角的两边的距离相等 如果一个点在角平分的线上 结论那么这个点到角的两边的距离相等那么这个点在角的平分线上4. 角的平分线的尺规作图如图所示ABP OMN作法：① 以O 为圆心、适当长为半径作弧，交OA 于M ，OB 于N 。

② 分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，设两弧在∠AOB 的内部交于点P 。

③ 作射线OP ，则射线OP 即为所求5. 三角形的平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

如图所示，PG=PF=PEGFA CE B6. 角的平分线与三角形的角平分线前者是一条射线，后者是一条线段。

7. 证线段相等的方法（1）三角形全等（2）角的平分线的性质 8. 证角相等的方法（1）三角形全等（2）角的平分线的判定 9. 辅助线的添加用角的平分线的性质（或判定）来证明两条线段的等量关系（或证明一个点是否在角平分线上），若图中没有这一点到角的两边的垂线段，•则需要作出这一点到角的两边的垂线段。

二、典型例题1、 已知：如图所示，PA ，PC 分别是△ABC 外角∠MAC ，∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，则BP 是∠MBN 的平分线吗？说明理由。

D FACEBPMN解析：BP 为∠MBN 的平分线。

理由如下：过P 作PE ⊥AC 于E ，连结BP∵ PA ，PC 分别是∠MAC 与∠NCA 的平分线，且PD ⊥BM ，PF ⊥BN （已知）， ∴ PD=PE ，PF=PE （角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴ PD=PF又∵ PD ⊥BM ，PF ⊥BN （已知）∴ 点P 在∠MBN 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∴ BP 为∠MBN 的平分线评注：本例综合运用了角的平分线的性质及判定，关键是作出点P 到AC 的垂线段。

2、 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN •相交于点P ，•那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由。

由此题你能得到一个什么结论？D F A CE B MN解析：AP 平分∠BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E ，F ，D 。

∵ BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，∴ PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）。

同理PF=PE ，∴ PD=PF 。

∴ AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）。

评注：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段。

3、 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC •交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由。

4D F ACE B 3P12解析：AD 平分∠BAC∵ D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴ 点D 在∠EPF 的平分线上 ∴ ∠1=∠2又∵ PE ∥AB ，∴ ∠1=∠3 同理∠2=∠4∴ ∠3=∠4，∴ AD 平分∠BAC评注：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键。

4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，E 是AB 上一点，AE=AC ，•EF •∥BC 交AC 于点F ，过点C 分别作EF ，ED 的垂线，交直线EF 与点G ，交直线ED 于点H ，CG 与CH •是否相等？为什么？K 4G DF AC EH5B312解析：CG 与CH 相等∵ AD 是△ABC 的角平分线，∴ ∠1=∠2又∵ AE=AC ，AD=AD ，∴ △AED ≌△ACD （SAS ），∴ DE=DC ，∠ADE=∠ADC 又∵ DK=DK ，∴ △EDK ≌△CDK （SAS ），∴ ∠3=∠4 又∵ EF ∥BC ，∴ ∠5=∠4，∴ ∠3=∠5又∵ CG ⊥EF 于点G ，CH ⊥EH 于点H ，∴ CG=CH5、已知：如图所示，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ，求∠A+∠C 的度数。

DFA CE B解析：如图所示，过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE=DF在Rt △EAD 与Rt △FCD 中，AD=DC ，DE=DF ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），∴ ∠C=∠EAD∵ ∠EAD+∠BAD=180°，∴ ∠C+∠BAD=180°评注：本例考查了角平分线性质的灵活运用，关键是掌握遇到角的平分线时，辅助线的添加方法。

6、为了方便修路工人喝水，现决定在道路AB ，AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，请找出点P 的位置（不写作法，只保留作图痕迹）。

解析：如图所示D ACEB P评注：由于要求的点P 到∠BAC 的两边的距离相等，所以点P 应该在∠BAC •的平分线上。

7、在学习“角的平分线”时，老师要求同学们练习一道题，在Rt •△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线。

在同学们忙于画图和分析题目时，小明忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他感到自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是这样的：在AB 上取点E ，使BE=BC ，然后画DE ⊥AB 交AC 于D ，那么BD 就是∠ABC 的平分线。

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢，请说明理由。

D ACE B解析：如图所示，小明的画法正确∵ 在Rt △BCD 与Rt △BED 中，∠C=∠DEB=90°，BC=BE ，BD=BD ， ∴ Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ） ∴ DC=DE ，∴ BD 平分∠ABC评注：本题主要考查学生分析问题的能力，因为DE ，DC 分别是点D 到∠ABC 两边的距离，故可考虑证明DC=DE ，从而判断出点D 在∠ABC 的平分线上。

8、如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，•DF ⊥AC 于F 。

判断AD 与EF 的位置关系，并说明理由。

DFACEBO解析：AD ⊥EF∵ AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC （已知）， ∴ DE=DF （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，DE=DF （已证），AD=AD （公共边）， ∴ Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ）∴ AE=AF （全等三角形对应边相等） 在△AEO 和△AFO 中，AE=AF （已证），∠EAO=∠FAO （已知）， AO=AO （公共边），∴ △AEO ≌△AFO （SAS ） ∴ ∠AOE=∠AOF （全等三角形对应角相等）∴ ∠AOE=12∠EOF=90° ∴ AD ⊥EF （垂直定义）评注：设法寻找∠AOE=∠AOF 是解决本题的关键。

9、如图所示，直线L 1，L 2，L 3表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处l 3l 2l 1解析：∵ 中转站要到三条公路的距离相同，∴ 中转站应在L 1与L 2，L 3与L 2，L 1与L 3夹角的平分线上，如图2所示，应有四处，故选D 。

P 4P 3P 2l 3P 1l 2l 1答案：D评注：解决本例的关键是确定三条直线两两相交的夹角。

10、 如图所示，在△ABC 中，P ，Q •分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S 。

若AQ=PQ ，PR=PS ，•下面三个结论① AS=AR ，② QP ∥AR ，③ △BRP ≌△CSP 中，正确的是（ ）A. ①和③B. ②和③C. ①和② C. ①，②和③S PA CB 3R12Q解析：如答图所示，连结AP∵ PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR=PS ， ∴ AP 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2又∵ AQ=QP ，∴ ∠2=∠3，∴ ∠1=∠3，∴ PQ ∥AR 在Rt △APR 和Rt △APS 中，PR=PS ，AP=AP ，∴ Rt △APR ≌Rt △APS ，∴ AR=AS而△BRP 与△CSP 不具备三角形全等的条件，故①②正确 提示：本题的突破口是判断出点P 在∠BAC 的平分线上。

11、如图所示，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：① ∠3=∠4；•② ∠1=∠2；③ ∠5=∠6；④ AC 垂直且平分BD ，其中正确的有（ ）A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ①③④2DCBA35146S 区答案：D12、如图所示，三条公路两两交于点A 、B 、C ，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）CBAA. 一处B. 二处C. 三处D. 四处 答案：D三、综合练习一. 选择题1. 如图所示，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）A. PD=PEB. OD=OEC. ∠DPO=∠EPOD. PD=ODPDAEB O2. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ，AD ⊥BC ；④ ∠BDE=∠CDF ，其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个DF ACE B3. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，AB=2，AD 在∠BAC 的平分线上，DE ⊥AB 于点E ，则△DBE 的周长为（ ）A. 2B. 1+2C.2 D. 无法计算DACEB4. 如图所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，•作法的合理顺序是（ ） （1）作射线OC ；（2）在OA 和OB 上，分别截取OD ，OE ，使OD=OE ；（3）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C 。