113角的平分线的性质2
线段垂直平分线性质定理
16.2 线段的垂直均分线第一课时一、教材剖析1．教材的地位与作用线段的垂直均分线性质定理是在学习轴对称性质的基础上的另一个重要知识点，它是推证线段相等的重要方法，在此后的几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用，是重要的工具性内容.2．教课目的：（1）经过研究线段的轴对称性，进一步体验轴对称的特点，发展合情推理能力.2）研究线段垂直均分线的性质定理的证明，发展演绎推理能力，累积必定的数学活动经验.3）经历合情推剪发现结论，演绎推理证明结论的活动，领会集情推理与演绎推理的不一样作用. 3．教课要点、难点：教课要点：研究线段垂直均分线的性质定理.教课难点：运用线段的垂直均分线性质定理求直线异侧两点的最短距离和.二．教法学法在教课过程中主要采纳启迪式教课，经过教师的指引，让学生踊跃思虑、勇敢猜想，合作沟通、主动研究；培育学生擅长察看、乐于思虑、勤于着手、勇于表达的学习习惯，提升学生剖析问题解决问题的能力.三．教课过程教课环节课前循环播放轴对称图片折叠线段引方才赏识了好多漂亮的图片，它们都是轴对称图入形,线段是最简单的轴对称图形，它的垂直均分线就新是它的对称轴.线段垂直均分线有哪些性质呢？课同时动画演示：频频沿线段垂直均分线折叠线段察看图形，线段AB和它的垂直均分线l,垂足为O,观察猜思虑：线段垂直均分线上有无数多个点，这些点有什想么共同特点？探猜想：线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等究请在图1直线l上任取一点P，考证PA、PB能否相定等.理同学们用哪些方法考证的呢？丈量、对折、借助三角形全等在同学们的共同努力下，我们完美了这个命题的证明过程，方才我们经过察看、猜想、考证获得了这个命题，最后利用几何推理来证了然它是真命题。
线段垂直均分线的性质定理：线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等过去证明线段相等往常利用全等，今日的定理为我们设计企图以大批轴对称图片引入，吸引学生注意力，激发学生的学习兴趣．本节课研究最简单的轴对称图形.经过折叠线段领会线段是轴对称图形，而它的对称轴就是垂直均分线，很自然的发问线段垂直均分线有哪些性质以此引入新课并示意学生在研究最简单的轴对称图形——线段的性质时利用轴对称来考证结论.经过察看、猜想、考证、演绎推理等活动，让学生经历发现、提出、剖析、解决为环节的问题解决过程，培育学生问题意识，提升运用数学知识解决问题的能力.明确利用性质定理证明线段相等的优胜性.供给了一个更简短的方法，减少了一次证明全等的过程.碰到垂直均分线便可直接获得这对相等的线段.1、如图，在△ABC中，直线DE是线段BC的垂直均分线，AD=2，BD=3，则AC的长度是.直接利用定理解决简单的数学识题，加深对定理的理解.2、古希腊一位将军要从A地出发到河畔（以下列图l）本题为课本例1的生活原型，去饮马，而后再回到驻地B，问如何选择饮马地址，为本节课的教课难点.给学生才能使行程最短？（在纸上画出图形并丈量长度标充足的思虑、议论时间，老师注在图形上）利用投影仪展现典型画法，师生共同得出依据作点A对于直线l的对称点A，，连结，，AB，AB与直线l的交点P方法确立的点P知足PA+PB 利学生可能会出现的典型画法最短.能否是必定最短呢？通用过老师解说证明、动画演示使定学生认同此方法确立的点P 理的确知足PA+PB最短，打破解教课难点.决问题动画演示：在点P运动过程中，比较PA、PB的长度和与A’P的大小本题利用轴对称和线段垂直均分线性质定理将直线同侧的两点到P点距离和转变为直线异侧两点到P点距离和，再利用两点之间线段最短找到点P的正确地点.反发挥学生的主体作用，经过学思不知不觉，这节课就要结束了.反省这节课，你学到生的自我学习反省，得出自己小了什么？本节课的学习心得.结布稳固所学知识，利用作业指引置课本113页做一做，练习学生深入思虑，达到知识在课作堂之外的延长.业结束语：本节课我们学习线段垂直均分线的性质定理，其实对比知识自己，我感觉获得真谛的过程更重要，我们经历了察看猜想，着手丈量来考证，逻辑证明的学习过程，在此后的学习过程中，我们必定还会碰到好多困难，但只需我们认准目标，找对方法，必定能获得更大的进步!板书设计：性质定理：线段垂直均分线上的点到线段两头的距离相等16.2 线段的垂直均分线已知：如图，线段AB和它的垂直均分线l,垂足为O, 点P为直线l上随意一点，连结PA、PB.求证：PA=PB证明：∵点P为线段AB垂直均分线上一点∴∠POA=∠POB AO=BO在△PAO和△PBO中，AO=BO（已证）POA=∠POB（已证）PO=PO（公共边）∴△PAO≌△PBO（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.。
角平分线四大模型(附例题)
角平分线四大模型模型一：这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。
如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。
容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。
注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。
甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。
例题1：AF 是△ABC 的角平分线。
P 是AF 上任意一点。
过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。
证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。
拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是2√2_______E模型二：这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。
这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。
这个模型还可以得到P 是AB 中点。
注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。
并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。
如图中的PB 。
例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。
求证：DH=1/2（AB-AC ）提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。
模型三：这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。
容易证得△APO ≌△BPO 。
注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。
添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截取OB ，使得AP=BP 。
从而构造出一个轴对称。
这样的模型一般会出现在截长补短里。
BBN例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_____________AC+CD=AB 模型四：这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。
人教版七年级数学知识点试题精选-角平分线的定义
七年级上册角平分线的定义一．选择题（共20小题）1．如图A、O、B三点共线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD=55°，则∠AOC的度数是（）A．110°B．70°C．55°D．35°3．如图，如果∠AON=∠BOM，OC平分∠MON，那么图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．如图，OC是∠AOB的平分线，下列表达式中错误的是（）A．∠AOC=∠AOB B．∠AOB=2∠BOC C．∠AOC=∠COB D．∠AOB=2∠O5．如图，OM平分∠AOB，OC是∠AOB内部的一条射线，ON平分∠BOC，有以下说法：①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有（）个．A．4 B．5 C．6 D．76．如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．30°7．点C在∠AOB的内部，现在五个等式：∠AOB=∠BOC，∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠AOC，∠AOC+∠BOC=∠AOB，其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，∠AOB是平角，∠AOC，∠BOC的角平分线分别是OD，OE，则∠DOE 是（）A．80°B．90°C．100° D．105°9．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部，OC是∠AOD的平分线，若∠AOB=100°，∠COD=15°，则∠BOD的度数为（）A．85°B．80°C．70°D．60°10．如图，已知∠AOB=40°，∠AOC=90°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°11．如图，已知OD平分∠AOB，OE平分∠BOD，若=，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，已知∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠AOD=25°，那么∠AOB的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．90°13．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125° D．145°14．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．点P在∠MON内部，则四个等式：①∠POM=∠NOP；②∠PON+∠POM=∠MON；③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP，其中能表示OP是角平分线的式子有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知∠AOB=60°，作射线OC，使∠AOC等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A．100°B．100°或20°C．50°D．50°或10°17．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°18．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）A．52°B．38°C．64°D．26°19．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB20．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=68°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．44°D．46°二．填空题（共20小题）21．若∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠α．22．如图，∠AOB=68°，OC平分∠AOB，则∠BOC的度数为．23．如图，∠1=∠2=∠3=∠4．（1）那么OD是的角平分线，OE是是的角平分线，OC是的角平分线；（2）=4∠1，==3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=．24．一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是．25．从一个角的点引出一条线，把这个角分成个，这条线叫做这个角的平分线．如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，那么：①∠AOC==；②∠AOB==．26．一条以一个角的为的射线把这个角分成的角，这条射线叫做这个角的．27．如图，∠AOB是直角，∠BOC=50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为．28．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC=29°34′，则∠AOB=°′．29．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，则∠AOB=．30．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=66°，则∠EOC=度．31．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是．（填序号）32．如图直线AB、CD相交于点E，EF是∠BED的角平分线，已知∠DEF=70°，则∠AED的度数是．33．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为．34．如图所示，已知OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=β，求∠DOE；；（2）若∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），求∠BOE．．35．已知直线AB上有一点O，射线OC、OD在AB的同侧，∠AOD=24°，∠BOC=46°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为．36．如图，O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=度．37．如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=（∠AOE+∠BOC）；④∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD）．其中正确结论有．38．如图所示，∠AOB=85°，∠AOC=10°，OD是∠BOC的平分线，则∠BOD的度数为度．39．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，则∠AOB的度数为．40．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°30′，则∠AOB=度．三．解答题（共10小题）41．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．（1）如果∠AOD=75°，∠BOC=19°，则∠DOE的度数为；（2）如果∠BOD=56°，求∠AOE的度数．解：如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=°．42．已知平角AOB及其平分线OC，如果作射线OD，使∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，那么∠AOD等于多少度？43．已知，如图，∠AOB=90°，∠EOD=70°，OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数．44．如图，已知O为直线AF上一点，OE平分∠AOC，（1）若∠AOE=20°，求∠FOC的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOB=84°，求∠DOE的度数．45．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度数．46．如图，O是直线AB上的一点，OC是△BOD的平分线，已知∠AOD=113°24′，求∠COD的度数．47．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB=76°．（1）求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画图加以说明；（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还成立吗？请你在图3中画图加以说明．48．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC．（1）求∠BOD的度数；（2）若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．49．如图，OC是∠AOM的平分线，OD是∠BOM的平分线．（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOM=60°，求∠COD的度数；（2）如图2，若∠AOB=90°，∠AOM=130°，则∠COD=°；（3）如图3，若∠AOB=m°，∠AOM=n°，则∠COD=°．50．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB=120°，则∠COE是多少度？（2）若∠EOC=65°，∠DOC=25°，则∠BOE是多少度？七年级上册角平分线的定义参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图A、O、B三点共线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】根据角平分线的定义可得∠COD=∠AOC，∠COE=∠COB，再根据∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）可得答案．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠COB，∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=180°=90°，故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．2．如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD=55°，则∠AOC的度数是（）A．110°B．70°C．55°D．35°【分析】先由角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOD，再根据邻补角定义即可求解．【解答】解：∵OD平分∠BOC，∠BOD=55°，∴∠BOC=2∠BOD=110°，∵AB是直线，∴∠AOC=180°﹣∠B0C=70°．故选B．【点评】此题考查角平分线与邻补角的定义，属于基础题，比较简单．3．如图，如果∠AON=∠BOM，OC平分∠MON，那么图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据角平分线的定义和图中角与角间的和差关系进行计算．【解答】解：∵∠AON=∠BOM，∴∠AON+∠MON=∠BOM+∠MON，即∠AOM=∠BON；又∵OC平分∠MON，∴∠MOC=∠NOC，∴∠AON+∠NOC=∠BOM+∠MOC，即∠AOC=∠BOC．综上所述，图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有∠AOM=∠BON、∠MOC=∠NOC、∠AOC=∠BOC，共有3对．故选：C．【点评】本题考查了角平分线的定义．实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．4．如图，OC是∠AOB的平分线，下列表达式中错误的是（）A．∠AOC=∠AOB B．∠AOB=2∠BOC C．∠AOC=∠COB D．∠AOB=2∠O 【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB，故本选项正确；B、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠BOC，故本选项正确；C、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠COB，故本选项正确；D、∵从点O出发由三个角，故不能确定∠AOC的大小，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．5．如图，OM平分∠AOB，OC是∠AOB内部的一条射线，ON平分∠BOC，有以下说法：①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据角平分线的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM=∠BOM，∠BON=∠CON．①∵∠AOM=∠BOM，∴∠AOC≠∠BOM，故本小题错误；②∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，故本小题正确；③由图可知，∠AOC=∠AOM+∠COM，故本小题正确；④∵∠AOC=∠AOM+∠COM，∠AOM=∠BOM，∴∠AOC=∠BOM+∠COM，故本小题正确；⑤∵∠AOC=∠AOM+∠MOC，∠AOM=∠BOM，∠BOC+∠MOC=∠BOM，∴∠AOC=2∠MOC+∠COB，故本小题正确；⑥∵∠AOC=2∠MOC+∠COB，∠COB=2∠CON，∴∠AOC=2∠MOC+2∠CON，故本小题正确；⑦∵∠AOM=∠BOM=2∠CON+∠MOC，∠BOM=2∠CON，∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2∠CON+∠MOC+∠MOC=2∠MON．故本小题正确．故选C．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．6．如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．30°【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB 的关系，即可求出∠MON的度数．【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOC﹣∠BOC）=（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）=∠AOB=45°．故选C．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．7．点C在∠AOB的内部，现在五个等式：∠AOB=∠BOC，∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠AOC，∠AOC+∠BOC=∠AOB，其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据角平分线的定义对各等式进行逐一分析即可．【解答】解：点C在∠AOB的内部时，∠AOB＞∠BOC，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；∠BOC=∠AOB，原等式能表示OC是∠AOB平分线；∠AOB=∠AOC，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；∠AOB=2∠AOC，原等式能表示OC是∠AOB平分线；∠AOC+∠BOC=∠AOB，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；故选A．【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．8．如图，∠AOB是平角，∠AOC，∠BOC的角平分线分别是OD，OE，则∠DOE 是（）A．80°B．90°C．100° D．105°【分析】本题比较多的条件是角平分线，OD和OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，则2∠DOC+2∠EOC=180°，从而可以求解．【解答】解：∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∴∠AOC=2∠DOC，∠BOC=2∠COE，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠DOC+2∠EOC=180°，∴∠DOE=90°，故选：B．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．9．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部，OC是∠AOD的平分线，若∠AOB=100°，∠COD=15°，则∠BOD的度数为（）A．85°B．80°C．70°D．60°【分析】根据角平分线的定义，及角的和差进行计算即可．【解答】解：∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠COD，∵∠COD=15°，∴∠AOD=2∠COD=30°，∵∠BOD=∠AOB﹣∠AOD，∠AOB=100°，∴∠BOD=100°﹣30°=70°．故选C．【点评】此题考查了角的平分线的定义，及角的和差计算，解题的关键是：根据角平分线的定义，先求出∠AOD的度数．10．如图，已知∠AOB=40°，∠AOC=90°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】先求出∠BOC=40°+90°=130°，再根据角平分线的定义求得∠BOD=65°，把对应数值代入∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可求解．【解答】解：∵∠AOB=40°，∠AOC=90°，∴∠BOC=40°+90°=130°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=65°，∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=65°﹣40°=25°．故选B．【点评】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．要会结合图形找到其中的等量关系：∠BOC=∠AOC+∠AOB，∠AOD=∠BOD﹣∠AOB是解题的关键．11．如图，已知OD平分∠AOB，OE平分∠BOD，若=，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由=，可设∠AOC=3x，∠BOC=2x，则∠AOB=5x，由OD平分∠AOB，可得∠AOD=∠BOD==，进而可得∠DOC=x，由OE平分∠BOD，可得∠DOE=∠BOE=∠BOD=，进而可得∠COE=∠DOE﹣∠DOC=，将∠COE=，∠BOE=，代入即可．【解答】解：∵=，可∴设∠AOC=3x，∠BOC=2x，则∠AOB=5x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD==，∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=x，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=，∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=，∴==故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系．12．如图，已知∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠AOD=25°，那么∠AOB的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．90°【分析】利用角平分线的定义得出∠COD=25°，进而得出答案．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=25°，∴∠COD=25°，∴∠AOB的度数是：∠BOC+∠AOD+∠COD=90°．故选：D．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，得出∠COD的度数是解题关键．13．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125° D．145°【分析】先画出图形，然后根据角平分线的定义解题．【解答】解：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC=64°，∠DON=46°，∴∠MOE=∠MOC=×64°=32°，∠NOF=∠DON=×46°=23°，∴∠EOF=180°﹣∠MOE﹣∠NOF=180°﹣32°﹣23°=125°．故选C．【点评】根据题意画出图形是解题的关键．然后根据角平分线的定义进行计算．14．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，则∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可．【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）=∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠MON=×90°=45°．故选B．【点评】本题考查了角平分线的定义，做这类题时学生总会认为条件不够，其实只要把这些等量关系合并化简即可求出角的度数，所以学生做题时有是不要急于计算，而是要先化简后再合并，属于基础题．15．点P在∠MON内部，则四个等式：①∠POM=∠NOP；②∠PON+∠POM=∠MON；③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP，其中能表示OP是角平分线的式子有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线可得答案．【解答】解；如图：根据角平分线定义可得三个等式：①∠POM=∠NOP，③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP；故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线定义，题目比较简单，画出图形分析即可．16．已知∠AOB=60°，作射线OC，使∠AOC等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A．100°B．100°或20°C．50°D．50°或10°【分析】分为两种情况：①当OC在∠AOB外部时，②当OC在∠AOB内部时，求出∠BOC，根据∠BOD=∠BOC求出即可．【解答】解：分为两种情况：①当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°，∴∠BOC=60°+40°=100°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠BOC=50°，②当OC在∠AOB内部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°，∴∠BOC=60°﹣40°=20°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠BOC=10°，故选D．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，解此题的关键是求出符合条件的所有情况．17．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°【分析】由于OA与∠BOC的位置关系不能确定，故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论．【解答】解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠AOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠COB=×20°=10°，∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°；当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠BOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠BOC=×20°=10°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，解答≜此题时要根据OA与∠BOC的位置关系分两种情况进行讨论，不要漏解．18．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）A．52°B．38°C．64°D．26°【分析】先求得∠BOC的度数，然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数，最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可．【解答】解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠BOC=26°．∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°．故选：C．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．19．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．【解答】解：A、正确；B、不一定正确；C、正确；D、正确；故选B．【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．20．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=68°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．44°D．46°【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵OD平分∠BOC，∴∠BOC=2∠1=2×168°=136°，∴∠2=180°﹣∠BOC=180°﹣136°=44°．故选C．【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．二．填空题（共20小题）21．若∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，则∠AOC=2∠α．【分析】直接根据角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α．故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线的性质：从角的顶点引一条射线，把这个角分成相等的两部分，那么这条射线叫这个角的平分线．22．如图，∠AOB=68°，OC 平分∠AOB ，则∠BOC 的度数为 34° ．【分析】根据角平分线的定义即可直接求解．【解答】解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=∠AOB=×68=34°．故答案是：34°．【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，理解定义是关键．23．如图，∠1=∠2=∠3=∠4．（1）那么OD 是 ∠AOB 和∠COE 的角平分线，OE 是 ∠BOD 是的角平分线，OC 是 ∠AOD 的角平分线；（2） ∠AOB =4∠1， ∠BOC = ∠AOE =3∠1；（3）∠BOD= ∠BOC= ∠AOB ；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE= 90° ．【分析】根据角平分线的定义、结合图形进行解答即可．【解答】解：（1）OD 是∠AOB 和∠COE 的角平分线，OE 是∠BOD 是的角平分线，OC是∠AOD的角平分线；（2）∠AOB=4∠1，∠BOC=∠AOE=3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=90°，故答案为：（1）∠AOB和∠COE；∠BOD；∠AOD；（2）∠AOB；∠BOC；∠AOE；（3）；；（4）90°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握角平分线是经过角的顶点把这个角分成相等的两个角的射线是解题的关键．24．一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是60°．【分析】依据角平分线的定义回答即可．【解答】解：∵一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，∴这个角=30°×2=60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．25．从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，那么：①∠AOC=∠BOC=∠AOB；②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．【分析】根据角平分线的定义和性质进行解答即可．【解答】解：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；①∠AOC=∠BOC=∠AOB；②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．故答案为：顶；射；两；相等的角；射；①∠BOC；∠AOB；②2∠AOC；2∠BOC．【点评】从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．26．一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【分析】根据角平分线的定义解答．【解答】解：顶点、端点、两个相等．一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【点评】此题考查了角平分线的定义，直接按定义填空即可．27．如图，∠AOB是直角，∠BOC=50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为45°．【分析】先根据∠AOB是直角，∠BOC=50°得出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOC得出∠COM与∠CON的度数，由∠MON=∠COM﹣∠CON 即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB是直角，∠BOC=50°，∴∠AOC=90°+50°=140°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠COM=∠AOC=×140°=70°，∠CON=∠BOC=25°，∴∠MON=∠COM﹣∠CON=70°﹣25°=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．28．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC=29°34′，则∠AOB=59°8′．【分析】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．根据定义求得即可．【解答】解：∠AOB=2×29°34′=59°8′．故答案为59、8．【点评】本题主要考查了角平分线的定义．29．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，则∠AOB=28°．【分析】设∠AOB=x°，根据已知和角平分线定义得出∠AOD=∠COD=（x+14）°，求出∠AOC=2∠AOD=3∠AOB，得出方程3x=2（x+14），求出方程的解即可．【解答】解：设∠AOB=x°，∵∠BOD=14°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=（x+14）°，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠AOC=2∠AOD=3∠AOB，∴3x=2（x+14），解得：x=28，∴∠AOB=28°，故答案为：28°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能得出关于x的方程，难度适中．30．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=66°，则∠EOC=57度．【分析】先根据OE平分∠AOC，∠BOC=66°求出∠COD的度数，再由OD平分∠BOC，OE平分∠AOC得出∠EOD的度数，根据∠EOC=∠EOD﹣∠COD即可得出结论．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠BOC=66°，∴∠COD=∠BOC=×66°=33°，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，∴∠EOC=∠EOD﹣∠COD=90°﹣33°=57°．故答案为：57．【点评】本题考考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．31．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是①③④．（填序号）【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．【解答】解：①∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB=90°﹣∠BOC，∠COD=90°﹣∠BOC，∴∠AOB=∠COD；故①正确．②只有当OB，OC分别为∠AOC和∠BOD的平分线时，∠AOB+∠COD=90°；故②错误．③∵∠AOC=∠BOD=90°，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠COB=45°，则∠COD=90°﹣45°=45°∴CB平分∠BOD；故③正确．④∵∠AOC=∠BOD=90°，∠AOB=∠COD（已证）；∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．故④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．32．如图直线AB、CD相交于点E，EF是∠BED的角平分线，已知∠DEF=70°，则∠AED的度数是40°．【分析】根据角平分线的定义求出∠DEB的度数，然后根据平角等于180°列式进行计算即可求解．【解答】解：∵EF是∠BED的角平分线，∠DEF=70°，∴∠DEB=2∠DEF=2×70°=140°，∴∠AED=180°﹣∠DEB=180°﹣140°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了角平分线的定义，平角等于180°，是基础题，需熟练掌握．33．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°．【分析】根据已知得出∠AOC+∠EOC=180°，∠BOC=∠AOC，∠DOC=EOC，求出∠BOC+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=90°，即可得出答案．【解答】解：∠BOC+∠DOC=90°，理由是：∵A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴∠AOC+∠EOC=180°，∠BOC=∠AOC，∠DOC=EOC，∴∠BOC+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=180°=90°，∴∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°，故答案为：∠BOC+∠DOC=90°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，能识别图形是解此题的关键．34．如图所示，已知OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=β，求∠DOE；60°﹣β；（2）若∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），求∠BOE．α﹣β．【分析】根据角平分线的性质计算．【解答】解：（1）∠AOC=120°，∴∠COE=60°（角平分线定义），∵∠BOC=β，∴∠COD=β（角平分线定义），∴∠DOE=60°﹣β；（2）∵∠AOC=α，OE是∠AOC的平分线，且∠BOC=β（α＞β），∴∠COE=α（角平分线定义）．∴∠BOE=∠COE﹣∠BOC=α﹣β．【点评】此题主要考查了角平分线定义．由角平分线的定义，易求该角的度数．35．已知直线AB上有一点O，射线OC、OD在AB的同侧，∠AOD=24°，∠BOC=46°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为145°．【分析】先根据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求得∠AOF和∠EOB的度数，然后依据平角是180°可求得∠EOF的度数．【解答】解：如图所示：∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=AOD==12°．同理可知：∠EOB=．∴∠EOF=180°﹣∠AOF﹣∠EOB=180°﹣12°﹣23°=145°．故答案为：145°．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，根据题意画出图形是解题的关键．36．如图，O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=90度．【分析】利用角平分线的性质计算．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=（∠AOC+∠BOC）=90°．故答案为90．【点评】此题主要考查角平分线的定义和平角的定义．37．如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=（∠AOE+∠BOC）；④∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD）．其中正确结论有①②④．【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得∠COE=∠AOB，则∠BOC=∠AOE，设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，得出①②④正确，③不正确．【解答】解：①∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，∴∠COE=∠AOB，∴∠COE+∠BOE=∠AOB+∠BOE，∴∠BOC=∠AOE，∵OD是∠AOB的平分线，∴∠AOD=∠BOD，设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，∴∠COE=∠AOE；所以①正确；②∵∠DOE=∠BOD+∠BOE=x+4x=5x，∠BOD=x，∴∠DOE=5∠BOD，所以②正确；③∵∠BOE=4x，（∠AOE+∠BOC）=（6x+6x）=6x，∴∠BOE≠（∠AOE+∠BOC），所以③不正确；④∵∠AOE=6x，（∠BOC﹣∠AOD）=（6x﹣x）=6x，∴∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD），所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了角平分线的性质和角的和差倍分，一般情况下，根据已知条件得出各角之间的关系，设一个最小角为x°，分别表示出各角的关系，得出相应的结论．38．如图所示，∠AOB=85°，∠AOC=10°，OD是∠BOC的平分线，则∠BOD的度数为37.5度．【分析】利用角与角的和差关系及角平分线的性质计算．【解答】解：∵∠AOB=85°，∠AOC=10°∴∠BOC=85°﹣10°=75°又∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠COD=∠BOC，即∠BOD的度数为×75°=37.5°故∠BOD的度数为37.5度．【点评】本题主要考查角平分线的知识点，比较简单．39．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，则∠AOB的度数为100°40′．【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOC的度数，进而得出答案．【解答】解：∵OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，∴∠AOC=2×25°10′=50°20′，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB的度数为：50°20′×2=100°40′．故答案为：100°40′．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．40．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°30′，则∠AOB=55度．【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOC=∠BOC，进而得出答案．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC=27°30′，∴∠AOB=27°30′×2=55°．故答案为：55．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及度分秒的换算，正确把握角平分线的定义是解题关键．三．解答题（共10小题）41．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．（1）如果∠AOD=75°，∠BOC=19°，则∠DOE的度数为37°；（2）如果∠BOD=56°，求∠AOE的度数．解：如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以AOC=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以COE=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°．【分析】（1）角平分线的定义求得∠AOC=38°，∠DOE=∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°；（2）根据角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，∠BOC=19°，∴∠AOC=2∠BOC=38°．∴∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°．又∵OD是∠EOC的平分线，∴∠DOE=∠DOC=37°．故填：37°；（2）如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以AOC=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以COE=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°．故填：∠AOC，∠COE，112°．【点评】本题考查了角平分线的定义．解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．42．已知平角AOB及其平分线OC，如果作射线OD，使∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，那么∠AOD等于多少度？【分析】根据题意画出图形，由角平分线的定义得出∠COB的度数，再根据∠BOD 与∠COD的度数之比为7：3求出∠COD的度数，根据∠AOD=∠AOC+∠COD即可得出结论．【解答】解：如图1所示，∵∠AOB=180°，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=×180°=90°．∵∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，∴∠COD=∠COB=×90°=27°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+27°=117°．如图2所示，∵∠AOD：∠COD=1：3，∴∠AOD=90°×=22.5°．答：∠AOD等于117°或22.5°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．43．已知，如图，∠AOB=90°，∠EOD=70°，OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数．【分析】先由∠AOB=90°，OE是∠AOB的角平分线，得出∠EOB=∠AOB=45°，那么∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°，再由OD是∠BOC的角平分线，得出∠BOC=∠BOD=50°．【解答】解：∵∠AOB=90°，OE是∠AOB的角平分线，∴∠EOB=∠AOB=45°，∵∠EOD=70°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°，∵OD是∠BOC的角平分线，∴∠BOC=∠BOD=50°．【点评】本题考查了角的计算及角平分线的定义，首先确定各角之间的关系，利用角平分线的性质来求．44．如图，已知O为直线AF上一点，OE平分∠AOC，（1）若∠AOE=20°，求∠FOC的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOB=84°，求∠DOE的度数．【分析】①利用角平分线的定义求出∠AOC，∠FOC与∠AOC和是180°．②从图中不难看出∠DOE是由∠AOB与∠BOC半角之和，也就是∠AOB的一半．【解答】解：①∵OE平分∠AOC，∠AOE=20°∴∠AOC=2∠AOE=40°∴∠FOC=180°﹣∠AOC=140°；②∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，∴∠AOE=∠COE=∠AOC，∠COD=∠BOD=∠BOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=∠AOB，已知∠AOB=84°∴∠DOE=42°．【点评】本题考查了角平分线的定义，解决本题的关键牢记角平分线的定义，注意实际问题中的转化．45．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度数．【分析】此题的关键是要先设∠ABC的度数．然后再利用题中的关系求出，∠DBE 的值，让它与27°列成等式．从而求出∠ABC的度数．【解答】解：设∠ABC=α，则∠ABD=，∠ABE=α∵∠DBE=∠ABD﹣∠ABE∴﹣α=27°得α=126°。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线复习试题(含答案) (45)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE ，CF 是角平分线，它们相交于为O ，AD 是高，求∠BAD 和∠AOC 的度数．【答案】∠BAD=40°，∠AOC=115°．【解析】【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得BAD ∠，再根据角平分线的定义，求得11452022CAE BAC ACF ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，，最后根据三角形内角和定理，求得AOC △中AOC ∠的度数．【详解】∵AD 是高, 50B ∠=，Rt ABD ∴中, 905040BAD ∠=-=，90,50BAC B ∠=∠=，∴△ABC 中, 905040ACB ∠=-=，∵AE ，CF 是角平分线，1145,2022CAE BAC ACF ACB ∴∠=∠=∠=∠=， ∴△AOC 中, 1804520115.AOC ∠=--=82．如图，AD 为△ABC 的高，BE 为△ABC 的角平分线，若∠EBA=34°，∠AEB=72°．（I）求∠CAD和∠BAD的度数；（2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，试求∠BEF 的度数．【答案】（1）∠BAD=22°；（2）56°或18°.【解析】试题分析：（1）由BE为∠ABC的平分线，得出∠BAD=22°，再求出∠C，得出∠CAD=52°，即可得出结论；（2）分两种情况：①当∠EFC=90°时；②当∠FEC=90°时；由角的互余关系和三角形的外角性质即可求出∠BEF的度数．解：（1）∵BE为△ABC的角平分线，∴∠CBE=∠EBA=34°，∵∠AEB=∠CBE+∠C，∴∠C=72°﹣34°=38°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C=52°，∠BAD=90°-∠ABD=90°-68°=22°。
三角形的角平分线夹角
数学文化观下的中学数学问题学习集三角形角平分线的夹角（图形性质探究）适用范围：七年级下册探究目标：熟练运用三角形的内角和和外角定理找到角与角之间的关系探究情境：△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，求∠BOC与∠A的关系？探究内容：三角形有三条内角平线，有三外角（外角：一边和另一边的延长线年构成的角），三个外角（一个顶点记一个外角）有3条外角平分线，试研究这6条角平分线每两条之间所成的夹角与三角形某个内角的关系？①△ABC中，∠ABC与∠ACB的内角平分线OB、OC相交于O，设∠A=x，∠O=y，问y与x之间的关系②如果OB、OC是∠ABC与∠ACB的相邻的外角平分线，则问y与x之间的关系③如果OB、OC一条是内角平分线，一条是内角平分线，问y与x之间的关系探究路径：学生画①中的图形——用几何画板测量工具测量∠A与∠O的度数——猜测关系——解决探究情境①——重复上面的研究过程，解决探究情境②——提出探究情境③并自主解决探究情境“箭形图”的研究（图形性质探究）适用范围：七年级下册探究目标：会熟练运用三角形的内角和及外角定理，研究凹四边形角的性质，并会运用该性质解决相关探究情境，学习几何的研究方法。
探究情境：如图中的凹四边形在标志中经常见到，这样的图形有什么特点？探究内容：①研究凹四边形角的特点（一个外角和三个不相邻的内角），用多种方式说明结论的正确性，用语言叙述结论。
探究结论运用：②运用凹四边形角的特点，解决相关探究情境：五角形、六角形、七角形各顶角的度数和…；全等的凹四边形是否可以密铺？探究路径：根据图形的形状命名，了解实质是凹四边形——学生画图并测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数（或用几何画板测量工具）——猜测结论——交流结论——思考说明方法——交流展示说明办法——引导学生探究情境解决——独立完成其他探究情境“竹“竹笋图”的研究（图形性质探究）适用范围：七年级下册探究目标：会运用三角形内角和定理建立方程模型解决探究情境；训练学生发散思维能力和归纳能力。
人教版 五四制初中数学目录
六年级上册第一章分数乘法1.1 分数乘法1.2 倒数的认识1.3 分数乘法的应用第二章分数除法2.1 分数除法2.2 混合运算2.3 分数除法的应用2.4 比第三章圆的初步认识3.1 认识圆3.2 圆的周长3.3 圆的面积3.4 扇形第四章百分数4.1百分数的意义和写法4.2 百分数与小数、分数的互化4.3 百分数的应用4.4 扇形统计图第五章圆柱与圆锥5.1 圆柱5.2 圆锥第六章比例6.1 比例的意义和基本性质6.2 正比例和反比例的意义6.3 比例的应用六年级下册第七章有理数7.1 正数和负数7.2 有理数7.3 有理数的加减法7.4 有理数的乘除法7.5 有理数的乘方第八章整式的加减8.1 整式8.2 整式的加减第九章几何图形初步9.1 几何图形9.2 直线、射线、线段9.3 角9.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水七年级上册第十一章一元一次方程11.1 从算式到方程11.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项11.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母11.4 一元一次方程与实际问题第十二章相交线与平行线12.1相交线12.2平行线及其判定12.3平行线的性质12.4平移第十三章实数13.1平方根13.2立方根13.3实数第十四章平面直角坐标系14.1平面直角坐标系14.2平面直角坐标系的简单应用七年级下册第十五章二元一次方程组15.1二元一次方程组15.2消元——解二元一次方程组15.3二元一次方程组与实际问题*15.4三元一次方程组的解法第十六章不等式与不等式组16.1不等式16.2一元一次不等式16.3一元一次不等式组第十七章三角形17.1与三角形有关的线段17.2与三角形有关的角17.3多变形及其内角和第十八章全等三角形18.1全等三角形18.2三角形全等的判定18.3角的平分线的性质第十九章数据的分析19.1数据的集中趋势19.2数据的波动程度19.3课题学习体质健康测试中的数据分析八年级上册第二十章轴对称20.1轴对称20.2作轴对称图形20.3等腰三角形20.4 课题学习最短路径问题第二十一章整式的乘除与因式分解21.1整式的乘法21.2乘法公式21.3因式分解第二十二章分式22.1分式22.2分式的运算22.3分式方程第二十三章二次根式23.1二次根式23.2二次根式的乘除23.2 二次根式的加法八年级下册第二十四章勾股定理24.1勾股定理24.2勾股定理的逆定理第二十五章平行四边形25.1平行四边形25.2特殊的平行四边形第二十六章一次函数26.1函数26.2一次函数26.3课题学习选择方案第二十七章一元二次方程22.1一元二次方程22.2解一元二次方程22.3一元二次方程与实际问题九年级上册第二十八章二次函数28.1二次函数的图像和性质28.2二次函数与一元二次方程28.3二次函数与实际问题第二十九章反比例函数29.1反比例函数29.2反比例函数与实际问题第三十章旋转30.1图形的旋转30.2中心对称30.3课题学习图案设计第三十一章圆31.1圆的有关性质31.2点与圆、直线和圆的位置关系31.3正多边形和圆31.4弧长和扇形面积第三十二章概率初步32.1随机事件与概率32.2用列举法求概率32.3用频率估计概率九年级下册第三十三章相似33.1图形的相似33.2相似三角形33.3位似第三十四章锐角三角函数34.1锐角三角函数34.2解直角三角形及其应用第三十五章投影与视图35.1投影35.2三视图35.3课题学习制作立体模型。
人教版八年级数学上册期中测试题及参考答案(WL统考精编)
八年级数学上册期中测试题及参考答案（WL统考精编）（时间:120分钟满分:120分）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）2.一副三角板如图叠放在一起，则图中∠a的度数为（）A.15°B.25°C.30°D.35°3.已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（）A.12cmB.16cmC.16cm或20cmD. 20cm4.下列说法正确的是（）A.三角形三条高交于三角形内一点B.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形C.有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称5.如右图，已知点A（2，3）和点B（4，1），在坐标轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（）A（1，0） B.（0，-1）C.（1，0）或（0，-1）D.（2，0）或（0，1）6.△ABC中，AC=5，中线AD=6，则AB边的取值范围是（）A.1<AB<11B.4<AB<6 C 5<AB<17 D.7<AB<177.如右图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC=80°，∠ACB=60°，EB、CF相交于D，则∠CDE的度数是（）A.130°B.70°C.80°D.75°8.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图:①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N;②分别以点M和点N为圆心、大于1/2MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P;③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A.15B.30C.45D.60（8题）（9题图）（10题图）（11题图）9.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和为（）A.3B.4C.6D.810.如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE=1，下列结论错误的是（）A.∠ADE=30°B. AD=2C.△ABC的周长为10D.△EFC的周长为911.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A.15°B.22.5°C.30°D.45°12.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线，AD与BE交点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ有以下五个结论:①AD=BE;②∠AOB=60°;③AP=BO;④△PCQ是等边三角形;⑤PQ∥AE.其中正确结论的个数是（）A.5B.4C.3D.2第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共4个小题;每小题4分，共16分）13.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为______。
人教版初高中数学章节目录
人教版初中数学章节目录七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）_______________________________________________________________________________ 七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据的收集整理与描述（9）_______________________________________________________________________________ 八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）_______________________________________________________________________________ 八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）_______________________________________________________________________________ 九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）_______________________________________________________________________________ 九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10．1几种常见的统计图表10．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～第十一章全等三角形11．1全等三角形11．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11．3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12．1轴对称12．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13．1平方根13．2立方根13．3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15．1整式的乘法15．2乘法公式阅读与思考杨辉三角15．3整式的除法15．4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习：重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
初中几何知识点总结
初中几何知识点总结1.通过两点只能画出一条直线。
2.两点之间的线段是最短的。
3.同角或等角的补角相等。
4.同角或等角的余角相等。
5.经过一点且垂直于已知直线的直线只有一条。
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
7.平行公理：经过直线外一点，只有一条直线与这条直线平行。
8.如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
9.如果同位角相等，则两条直线平行。
10.如果内错角相等，则两条直线平行。
11.如果同旁内角互补，则两条直线平行。
12.如果两条直线平行，则同位角相等。
13.如果两条直线平行，则内错角相等。
14.如果两条直线平行，则同旁内角互补。
15.定理：三角形两边之和大于第三边。
16.推论：三角形两边之差小于第三边。
17.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
18.推论1：直角三角形的两个锐角互余。
19.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
20.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
21.全等三角形的对应边和对应角相等。
22.边角边公理（SAS）：如果两边和它们的夹角对应相等，则两个三角形全等。
23.角边角公理（ASA）：如果两角和它们的夹边对应相等，则两个三角形全等。
24.推论（AAS）：如果两角和其中一角的对边对应相等，则两个三角形全等。
25.边边边公理（SSS）：如果三边对应相等，则两个三角形全等。
26.斜边、直角边公理（HL）：如果斜边和一条直角边对应相等，则两个直角三角形全等。
27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上。
29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
30.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）。
31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
等腰三角形专题
等腰三角形专题关键信息项1、等腰三角形的定义及性质定义：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形性质 1：等腰三角形的两腰相等性质 2：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）2、等腰三角形的判定定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等3、等腰三角形的周长和面积计算周长：等腰三角形的周长＝腰长×2 ＋底边长度面积：等腰三角形的面积＝底×高÷24、等腰三角形的分类一般等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形，三边相等，三个角都为 60°）11 等腰三角形的定义和性质详细阐述111 等腰三角形的定义是至少有两边相等的三角形。
这意味着只要一个三角形存在两条边长度相等，就可以被认定为等腰三角形。
在几何图形中，通过观察边的长度关系可以快速判断一个三角形是否为等腰三角形。
112 等腰三角形的性质之一是两腰相等。
这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
当已知一个等腰三角形的腰长时，可以通过这一性质迅速得出另一条腰的长度。
113 等腰三角形的两个底角相等，这被简称为“等边对等角”。
这一性质在解决与角度相关的问题时非常有用。
例如，已知等腰三角形的顶角角度，可以通过这一性质计算出底角的角度。
114 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称为“三线合一”。
这一性质是等腰三角形的一个重要特征，在证明和计算中经常被运用。
通过已知其中一条线的性质，可以推导出其他两条线的相关结论。
12 等腰三角形的判定方法深入分析121 定义判定是最直接的方法，即当一个三角形有两条边相等时，就可以判定为等腰三角形。
这是基于等腰三角形的定义得出的判定规则。
122 等角对等边的判定方法则是从角度的角度来判断。
如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等，从而可以判定该三角形为等腰三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
改进措施
课后反思
优点
不足
改进措施
3.如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
小结：
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言
五、布置作业
A：
B：
板书设计
11.3角的平分线的性质
六：课堂检测
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,
BD、CE交点F,CF=BF,
教法
小组激励教学法
学法
合作、探究
教 学 内 容 及 师 生 活 动
激励方式
一、创设情境，引入新课。
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
反过来：到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢
二、实验观察，自主探究。
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO（公共边）
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
三、展示交流、形成新知。
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴点P在∠AOB
的平分线上．
四、类化练习，拓展创新。
1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交
于点P,
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等
题
11.3角的平分线的性质
教
学
目
标
①能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题．
②进一步发展学生的推理证明意识和能力
③结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，
重点
角平分线性质和判定的应用．
难点
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题．