中考数学原创题(1)

中考数学原创题（1）原创题目：1.在一次数学活动课上，陈老师要求同学们画15°、30°和60°角，小强同学身旁没有量角器，也没有圆规、三角尺，他灵机一动，想到了折纸的办法：他拿出一张矩形纸片ABCD ，先对折使AD 与BC 重合，如图一，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片ABCD ，使点A 落在EF 上的N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM 和线段BN.(1) 请直接写出∠ABM 的度数，并说明理由；(2) 在图一的线段AM 上取一点K,将△ABK 沿着直线BK 折叠，如图二，使得A 点恰好落在线段BM 上，求tan ∠ABK ；(3) 若M 为AD 边上一点，如图三，将△ABM 沿直线BM 折叠，A 的对应点为N,延长MN 交BC 边于点Q ，延长BN 交AD 边于点P ，连接CP. ①若n ABAD ,当AB=2cm 时，若存在唯一的点P ，使得四边形MQCP 为平行四边形，求n 的值；②在①的条件下，若G 为线段CP 上一动点，如图四，连接BG ，取线段BG 的中点H ，连接DH,求DH 的最小值.图一 图二图三 图四试题解读：此题以八下数学教材P64页活动1“折纸做60°，30°，15°的角”的矩形折纸活动为背景设计考题，融入轴对称、平行线分线段成比例、特殊三角形的性质与判定、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的性质与判定、中位线、平行四边形的性质与判定、角平分线、几何最值、隐圆及直线与圆的位置关系、一元二次方程、二次根式的化简、根的判别式、二次函数的最值等数学知识，同时渗透函数、方程建模、数形结合、动手操作、知识迁移、动态观念、设参转化等数学思想方法，设置的问题起点较低，易进门，由浅入深、层层递进，有梯度，让学生在数学活动中学习、在实践中学习，充分体现数学服务于生活的理念，让学生学有价值的数学，渗透数学核心素养。

选题来源于教材，改编后涉及的知识面非常广泛，思想方法也很广泛，学生解题方法也多样，第（1）、（2）注重了对学生基本数学知识、技能和素养的考察，第（3）、（4）问又突出了对学生能力的考察，体现了试卷的选拔的功能。

本题的特别创新之处在于将代数唯一存在性问题、最值问题与几何问题相结合，充分体现了数形结合的思想，题目里面还涉及到隐圆、直线和圆的位置关系问题，是一道综合性很强的新题型，是中考压轴题的典型代表题。

试题双向细目表：解答过程及评分标准：解:（1）∠ABM=30°.………………1分理由如下：法一：由折叠可知E 为AB 的中点，AB=BN,∠ABM=∠NBM ∵BN AB BE 2121==∴sin ∠BNE=21∴∠BNE=3O °∵EF ∥BC ∴∠BNE=∠NBC=3O °∴∠ABM=∠NBM=︒=︒︒30230-90………………3分 法二：设折痕BM 交EF 于点G ，由折叠可知E为AB 的中点，又∵AM ∥EG ∥BC ∴1==GB MG BE AE ∴G 为BM 的中点∴GN=BG=21BM ∴∠1=∠3,又∵∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2=∠3=∠4=30° (3)分（2）法一：(定义法）在Rt △ABM 中，∵∠ABM=30°∴令AM=1,则AB=A ＇B=3,BM=2.设AK=A ＇K=x,则KM=1-x ，A ＇M=32-，根据勾股定理得222)1()32(x x -=-+，解得x=332-，∴tan∠ABK=323332-=-………………5分 法二：（利用15°角构造30°角）由折叠可知∠ABK=∠KBM=15°，在AB 上取一点H ，使得BH=KH ，则∠AHK=30°，令AK=a ，AH=a 3,HK=HB=2a,∴tan ∠ABK=tan15°=32)32(-=+a a……………5分（3）①法一：（利用锐角三角函数找等量关系）若四边形MQCP 为平行四边形，则MQ ∥PC ，由折叠可知∠BNQ=90°，∴∠BPC=90°，设AP=m ，则BP=24m +，∵AD ∥BC ∴∠APB=∠PBC ∴cos ∠APB=cos ∠PBC ∴n m m m24422+=+∴0422=+-mn m ∵存在唯一的点P 使得四边形MQCP 为平行四边形∴此方程有唯一的实数根m （或两个相等的实数根）∴△=0414)2(2=⨯⨯--n ，解得n=2.此时m=2cm ，AB=AP=DP=2cm ，即P 为线段AD 的中点.……………8分法二：（利用相似找等量关系）若四边形MQCP 为平行四边形，则MQ ∥PC ，由折叠可知∠BNQ=90°∴∠BPC=90°设AP=m ，则BP=24m +，∵AD ∥BC ∴∠APB=∠PBC 又∵∠A=∠BPC=90°∴△APB ∽△PBC ∴BCBP BP AP =∴n m m m24422+=+∴0422=+-mn m ∵存在唯一的点P ∴△=0414)2(2=⨯⨯--n ，解得n=2.此时m=2cm ，AB=AP=DP=2cm ，即P 为线段AD 的中点.……………8分法三：（利用勾股定理找等量关系）在Rt△BPC 中有222BC PC BP =+∴22222)2(2)2(2n m n m =+-++，整理得0422=+-mn m ∵存在唯一的点P ∴△=0414)2(2=⨯⨯--n ，解得n=2.此时m=2cm ，AB=AP=DP=2cm ，即P 为线段AD 的中点.……………8分法四：（构造隐圆）若四边形MQCP 为平行四边形，则MQ ∥PC ，由折叠可知∠BNQ=90°，∴∠BPC=90°，∵存在唯一的点P ，使得四边形MQCP为平行四边形∴以BC 的中点I 为圆心，以IP 为半径的圆与AD 相切于点P ∴IP ⊥BC 且IP=IB=IC ∴四边形ABIP为正方形∴P 为AD 的中点∴n=2……………8分（3）②法一：由①的结论可知点P 为AD 的中点，则△ABP 、△BCP 均为等腰直角三角形.当G 与C 重合时，点H ＇为BC 的中点，当G 与P 重合时，点H ＇＇为BP 的中点∴H ＇H ＇＇为△BPC 的中位线∴H ＇H ＇＇∥PC ∴△BH ＇H ＇＇、△H ＇CD 均为等腰直角三角形.当点G 在线段PC 上运动时,点H 在线段H ＇H ＇＇上运动，DH 的最小值即为点D 到线段H ＇H ＇＇的最短距离.∵∠BH ＇H ＇＇=∠DH ＇C=45°∴∠DH ＇H ＇＇=90°即DH ＇⊥H ＇H ＇＇，此时DH 最小，最小值为cm 22.……………11分法二：连接AH ，由①可知∠BPG=90°∵H 为BG 的中点∴PH=21BG=BH 又∵AB=AP ∴AH 垂直平分BP ∴∠BAH=∠PAH,H ＇＇为BP 的中点∴HH ＇＇为△BPG 的中位线∴HH ＇＇∥PG ∴H 点的运动路径为H ＇H ＇＇.过D 作DK ⊥AH 于点K ，在Rt △AKD 中，∠DAK=45°，AD=4cm ，∴DK=cm 2224=，即DH 的最小值为cm 22.……………11分法三：（建系，二次函数求最值）如图，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则P(2,2),C(4,0),直线PC 的解析式为y=-x+4，设G （t ，4-t ），∵H 为BG 中点∴H()24,2(t t -又∵D （4,2）∴8)4(21)242()24(222+-=--+-=t t t DH ∴当t=4时，DH 有最小值为cm 22.……………11分2.已知矩形纸片OACB ，将该矩形纸片放置在平面直角坐标系中，其中点A （0，4），点C （4n ，4）（n ＞0），点P 为AC 边上的动点（点P 不与点A ，C 重合），沿直线OP 折叠纸片，A 点恰好落在A 1处，经过点P 再次折叠该纸片，使点C 落在直线P A 1上得到点C 1，折痕PD 与线段CB 交于点D ，设AP =t ，CD =m ．（1）试用含有t ，n 的式子表示m ；（2）若适当改变点P 的位置总能使得点C 1恰好落在边OB 上，求n 的最小值；当n 取最小值时, 且点C 1恰好落在边OB 上，试判断点P 与点D 是否在同一反比例函数图象上？（3）延长OA 1交PD 于点E ，过A ，E 两点的抛物线y =ax 2+bx +c 与直线PD 有唯一公共点，求此抛物线的解析式.【命题素材及出处】 已知一个矩形纸片OACB ,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A (11,0),点B (0,6),点P 为BC 边上的动点(点P 不与点B . C 重合),经过点O ，P 折叠该纸片,得点B ′和折痕OP .设BP =t .（1）如图①,当∠BOP =30°时，求点P 的坐标；（2）如图②,经过点P 再次折叠纸片,使点C 落在直线PB ′上,得点C ′和折痕PQ ，若AQ =m ，试用含有t 的式子表示m ；（3）在（2）的条件下,当点C ′恰好落在边OA 上时,求点P 的坐标(直接写出结果即可).【参考答案】（1）易证△APO ∽△CDP ，----------------------------1分可得AO CP AP CD =， 即44t n t m -= ∴nt t m +-=241----------------------------2分（2）点C 1恰好落在边OB 上时，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵∠APO =∠OPC 1=∠POC 1∴OC 1=PC 1=PC =4n -t∴C 1F =4n -2t ，C 1B =t ，BD =4-nt +41t 2 ----------------------------3分 可证△C 1BD ∽△PFC 1，即：BDB C FC PF 11=，∴2414244t nt t t n +-=-化简得：3t 2-8nt +16=0 ----------------------------5分∵ t 始终存在，则△≥0；即64n 2-4×3×16≥0∴n 2-3≥0，即（n +3）（n -3）≥0 ∵n ＞0，∴n ≥3.即n 的最小值为3. ----------------------------5分当n =3时，代入方程3t 2-8nt +16=0，解得：t =334， 此时P 点坐标为（334，4），D 点坐标为（34，34），易判断点P 与点D 在同一反比例函数图象上. ----------------------------6分（3）延长DP 交y 轴于M 点，过E 点作y 轴的垂线，垂足为N ，则P （t ，4），D （4n ，4-nt +41t 2 ）， 设过PD 两点的直线的解析式为y =kx +b ，代入得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+241444t nt b nk b tk ， 解得：⎪⎪⎩⎪⎨⎧+=-=44412t b t k ，即直线PD 的解析式为：y =-4t x +42t +4 ----------------------------7分 ∵∠MPO =∠EPO =90°, ∠MOP =∠EOP ,∴△MPO ≌△EPO ，即MP =EP ，∴NE =2AP =2t∵E 点在直线PD 上，代入求得E 点坐标为（2t ，-4412+t ）----------------------------8分 ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （0，4）点，∴c=4.∵抛物线y =ax 2+bx +4经过E 点（2t ，-4412+t ），代入得：-241t +4=4at 2+2bt +4，解得：b =-t 81-2at 即抛物线解析式为：y =ax 2+（-t 81-2at ）x +4 ----------------------------9分 ∵抛物线与直线PD 有唯一公共点，∴方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--+=44414)281(22t tx y x at t ax y 有唯一解， 联立并化简得：ax 2+(81t -2at )x -42t =0 ----------------------------10分 △=(81t -2at )2-4a(-42t )=0 ∵点P 不与点A 重合，∴t ≠0∴化简得4a 2+2a +64=0，解得a =161-, ----------------------------11分 代入b =-t 81-2at ，求得b=0 即抛物线的解析式为：y =-161x 2+4. ----------------------------12分 【难度预估】0.33.如图1，ABCD 是由两个二次函数m kx y +=21（k<0)与b ax y +=22（a>0)的部分图象围成的封闭图形，已知A(1,0),B （0，1）.（1）①直接写出1y 的表达式 ;②直接写出a 、b 的关系（2）当四边形ABCD 的面积为2a 时，判断四边形ABCD 的形状.（3）如图2，已知D(0,-3)，连接BC ，CD ，AD,在坐标平面内，求使得∆BDC ~∆ADE 的点E 的坐标.图1 图2解：（1）∵A(1,0),B （0，1）在二次函数m kx y +=2（k<0)的图象上，∴⎩⎨⎧==+10m m k∴⎩⎨⎧==1-1m k∴二次函数的解析式为1-21+=x y(2)∵抛物线1-21+=x y 关于y 轴对称，又∵A 的坐标为（1，0）∴C 的坐标为（-1，0）.∴AC=2.∵B 的坐标为（0，1）∴OB=1.∵抛物线b ax y +=22（a>0)与y 轴交于点D ，∴D （0，b) ∴b b S ABCD +=⨯⨯+⨯⨯=12211221∵a+b=0∴b=-a∴a a b =-=∵a>0∴a a =∴1+a=2a∴a=1,∴D(0,-1),∴OA=OB=OC=OD,且AC ⊥BD∴四边形ABCD 是正方形。