【2018】平面向量套题1-5 难题新题原创

2．P 为△ABC 内心，角 A，B，C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点，|OA|=x， |OB|=y，|OC|=z. 则|OP|=___________（用 a, b, c, x, y, z 表示）.
3． 已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量，且两两夹角均为 120°，若|ka+b+c|>1(k∈R)， 则 k 的取值范围是___________.
7．设 e1, e2 是单位向量，非零向量 b=xe1+ye2（x, y∈R）若 e1, e2 的夹角为 ，则 的最大值
等于
.
8. 已知点 G 是△ABC 的重心，点 P 是△GBC 内一点，若 AP=λAB+μAC，则 λ+μ 的取值范 围是_____________.
11．设坐标平面上全部向量的集合为 V，a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向x x·a a(x∈V)确定， （1）对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证： (x)· (y)=x·y； （2）对于 V 的任意向量 x，计算 x x； （3）设 u=(1, 0)；V=(0,1)，若 (u)=V，求 a.
平面向量 套题 1
1．如图，已知圆 M:(x−3)2+(y−3)2=4，四边形 ABCD 为圆 M 的内接正
方形，E 为边 AB 的中点，当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动，同时点 F
在边 AD 上运动时，ME·OF 的最大值是
.
2．已知 O 为△ABC 内一点，若对任意 k∈R 有
，则
△ABC 一定是（ (A)直角三角形
１ ① 若△ABC 的最小内角为 α，则 cos α≥２.
② 若 Asin B>Bsin A，则 B>A. ③ 存在某钝角△ABC，有 tan A+tan B+tan C > 0. ④ 若 2aBC+bCA+cAB=0，则△ABC 的最小角小于 30°. ⑤ 若 a<tb(t∈(0,1])，则 A<tB.
中点，过点 D 的直线分别交 AB，AC 于点 M，N，若
AM=xAB，AN=yAC，其中 x>0，y>0，则 2x+4y 的最
小值是
。
第 8 题图 9．已知向量 a，b，c 满足| a |=| b |=a·b=2，(a−c)·(b−2c)=0，则| b−c |的最小值为（ ）
A． 7 3 2
B． 3 1 2
上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
3. 设△ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 4P0B=AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒有 PB·PC
≥P0B·P0C。则（
）
A. ABC 900
B. BAC 900
C. AB AC
7. 如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1，A=120°，E，F 分别是边 AB，AC 上的
点，且 AE=mAB，AF=nAC，其中 m,n∈(0,1)，若 EF，
BC 的中点分别为 M，N，且 m+4n=1，则|MN|的最小值
是
.
第 7 题图
8. 如图，在等腰直角△ABC 中，点 D 是斜边 BC 的
A． 1 2
B． 1 4
C． 3 4
D．1
6. 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DE=CD. 若动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，其中 AP=λAB+μAE，下列判断正．确．的是（ ） A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C. λ+μ 的最大值为 3 D. λ+μ 的最小值不存在
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a,b，| a |=| b |=1，a·b=0，点 Q 满足 OQ= √ (a+b).
曲线 C={P|OP=acos t+bsin t,
}，区域 Ω=
. 若 C∩Ω
为两段分离的曲线，则（ ）
A．
B.
≤
C． ≤
D.
3. 对于向量 a,b，定义 a×b 为向量 a,b 的叉积，其运算结果为一个向 量，且规定 a×b 的模| a×b |=| a || b |sin〈a,b〉，a×b 的方向与向量 a,b 的方向都垂直，且使得 a，b，a×b 依次构成右手系. 如图所示， 在平行六面体 ABCD-EFGH 中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°， AB=AD=AE=2，则(AB×AD)·AE=_______.
6．O 为△ABC 所在平面内一点，若 sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0，则点 O 为△ABC 的 _________心.
7．对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) (a−b)”的___________条件.
8．在△ABC 中，AB=a，BC=c，CA=b，又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3，则△ABC 三边长之比 |a|:|b|:|c|=____________.
） (B) 钝角三角形
(C) 锐角三角形
(D) 以上均有可能
3. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD⊥AB，AB//DC，AB=4，AD=DC=2，设点 D N 是 DC 边的中点，点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动点，则 AM·AN 的最大值是（ ）
（A）4
（B） 6 （C） 8 （D）10
12．已知点 O 在凸多边形 A1A2…An 内，考虑所有的 AiOAj，这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的
自然数，求证：其中至少有 个不是锐角。
13．在平面上给出和为 O 的向量 a, b, c, d，任何两个不共线，求证： | a |+| b |+| c |+| d |≥| a+d |+| b+d |+| c+d |.
14．定义在 R 上的函数 f (x)存在性质：对于任意的 ，
，
，f (0)=0，设 an= ( )
，数列{an}的级数为 Sn，数列{2Sn+1}的级数为 Tn，若方
程 Tn=Sn+1(cn+d)−1（c,d∈R）在 n≥10 时存在至少三个正整数解 p,q,r，则 c+d∈_______.
平面向量 套题 3
相切的圆上运动，设AP=mAD+nAB(m,n∈R)，则m+n的取值范围是
。
14．在△ABC 中，过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交 AB，AC 于 M，N 两点，设 AM=xAB， AN=yAC（xy≠0），则 4x+y 的最小值是 .
15．AB 为单位圆上的弦，P 为单位圆上的动点，设 f (λ)=|BP−λBA|的最小值为 M，若 M 的
D. AC BC
4. 设 a, b 为非零向量，| b |=2| a |，两组向量 x1, x2, x3, x4 和 y1, y2, y3, y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成，若 x1·y1+ x2·y2+ x3·y3+ x4·y4 所有可能取值中的最小值为 4| a |2，则 a 与 b 的 夹角为（ ）
1. 设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 A1A3=λA1A（2 λ∈R），A1A4=μA1A2 （μ∈R），且 λ-1+μ-1=2，则称 A3,A4 调和分割 A1,A2. 已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确的是（ ） A．C 可能是线段 AB 的中点 B．D 可能是线段 AB 的中点 C．C，D 可能同时在线段 AB 上 D．C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
4. 定义两个平面向量的一种运算 a×b =| a || b |sin〈a,b〉，则下列结论中，恒成立的有______.
① a×b=b×a
② λ(a×b)=(λa)×b
③ 若 a=λb，则 a×b=0
④ 若 a=λb，且 λ>0，则(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
5. 在△ABC 中，下列命题正确的是_______（写出所有正确命题的编号）.
C． 3 2
D． 7 2
10．已知圆 x2+y2=1 与 x 轴的两个交点为 A,B，若圆内的动点 P 使 PA2，PO2，PB2 成等比数
列（O 为坐标原点），则 PA·PB 的取值范围为（ ）
A． (0, 1] 2
B．[ 1 , 0) 2
C． ( 1 , 0) 2
D．[1, 0)
11．在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cos A 1 ，O是△ABC的内心，若OP=xOA+yOB，其中x, 5
A
N C
M B
4．已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0，| c |=2 ，c 与 |ta+(1−t)b|的取值范围是_________.
所成的角为120 ，则当 t∈R 时，
5. 已知向量 α，β，γ 满足| α |=1，| α−β |=| β |，(α−γ)·(β−γ)=0．若对每一确定的 β，| γ |的 最大值和最小值分别为 m, n ,则对任意 β， m n 的最小值是（ ）
9．已知 P 为△ABC 内一点，且 PA+2PB+3PC=0，CP 交 AB 于 D，求证：DP=PC.
10．已知△ABC 的垂心为 H，△HBC，△HCA，△HAB 的外心分别为 O1，O2，O3，令 HA=a, HB=b, HC=c, HO1=p，求证： （1）2p=b+c−a； （2）H 为△O1O2O3 的外心。