2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题4 第1讲 排列、组合与二项式定理

专题复习检测A 卷1．(2018年天津模拟)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A ．A 88A 29 B ．A 88C 29 C ．A 88A 27D ．A 88C 27【答案】A【解析】不相邻问题用插空法，8名学生先排有A 88种排法，产生9个空，2位老师插空有A 29种排法，所以共有A 88A 29种排法．故选A ．2．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )A ．152B ．126C ．90D ．54【答案】B【解析】分两类：若有2人从事司机工作，则有C 23A 33＝18种；若有1人从事司机工作，则有C 13C 24A 33＝108种，所以共有18＋108＝126种．3．(2018年广西钦州三模)二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式前三项系数成等差数列，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r nx n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r n xn －3r 2.由题意可得2·C 1n ·12＝C 0n ＋C 2n ·122，解得n ＝1(舍去)，或n ＝8.故选C ． 4．(2019年辽宁模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种【答案】B【解析】若甲同学选牛，则乙同学可以选狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有2×10＝20种选法；若甲同学选马，则乙同学可以选牛、狗或羊，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有3×10＝30种选法．所以选法共有20＋30＝50种．故选B ．5．(2019年四川模拟)从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为( )A ．7 200B ．2 880C ．120D ．60【答案】B【解析】先选出5个数字(3奇2偶)，有C 35C 24＝60种选法，再将选出的5个数字排成五位偶数有C 12A 44＝48种排法，所以组成没有重复数字的五位偶数有60×48＝2 880个．故选B ．6．(2017年上海)若排列数A m 6＝6×5×4，则m ＝________. 【答案】3【解析】因为A m 6＝6×5×…×(6－m ＋1)，所以6－m ＋1＝4，解得m ＝3. 7．(2019年上海)已知二项式(2x ＋1)5，则展开式中含x 2项的系数为________． 【答案】40【解析】T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ＝25－r C r 5x 5－r ，令5－r ＝2，得r ＝3，故x 2的系数为22×C 35＝40. 8．若(1＋2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R )，则－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01822 018的值为________．【答案】－1【解析】在(1＋2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R )中，令x ＝0，得a 0＝1；再令x ＝－12，得a 0－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01822 018＝(1－1)2 018＝0，所以－a 12＋a 222－a 323＋…＋a 2 01822 018＝－1.9．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男同学4人，女同学2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女同学必须相邻而站； (2)4名男同学互不相邻；(3)老师不站中间，女同学甲不站左端．【解析】(1)∵两个女同学必须相邻而站，∴把两个女同学看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女同学内部的一个排列共有A 66A 22＝1 440(种)站法．(2)∵4名男同学互不相邻，∴应用插空法，要老师和女同学先排列，形成四个空再排男同学共有A 33A 44＝144(种)站法．(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列，共有A 66＝720(种)站法，当老师不站左端时，老师有5种站法，女同学甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有A 55×5×5＝3 000(种)站法．根据分类加法计数原理知共有720＋3 000＝3 720(种)站法．10．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．【解析】易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1， 由T k ＋1＝C k 8(x )8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 8x 16－3k4， ∴k 为4的倍数．又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 08x 16－3×04＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 48x 16－3×44＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 88x 16－3×84＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则：⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k ＋1C k ＋18且⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 28x 16－3×24＝7x 52，T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 38x 16－3×34＝7x 74. B 卷11．(2019年广东深圳模拟)已知⎝⎛⎭⎫1＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80【答案】D【解析】令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(1＋a )(2－1)5＝2，解得a ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋ax ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5.其中⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r ·C r 5x5－2r，其中不含常数项，令r ＝2得T 3＝80x ，所以该展开式中常数项为80.故选D ． 12．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种【答案】A【解析】按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：用4种颜色涂，这时A 有4种涂法，B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；用3种颜色涂，这时A ，B ，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D 只要不与C 同色即可，故D 有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．13．(2019年浙江模拟)现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有______种．(结果用数字表示)【答案】336【解析】若不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A 44种排法，再安排空盒，有C 25A 22种方法；若红球与黄球相邻，则4个小球有A 33A 22种排法，再安排空盒，有C 24A 22种方法．所以所求方法种数为A 44C 25A 22－A 33A 22C 24A 22＝336.14．(2019年江苏)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 23＝2a 2a 4. (1)求n 的值；(2)设(1＋3)n ＝a ＋b 3，其中a ，b ∈N *，求a 2－3b 2的值．【解析】(1)由(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ，n ≥4，可得a 2＝C 2n ＝12n (n －1)，a 3＝C 3n ＝16n (n －1)(n －2)，a 4＝C 4n ＝124n (n －1)(n －2)(n －3)． 由a 23＝2a 2a 4，可得⎣⎡⎦⎤16n (n －1)(n －2)2＝2·12n (n －1)·124n (n －1)(n －2)(n －3)， 化简得2(n －2)＝3(n －3)，解得n ＝5. (2)方法一：(1＋3)5＝C 05＋C 153＋C 25(3)2＋C 35(3)3＋C 45(3)4＋C 55(3)5＝1＋53＋30＋303＋45＋9 3＝76＋443，又(1＋3)n＝a＋b3，其中a，b∈N*，所以a＝76，b＝44.所以a2－3b2＝762－3×442＝－32.方法二：(1＋3)5＝a0＋a13＋a2(3)2＋a3(3)3＋a4(3)4＋a5(3)5＝a＋b3，则(1－3)5＝a0＋a1(－3)＋a2(－3)2＋a3(－3)3＋a4(－3)4＋a5(－3)5＝a－b3，可得(a＋b3)(a－b3)＝(1＋3)5(1－3)5，即a2－3b2＝(1－3)5＝－32.。