2020年金试卷数学答案4.17
【数学】2020届高考模拟黄金卷(全国卷)(一)(理)(解析版)
2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（理）1、已知集合{}{2*|40,21,A x x x B y y x x =-<==-∈N ，则如图所示的Venn 图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42、复数12i z =+，若复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5 B ．-5 C ．34i -+ D ．34i -3、已知函数()21,01log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=( ) A. 2- B. 1- C. 12-D. 13-4、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5、曲线22220x y x y +--=所围成的区域任掷一点,则该点恰好落在区域221x y +≤内大概率为()A.π2π+4B.ππ8+ C.π2π8+ D.π4π8+ 6、已知函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的图像关于直线π6x =对称，若存在12,R x x ∈使12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,且12x x -最小值为π2,则ϕ=( ) A.π12B.π6C.π4D.π37、由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A ．14B ．16C ．18D ．208、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和中应分别填入( )A.6k T ≤=?;B.7k T ≤=?;C.6k T ≤=?;D.6k T ≥=?;9、在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 棱1BB 的中点，N 棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 成角的正切值为( )A B ．1C D10、已知函数()()xf x ax e a =-∈R 有两个零点，分别为12,x x ，且123x x <，则a 的取值范围为( )A.⎛-∞ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎝⎭11、若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.212、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若sin sin B C A =,ABC △的面积为,a b +=则c =( )313、已知单位向量12,e e 的夹角为60,向量1232a e e =-,向量12b e e λ=+,若a b ⊥,则实数λ=___________.14、若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .15、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则AF BF的值等于__________.16、函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的所有零点之和为_________. 17、在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD Q ，为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD(1)求证:平面MQB ⊥平面PAD .(2)若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值. (3)若二面角M BQ C --大小为60°，求QM 的长.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的鞘园2222:1x a C y b +=经过点2c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，且28a =经过点()10T ,作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点M 、N ，求2AT BT MN⋅的值；（3）记直线l 与y 轴的交点为P ，若25AP TB =，求直线l 的斜率k 的值.20、已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()e,e f 处的切线方程为4e y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)设t 为正整数，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.21、某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是 21件易耗品？22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（为参数），在以o为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点p 为1C 上任意一点，求点p 到2C 的距离的取值范围.23、已知函数()f x x =(1)若不等式()24f ax +≤的解集为31-［,］，求实数a 的值.(2)若02m ∈［,］，求证:((2f x f x -≤.参考答案1答案及解析： 答案：B解析：由240x x -<,得04x <<,所以{}04A x x =<<.由*21,y x x =-∈N ，得集合{}1,3,5,B =.根据题图可知阴影部分表示的集合为A B ,且{}1,3A B =，所以阴影部分表示的集合中共有2个元素，故选B.2答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，22i z =-+，所以()()122+i -2+i 415z z ==--=-. 3答案及解析： 答案：C解析：由题意可知()211111log 1,1222112f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4答案及解析： 答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ， 对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．5答案及解析： 答案：D解析：曲线22220x y x y +--=可化为22(1)(1)2x y -+-=,作出如图所示,该图形可看成由一个边长为,其所围成的区域面积是214π84π2⨯⨯⨯=+,又221x y +≤所表示的平面区域的面积为π,所以该点恰好落在区域221x y +≤内的概率为π84π+,故选D 6答案及解析： 答案：B解析：由12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,12min π2x x -=,可得函数()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,则()f x 的最小正周期2ππ,2T ωω===,又该函数关于直线π6x =对称,所以ππ()2sin()263f ϕ=+=±,则ππππ,,π+,326k k Z k k Z ϕϕ+=+∈=∈,又π(0,)2ϕ∈,所以π6ϕ= 7答案及解析： 答案：D解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： ①.由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ②.由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ③.由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；④.由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数. 8答案及解析： 答案：C解析：根据题意，运行该程序，则T ，1k =；T =，2k =；T3k =；T =4k =；T =，5k =；T =，6k =；T =7k =，结束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C. 9答案及解析： 答案：C解析：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()10,0,2,,,0,1,0A MBN ，()()13,1,1,3,0,0A M BN =-=-，设异面直线1A M 与BN 所成角为，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅ ，∴tan θ．∴异面直线1A M 与BN C. 10答案及解析： 答案：D解析：令()0f x =，即0x ax e -=. 当0a =时，0x e =无解，所以0a ≠.所以有1xxa e =. 令()()x x x g x f x ax e e =⋅=-有两个零点，等价于1y a =的图像与()xx g x e =的图像有两个不同的交点. ()1x xg x e-'=，当)1(x ∈-∞,时，()0g x '>；当1()x ∈+∞,时，()0g x '<. 所以()g x 在()1-∞,上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 因此，如图，1201x x <<<.令213x x =，有111133x xx x e e =，得1ln32x =，则()ln 213ln32x g e ==. 所以10a <，即a a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.故选D. θ11答案及解析： 答案：C解析：∵双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>∴该双曲线的渐近线方程为by x a=±，又∵一条渐近线经过点()1,2,∴21ba=⨯，得2b a =，由此可得c ==,双曲线的离心率e ca==12答案及解析： 答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B ≠,所以sin C ==又ABC △,所以21sin 2ab C ==得a又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c =3c =,故选D13答案及解析： 答案：14解析：因为a b ⊥,所以a b ⋅,所以1212(32)()0e e e e λ-⋅+=,即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=,即13(32)202λλ+-⨯-=,即14λ=14答案及解析： 答案：[]1,9解析：画出不等式组 210501x y x y y --≥⎧⎪+-=⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由501x y y +-=⎧⎨=⎩，得1(4)C ,. 将2244z x x y =-++化成()222z x y =-+.设点0(2)D ,，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()22min 2239z =-+=，经过点1(2)E ,时，z 取得最小值，()22min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］15答案及解析： 答案：3解析：设1122(,),(,)A x y B x y ,易知12x x > 由直线l 的倾斜角为60°,且过点,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线l的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭即y p -,联立22y p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理,得22122030x px p -+= 则1231,26x p x p == 则31||22311||62p pAF BF p p+==+ 16答案及解析：答案：16解析：如图构造函数21(),()2cos22x x g x h x -π⎛⎫==- ⎪⎝⎭, ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象都关于直线2x =对称, ∴函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称. ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象的交点共有8个, ∴函数()f x 的所有零点之和等于4416⨯=.17答案及解析：答案：(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，36a =，且前7项和756T =. 可得1126,72156a d a d +=+=，解得12,2,a d ==则2n a n = (2) 323n n n n b a n =⋅=⋅前n 项和()3321323333nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()341321323333n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅相减可得()()231131322333332313n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪-=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭化简可得1213322n n n S +-=⋅+ 解析：18答案及解析：答案：(1)因为//AD BC ，12BC AD Q =，为AD 中点，所以//QD BC ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//CD BQ . 又因为CD AD ⊥，所以BQ AD ⊥.又因为PQ AD ⊥且平面PAD ⊥底面ABCD ，所以PQ ⊥底面ABCD ，所以PQ BQ ⊥，所以BQ ⊥平面ADP . 又因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)以Q 为原点，QAQB QP ，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立坐标系设(PM PC λλ=⋅=-，01λ≤≤，所以()M λ-.因为BM PC ⊥，所以760BM PC λ⋅=-=，所以67λ=，所以6,7BM ⎛- =⎝⎭. 设AP 与BM 所成角为θ，所以cos 84AP BM AP BMθ⋅==⋅. (3)平面BQC 的法向量01(0)=,,n . 设()1QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤， 则平面MBQ 的法向量为10λλ-⎫=⎪⎭,m 因为二面角M BQ C --为60°，所以12⋅=⋅nm n m ，解得12λ=，所以QM . 解析： 19答案及解析： 答案：（1）因为椭圆222:18x y C b +=经过点2,c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以222182b c b +=． 又∵222a b c =+，2228182b b b -+=，解得24b ＝或28b ＝（舍去）．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设()()1122A x yB x y ,,,．因为()1,0T ，则直线l 的方程为1y k x ＝（﹣）． 联立直线l 与椭圆方程()221184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++（）﹣﹣＝，所以21221222428,2121x x x k k k x k -==+++．因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx ＝， 联立直线MN 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +（）＝， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以()()()122211M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅=-因为12122127[111]21x x x x x k x +=+⋅+（﹣）（﹣）=--（）．22232421M N x x x k =+（﹣）＝． 所以()()()122211732M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅==-．（3）在1y k x ＝（﹣）中，令0x ＝，则y k ＝﹣，所以0P k （,-）， 从而 ()()1122,,1,AP x k y TB x y =---=-，∵()1222,155AP TB x x =-=-，即122255x x +=① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②由①②得()()22122242162,321321k k x x k k -+-==++代入421222282183340x x k k k k -=⇒+﹣﹣＝，解得22k ＝或21750k =-（舍）．又因为0k ＞，所以k = 20答案及解析：答案：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，'()ln f x n x m n =++， ∴'(e)24(e)e e 4e e f m n f m n =+=⎧⎨=+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴函数()f x 的解析式为()2ln f x x x x =+. (2)()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+ ∵()1,x ∈+∞，∴2ln 11x x x t x +-<-令()2ln 11x x x g x x +-=-()1x >，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，而()()()22ln ',1,1x xg x x x --=∈+∞-，令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'10x h x x-=->，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->∴存在唯一的()03,4x ∈使得()00h x =，即002ln x x -=当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，∴()g x 在()01,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，∴()g x 在 ()0,x +∞上单调递增. ∴()()()00000000min 002212ln 1111x x x x x x g x g x x x x +--+-====+--,∴01t x <+,又()03,4x ∈，∴()014,5x +∈， ∵t 为正整数，∴t 的最大值为4. 21答案及解析：答案：(1)由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602= B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为301301101,,602602606=== C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为453151,604604==设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P x P x ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ====== 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=故711(21)48486P X >=+= 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16(2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由1知,71(22),(23)4848P X P X ====若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=117(2200)(21)48P Y P X ==== 17(2400)(22)48P Y P X ==== 11(2600)(23)48P Y P X ==== 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,25002117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=27(2300)(22)48P Y P X ==== 21(2500)(23)48P Y P X ====2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.22答案及解析：答案：（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数，得()2224x y ++=则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=.由cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin θθ=，即2x y -=则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=；（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2ρϕϕ-到曲线2C 的距离为2cos 4d πϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 故点p 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2. 23答案及解析：答案：(1)()24f ax +≤即24ax +≤，所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62x a a -≤≤，则6321a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，26x a a ≤≤-，则2361a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.综上可知，2a =.(2)((f x f x -x x =((x x ≤-=[]02m ∈,，()2m m ∴+-≥()222m m ∴+-≥⎡⎤⎣⎦，当且仅当2m m =-时等号成立，24∴≤，2≤，((2f x f x ∴-≤.。
2020年金太阳大联考数学试卷参考答案(理科)
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2020届高考文科数学模拟黄金卷(全国卷)(五)+答案详解+评分标准
2020届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、已知集合{|11},{|20}P x x Q x x =-<<=-<≤,则R P Q ⋂=ð( ) A.(2,1)-B.(1,0]-C.(0,1)D.(2,1)--2、复平面内表示复数()2z i i =-+的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若π43tan 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.3-B.3-C.3 D.3 4、若()2xf x x =⋅，()3log 5a f =，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =则a b c ,,的大小关系为( )A.c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.c a b >>5、函数3ln ()2e xx f x =的大致图象是( )A. B.C. D.6、四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π37、已知向量(1,),(3,2)a mb ==-r r,且()a b b +⊥r r r,则m =( )A.-8B.-6C.6D.88、我国高铁近几年发展迅速,根据《中长期铁路网规划(2008年调整)》,为满足快速增长的旅客运箱需求,建立省会城市及大中城市间的快速客运通道,我国将规划“四纵四横”铁路快速客运通道以及环渤海地区、长江三角洲地区、珠江三角洲地区三个城际快速客运系统.某高铁客运部门规定甲、乙两城市之间旅客托运行李的费用:不超过50 kg 按53元/kg,收费,超过50 kg 的部分按85 元/kg 收费.相应收费系统的流程图,如图所示,则①处应填( )A.0.85y x =B.500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯C.500.530.85y x =⨯+D.0.53y x =9、已知直线()200kx y k k -+=>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k =（ ）A ．13 B 2C ．23D 2210、设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos cos a a B b A =+,则ABC △的形状为( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、已知直三棱柱111ABC A B C -的体积等于63,它的所有顶点都在球O 的表面上,且其三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,则球O 的表面积为( ) A.5πB.10πC.20πD.100π12、已知()22,0,0x x x f x e x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数m 使得方程()0f x m -=恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ） A.(],0-∞B.[)0,+∞C.(],2ln 2-∞D.[)2ln 2,+∞13、下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校共有学生3 000人,由统计图可得该校共捐款__________元14、如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．15、已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A = ______,b =______. 16、已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B , (B 在第一象限)两点.若1F A AB =uuu r uu u r，1290F BF ∠=︒，点(),P x y 在双曲线的右支上，则2PB PF +的最小值为 .17、2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数；（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.18、已知数列{}n a的前项和为,239n n nS S a=-．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()31lognn nb a=-，求数列{}n b的前n项和n T19、如图,直三棱柱ADF BCE-中,点M为CD的中点, 22AB AD==,且ABCD ABEF⊥平面平面,连接,,AM ED BD.(1)求证: AM DE⊥.(2)求点F到平面BDE的距离.20、设()321252f x x x x=--+（1）求函数()f x的单调递增，递减区间；（2）当[]1,2x∈-时，()f x m<恒成立，求实数的取值范围．21、已知圆221:4320C x y x++-=,圆222:40C x y x+-=,点A为俩圆的公共点,点P(异于点A)在过点A且垂直于x轴的直线l上,直线1PM与圆1C切与点1M(异于点A),直线2PM与圆2C切与点2M(异于点A),直线11C M交直线22C M与点M.(1) 交点M的轨迹Ω的方程(2)直线1MC与轨迹Ω的另一个交点N,在x轴上是否存在定点Q,使得11MQC NQC∠=∠?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cosρθθ=+(1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程.(2)已知P 是C 上的点，点()10M -,，求线段MP 的中点到l 的距离的最小值. 23、已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M.（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：因为{|20}Q x x =-<≤,所以{|20}R Q x x x =≤->或ð,又{|11}P x x =-<< 所以{|01}R P Q x x ⋂=<<ð2答案及解析：答案：C解析：()22212z i i i i i =-+=-+=--，故复平面内表示复数()2z i i =-+ 的点(12)--,位于第三象限.3答案及解析： 答案：D解析：πtan 23α+⎛⎫ ⎪⎝⎭πtan 26α⎛⎫ ⎪⎝+⎭=2π2tan 6π1tan 6αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得πtan 6α⎛⎫ ⎪⎝=⎭+或πtan 6α⎛⎫⎪⎝=⎭+. π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，πππ,662α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ππtan 63α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππtan tan63ππ1tan tan63αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭==故选D.4答案及解析： 答案：D解析：易知函数()f x 为奇函数且在)0,+∞［上单调递增，根据奇函数的性质可得()f x 在()-∞+∞,上单调递增.因为31log 0log 1ln32<<<，所以c a b >>.5答案及解析： 答案：A解析：由题意知,()f x 的定义域为{|0}x x ≠3ln ||3e ln ||()2e 2x xx x f x ---==,()(),()()f x f x f x f x ≠--≠-,所以函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数,排除B,D;又当1x <-时,()0f x >,所以排除选项C,故选A.6答案及解析： 答案：C解析：画出图像如图所示，将AP 平移到BE 的位置，连接DE ，则角DBE 即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE 为等边三角形，故两条异面直线所成的角为π3.故选C.7答案及解析： 答案：D解析：∵向量(1,),(3,2)a m b ==-rr, ∴(4,2)a b m +=-rr.又∵()a b b +⊥r r r.∴122(2)0m --=, 解得8m =.8答案及解析： 答案：B解析：由题意,行李托运费y (元)关于行李重量(kg)x 的函数解析式为0.53,500.5350(50)0.85,50x x y x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩由框图可知50x >时,执行①,故选B.9答案及解析： 答案：D解析：由题意，联立()282y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()22224840k x k x k +-+=设()()11221212,,,,0,0,0,0Ax y B x y x x y y >>>>∴124x x = ○1 由抛物线的定义，122,2FA x FB x =+=+∵2FA FB =∴1222x x =+ ○2 由○1○2解得21x =∴(1,B ，代入()2y k x =+，得k =10答案及解析： 答案：D解析：∵cos cos a a B b A =+,由余弦定理得22222222a c b b c a a a b ac bc+-+-=⨯+⨯, 整理得222ac c =, ∴a c =,即ABC △为等腰三角形.11答案及解析： 答案：C解析：因为该三棱柱的三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,所以该三棱柱的底面是等边三角形,设其底面边长为a,高为h,球O 的半径为R,则有222()()22a h +=,2h =所以2a h ==,又222()2h R +=所以R =故球O的表面积224π4π20πS R ===,故选C12答案及解析： 答案：C解析：不妨设120x x <<由()()12f x f x m ==，得222111x x e x e -⎛⎫ ⎪⎝=<⎭-.化简得()212ln 2x x =-+，所以()121122ln x x x x +=++-. 令()()122ln g x x x x e⎛⎫=++-<- ⎪⎝⎭，则()21g x x'=+， 当2()x ∈-∞-，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当12,x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以()g x 的最大值为()22ln 2g -=，所以12x x +的取值范围为,2n 2(l -∞］.故选C.13答案及解析： 答案：37770 解析：由扇形统计图可知,该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人,由条形统计图知,该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元,所以共捐款1596013990101?050? 37?770⨯+⨯+⨯= (元).14答案及解析： 答案：25解析：由题意知底面圆的直径AB =2， 故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n ∘， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π2π180n =， 解得n =90，所以展开图中∠PSC =90∘，根据勾股定理求得25PC = 所以小虫爬行的最短距离为515答案及解析： 2;1解析：22cos sin 21cos 2sin 22)14x x x x x π+=++=++,所以2;1A b ==.16答案及解析： 答案：2解析：由1F A AB =uuu r uu u r知A 是1BF 的中点，又O (O 为坐标原点)是12F F 的中点，所以OA 为12F F B △的中位线.因为1290F BF ∠=︒，所以1OA BF ⊥，1OB OF =，所以1FOA BOA ∠=∠. 根据双曲线的两条渐近线关于y 轴对称，可知12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒， 所以渐近线的倾斜角为60°或120°，即b所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以22OF c ==. 易知2BOF △为等边三角形，所以222BF OF ==.故当2,,B P F 三点共线时2PB PF +取得最小值，()22min2PB PF BF +==17答案及解析：答案：（1）频率为0.08，频数2，所以全班人数为2250.08=. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）由已知得[)80,100的人数为：0.160.0825426+⨯=+=（）. 设分数在[)80,90的试卷为,,,A B C D 分数在[]90,100的试卷为,a b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab ,其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 解析：18答案及解析：答案：（1）当1n =时，11239S a =-. 因为11S a =，所以11239aa =-，所以19a =.因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列.所以11933n n na -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当为偶数时，()()()2345 (12)n n T n n =-++-+++-++=⎡⎤⎣⎦ 当为奇数时，()()()()()132345 (11122)n n n T n n n n -+=-++-+++--+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦ 所以,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数解析：19答案及解析：答案：(1)记AM 与BD 的交点为O . 由题意，知BE AB ⊥.∵ABCD ABEF ⊥平面平面，且ABCD ABEF AB =I 平面平面， ∴BE ABCD ⊥平面.∵AM ABCD ⊂平面，∴BE AM ⊥.又M 为CD 的中点，222AB CD AD BC ==， ∴1,2DM AD BC ===， ∴22tan tan 2DM BC DAM BDC DA CD ∠==∠== ∴DAM BDC ∠=∠.∵90DAM AMD ∠+∠=︒,∴90BDC AMD ∠+∠=︒， ∴90AOD ∠=︒，∴AM BD ⊥. 又BD BE B =I ，∴AM BDE ⊥平面，∴AM DE ⊥. (2)设点F 到平面DBE 的距离为d.∵//,,AF BE BE BDE AF BDE ⊂⊄平面平面， ∴//AF BDE 平面.∴点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离. 由上题知()2222,213AO BDE AM AD DM ⊥=+=+=平面，∴26cos 3ADDAM AM∠===， ∴623cos 2d AO AD DAM ==⋅∠=⨯=， ∴点F 到平面BDE 的距离为23. 解析：20答案及解析： 答案：（1）()232f x x x '=--，令()0f x '=，解得1x =或23-， 令()0f x '>，解得2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，令()0f x '<，解得2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x 的单调递增为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭（2））∵()()()1222115,5,13,2723272f f f f ⎛⎫-=-=== ⎪⎝⎭；即()max7fx =，要使[]1,2x ∈-时，()f x m <恒成立，即()max f x m <，∴7m >，故实数m 的取值范围为()7,+∞ 解析：21答案及解析：答案：(1)已知圆221:(2)36C x y ++=,圆222:(2)4C x y -+=,两圆的圆心距为俩圆半径之差的绝对值,故两圆相切,切点为(4,0)A ,直线l 为两圆的公切线,12PA PM PM == 如图,连接PM ,在1PMM △和2PMM △,1290PM M PM M ∠=∠=o ,12,PM PM PM PM == 所以12R R t M PM t M PM ≅△△,所以12MM MM =所以12121112226284MC MC MC MM MC MM C C +=++=++=+=>=根据椭圆的定义知,点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆(不含x 轴的交点),且28,24a c == 所以4,2a c ==,所以212b =故点M 的轨迹Ω的方程为221(0)1612x y y +=≠(2)当直线1MC 的斜率不存在时,易知,M N 两点关于x 轴对称,所以当点Q 为x 轴上的任意点时,均为11MQC NQC ∠=∠当直线1MC 的斜率存在时,由(1)知,直线1MC 的斜率不为零.设直线1MC 的方程为2(0)x ty t =-≠,代入轨迹Ω的方程,得22(34)12360t y ty +--=设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212221236,3434t y y y y t t +==-++ 设(,0)Q m ,若11MQC NQC ∠=∠,则0MQNQ K k +=,即12120y y x m x m+=--,即1221()()0y x m y x m -+-=,即1221(2)(2)0y ty m y ty m --+--=,即12122(2)()0ty y m y y -++=即227212(2)03434t tm t t --+⋅=++,得8m =-, 综上可得,在x 轴上存在定点(8,0)Q -,使得11MQC NQC ∠=∠ 解析：22答案及解析：答案：(1)消去参数t ，得直线l的普通方程为230y --=.由222cos sin x y x yρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. (2)设()1,1P ϕϕ，则线段MP的中点坐标为⎝⎭. 由点到直线的距离公式得，线段MP 的中点到l 的距离dπ13ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以线段MP 的中点到l的距离的最小值为1解析：23答案及解析：答案：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由于函数146,2x y x -<-=,是减函数，1562,24x y x --≤<=,是减函数，564,4x y x -≥=，是增函数，故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bccb ac b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.解析：。
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷 数学(理)(二) 含答案
(A)182
182
(B)
3
91
(C)
3
182
(D)
9
(11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为
-2-
(A) 6
(B)2 2
(C)3 (D)2 3
(12)已知函数 f(x)＝ln(x－a)，若 x1，x2∈(a，＋∞)，使得[x1－f(x2)]2＋[x2－f(x1)]2＝4，则实
-4-
的函数解析式；
(II)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂「计划一天出栏 112
只或 119 只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏 112 只还是 119 只?
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝e2x－a，g(x)＝ex－b。且 f(x)与 g(x)的图象有一条斜率为 1 的公切线(e 为自然对
第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知集合 A＝{x|x<6 且 x∈N*}，则 A 的非空真子集的个数为 (A)30 (B)31 (C)62 (D)63 (2)已知复数 z 满足：z·(1＋i)＝1 十 3i，则|z|＝
。
(I)当φ＝ 时，把直线 l 的参数方程化为普通方程，把椭圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
3
(II)直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 中点为 M(2，1)，求直线 l 的斜率。
(23)(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|x－a|＋|x－2|。
(I)若 f(x)≥3 恒成立，求实数 a 的取值范围；
2020届高考模拟黄金卷(全国卷)数学试题(一)(文)(解析版)
2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（文）1、已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 2、已知,R x y ∈，i 为虚数单位，且()2i -15i x y +=+，则()1i x y+-=( )A.2- B. 2i -C.2D. 2i3、已知,A B 是过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足2AF FB =,||OAB S AB ∆=,则抛物线的标准方程为（ ）A ．24y x =B ．214y x =C ．28y x =D ．218y x =4、设向量(,4)a x =-,(1,)b x =-,若向量a 与b 同向,则x =( ) A.2B.-2C.2±D. 05、已知函数()()22log ,2f x x g x x ==-+，则函数()()y f x g x =⋅的图像只可能是( )6、若,x y 满足约束条件23001x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩,则3z x y =+的最大值为( )A.-6,B.-2C.2D.47、执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S= （ ）A ．910 B ．718C ．89D ．258、如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段MN 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A.4π63-B.331-C. 33π-D.339、函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示,给出下列四个结论:①3π4ϕ=②1()2f = ③当5[1,]2x ∈时,()f x 的最小值为-1④()f x 在117[,]44--上单调递增其中所有正确结论的序号是( ) A.①②④B.②③C.①②D. ①②③④10、若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e 11、在ABC ∆中，若sin 2sin 60A C B b ︒＝,＝,＝ABC ∆的面积为（）A.8B.2C.D.412、已知双曲线221(0)y x m m-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( )A.1 C.2 D.313、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为________.14、已知函数1e ,1()(2)2,1x x f x f x x -⎧≤=⎨-+>⎩把函数()y f x =的图象与直线y x =交点的横坐标按从小到大的顺序排成一个数列{}n a 则数列{}n a 的前n 项和n S =________.15、已知直线3y x =+为曲线()xf x ae =的一条切线，则实数a 的值为 .16、在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为______________.17、已知各项都不相等的等差数列{}n a ,66a =,又124,,a a a 成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式2.设22na nb n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD , ,PB PA PB PA ⊥=,90DAB ABC ∠=∠=︒ , //AD BC ， 8,6,10AB BC CD ===,M 是 PA 的中点．(1)求证：//BM 平面PCD ； (2)求三棱锥B CDM 的体积．19、为喜迎元旦,某电子产品店规定的买超过5 000元电子产品的顾客可以今与抽奖活动，中奖者可获得扫地机器人一台.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品.从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台,检侧它们充满电后的工作时长(单位:分).相关数据如下表所示.(1)根据所提供的数据分别计算抽取的甲、乙两种品牌扫地机器人充润电后工作时长的平均数与方差.(2)从甲品牌被抽中的6台扫地机器人中随机抽出2台.求抽出的2台扫地机器人充满电后工作时长之和小于420分钟的概率(3)下表是一台乙品牌扫地机器人的使用次效与当次充满电后工作时长的相关欲据.求该扫地机器人工作时长y 与使用次数x 之间的回归直线方程，并估计该扫地机舒人使用第200次时间充满电后的工作时长附ˆyb x a ∧∧=+,121()()()nii i nii xx y y b xx ∧==--=-∑∑,a y b x ∧∧=-20、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆2220x y x +-=的圆心 (1)求椭圆的方程.(2)若M N ,为椭圆上的两个动点，直线OM ON ,的斜率分别为12k k ,，当1234k k =-时，MON△的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由21、设()e (1)x f x a x =-+.(1)若0,()0a f x >≥对一切R x ∈恒成立,求a 的最大值; (2)是否存在正整数a ,使得13...(21))n n n n n an +++-<对一切正整数n 都成立？若存在,求a 的最小值;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy 中,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x t y at== (t 为参数),曲线1C 的方程为(4sin )12ρρθ-=,定点()6,0A ,点P 是曲线1C 上的动点, Q 为AP 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程;（2）直线l 与直线2C 交于,A B 两点,若AB ≥求实数a 的取值范围.23、设函数()133f x x x a a =-+-+，R x ∈． (1)当1a =时，求不等式()7f x >的解集. (2)对任意R m +∈，R x ∈恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——1『答案』及『解析』『答案』C 『解析』∵{}|42M x x =-<<，{}{}2|60|23N x x x x x =--<=-<<，∴{}|22M N x x =-<<2『答案』及『解析』『答案』B『解析』∵,R x y ∈,i 为虚数单位,且i--1i x y =+,∴11y x -=-⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==. 则()()21i 1i 2i x y-=-=-.故选：B.3『答案』及『解析』『答案』A『解析』设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质，212y y p =-，所以2222y p -=-，得21,2y p y ==，11322AF BF BF p +== ，得339,,424BF p AF p AB p ===。
2020年高考全国名校联考冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(理)(三) Word版含答案
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国II 卷·理数(三)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M ＝{x ∈N|x ≤6}，A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则M ðB ＝ (A){2，5，6} (B){2，3，6} (C){2，3，5，6} (D){0，2，3，5，6} (2)已知i 是虚数单位，z(2－i)＝5(1＋i)，则z ＝ (A)1＋3i (B)1－3i (C)－1＋3i (D)－1－3i(3)在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝4，D 为BC 上一点，且3BC BD =u u u r u u u r，AD ＝2，则BC 的长为 (A)42 (B)42 (C)4 (D)42 (4)在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”。
已知如图所示的多边形镶嵌的图形T ，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是(A)23 43743+ 743+ (D)12 (5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)2433π+ (B)21233π+ (C)4433π+ (D)41233π+ (6)已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO BA ⋅u u u r u u u r<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是 (A)(1，233) (B)(233，＋∞) (C)(1，23) (D)(23，＋∞) (7)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为(8)如图给出的是计算1111124640384040-+-⋅⋅⋅+-的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(A)i ≤4034? (B)i ≤4036? (C)i ≤4038? (D)i ≤4042?(9)已知大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，则下列结论正确的是(A)221111x y <++ (B)ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1) (C)tanx<tany >(10)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l ：x －y －2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为 (A)(1，－1) (B)(2，0) (C)(12，－32) (D)(1，1) (11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点，CA CB ⋅u u u r u u u r＝0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为(A)15 (B)25 (C)45(D)5(12)设函数f(x)＝asin ωx ＋bcos ωx(ω>0)在区间[6π，2π]上单调，且f(2π)＝f(23π)＝－f(6π)，当x ＝12π时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y ＝g(x)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届湖北省名师联盟高三上学期期末考试精编仿真金卷数学(B理)试题及答案
2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{,2}B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．42．23i1i -=+（ ） A ．15i 22- B ．15i 22-- C ．15i 22+ D ．15i 22-+ 3．已知(1,2)=a ，(,3)m m =+b ，(2,1)m =--c ，若∥a b ，则⋅=b c （ ） A ．7-B ．3-C ．3D ．74．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．22y x =±C ．5y x =±D ．22y x =±5．某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗队，平均分到甲、此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．若3π3sin()2α+=，则cos2α=（ ） A ．12-B ．13-C ．13D ．127．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．2B ．3C ．2 D．212．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,)+∞B ．(10,]eC ．[1,)e+∞D ．[,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，3a =，b =2B A =，则cos A = ．14．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．15．已知11210110121011(12)x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,)A a ，(3,4)B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，EF AC ∥，1EF =，60ABC ∠=︒，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点．（1）求证：平面ACG ∥平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值．19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流． （i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断||||PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．21．（12分）已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在π(0,)2上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线:x tl y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-．（1）解不等式()(21)6f x f x ++≥；（2）对1(0,0)a b a b +=>>及x ∀∈R ，不等式41()()f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】D12．【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】314．【答案】25π415．【答案】2216．【答案】55 (,)33三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+；（2）1311()2212n T n n =--++． 【解析】（1）设公差为d ，由已知有111210434242a a d a d ++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得13a =，2d =， 所以21n a n =+．（2）由于21n a n =+，所以22n S n n =+，则211111()222n S n n n n ==-++， 则111111111311(1)()23241122212n T n n n n n n =-+-+⋯+-+-=---++++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，易知O 是BD 的中点，故OG BE ∥，BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外，所以OG ∥面BEF ； 又EF AC ∥，AC 在面BEF 外，AC ∥面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面ACG ∥面BEF ．（2）连结OF ，∵//FE OC ，∴OF EC ∥， 又∵CE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,3,0)B -，(0,3,0)D ，(0,0,3)F ，(1,3,0)AD =u u u r ，(1,3,0)AB =-u u u r ，(1,0,3)AF =u u u r，设面ABF 的法向量为(,,)a b c =m ，依题意有ABAF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r m m ，3030AB a b AF a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u ur m m ，令3a =，1b =，1c =-，(3,1,1)=-m ， 3315,544o 1c s AD +<>==⨯+u u u rm ，直线AD 与面ABF 成的角的正弦值是15． 19．【答案】（1）能；（2）（i ）男生有6人，女生有4人；（ii ）4()5E X =，分布列见解析．【解析】（1）列出列联表，22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关． （2）（i ）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2， 用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X ， 则X 的可能值为0，1，2，则262101(0)3C P X C ===，11642108(1)15C C P X C ===，242102(2)15C P X C ===，可得X 的分布列为：可得数学期望1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）22163x y +=；（2）为定值，||||2PM PN ⋅=． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为22知，b c =，2a b =， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=，易求得(2,0)A ，∴点2,2)在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=． （2）当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x =由（1）知，2,2)M ，(2,2)N -，2,2)OM =u u u u r ，2,2)ON =u u u r， 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，∴OM ON ⊥，当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，11)(,M x y ，22)(,N x y 221k =+222(1)m k =+，联立直线和椭圆的方程得222()6x kx m ++=，∴222)(124260k x kmx m +++-=，得2221222122(4)4(1226)0421621)2(Δkm k m km x x k m x x k =-+->+=-⎧⎪⎪⎪+⎨-=+⎪⎪⎪⎩，∵11(),OM x y =u u u u r ，22(,)ON x y =u u u r，∴12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r22222121222))264(1((1)1221m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++2222222222222(1(26)421)3663(22)662)21121(k m k m m k m k k k k k k +--++--+--====+++，∴OM ON ⊥，综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥， 在OMN Rt △中，由OMP △与NOP △相似得，2||||||2OP PM PN =⋅=． 21．【答案】证明见解析；（2）(0,1)．【解析】（1）当1a =时，()sin xf x e x =-，于是()cos xf x e x '=-． 又因为当(0,)x ∈+∞时，1xe >且cos 1x ≤；故当(0,)x ∈+∞时，cos 0xe x ->，即()0f x '>．所以函数()sin xf x e x =-为(0,)+∞上的增函数，于是()(0)1f x f ≥=． 因此对[0,)x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）由题意()f x 在π(0,)2上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在π(0,)2上存在零点，①当(0,1)a ∈时，()cos xf x ae x '=-为π(0,)2上的增函数，注意到(0)10f a '=-<，π2(π)02f a e '=⋅>，所以，存在唯一实数0(0,)2πx ∈，使得0()0f x '=成立．于是，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为0(0,)x 上的减函数；当0()2π,x x ∈时，()0f x '>，()f x 为0(,)π2x 上的增函数，所以0(0,)2πx ∈为函数()f x 的极小值点；②当1a ≥时，()e cos cos 0x xf x a x e x '=-≥->在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递增，所以()f x 在π(0,)2上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0xf x a x '=-<在(0,)2πx ∈上成立，所以()f x 在π(0,)2上单调递减，所以()f x 在π(0,)2上没有极值，综上所述，使()f x 在π(0,)2上存在极值的a 的取值范围是(0,1)．22．【答案】（1）||1AB =；（2）4【解析】（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为(1,0)A，1(,22B -， 则||1AB =．（2）曲线2C 的参数方程为1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标为1cos ,(in )22θθ， 从而点P 到直线l的距离是2224|2π()4d θθθ==-+，由此当πsin()14θ-=-时，d取得最小值，且最小值为423．【答案】（1）(,1][3,)-∞-+∞U ；（2）135m -≤≤．【解析】（1）1133,2()(21)|22233,||21|1,2x x f x f x x x x x x x ≤≤-⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=⎨>+⎪⎪⎪⎩， 当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，所以不等式()6f x ≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞U ．（2）∵1(,0)a b a b +=>，∴414()()559b a a b a b a b ++=++≥+=， ∴对于x ∀∈R ，恒成立等价于：对x ∀∈R ，|2||2|9x m x -----≤， 即max |2||2|]9[x m x -----≤，∵|2||2||(2)(2)||4|x m x x m x m -----≤---+=--， ∴949m -≤+≤，∴135m -≤≤．。
江苏金陵中学2020届高考数学检测卷及答案及评分标准
江苏金陵中学2020届高考数学检测卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1d的值为▲________． (第4题) (第3题)10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210． (1)求cos(α－β)的值；(第15题)(2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S ＝32，求M 的坐标．(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；(3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x3y对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C每个项目测试的概率都是12．(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，BC ＝2，BA＝1，AD＝3，PB＝3．(1)求二面角P－CD－A的平面角的余弦值；(2)若点E在棱P A上，且BE⊥平面P AD，求直线BE和平面PCD所成角的正弦值．(第23题)阶段性检测 数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．{0} 2．10 3．16 4．90 5．13 6．(2，7) 7．2 8．12 9．1 10．－4311．3π12．解析：因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y ＝(2x ＋3y )(x ＋y )＝2y x ＋3xy＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎨⎧2y x ＝3x y x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2y ＝3－6时取“＝”．13．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P (－5，0)，且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M (x ，y )，则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为(52，5]．14．解析：令f (x 1)＝g (x 2)＝t ，则e x 1＝a x 2＝t ，故x 1＝ln t ，x 2＝t2a2．令h (t )＝x 2－x 1＝t 2a 2－ln t ，则h’(t )＝2t a 2－1t ．令h’(t )＝0得t ＝22a ．当t ＞22a 时，h’(t )＞0，h (t )单调递增；当0＜t ＜22a 时，h’(t )＜0，h (t )单调递减．因此，[h (t )]min ＝h (22a )＝12－ln(22a )＝ln22，解得a ＝e ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ． ··············· 2分又AF ⊥CD ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面ADF ，所以CD ⊥平面ADF ， ·············································· 5分 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADF ⊥平面ABCD ． ···································· 7分 (2)因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， ··············· 9分 又AB ⊂平面ABEF ，CD ⊄平面ABEF ，所以CD ∥平面ABEF ， ·········································· 11分 又CD ⊂平面DCEF ，平面DCEF ∩平面ABEF ＝EF ， ∴CD ∥EF ． ························································· 14分16．(1)因为点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210，结合三角函数的定义得cos α＝－31010，cos β＝－210． ···· 2分因为α，β均为钝角，所以sin α＝1－cos 2α＝1010，sin β＝1－cos 2β＝7102， ·· 4分所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－31010)×(－210)＋1010×7102＝55．················································································· 6分(2)(方法一)sin2α＝2sin αcos α＝－35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝45，8分因为α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)，且sin2α＜0，cos2α＞0，所以2α∈(32π，2π)，又β∈(π2，π)，所以2α－β∈(π2，32π)．10分又sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝(－35)×(－210)－45×7102＝－22， 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分(方法二)因为α，β∈(π2，π)，cos α＝－31010＜cos β＝－210，所以π2＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π2．由(1)知sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝255， ···················· 8分所以sin(2α－β)＝sin[(α－β)＋α]＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝255×(－31010)＋55×1010＝－22．10分因为0＜α－β＜π2，π2＜α＜π，所以2α－β∈(π2，32π)， ····· 12分所以2α－β＝54π． ·················································· 14分17．(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ········ 2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ···················· 4分 即最多调整500名员工从事第三产业．························· 5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x500)x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋1500x )万元，则10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1500x )， ······················· 8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x＋1恒成立． ·································· 10分因2x 500＋1000x ≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， · 12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为(0，5]． ·········18．(1)设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2c＝4，解得a ＝故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．6分两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． ·································· 8分(3)由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12， 10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1． ······· 12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 123＝1(3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝74y ＝385．所以M 的坐标为(74，358) ． ··································· 16分19．(1)由S n ＋1－2S n ＝1，得S n －2S n －1＝1 (n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2 (n ≥2)． ············ 2分因为a 1＝1，由(a 1＋a 2)－2a 1＝1，得a 2＝2，所以a2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2对任意n ∈N *都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2． ·········· 4分 (2)① 由(1)知，a n ＝2n －1，由b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1，得b n ＋1＝b n 2＋12n ， ·························· 6分即2n b n ＋1＝2n －1b n ＋1，即2n b n ＋1－2n －1b n ＝1， 因为b 1＝1，所以数列{2n －1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． 8分 所以2n －1b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以b n ＝n2n －1． ···················································· 10分 ② 设T n ＝i ＝1n∑b i ， 则 T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ×(12)n －1，所以12T n ＝ 1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ×(12)n ，两式相减，得12T n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ×(12)n ＝1－(12)n1－12－n ×(12)n ＝2－(n ＋2)×(12)n，所以T n ＝4－(2n ＋4)×(12)n ． ··································· 12分由i ＝1n∑b i＝4－n ，得4－(2n ＋4)×(12)n ＝4－n ，即n ＋2n ＝2n －1． 显然当n ＝2时，上式成立，设f (n )＝n ＋2n －2n －1 ( n ∈N *)，即f (2)＝0．因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3n ＋1－2n )－(n ＋2n －2n －1)＝[2n (n ＋1)＋2n －1]＜0，所以数列{f (n )}单调递减， 所以f (n )＝0只有唯一解n ＝2，所以存在唯一正整数n ＝2，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立． ······ 16分 20．(1)由f (x )＝e x －a (x ＋1)，知f’(x )＝e x －a ．若a ≤0，则f’(x )＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 2分 若a ＞0，令f’(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ＜ln a 时，f’(x )＜0，当x ＞ln a 时，f’(x )＞0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；在(ln a ，＋∞)上单调递增． 4分 (2)由(1)知，当a ＞0时，f min (x )＝f (ln a )＝－a ln a ．因为f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，所以b ≤－a ln a ，所以ab ≤－a 2ln a ． 6分设t (a )＝－a 2ln a ，(a ＞0)，由t’(a )＝－(2a ln a ＋a 2·1a)＝－a (2ln a ＋1)，令t’(a )＝0，得a ＝e －12，当0＜a ＜e －12时，t’(a )＞0，所以t (a )在(0，e －12)上单调递增；当a ＞e －12时，t’(a )＜0，所以t (a )在(e －12，＋∞)上单调递减，所以t (a )在a ＝e －12处取最大值，且最大值为12e．所以ab ≤－a 2ln a ≤12e ，当且仅当a ＝e －12，b ＝12e －12时，ab 取得最大值为12e ．··············································································· 10分(3)设F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝e x －ex －2ax －a ， 题设等价于函数F (x )有零点时的a 的取值范围．① 当a ≥0时，由F (1)＝－3a ≤0，F (－1)＝e －1＋e ＋a ＞0，所以F (x )有零点． ········································································· 12分② 当－e2≤a ＜0时，若x ≤0，由e ＋2a ≥0，得F (x )＝e x －(e ＋2a )x －a ＞0；若x ＞0，由(1)知，F (x )＝－a (2x ＋1)＞0，所以F (x )无零点． 14分 ③ 当a ＜－e2时，F (0)＝1－a ＞0，又存在x 0＝1－ae ＋2a ＜0，F (x 0)＜1－(e ＋2a )x 0－a ＝0，所以F (x )有零点．综上，a 的取值范围是a ＜－e2或a ≥0． ······················ 16分数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤612，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， ·· 5分 因为det(M )＝1×4－2×3＝－2≠0，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－21－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ················ 10分 B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]设P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2 ················································ 5分＝|2cos(θ－π6)－8|2，所以当θ＝7π6时，d 取到最大值102＝52． ·················· 10分22．(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为A ．P (A )＝C 23(12)2(1－12)＝38．答：甲恰好通过两个项目测试的概率为38． ···················· 2分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．因为每人可被录取的概率为C 23(12)2(1－12)＋(12)3＝12， ········ 4分所以P (X ＝0)＝(1－12)3＝18，P (X ＝1)＝C 13(12)(1－12)2＝38，P (X ＝2)＝C 23(12)2(1－12)＝38，P (X ＝3)＝(12)3＝18．故X 的概率分布列为····················· 8分 所以X 的数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32．10分23．(1)以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．因为A (1，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，D (1，3，0)，P (0，0，3)， 所以→CD ＝(1，1，0)，→PC ＝(0，2，－3)．易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)． ·············· 1分 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→CD ＝0m ·→PC ＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝02y ＝3z ．取z ＝2，则m ＝(－3，3，2)．设二面角P －CD －A 的平面角为α，可知α为锐角， ······· 3分 则cos α＝|cos ＜n ，m ＞|＝|n ·m ||n |·|m |＝2 3＋3＋4＝105，即二面角P －CD －A 的平面角的余弦值为105． ············· 5分 (2)因为点E 在棱P A 上，所以设→AE ＝λ→AP ，λ∈[0，1]． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→AE ＝(－λ，0，3λ)， 故→BE ＝→BA ＋→AE ＝(1－λ，0，3λ)．因为BE ⊥平面P AD ，AP ⊂平面P AD ，所以BE ⊥AP ． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→BE ·→AP ＝0，即λ－1＋3λ＝0，解得λ＝14， ·············· 7分所以→BE＝(34，0，34)，所以BE＝|→BE|＝32．设直线BE和平面PCD所成的角为β，可知β为锐角．因为m为平面PCD的一个法向量，则sinβ＝|cos＜→BE，m＞|＝343＋3＋4×32＝1020，即直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1020．··········· 10分。