高考数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及运算课件 文 新人教A版
【解析】B A =a-b,
B M= 16 B A = 16 a- 16 b,
OM =
OB
+ BM
= 1 a+ 5 b,
66
O D =a+b,
ON = OC + CN = 12 OD + 16 O D = 23 O D = 23 a+ 23 b, MN = ON - OM = 12 a- 16 b.
13 c.
【答案】A
3.在△ABC中,点P是AB上一点,且 CP
= 2
3
C A + 13
C B ,Q是BC中点,
AQ与CP交点为M,又C M =t CP,则t的值为 ( )
(A) 12 .
(B) 23 .
(C) 34 .
(D) 54 .
【解析】∵C M
=t CP
,∴ CM
=t( 2
2.在三角形ABC中, AB
=c, AC
=b,点D是边BC上一个靠近点C的
三等分点,则 AD等于 ( )
(A) 2 b+ 1 c.
33
(C) 2 b- 1 c.
33
(B) 5 c- 2 b.
33
(D) 1 b+ 2 c.
33
【解析】如图所示,可知A D
= AB
+ 2
3
(
A C -
A B )=c+ 23 (b-c)= 23 b+
(6)若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中不正确的个数是 ( )
(A)2.
(B)3.
(C)4.
(D)5.
【解析】(1)不正确,相等向量起点可以不同;(2)不正确,a与b 的方向可以不一样;(3)不正确,A B与C D可以在同一直线上;(4) 正确;(5)正确;(6)不正确,若b为零向量,零向量与任何向量共 线,所以a与c可以不共线的.故答案为C. 【答案】C
与a的方向相
反;当λ=0时,λa
=0
1.已知λ∈R,则下列命题正确的是 ( )
(A)|λa|=λ|a|.
(B)|λa|=|λ|a.
(C)|λa|=|λ||a|.
(D)|λa|>0.
【解析】当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|应该是一个非 负实数,而非向量,所以B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误. 【答案】C
题型2 向量的线性运算
例2 如图所示,D、E是△ABC中AB、AC边的中点,
M、N分别是DE、BC的中点.已知B C=a,B D=b,试用a、b分别 表示 AC、C E 和M N .
【分析】结合图形可先把A C转化为 BC与 BA的差,即可得到 A C ,而 CE与A C是共线向量;M N先转化为M D、D B 、B N 的和,然 后再转化为a、b的和差关系.
3
C A +13 CB )= 23t C A + 3t C B =
23t 又CA.∵+A 23,tMCQ,Q三点共线,∴ 23t + 23t =1,∴t= 34 .
【答案】C
核心突围 技能聚合
题型1 平面向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确,不正确的说明理由:
(1)向量a与向量b平行,则向量a与向量b方向相同或相反;
第五章 平 面 向 量
§5.1 平面向量的概念及运算
知识诠释 思维发散
一、向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量,向 量的大小叫做向量的模(或 长度)
零向量
长度为零的向量,其方向是 记作:0 任意的
单位向量 长度为1个单位的向量
非零向量a的单位向
a
量为 | a |
名称
定义
平行向量 或共线 向量
向量运算 减法
定义
法则(或几何 运算律 意义)
求a与b的相反
向量-b的和的
运算叫做a与b 的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向 (1)|λa|=|λ||a| λ(μa)=λμa
量a的积的运 (2)当λ>0时,λa (λ+μ)a=λa+μa
算
与a的方向相 λ(a+b)=λa+λb
同;当λ<0时,λa
【解析】由三角形中位线知DE������ 1 BC,
2
故D E = 12B C ,即D E = 12 a.∴A C =B C - BA =a-2b, C E =- 12A C =- 12 a+b, MN =M D + DB + BN = 12 ED - BD + 12 B C
(2)向量 AB与向量C D是共线向量,则A,B,C,D四点必在一直线 上; (3)若干个向量首尾相接,形成封闭的图形(即向量链),则这些 向量的和等于0; (4)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.
【分析】本题主要考查学生对于零向量有关性质的掌握及 对相等向量的认知.
【解析】(1)不正确,若向量a与向量b有一个是零向量,则其 方向不确定.(2)不正确,若向量A B与向量 CD是共线向量,则向 量A B 与向量C D在同一直线上或者所在的直线平行,因此A,B, C,D四点不一定共线.(3)正确.(4)正确.
方向相同或相反的 向量叫平行向量,又 叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相 同的向量
相反向量 长度相等且方向相 反的向量
备注 0与任一向量平行 或共线
0的相反向量为0
二、向量的线性运算
向量运算 加法
定义
法则(或几何 运算律 意义)
求两个向量和
的运算
(1)交换律: a+b=b+a (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)
【点评】注意向量相等应满足的两个条件:①模相等;②方向 相同.还要注意零向量的特殊性,尤其是判定向量共线时不要 忽略零向量.
变式训练1 给出下列六个命题: (1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (2)若|a|=|b|,则a=b; (3)若A B =C D,则A,B,C,D四点构成平行四边形; (4)在平行四边形ABCD中,一定有A B =D C; (5)若m=n,n=p,则m=p;
=- 1 a-b+ 1 a= 1 a-b.
4
2
4
【点评】用已知向量来表示另外一些向量,是用向量解题的 基本功,除综合利用向量的加、减法,数乘向量外,还需要充 分利用平面几何的一些定理.
变式训练2 平行四边形OADB的对角线交于点CB, M =13 BC , C N = 13 CD ,O A=a,O B=b,用a,b表示 OM , ON , MN .
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
人教课标A高考一轮复习精品课件5.1平面向量的概念及其线性运算
平^面"向量"§5.1平面向量的概念及其线性运算基础知识自主学习要点梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有___ 又有____ 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的大小(或模)方向(2)零向量：______ 的向量叫做零尚量，其方向是____ 的. 长度(3)单位向量：长度等于_______ 的向量.长度为0任意⑷平行向量：方向____ 或相同的相厨量•甲1^］量又叫—共线向量任一组平行向量都可以移到同一条直线上. 规定：0与任一向量 __ ・(5)相等向量：长度____ XL 0向____ 的向量.(6)相反向量：长度的向曇目同相等相同2.向量的加法和减法（1）加法①法则：服从三角形法则、平行四边形法则.②运算性质：a+b二___ （交换律）；（a+b）+c=______ （结合律）；a+0 二—=⑵减法b+a①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角務因则.0+a23.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下:① I al =一 ② 当 ____ 时，二0时,；a= __ ⑵运叙°设 ①(〃妒 ⑵运a 的方向相同；当 _____ 时，a 与a 的方向相反；当 则: +〃)a 二 ③(a+b)二2 ^4.两个向量共线定理 向量b 与a (aHO)共线的充要条件是 有且只有一个实数使得b= a 2基础自测1 •如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )C. _k ,D.AB — 5©CD解私4显然正确71平行四边形；AD + AB=i^ 误.D 中 AD + CBAB-AD = DBAD + CB = AD + DAAB-AD = BD AB2•如图所示，D是AABC的边AB上的中点，则向量等于(A.-BC——BAD・2解析荒9直硕勺中点，・・・2~BC+-~BA2BD--BA_ _ 2 :.CD=CB+BD=-BC+-W LCD A23. (2009 •北京理，2)已知向量a、b不共线,果〃小那么( )A.k二1且c与d同向B.k二1且c与d反向C.k二T且c与d同向D.k二T且c与d反向解析Vc/7d, /.c= d,即ka+b二(a-b).又a、k 二, =-l,1 二一 , k 二T・c二ka+b(kUR), d二a-b•如D2.•・c=・d,.・・c与d反向.24•下列各命题中，真命题的个数为（）①若|a| = |b|,贝!Ja二b或a=-b；②若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点;③若a二b, b二c,则a二c;④若a 〃翩生炭ija〃c・A. 4B. 3D. 1 C. 2解析 ①由|a|= b 可知向量a, b 模长相等但不能确定 向量的方向，如在正方形ABCD 中，丨|二| |,但与既不相等也不互为相反向量，故此命题制. 可得丨丨二丨 丨日〃Ati " 空可能是A ，B, C, D 在同一矗直线上， 古錮:命界正确. ③ 正确"_奇 J R DC ④ 不正做当縉）时,a //‘垛一定成立. 答案丽 DC②由 AD AB DC5•在四边形ABCD中，二a+2b_►=-4a~b,——-5a-3b,其斗la, b不共线，则四边形ABCD为（）43 BC CDA.梯形C.菱形氏平行四边形A D.矩形解析由已知得=-8a-2b,故,由共线向量知识知AD〃BC,且|AD =2|BC ,故四边形ABCD为梯形，所以选A.AD^AB + BC + CD AD^2BC题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与向量b平行，贝呃与b的方向木目同或相反；③两个有共轴起点并且相等的向量云其终点必相同；④两个有啲终点的向量，一定救线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上;⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）CDABB. 3C. 4A. 2 D. 5熟练掌握向量的有关概念并进行判断. 肄辭启褂中，・・•向量与互为相反向量，・・・它们的长度相等，.••此命题正确.②中若a或b知零商量，贝U满麴与，但a与b的方向不一定相同或相反，.••此需触错馬③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，.••该命题正确.④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，.••该命题错误.⑤•・•共线向量是方向相同或相反的向量，・••若与是共线向量，则A、B、C、D四点不一定_/一—lx r答案c(1)本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量.(2 )搞清楚向量的含义•向量不同于我们以前学习过的数彙(席习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较,逐步理解向量是既有大小又有方向的量.知能迁移1下列结论中，不正确的是A.向量，共线与向量〃同义|b ,就有a=b——共线向量）戲知A、檢均正确;D.只要向量a,步甫足曲= 解析根据平的量I娥根据向量相等的概念知C彌；边E确. AB DC题型二平面向量的线性运算【例2】在AABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE,设二b,a,试用a、b表示结合图形性质,准确灵活运用三角扌则是向量加减运算的关键. ABAD AG思维启迪AD = -(AB+AC) = -32 2亦亦丽”1旋= AB + ^(BA + BC)2―> 1——•=—AB + — (AC — AB)3 31—1—• 1 a 1 b=-AB+-AC=- +—・3 3 3 3探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2 )用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④ 化简结果.知能迁移2 点，A.B.（2009 -山东理，7）设P是ZXABC所在平面内的，则（）—> ——> BBC+BA=2BP；PA + PB=°聲析即_j 女L/・PB + PC =PA + PB + PC=°BC+BA=2BP—> ―oPC + PA =所以点P为线段AC的中点,题型三共线向量问题【例3】（12分）设两个非零向量a与b不共线,⑴若二a+b, =2a+8b, =3 （a-b）・求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.7T1 ）由已豳T判断史頁］关系T判断A、B、D的关系. （2 ）应用魁向量的績条件T列方程组T解方程组得k值.思维启迪(1)证明•/'=2a+lc=3 (a-b),.CD=2a+8b+3 (a-b)• •=2aSS(0 弋aSXB + CD=5 (a+b) =5・4・・・、共线，一又•・・它们有公共,朋・・・A、B、D三点共线. 6分AB BD(2)解 V ka+b 与a+kb 共线,k 二土 1.2 2・••存在实数 即ka+b 二 a+,使ka+b二(a+kb),2/. (k-)晶(kAl)b.12分探究提高(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2 )证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.AC CDAC CD知能迁移3设两个非零向量e 】和e?不共线.、(1) 如果二ei-e?, =3e]+2e2，=-8e]-2e2,求证: A 、C 、D 二 g 线；'(2) 如果 -e 2,=2e^^3e 9,=2。
高考数学理一轮复习 5-1平面向量的概念及运算 精品课件
方法规律· 归纳
题型一
平面向量的有关概念
向量的定义、向量的模、零向 量、单位向量、平行向量、相 等向量
思维提示
例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝±b；
②若|a|＜|b|，则a＜b；
③若a＝b，则a∥b； ④若a∥b，则a＝b； ⑤若|a|＝0，则a＝0； ⑥若a≠b，则a与b一定不共线．
答案：D
题型二 思维提示
平面向量的线性运算 向量的加法、减法运算法则以及 几何意义
例 2
如图所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，
→ ＝a，AD →＝ AB∥CD，M、N 分别是 DC、AB 的中点，已知AB → ＝c，试用 a、b、c 表示BC → ，MN → ，DN → ＋CN →. b，DC
答案：A
题型三
共线向量定理、平面向量基本定 理及应用
证明三点共线问题，可用向量共 线来解决．平面内任意三个不共 思维提示 线的向量中的任何一个向量都可 以表示为其余两个向量的线性组 合，且形式唯一
例3
1→ → 1→ → 如图所示，在△ABO 中，OC＝ OA，OD＝ OB， 4 2
→ ＝a，OB → ＝b . AD 与 BC 相交于点 M 设OA
(4)零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数 字0，故⑤不正确．
(5) 因为向量不相等，可能仅由于模不相等，方向仍可
能是相同的，所以a与b有共线的可能，故⑥不正确 [答案] ③
备选例题 1 的充要条件是
(2008·海南 · 宁夏高考 ) 平面向量 a， b共线
(
A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 1平面向量的概念及线性运算课件
√
√
【拓广探索】
13.设点在的内部,且,则的面积与 的面积之比为 ( )
A.3 B. C.2 D.
解：如图，取的中点D，在上取点，使 ，连接， .
第五章 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则, 同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
10.在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 ( )
A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2
解：由题意，知,, .所以 ，当且仅当 时取等号.故选A.
三角形法则
平行四边形法则
方向相同
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
数乘
3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
相同
相反
续表
常用结论
1.加法运算的推广 （1）加法运算的推广： . （2）向量三角不等式： .两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“ ”成立（分同向、反向两种不同情形）.
A.单位向量都相等 B.若，则 C.若，则 D.若，则
2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(文)(含解析)新人教A版
§5.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解平行向量基本定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故填③.2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |，其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( ) A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b ， 故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.答案 3解析 由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ， 因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·锦州模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA→＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511 C.311 D.211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2， 所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， 所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， 所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________． 答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·包头质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线， 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)， 又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线， 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ，b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点， 所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( ) A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点 答案 B解析 设BC 的中点为M ， 则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
人教版A高三文科数学一轮复习5.1平面向量概念线性运算
授课教师主备人校对人审核人备课时间授课时间课题平面向量的概念及线性运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识清单】一、平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量(1)既有大小又有方向的量叫做向量；(2)向量的大小叫做向量AB或a；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作0零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示非零向量a的单位向量是||aa平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为λ=a b0与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量=a b两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量=-a b0的相反向量为0二、向量的线性运算1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得λ=b a.【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．【核心考点】类型一：向量的基本概念典例1下列命题正确的是A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等【答案】B1．给出下列四个命题：①若=a b ，则=a b ；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条； ③若=a b ，=b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且∥a b .其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④类型二：向量的线性运算典例2 若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB CD BC DA +=+，②AC BD BC AD +=+，③AC BD DC AB -=+． 其中正确的有 A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B变式：1、如图，在△ABC 中，BD ＝2DC .若AB →＝a ，AC →=b ，则AD →＝( )A. 23a ＋13bB. 23a －13bC. 13a ＋23bD. 13a －23b2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________.【答案】2【解析】由平行四边形法则，得2AB AD AC AO +==，故λ=2.3．已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=A ．13-B ．12-C ．14-D ．12类型三 向量共线的充要条件及其应用例典例4 已知两个非零向量a 与b 不共线.（1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a −b ),求证:A ,B ,D 三点共线;（2）试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）k =1或−1. 【解析】（1）∵=a +b ,=2a +8b ,=3(a −b ),∴+=2a +8b +3(a −b )=5(a +b )=5,∴,共线,又∵它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. （2）∵k a +b 与a +k b 共线, ∴存在实数λ,使得k a +b =λ(a +k b ), ∴(k−λ)a =(λk−1)b .∵a ,b 是两个不共线的非零向量, ∴k−λ=λk−1=0, ∴k 2−1=0, ∴k =1或−1.4．已知O 为ABC △内一点，且()12AO OB OC =+，AD t AC =，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为A ．14 B ．13C ．12D ．23(2)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D(3)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线则实数m 的值为 A ．－1或3 B . 3 C ．－1或4 D ．3或4【走进高考】1．（2018年高考新课标Ⅰ卷文科）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．（2017年高考新课标Ⅱ卷文科）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b1.（2012·浙江文科）设a ，b 是两个非零向量( )A.若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |2.【2014福建卷文】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）..2.3.4A OMB OMC OMD OM3.（2013年辽宁文）点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，4.【2014高考全国1】设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）A.ADB. AD 21C. BC 21D. BC5.【新课标文】在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λA ．13-B.13C.231-D.26. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长 线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）(A) 1142+a b(B)1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b7.已知向量a ，b ，且＝a ＋2b ，＝－5a ＋6b ，＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D8. 已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[来源:9. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ， 若AG x AE y AF =+，则x y +等于 （ ） A.32 B.43 C.1 D. 2310.在ABC ∆中,2BD DC =,若12AD AB AC λλ=+,则21λλ+的值为_________. 12.（2012·四川）a 、b 都是非零向量，下列条件，使||||a ba b =成立的充分条件（ ） A 、||||a b =且//a b B 、a b =- C 、//a b D 、2a b =。
高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结 合 律 ： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_
高考数学一轮复习人教A版平面向量的概念及其线性运算名师精编课件(47张)
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第十章·第一节
→ → → → → → 解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB， → → 所以|AC|＝|DB|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是 矩形．
答案：矩形
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第十章·第一节
知识点三 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的______条件是存在唯一一个实数 λ， 使得________．
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第十章·第一节
答案 b＋a ＋λb a ＋ ( b ＋ c) |λ||a| 相同 相反 0 λμa λa＋μa λa
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第十章·第一节
2．判断正误 → → → → (1)AB＋BC＋CD＝AD.( ) )
→ 1 → → (2)在△ABC 中， D 是 BC 的中点， 则AD＝2(AC＋AB)． (
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第十章·第一节
第一节 平面向量的概念及其线性运算
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第十章·第一节
1.了解向量的实际背景． 2． 理解平面向量的概念，理解两个向量 相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解 其几何意义．
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第十章·第一节
知识点一 向量的有关概念 1．向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫 做向量的____． 2．零向量：长度为____的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于________的向量． 4． 平行向量： 方向相同或______的非零向量， 又叫共线向量． 规 定：0 与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向______的向量． 6．相反向量：长度相等且方向______的向量．