2017年高考数学文二轮复习课件：专题整合突破 专题6 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 2-6-2
(2)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l → → 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点， 若FP＝3FQ， 则|QF| ＝( ) 8 A.3 C．3 5 B.2 D．2
[解析] 设 l 与 x 轴的交点为 M， 过 Q 向准线 l 作垂线， |NQ| 2 8 垂足为 N，则由|MF|＝3及|MF|＝p＝4 可得|QF|＝3.
与圆锥曲线性质有关问题的求解策略 (1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解 问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点， 建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等 式求得离心率的值或范围． (3)在双曲线中，由于 离心率有着密切关系．
2
[解析] 不妨设点 A 在第一象限，如图所示． ∵AF2⊥x 轴， ∴A(c，b2)(其中 c2＝1－b2,0<b<1，c>0)．
→ → 又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由AF1＝3F1B得
2 5 c b － ，－ B ， 3 3
2 2 4 y 25 c b 2 2 2 2 2 代入 x ＋b2＝1 得 9 ＋9b2＝1，又 c ＝1－b ，∴b ＝3. 3 2 2 故椭圆 E 的方程为 x ＋2y ＝1.
考点 典例示法 典例 3
圆锥曲线的性质
x2 y2 (1)[2016· 郑州质检]已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)
的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 椭圆的离心率为( 2 A. 2 C. 5－2 ) B．2－ 3 D. 6－ 3
， 准
.
(2)抛物线 x2＝± 2py(p>0)的焦点坐标为
p y＝∓2 线方程为
p 0 ， ± 2
，准
.
[失分警示] 1．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定 位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位条件是：焦 点或准线，定形条件是：a，b，p. 2．搞清双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方 b a 程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是± a还是± b. 3．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆 锥曲线相交为前提的问题， 应用直线与曲线的方程求参数值 或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．
1 F0，2 ，准线为
1 y＝－2，延
1 长 PM 交准线于点 H，则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－2＝|PF| 1 1 －2，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－2， 即求|PF|＋|PA|的最小值． 因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ 6
2 17 1 2 ＋ 2 －2 ＝10，
4 1 2 － 1 1 ＋ ＝ 6－ 3. 2 2 ＋ 2
解法二：连接 QF1，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1| ＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|，因此， 4a－2|PF1|＝ 2|PF1|. |PF1|＝2(2－ 2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－ 2)a＝2( 2－1)a. 由 PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2， |PF1|2＋|PF2|2 c 2 2 因此 e ＝ a ＝ ＝ 2 － 2 ＋ 2 － 1 ＝ 2a 9－6 2＝ 6－ 3.
1 2
y2 x2 (2)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 a y＝± bx ；焦点坐标 F1 (0，－c) ，F2 (0，c) ．
3．抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)抛物线 y2＝± 2px(p>0)的焦点坐标为
p x＝∓2 线方程为
p ± ， 0 2
本例(2)若改为“抛物线 C：y2＝8x 的焦点 为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若|AF|＝3|BF|， 则直线 l 的方程是什么？”
解 作出抛物线的准线 l1 及点 A，B 到准线的垂线段 AA1，BB1，并设直线 l 交准线于点 M，设|BF|＝m，由抛物 线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由 BB1∥AA1 可知 |BB1| |MB| m |MB| |AA1|＝|MA| ，即3m＝|MB|＋4m，所以|MB|＝2m，则 |MA|＝ 6m，故∠AMA1＝30° ，得∠AFx＝∠MAA1＝60° ，所以直线 l 的斜率 k＝± 3，从而直线 l 的方程为 y＝± 3(x－2)．
第二编 专题整合突破
专题六 解析几何
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线
主干知识整合
[必记公式] 1．三个定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M.
2
) 5 2 B．5y －4x ＝1
2
5 2 D.4y －5x2＝1
[解析] 因为 x2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以双曲线的焦点 在 y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为 y＝－2x，所以设双
2 2 y x λ 2 2 曲线的方程为 y －4x ＝λ(λ>0)，即 λ － λ ＝1，则 λ＋4＝1， 4
圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何 性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线 方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法， 可结合 草图确定． (3)焦点三角形的作用 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角 关系式构建方程组，便于解决问题．
b 2 e2＝1＋ ，故双曲线的渐近线与 a
针对训练 1.[2015· 全国卷Ⅱ]已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点， 点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ，则 E 的离心率为( A. 5 C. 3 ) B．2 D. 2
x2 解析 设双曲线 E 的方程为a2 y2 －b2＝1(a>0，b>0)，不妨设点 M 在 双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝ 2a，∠MBA＝120° ，作 MH⊥x 轴于 H， 则∠MBH＝60° ， BH＝a， MH＝ 3a， 所以 M(2a， 3a)． 将 x2 y2 点 M 的坐标代入双曲线方程a2－b2＝1， 得 a＝b， 所以 e＝ 2. 故选 D.
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入．即当 直线与圆锥曲线交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)时， |AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝
1 2 1＋ |y1－y2|. k
3．抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)， p2 B(x2，y2)，则 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同 样可得抛物线 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py 类似的性质．
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此(2＋ 2)|PF1|＝4a，即(2＋ 2)(a＋ a2－2b2)＝4a， 于是(2＋ 2)(1＋ 2e2－1)＝4，解得 e＝
x2 y2 2．[2015· 重庆高考] 如图，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点， 且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
解
热点考向探究
考点 典例示法
圆锥曲线的定义与标准方程
题型 1 圆锥曲线定义的应用
典例 1
x2 (1)[2014· 重庆高考]设 F1、 F2 分别为双曲线a2
y2 －b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使 9 得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|· |PF2|＝4ab，则该双曲线的离心率 为( ) 4 A.3 9 C.4 5 B.3 D．3
(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2
－ 2)＝4，故 a＝2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2| ＝ |PF1|2＋|PF2|2 ＝ 2＋ 22＋2－ 22 ＝2 3， 即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1. x2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 ＋y ＝1.
(2)解法一： 连接 QF1， 如右图， 设点 P(x0， y0)在椭圆上，
2 x2 y 0 0 2 2 且 PF1⊥PF2，则a2＋b2＝1，x2 0＋y0＝c ，
a 求得 x0＝± c b2 y0＝±c .
a2－2b2，
2 2 a a － 2 b 2 由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得 x0>0， 从而|PF1| ＝ ＋ c c 4 b 2 ＋c2＝2(a2－b2)＋2a a2－2b2＝(a＋ a2－2b2)2.
[解析] 设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1 是以 A 为直 角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝ 2m. 由椭圆的定义可得△ABF1 的周长为 4a，即有 4a＝2m＋ 2 m，即 m＝(4－2 2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2 2－2)a，在 Rt △AF1F2 中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即 4c2＝4(2－ 2)2a2＋ 4( 2－1)2a2，即有 c2＝(9－6 2)a2，即 c＝( 6－ 3)a，即 e c ＝a＝ 6－ 3，故选 D.
(全国通用)高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线名师课件
2 2.
12 3 4
由点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，得 c≤ 22，
故
c
的最大值为
2 2.
答案
2 2
12 3 4
4.(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的
左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF1|
心率 e 与渐近线的斜率的关系.
例 2 (1)椭圆 Γ：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，
F2，焦距为 2c.若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满 足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于___3_－__1__. 解析 直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1(－c,0)，且倾斜角为 60°， 所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2. 在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c， 所以该椭圆的离心率 e＝22ac＝c＋2c 3c＝ 3－1.
解析 设 Pac2，y，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为2bc2，2y，
当 kQF2 存在时，则 kF1P ＝a2＋cy c2， kQF2 ＝b2－cy2c2， 由 kF1P ·kQF2 ＝－1，得 y2＝(a2＋c2)c·(22c2－b2)，y2≥0，
但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即 3c2－a2>0，即 e2>31，故 33<e<1.
A.30°
B.60° C.120° D.150°
解析 由题意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2.
在△F2PF1中，
由余弦定理可得
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2016·课标全国乙)已知方程x 2m ＋n －y 23m －n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3， 故选A.2．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b 4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．(2016·课标全国甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝ca＝ 2.4．(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.答案 (1)D (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知|BA |＋|BC |＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54. 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3解析 (1)由抛物线x 2＝24y 得焦点坐标为(0,6)， ∵双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点相同，∴c ＝6，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴a b ＝33，即b ＝3a ，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝9，b 2＝27， ∴双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.故选B.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义及题意知，x 1＋1＋x 2＋1＝8，∴x 1＋x 2＝6. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b ，cos∠CF 1F 2＝b c， 又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得 |CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33(2)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 (1)D (2)A解析 (1)因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 2|＝2c ·tan 30°＝233c ，|PF 1|＝433c . 又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆C 的离心率为33. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c .∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2， 从而|PC |＝k 2＋1＋k2|k ＋2k2. 因为|PC |＝2|AB |，所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)[38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即[4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围为[－1,1]，故选C.(2)由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称，设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则有x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1，即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)， 两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34·x 0－x 1y 0－y 1＝－34·11PA k. 因为直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1， 所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34.1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．2 5押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 D解析 由直线垂直的条件，求出渐近线的斜率ba，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的距离等于半径，求得b ，进而求出焦距2c . 由已知，得b a·(－36)＝－1，所以b a ＝63， 由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c 632＋－2＝2，可得c ＝5，2c ＝25，故选D.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝36t2＋3t22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)，又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .∵点A 在椭圆上，∴c 24a2＋34c 2b2＝1，即c 24a 2＋3c 24b2＝1. ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23， 又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.2．(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m ·n 2＋1n ＝n 2＋1n ＋2·n 2＋1n＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633 B ．5 3 C.1433D ．4 3答案 A解析 因为双曲线C ：x 23－y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2， 故F 1(－2,0)，F 2(2,0)．由于点P 的横坐标为2，则PQ ⊥x 轴． 令x ＝2，则有y 2＝43－1＝13，即y ＝±33.故|QF 2|＝|PF 2|＝33，|PQ |＝233， |QF 1|＝|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝733. 则△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ | ＝733＋733＋233＝1633.故选A. 4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．10答案 B解析 由题意，|MF |的最小值为3，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)；设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要求|PA |＋|PF |取得最小值，即求|PA |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|PA |＋|PD |最小，为4－(－3)＝7，故选B.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24.∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.②联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1， 解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 答案x 225＋y 216＝1 解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 答案 53解析 由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12×1×103＝53.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3.∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈[－4，134)．故OA →·OB →的取值范围为[－4，134)．10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则kTF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知kPQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2mx －，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，又Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N (2＋m 22，m )，又T (－1，m )，知k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)．(2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，ta n∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2.因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1，由m ＝2得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．B 组 能力提高11．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个答案 C解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，且|F 1F 2|＝2c ＝6， ∴△MF 1F 2的周长|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝10＋6＝16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ， 由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32.设M (x 0，y 0)，则12MF F S＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4. ∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．故选C.12．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ，由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)，所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a2.因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE . 又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在Rt△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2，即(2c )2＝(a 2)2＋(5a 2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.13．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________. 答案 －5解析 由椭圆x 24＋y 23＝1知右焦点为(1,0)，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4， ∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1.由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5. 14．已知椭圆C 的长轴左，右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°.(1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)， 由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .① 由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，又Q (－x 1，－y 1)，M (x 1,0)． 由Q ，M ，N 三点共线，知k QM ＝k QN ，所以y 12x 1＝y 2＋y 1x 2＋x 1.③又k PQ k PN ＋1＝y 1x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1.④把③代入④，得k PQ k PN ＋1＝y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21.⑤ 因为点P ，N 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，⑥ 把⑥代入⑤，得k PQ k PN ＋1＝2－2x 22－x 21＝0， 即k PQ k PN ＝－1，所以∠QPN ＝90°.。
2017年高考全国新课标数学文大二轮复习课件专题整合突破 专题六 解析几何2-6-2a 精品
解析
4．[2016· 黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 → → → 圆上存在一点 M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的 离心率为( 2 A. 2 6 C. 3 ) 3 B. 3 2 D. 4
解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2 互相 平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2 ＝ |MF1|2 ＋ |MF2|2 ＋ |NF1|2 ＋ |NF2|2 ，又 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2|MF2| 2 4 ＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝3a，|NF2|＝|MF1|＝3
x 解析 令点 P(x0， y0)， 因为该双曲线的渐近线分别是 3 x x 0 0 － y ＋ y 0 0 3 3 x －y＝0， ＋y＝0， 所以可取|PA|＝ ， |PB|＝ ， 3 1 1 3＋1 3＋1 π 1 又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos3＝－2， x2 0 2 －y0 1 1 3 3 → → → → － － 所以PA· PB＝|PA|· |PB|· cos∠APB＝ 4 · ＝ × ＝ 2 2 4 3 3 －8，选 A.
4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a，|F1F2|＝2c，所以3a ＋3a ＋3a ＋3a ＝ ＋ (2 c ) ， 3
c2 2 6 即a2＝3，故 e F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双 曲线与直线 y＝x－1 有公共点， 则该双曲线的离心率的最小 值为( 6 A. 2 3 C.2 ) 3 5 B. 5 D. 3
大二轮· 文
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课件：专题六 解析几何1.6.2
所以e2=9-6 2 ,e= 6 3.
【母题变式】
2 2 x y 1.本例(3)中若椭圆改为双曲线 1(a>0,b>0)过 a 2 b2
F2的直线与双曲线交于A,B两点,其他条件不变,则双曲
线离心率e2的值为________.
【解析】如图所示: 因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,
(a>0,b>0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦点,B是虚轴
的上端点,若在线段BF上存在点P,使得△PA1A2构成以
A1A2为斜边的直角三角形”,试求双曲线离心率e的取 值范围.
【解析】由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有 公共点,则原点到直线BF的距离小于或等于a,
又直线BF的方程为 x y 1， 即bx+cy-bc=0,
2
则x0= 3p,从而y02=3p2,
2
3p 3p 则M( , 3p)或M( , 3p)， 2 2 p 又F( ,0)，则k MF 3. 2
【加固训练】 1.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一
个公共点,且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的 3
倒数之和的最大值为
(3)选D.设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|= 2 m.
由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a, 所以4a=2m+ 2 m,m=2(2- 2 )a.
所以|AF2|=2a-m=(2 2 -2)a.
因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以4(2- 2 )2a2+4( 2 -1)2a2=4c2,
高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 理
设 E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点 A1，23在椭圆上，所以 xE＋1 ＝－4k（3＋3－4k22k）.
所以 xE＝432－3＋k42k－2 12， yE＝kxE＋32－k. 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代 k，可得
xF＝432＋3＋k42k－2 12， yF＝－kxF＋23＋k. 所以直线 EF 的斜率 kEF＝yxFF－－xyEE ＝－k（xxFF＋－xxEE）＋2k ＝12. 即直线 EF 的斜率为定值，其值为12.
(2)由(1)知 a＝ 3，则直线 l 的方程为
x30x－y0y＝1(y0≠0)，即 y＝x03xy－0 3.
(1)求双曲线 C 的方程； (2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y0≠0)的直线 l：xa02x－y0y＝1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x＝32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时， ||MNFF||恒为定值，并求此定值．
分析：(1)结合双曲线的几何性质，利用代入化简求值．
解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多 样，但最常用的方法有以下几种：
(1)利用函数，尤其是二次函数求最值； (2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最 值； (3)利用不等式，尤其是均值不等式求最值； (4)利用判别式法求最值； (5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．
2．(2014·江西卷)如图，已知双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)的右焦 点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB⊥OB， BF∥OA(O 为坐标原点)．
例 1 如图，F1、F2 分别是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
2017高考数学文科二轮(通用版)复习课件第一部分专题六解析几何第2讲
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， y1－y2 1 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝ ＝. x 1 －x 2 2 1 因此直线AB的方程为y＝2(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝
热点题型突破
题型一 椭圆及其性质
命 题 规 律 高考中常从以下四个角度设计考题： (1)求离心率及离心率的范围． (2)椭圆定义及其应用． (3)求椭圆的标准方程． (4)椭圆及其性质的综合应用． 选择、填空、解答题均会考查，难度中等．
方 法 点 拨
(1)求椭圆的离心率除了定义外，经常需要找到关于基本量a，b，c的 进一步求离心率． (2)求椭圆方程通常有两种方法：定义法和待定系数法．其中待定系 再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b 果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便， 设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (3)注意数形结合，提倡画出合理草图.
突破点拨 (1)利用原点到直线的距离，列关于a，c的方程求解． (2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b)，再利用弦AB的长等于圆M的直径求解．
解析：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距 bc bc 离d＝ 2 2＝ a ， b ＋c 1 c 3 2 2 由d＝2c，得a＝2b＝2 a －c ，解得离心率a＝ 2 .
2 y (2)双曲线 x2－ ＝1 的右焦点为 F(2,0)， 3
高考数学二轮复习第二编专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件文0212384
2．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
□ ①在椭圆中： 01 a2＝b2＋c2 ；离心率为 e＝ac＝
1－ab22；
□ ②在双曲线中： 02 c2＝a2＋b2 ；离心率为 e＝ac＝
1＋ab22.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程
(2)(2018·福建泉州五校联考)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝32x C．y2＝92x
B．y2＝3x D．y2＝9x
解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准 线于点 E，D，
A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2
解析 画出图形，过 A 作 AB⊥x 轴，AC 垂直于准线 l， 因为|AF|＝4，所以|BF|＝2，由已知得∠AFB＝60°，根据抛 物线的定义知|AC|＝4 且|AC|＝|BF|＋p，所以 p＋2＝4，p＝ 2.即抛物线的准线方程为 x＝－1，故选 A.
第二编 讲专题 专题六 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦 长、中点等)．
核心知识回顾
1．圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线方程)．
高考数学大二轮复习专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理
形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量
时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在
联系．
2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题， 其关键就是确立一个关于 a， b，c的方程(组)或不等式 ( 组 ) ，再根据 a ， b ， c 的关系消掉 b 得到 a ， c 的关系 式．建立关于 a ， b ， c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充 分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围
解析
x2 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 4
y2 x2 y2 x2 y2 － ＝k(k>0)，即 － ＝1，∵双曲线与椭圆 ＋ ＝1 5 4k 5 k 12 3 有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得 k＝1， x2 y2 故双曲线 C 的方程为 － ＝1.故选 B. 4 5
答案
B
x2 2．(2018· 长春四模)设 F1，F2 分别是双曲线 C： 2 a y2 － 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是 C 上一点，若 b |PF1|＋|PF2|＝6a， 且△PF1F2 最小内角的大小为 30°， 则双曲线 C 的渐近线方程为 A. 2x±y＝0 C．x±2y＝0 B．x± 2y＝0 D．2x±y＝0
等．
[突破练 1] x2 y 2 (1)(2018· 全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝ a b 1(a>b>0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 3 且斜率为 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P 6 ＝120°，则 C 的离心率为 2 A. 3 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 4
答案
C
感悟高考
1．考查形式 题型：选择、填空题为主，有时解答题第 (1) 问；难 度：中档或偏下． 2．命题角度 (1) 考查圆锥曲线的方程求解、定义的应用．圆锥曲 线的几何性质，特别是离心率及双曲线的渐近线； (2) 一般以椭圆或抛物线为载体考查直线与圆锥曲线
全国新课标2017年高考数学大二轮温习第二编专题整合冲破专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能
专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线适考素能特训 文一、选择题1．[2021·陕西质检(一)]已知直线l ：x －y －m ＝0通过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的核心，l 与C 交于A 、B 两点．假设|AB |＝6，那么p 的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 B解析因为直线l 过抛物线的核心，因此m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p2＝0y 2＝2px 得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，应选B.2．[2016·沈阳质检]已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 别离作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足别离为A ，B ，那么PA →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确信答案 A解析 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线别离是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，因此可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，因此PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，选A.3．[2016·南昌三模]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的核心F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，那么双曲线的离心率为( )A.2＋2B.5＋1C.3＋1D.2＋1答案D解析 此题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，又因为AF ⊥x 轴，因此点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，那么y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的核心，因此c ＝p2，那么点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝c a＝2＋1，应选D.4．[2016·黄冈质检]在以O 为中心，F 1，F 2为核心的椭圆上存在一点M ，知足|MF 1→|＝2|MO→|＝2|MF 2→|，那么该椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.63D.24答案 C解析 延长MO 与椭圆交于N ，因为MN 与F 1F 2相互平分，那么四边形NMF 1F 2为平行四边形，那么|MN |2＋|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋|NF 1|2＋|NF 2|2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2|MF 2|＋|MF 2|＝3|MF 2|＝2a ，故|NF 1|＝|MF 2|＝23a ，|NF 2|＝|MF 1|＝43a ，|F 1F 2|＝2c ，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋(2c )2，即c 2a 2＝23，故e ＝63.5．[2016·重庆测试]假设以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为核心的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，那么该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3答案 B解析 由题意知c ＝3，∴e ＝3a ，∴a 越大e 越小，而双曲线为x 2m －y 29－m ＝1，把直线y ＝x －1代入化简整理得(9－2m )x 2＋2mx －10m ＋m 2＝0，由Δ＝0得m ＝5，于是a ＝5，e ＝3a＝355，应选B. 6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个核心，与y 轴相交于B ，C 两点，假设△ABC 是锐角三角形，那么该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12B.⎝⎛⎭⎪⎫6－22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 答案 A解析 此题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系成立椭圆大体量的关系求解离心率．由题意可得，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，r ＝b 2a ，由三角形ABC 是锐角三角形得∠BAC <90°，那么c ＝r ·cos ∠BAC 2>r ·cos45°，即c >22r .又依题意c <b 2a ，即22<cb2a<1，化简得⎩⎨⎧c 2＋2ac －a 2>0，c 2＋ac －a 2<0，两边同时除以a 2，关于离心率e 的不等式组为⎩⎨⎧e 2＋2e －1>0，e 2＋e －1<0，解得6－22<e <5－12，应选A. 二、填空题7．[2016·唐山统考]核心在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．答案x 25－y 220＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，那么有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，因此所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的核心，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为________．答案 94解析 易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94. 9．[2021·山东莱芜一模]已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0通过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右核心及上极点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，假设点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，那么m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303解析 ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)，∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1，设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0.由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303， ∴23<m <2303.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0. 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303.三、解答题10．[2016·贵阳质检]设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)别离是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右核心，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 别离交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解 (1)设P (x ，y )，那么PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，那么a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝2k 2＋1. 设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1.①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ， 那么|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|， ∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |， ∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，即S <2.②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，现在S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.11．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的核心，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)假设抛物线C 的准线为l ，核心为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，因此x 1＋x 2＝5p 4， 由抛物线的概念得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)解法一：由题意知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线l 相切，那么圆过核心F ，又圆过点P ，∴圆心在线段PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，那么线段PF 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，2－a 2，当a ≠1，2－a a－1，∴线段PF的中垂线方程为a≠2时，k PF＝y ＝a －1a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －32a －2① 圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将x ＝y 24代入①得a －14a －2y 2－y ＋－2a 2＋4a －32a －2＝0，判别式Δ＝1－4·a －14a －2·－2a 2＋4a －32a －2＝1＋a －12a 2－4a ＋32a －22＝2a －22＋2a 3－6a 2＋7a －32a －22＝2a 3－4a 2－a ＋52a －22＝a ＋12a 2－6a ＋52a －22，∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a <－1时，交点有0个，圆有0个；当a >－1且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个． 而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个； 当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个． 综上所述：当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．解法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1，故假设存在圆Q 知足条件，那么r ＝|PQ |＝x 0－a2＋y 0＋a －22，且r ＝|x 0＋1|，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 20＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204＋1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解． 当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋12>0，∴当a >－1时，Δ>0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a <－1时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．12．[2016·山西太原二模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM →·ON →的取值范围．解 (1)∵e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.据另一个题设条件得：b ＝r ＝612＋－12＝ 3.∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，据题意A (x 1，－y 1)，且y 1≠0.设直线PB 的方程为x ＝my ＋4，把它代入x 24＋y 23＝1并整理得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，∴y 1，y 2是该方程的两根，∴y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4.(*) 直线AE 的方程为y ＋y 1＝－y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得点Q 的横坐标x Q ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2.∵x 1＝my 1＋4，x 2＝my 2＋4， ∴x Q ＝my 1＋4y 2＋my 2＋4y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2y 1＋y 2将(*)式代入得x Q ＝1.①当直线MN 与x 轴不重合时，设直线MN 的方程为x ＝ny ＋1，并设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 把x ＝ny ＋1代入3x 2＋4y 2＝12整理得(3n 2＋4)y 2＋6ny －9＝0，y 3，y 4是该方程的两根， ∴y 3＋y 4＝－6n 3n 2＋4，y 3y 4＝－93n 2＋4.(**) OM →·ON →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(ny 3＋1)(ny 4＋1)＋y 3y 4＝(1＋n 2)y 3y 4＋n (y 3＋y 4)＋1，把(**)代入并整理得 OM →·ON →＝－12n 2＋53n 2＋4.∵12n 2＋53n 2＋4＝4－113n 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，4， ∴OM →·ON →∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，－54.②当直线MN 与x 轴重合时，OM →·ON →＝2×2×cos180°＝－4.综上所述，OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。
2017届高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何2圆锥曲线的方程与性质课件文
在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1 斜 率的取值范围是( A )
1 3 A.2，4 1 C.2，1 3 3 B.8，4 3 D.4，1
解析：基本法：由题意得 A1(－2,0)，A2(2,0) 若 kPA2＝－1，∴直线 PA2 方程为 y＝－(x－2)，联立方程组 2 y ＝－ x － 2 x＝7， 2 2 x y 得 12 ＋ ＝ 1 y＝ . 4 3 7 12 7 3 此时 kPA1＝ ＝ . 2 4 ＋2 7
6．斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2|y2－y1|.
[速解方略]——不拘一格 类型一 椭圆标准方程及性质 [例 1] x2 y2 (1)椭圆 C： 4 ＋ 3 ＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P
2．当椭圆上动点在短轴端点时与两焦点连线的视角最大．椭圆上 点到焦点的最长距离为 a＋c，最短距离为 a－c. 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b. x2 y2 x2 y2 4．双曲线a2－b2＝1 的渐近线为a2－b2＝0. 5．抛物线：设 y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，为抛物线上 的点，F 为其焦点．
2 1 2
4a2＋16a2－16a2 1 ＝ ＝4. 2×2a×4a
答案：A
x2 y2 2．(2016· 高考全国乙卷)已知方程 2 － 2 ＝1 表示双曲线， m ＋n 3m －n 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( A ) A．(－1,3) C．(0,3) B.(－1， 3) D．(0， 3)