二、等效质量和等效转动惯量

第十一章机器的运转及其速度波动的调节（一）教学要求1、掌握等效力（力矩），等效质量（转动惯量）的计算，理解机器运动微分方程2、理解速度波动调节的原理，掌握飞轮设计方法（二）教学的重点与难点1、等效力（力矩），等效质量（转动惯量）2、速度波动的原因，盈亏功、飞轮设计（三）教学内容§11-1 研究机器运转及其速度波动调节的目的一、研究机器运转的目的确定原动件真实运动规律→确定其它运动构件的运动规律，参数。

二、调节机器速度波动的目的1、周期性速度波动危害：①引起动压力，η↓和可靠性。

②可能在机器中引起振动，影响寿命、强度。

③影响工艺，↓产品质量。

2、非周期性速度波动危害：机器因速度过高而毁坏，或被迫停车。

§11-2 机器等效动力学模型研究机器运动和外力的关系时，必须研究所有运动构件的动能变化和所有外力所作的功。

这样不方便。

单自由度的机械系统：某一构件的运动确定了→整个系统的运动确定了。

∴整个机器的运动问题化为某一构件的运动问题。

为此，引出等效力、等效力矩、等效质量、等效转动惯量概念一、等效力和等效力矩研究机器在已知力作用下的运动时，作用在机器某一构件上的假想F或M代替作用在机器上所有已知外力和力矩。

代替条件：机器的运动不变，即：假想力F或力矩M所作的功或所产生的功率等于所有被代替的力和力矩所作的功或所产生的功率之和。

假想力F——等效力假想力矩M——等效力矩等效力或等效力矩作用的构件——等效构件等效力作用的点——等效点通常，选择根据其位置便于进行机器运动分析的构件为等效构件。

等效力或等效力矩所产生的功率B FV P =或P =MW设F i ，M i ——作用在机器第i 个构件上的已知力和力矩V i ——力F i 作用点的速度W i ——构件i 的角速度i θ——F i 和V i 夹角作用在机器所有构件上的已知力和力矩所产生的功率：∑∑∑===±+=k i i ik i i i i k i i W M V F P 111cos θi M 和i W 同向取“+”，否则“-”∴∑∑==±+=k i i ik i i i i B W M V F FV 11cos θ 或∑∑==±+=ki i i k i i i i W M V F MW 11cos θ ∴∑∑==±+=k i B i i k i B i i i V W M V V F F 11cos θ （1） 或∑∑==±+=k i i i ki i i i W W M W V F M 11cos θ （2） 公式讨论：①等效力F 和等效力矩M 只与各速度比有关，∴F 和M 是机构位置的函数。

②各个速度比可用任意比例尺所画的速度多边形中的相应线段之比来表示。

不必知道各个速度的真实数值，∴可在不知道机器真实运动的情况下，求出F 、M 。

等效驱动力d F 与B V 同向等效阻力r F 与B V 反向③选绕固定轴线转动的构件为等效构件。

W Fl FV MW P AB B ===∴AB Fl M =④i F ，i M 随时间或角速度变化，F 、M 也是时间和角速度函数0==j j v j h F P μ∑∑F 和M 可用速度多边形杠杆法求出方法：作机构的转向速度多边形，并将等效力（或等效力矩）及被代替的力和力矩平移到其作用点的影像上，然后使两者对极点所取的力矩大小相等、方向相同，便可求出F 、M ，若取移动的构件为等效构件，F 用公式求，V B =构件移动速度。

注意：F 和M 是一个假想的力和力矩，它不是被代替的已知力和力矩的合力或合成矩。

求机构各力的合力时不能用等效力和等效力矩的原理。

例：内燃机推动发动机的机组中，已知机构的尺寸和位置，重力G 2、G 3，齿轮5、6、7、8，齿数已知，气体加于活塞上的压力F 3，发动机的阻力矩M 8，设不计其余各构件的重力，求换算到构件1上的等效驱动量矩M d 和等效阻力矩M r 。

解：（1）求M d ，（G 2、G 2看作驱动力）假定1的角速度W 1CB B C V V V +=方向 ∥AC ⊥AB ⊥BC大小 ？ AB l W 1 ？223h G pc F pb F d -=∴F dM d =F d .l AB W 1转向相同（2）求M r86758867528588188)1(Z Z Z Z M Z Z Z Z M W W M W W M M r -=--=-=-= r M 与1W 相反二、等效质量和等效转动惯量使用等效力和等效力矩的同时，用集中在机器某一构件上选定点的一个假想质量代替整个机器所有运动构件的质量和转动惯量。

代替条件：机器的运动不变。

即假想集中质量的功能等于机器所有运动构件的功能之和。

等效质量；等效点；等效构件。

为方便，等效力和等效质量的等效点和等效构件是同一点和同一构件等效转动惯性。

（当取绕固定回转的构件为等效构件时，可用一个与它共同转动的假想物体的转动惯量来代替机器所有运动构件的质量和转动惯量。

条件：假想惯动惯量的功能等于机器所有运动构件的功能之和）。

221B mV E =或 221JW E = 设i W ——第i 个构件的角速度Si V ——第i 个构件质心Si 的速度i m ——第i 个构件质心质量Si J ——对质心轴线的转动惯量整个机器的功能：∑∑∑===+=k i i Si ki sii k i i W J V m E 121212121 ∴ ∑∑==+=k i k i i Si Si i B W J V m mV 11222212121 或 ∑∑==+=k i k i i Si Si i W J V m JW 11222212121 ∴ ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i B i Si B Si k i i V W J V V m M 1221 （1） 或∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i Si Si k i i W W J W V m J 1221 （2） 公式讨论：①m 和J 由速度比的平方而定，总为正值；m 和J 仅是机构位置的函数。

②不必知道各速度的真实值。

③等效构件为绕固定轴线旋转2222212121W ml mV JW E AB B === ∴2AB ml J =取移动构件为等效构件：由（1）求m ，V B =移动速度注意：m,J 是假想的，不是机器所有运动构件的质量和转动惯量的合成总和解：画转向速度多边形23222222288267621951)()()()()()()()(BC B S B S BB B A V V m V W J V V m V W J V W J J V W J J J m ++⋅++⋅++⋅++=2AB ml J = §11-3 机器运动方程式的建立及解法一、机器运动方程式的建立1、动能形式的机器运动方程式如不考虑摩擦力，将重力看作驱动力或阻力。

设Fd W ——某一位移过程中等效驱动力所作的功Md W ——某一位移过程中等效驱动力矩所作的功Fr W ——某一位移过程中等效阻力所作的功Mr W ——某一位移过程中等效阻力矩所作的功m ——某一位移结束时的等效质量0m ——某一位移开始时的等效质量J ——某一位移结束时的等效转动惯量0J ——某一位移开始时的等效转动惯量V （W ）——某一位移结束时等效点的速度（角速度）)(00W V ——某一位移开始时等效点的速度（角速度）机器的动能方程式可写成：20022121V m mV W W Fr Fd -=- 或20022121W J JW W W Mr Md -=- 动能形式的机器运动方程式。

2、力或力矩形式的机器运动方程式 ⎰⎰⎰⎰=-=-=-S S S S S S r d S r S d Fr Fd Fd d F F d F d F W W 0000)( r d F F F -=，S 为等效点的位移 将上式微分：0)21()(20-=⎰mV d d Fd d d S S S S )(221//2122Sm V S m S V d d V dt d m d d V dt d dt d ZV m F ⋅+=⋅+⋅⋅= ∴)(22S m td d V ma F +=，其中t a →等效点的切向加速度，若用d M ，r M 表示，ϕ→等效构件的转角；α→等效构件角加速度 ∴)(22ϕαd d W J M J += 二、机器运动方程式的解法注意机器的机械特征——表示机器力参数与运动参数间的关系。

如：有的机器的驱动力是机构位置的函数有的机器的驱动力是速度位置的函数有的驱动力是常数。

阻力可能是机构位置的函数也可能是速度位置的函数，或者是常数。

机器的等效质量（等效转动惯量）是机构位置的函数∴研究机器的真实运动时，必须分别情况加以处理。

实际中解决很多机器的真实运动时，近似地认为驱动力和阻力是其中机构位置的函数。

因此，解机器运动方程式时，主要研究力是机构位置函数时其等效构件的真实运动。

1、解析法。

当等效力（力矩）是机构位置的函数时，宜采用动能形式的运动方程式若等效构件为移动构件，采用（12-7）式；若等效构件为转动构件，采用（12-8）式。

（1）求等效构件的角速度W角位移ϕϕ→0，r d M M M -=⎰=-=-==-=ϕϕ∆ϕ00200222E E E W J JW Md W W W Mr Md （1） W ——该区间的剩余功（盈方功）。

E ∆——动能增量解（1）式：JW J W J W J Md J W 200200220+=+=⎰ϕϕϕ （2） 若从起动开始算起，W E E W ===,0,000 ∴JE Md J W 220==⎰ϕϕϕ （3） ∵)(),(ϕϕJ J M M ==∴)(ϕW W =（2）求等效构件的角加速度ϕϕϕαd dW W dt d d dW dt dW === （ϕd dW 可由（2）或（3）求导得） （3）求机器的运动时间tdt d W ϕ=Wd dt ϕ= ⎰⎰=t t W d dt 00ϕϕϕ ∴⎰=-ϕϕϕ00Wd t t ⎰+=ϕϕϕ00W d t t 若从起动开始算起，00=t∴⎰=ϕϕϕ0W d t 以上求解过程说明，知)(),(ϕϕJ J M M ==，便能准确求出机器的真实运动规律。

2、图解法)(),(ϕϕJ J M M ==以线图或表格的形式给出，用图解法较方便，但精度较差。

（1）求曲线)(ϕW W = ∵JE Md J W 220==⎰ϕϕϕ （a ） ∴W 只与E 和J 有关，可借助)(),(ϕϕJ J E E ==确定)(ϕW W =，先求出等效驱动力矩曲线)(),(ϕϕr r d d M M M M ==，将两曲线相减得)(ϕM M =根据⎰=ϕϕϕ0Md E ，将曲线)(ϕM M =积分，得曲线)(ϕE E =，再求出)(ϕJ J =。