二、等效质量和等效转动惯量

第十一章机器的运转及其速度波动的调节

（一）教学要求

1、掌握等效力（力矩），等效质量（转动惯量）的计算，理解机器运动微分方程

2、理解速度波动调节的原理，掌握飞轮设计方法

（二）教学的重点与难点

1、等效力（力矩），等效质量（转动惯量）

2、速度波动的原因，盈亏功、飞轮设计

（三）教学内容

§11-1 研究机器运转及其速度波动调节的目的

一、研究机器运转的目的

确定原动件真实运动规律→确定其它运动构件的运动规律，参数。

二、调节机器速度波动的目的

1、周期性速度波动

危害：①引起动压力，η↓和可靠性。

②可能在机器中引起振动，影响寿命、强度。

③影响工艺，↓产品质量。

2、非周期性速度波动

危害：机器因速度过高而毁坏，或被迫停车。

§11-2 机器等效动力学模型

研究机器运动和外力的关系时，必须研究所有运动构件的动能变化和所有外力所作的功。这样不方便。

单自由度的机械系统：

某一构件的运动确定了→整个系统的运动确定了。

∴整个机器的运动问题化为某一构件的运动问题。

为此，引出等效力、等效力矩、等效质量、等效转动惯量概念

一、等效力和等效力矩

研究机器在已知力作用下的运动时，作用在机器某一构件上的假想F或M代替作用在机器上所有已知外力和力矩。

代替条件：机器的运动不变，即：假想力F或力矩M所作的功或所产生的功率等于所有被代替的力和力矩所作的功或所产生的功率之和。

假想力F——等效力

假想力矩M——等效力矩

等效力或等效力矩作用的构件——等效构件

等效力作用的点——等效点

通常，选择根据其位置便于进行机器运动分析的构件为等效构件。

等效力或等效力矩所产生的功率

B FV P =

或P =MW

设F i ，M i ——作用在机器第i 个构件上的已知力和力矩

V i ——力F i 作用点的速度

W i ——构件i 的角速度

i θ——F i 和V i 夹角

作用在机器所有构件上的已知力和力矩所产生的功率：

∑∑∑===±+=k i i i

k i i i i k i i W M V F P 111cos θ

i M 和i W 同向取“+”，否则“-”

∴∑∑==±+=k i i i

k i i i i B W M V F FV 11

cos θ 或∑∑==±+=

k

i i i k i i i i W M V F MW 11cos θ ∴∑∑==±+=k i B i i k i B i i i V W M V V F F 1

1cos θ （1） 或∑∑==±+=k i i i k

i i i i W W M W V F M 11cos θ （2） 公式讨论：

①等效力F 和等效力矩M 只与各速度比有关，∴F 和M 是机构位置的函数。

②各个速度比可用任意比例尺所画的速度多边形中的相应线段之比来表示。不必知道各个速度的真实数值，∴可在不知道机器真实运动的情况下，求出F 、M 。

等效驱动力d F 与B V 同向

等效阻力r F 与B V 反向

③选绕固定轴线转动的构件为等效构件。

W Fl FV MW P AB B ===

∴AB Fl M =

④i F ，i M 随时间或角速度变化，F 、M 也是时间和角速度函数

0==j j v j h F P μ∑∑

F 和M 可用速度多边形杠杆法求出

方法：作机构的转向速度多边形，并将等效力（或等效力矩）及被代替的力和力矩平移到其作用点的影像上，然后使两者对极点所取的力矩大小相等、方向相同，便可求出F 、M ，若取移动的构件为等效构件，F 用公式求，V B =构件移动速度。

注意：F 和M 是一个假想的力和力矩，它不是被代替的已知力和力矩的合力或合成矩。求机构各力的合力时不能用等效力和等效力矩的原理。

例：内燃机推动发动机的机组中，已知机构的尺寸和位置，重力G 2、G 3，齿轮5、6、7、8，齿数已知，气体加于活塞上的压力F 3，发动机的阻力矩M 8，设不计其余各构件的重力，求换算到构件1上的等效驱动量矩M d 和等效阻力矩M r 。

解：（1）求M d ，（G 2、G 2看作驱动力）

假定1的角速度W 1

CB B C V V V +=

方向 ∥AC ⊥AB ⊥BC

大小 ？ AB l W 1 ？

223h G pc F pb F d -=

∴F d

M d =F d .l AB W 1转向相同

（2）求M r

8

6758867528588188)1(Z Z Z Z M Z Z Z Z M W W M W W M M r -=--=-=-= r M 与1W 相反

二、等效质量和等效转动惯量

使用等效力和等效力矩的同时，用集中在机器某一构件上选定点的一个假想质量代替整个机器所有运动构件的质量和转动惯量。

代替条件：机器的运动不变。即假想集中质量的功能等于机器所有运动构件的功能之和。

等效质量；等效点；等效构件。

为方便，等效力和等效质量的等效点和等效构件是同一点和同一构件

等效转动惯性。（当取绕固定回转的构件为等效构件时，可用一个与它共同转动的假想物体的转动惯量来代替机器所有运动构件的质量和转动惯量。条件：假想惯动惯量的功能等于机器所有运动构件的功能之和）。

221B mV E =或 22

1JW E = 设i W ——第i 个构件的角速度

Si V ——第i 个构件质心Si 的速度

i m ——第i 个构件质心质量

Si J ——对质心轴线的转动惯量

整个机器的功能：

∑∑∑===+=k i i Si k

i si

i k i i W J V m E 121212

121 ∴ ∑∑==+=k i k i i Si Si i B W J V m mV 112222

12121 或 ∑∑==+=k i k i i Si Si i W J V m JW 11222212121 ∴ ∑∑==???? ??+???? ??=k i B i Si B Si k i i V W J V V m M 12

21 （1） 或∑∑==??? ??+??? ??=k i i Si Si k i i W W J W V m J 12

21 （2） 公式讨论：

①m 和J 由速度比的平方而定，总为正值；m 和J 仅是机构位置的函数。 ②不必知道各速度的真实值。

③等效构件为绕固定轴线旋转

22222

12121W ml mV JW E AB B === ∴2AB ml J =

取移动构件为等效构件：由（1）求m ，V B =移动速度

注意：m,J 是假想的，不是机器所有运动构件的质量和转动惯量的合成总和 解：画转向速度多边形

2

32222222

88267621951)()()()()()()()(B

C B S B S B

B B A V V m V W J V V m V W J V W J J V W J J J m ++?++?++?++=

2AB ml J = §11-3 机器运动方程式的建立及解法

一、机器运动方程式的建立

1、动能形式的机器运动方程式

如不考虑摩擦力，将重力看作驱动力或阻力。

设Fd W ——某一位移过程中等效驱动力所作的功

Md W ——某一位移过程中等效驱动力矩所作的功

Fr W ——某一位移过程中等效阻力所作的功

Mr W ——某一位移过程中等效阻力矩所作的功

m ——某一位移结束时的等效质量

0m ——某一位移开始时的等效质量

J ——某一位移结束时的等效转动惯量

0J ——某一位移开始时的等效转动惯量

V （W ）——某一位移结束时等效点的速度（角速度） )(00W V ——某一位移开始时等效点的速度（角速度） 机器的动能方程式可写成：

20022121V m mV W W Fr Fd -=

- 或20022

121W J JW W W Mr Md -=- 动能形式的机器运动方程式。 2、力或力矩形式的机器运动方程式 ????=-=-=-S S S S S S r d S r S d Fr Fd Fd d F F d F d F W W 0000

)( r d F F F -=，S 为等效点的位移 将上式微分：0)2

1()(20-=?mV d d Fd d d S S S S )(221//2122S

m V S m S V d d V dt d m d d V dt d dt d ZV m F ?+=?+??= ∴)(22S m t

d d V ma F +=，其中t a →等效点的切向加速度，若用d M ，r M 表示，?→等效构件的转角；α→等效构件角加速度 ∴)(22?

αd d W J M J += 二、机器运动方程式的解法

注意机器的机械特征——表示机器力参数与运动参数间的关系。 如：有的机器的驱动力是机构位置的函数

有的机器的驱动力是速度位置的函数

有的驱动力是常数。

阻力可能是机构位置的函数