等效转动惯量的计算
vi mi i 1 k
m m
j J j j 1 k
n ， 2
2
n
2
vi / 60 n j 2/60 J j mi n 2/60 n 2 /60 n 2 /60 i 1 j 1 I I
机电一体化系统设计
第六章 机电一体化系统 ——机电有机结合分析与设计
等效转动惯量的计算
讲授：戴小标 机械与能源工程系
机电一体化系统设计
第六章 机电一体化系统——机电有机结合分析与设计
6.1 机电一体化系统的稳态与动态设计内容和考虑的方法 6.2 机电有机结合之一——机电一体化系统的稳态设计考 虑方法
工作台 : 移动部件总重 : W 2000 N , 水平工作载荷 : FL水平 800 N 垂直工作载荷 : FL垂直 800 N max 4.8m / min, 最大进给速度为：x 导轨摩擦系数：f 0.05;
问题： 1、该机械传动系统的主谐振频率 n？
2、由轴向刚度和齿轮传动间隙引起的位移失动量△x？
教学 方法
案例式教学 采取对比、反问、提问、归纳等方法
教 学 设 计
构建 框架
提炼知识点结构主线： 动能守恒定理——系统中所有零部件动能(包 括平移和转动)总和与等效后的动能(一般为转 动)相等
拓展 视野
通过对比剖析理论力学和机电一体化中对公式的不同 要求 在工程背景上进行拓展训练
1
等效转动惯量的计算
问题的引出
例：由直流伺服电动机驱动的全闭 环系统，如图1所示，检测传感器安装 在移动工作台导轨上。这种方式常用 于不能采用大变速比的直流伺服电动 机或CNC机床的连续切削控制等的驱 动系统中。已知： 电机 : 转数 : n I 1200r/min;
转子转动惯量：J m 1 10 4 kgm 2
6.2.1典型负载分析 一、典型负载 二、负载的等效换算 1、等效转动惯量的计算 2、负载转矩的等效换算 6.2.2 执行元件的匹配选择 ………………………………
6.3 机电有机结合之二——机电一体化系统的动态设计考 虑方法
6.4 机电一体化系统的可靠性设计
说课
等效转动惯量的计算
机电一体化机械系统设
vi vi，/ 60
2
vi 1 mi 2 4 i 1 nI
m ，
， 2
n nj J j n i 1 I
图1 直流伺服电动机驱动全闭环控制系统
齿轮箱 : 高速减速比 : i 3, z1 17, z 2 51, m 0.002m, B 0.015m;
滚珠丝杠 : 直径 : d 60mm , 长度：l 2.16m, 导程：l 0 0.012m, 丝杠转速：n s 400r / min;
max n
J I J eq — —主谐振频率。
★机电一体化系统设计：机电一体化系统负载分析 I I Teq J eq 1 nmax （执行元件的选择与校核） P 电机 9.55
3
等效转动惯量的计算
等效原则 无论是直线运动还是回转运动，应用等效前后总动能不
变的原理，进行等效转动惯量公式的推导。
说课
等效转动惯量的计算
教 学 内 容 与 目 标
转动惯量等效的意义 转动惯量的等效原则
教点 学 重 内点 容 难
转动惯量的计算公式 等效转动惯量的计算公式及计算分析
说课
等效转动惯量的计算
理论力学和机械
学 情 分 析
原理中学习过，
保留旧有的 思维习惯 缺乏工程认识和 实践
大学工科学生
说课
等效转动惯量的计算
2
等效转动惯量的计算
等效转动惯量计算的意义
★机械系统设计：建立机械系统等效动力学模型 1 I 2 I d ( J eq (1 )1 ) / dt Teq (1 , 1 , t )1
2
★机电一体化系统机械传动系统设计：传动系统各级 传动比的最佳分配原则—等效转动惯量最小原则，满足 I I min J eq (i1 , i2 , i3 ,in ) 机电系统响应快速的要求 J eq ★机电一体化系统设计：机电一体化系统稳态设计与 I KJ eq 分析
教 学 学 内 情 容 分 与 析 目 标
计：传动系统各级传动
比的最佳分配原则—等
效转动惯量最小原则 （满足机电系统响应快
机电一体化系统设计：第六 章 机电一体化系统稳态设 计与分析——负载分析（执 行元件选择与校核）
要求）
理论力学： 圆柱体转动 惯量计算
关键词 等效 转动惯量
机械原理： 建立机械系 统等效动力 学模型
等效转动惯量的推导
设系统中有m个移动部件、 n个转动部件，则系统中 总动能为： 1 m 1 n 2 E mi v i J j 2 j 2 i 1 2 j 1
I 设等效到电机转子所在 轴I轴的转动惯量为 J eq ，则进行转动
1 I 2 J eq I 2 根据能量守恒定理，系 统在转动惯量等效前后 的动能相等，则： 惯量等效后系统的动能 为：E I 1 m 1 n 1 I 2 2 E E mi v i J j 2 J eq I j 2 i 1 2 j 1 2
说课
等效转动惯量的计算
教学目标
素质目标：
理解机电一体化系统中 转动惯量等效的意义
形成正确的机电一体化 系统稳态设计的思维方 法
教 学 内 容 与 目 标
能力目标： 知识目标 (掌握):
转动惯量的计算公式 转动惯量的等效原则 等效转动惯量的计算 公式及计算分析 初步理解课程结构框架
掌握转动惯量及其等效 的分析和计算方法
I
等效惯量：J
I cq
vi mi i 1 I
m
j J j j 1 I
n
2
2
3
等效转动惯量的计算
等效转动惯量的推导
根据工程上常用的转速 为n (r / min) ，将时间用分钟表示， 转角由弧度转换成转， 则公式化为： J
计算等效转动惯量的原则
计算等效转动惯量的原则等效转动惯量是描述物体绕某一轴旋转惯性的物理量，它是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的。
计算等效转动惯量是解决物理问题中重要的一步，它涉及到多种物理量的计算和相互关系的理解。
本文将介绍计算等效转动惯量的原则。
1. 张定理张定理是计算等效转动惯量的基本原理。
它表明，对于任何一组坐标轴，物体的等效转动惯量等于物体在以该组坐标轴为轴的惯量之和。
这个原理适用于任何物体，无论形状如何。
2. 并联轴定理并联轴定理是计算等效转动惯量的常用原理。
它适用于物体由若干个部分组成，而每个部分的转动轴并不重合的情况。
按照并联轴定理，物体的等效转动惯量等于各部分转动惯量之和。
3. 垂直轴定理垂直轴定理是计算等效转动惯量的重要原理。
它表明，对于任何一组坐标轴，物体的等效转动惯量等于物体关于某个垂直于该组坐标轴的轴的转动惯量。
这个原理适用于物体的转动轴和坐标轴不重合的情况。
4. 惯性张量惯性张量是描述物体在任意方向上的转动惯性的物理量。
它是一个张量，包含了物体转动惯量的所有信息。
通过计算惯性张量，可以得到物体在任意方向上的转动惯量，从而计算等效转动惯量。
5. 对称性对称性是计算等效转动惯量的重要原则。
它表明，对于具有一定对称性的物体，它的等效转动惯量可以通过简单的几何构造来计算。
例如，对于具有旋转对称性的物体，它的等效转动惯量可以通过旋转轴的位置和物体的质量分布来计算。
6. 数值积分数值积分是计算等效转动惯量的常用方法。
它适用于物体的形状复杂，无法通过简单的几何构造来计算等效转动惯量的情况。
数值积分的基本思想是将物体分成无限小的体积元，然后计算每个体积元的转动惯量，最后将它们相加得到等效转动惯量。
计算等效转动惯量的原则包括张定理、并联轴定理、垂直轴定理、惯性张量、对称性和数值积分等。
这些原则是物理学中非常基础的概念，能够帮助我们更好地理解物体的转动惯性。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择不同的原则和方法来计算等效转动惯量。
等效转动惯量的折算ppt课件
• 系统运动部件动能的总和J d为x
E
1 2
m i 1
Mi
Vi 2
1 2
n
Jj
j 1
2 j
；.
1
二、伺服系统稳态设计
• 设等效到执行元件输出轴上的总动能为
Edx
1 2
J dx
2 d
• 根据动能不变的原则，有 Edx ，E 系统等效转动惯
量为
J dx
m i 1
d
d，t 则
• 由矩于为Wd W，所以执行元件输出轴所承受的负载转
Td
m i 1
FiV i
d
n Tj j j1 d
；.
3
M
i
Vi
d
2
n
J
j 1
j
j d
2
• 式中 d为执行元件输出轴的转速(rad／s)
；.
2
二、伺服系统稳态设计
• (2) 等效负载转矩的计算
• 设上述系统在时间内克服负载所作的功的总和
为
m
n
W FiVit Tj jt
i 1
j 1
•
执行元件输出轴在时间内的转角为
执行元件所作的功为 Wd Td d t
系统等效转动惯量的计算系统运动部件动能的总和为二伺服系统稳态设计湖南农业大学dx根据动能不变的原则有系统等效转动惯为执行元件输出轴的转速rads二伺服系统稳态设计dxdx由于所以执行元件输出轴所承受的负载转
二、伺服系统稳态设计（湖南农业大学）
• 如图所示系统中，由m个移动部件和n个转动 部件组成。mi、Vi和Fi分别为移动部件的质量(kg)、 运动速度(m／s)和所承受的负载力(N)；Jj、nj和 Tj分别为转动部件的转动惯量(kg﹒m2)、转速(r ／min或rad／s)和所承受负载力矩(Nm)。
等效转动惯量
等效转动惯量什么是转动惯量？在物理学中，转动惯量是描述物体对绕某个轴旋转时所需的力矩的量度。
它是物体旋转惯性的度量，类似于物体对于直线运动的惯性质量。
转动惯量通常用大写字母I表示，单位是kg·m²。
转动惯量的计算方法对于简单的刚体，转动惯量可以通过公式计算得到。
以下是几个常见形状物体的转动惯量计算公式：1.球体：对于质量为m、半径为r的均匀密度的球体，其转动惯量为：球体转动惯量公式球体转动惯量公式2.圆环：对于质量为m、半径为r的均匀密度的圆环，其转动惯量为：圆环转动惯量公式圆环转动惯量公式3.长方体：对于质量为m、长为l、宽为w、高为h的均匀密度的长方体，其转动惯量为：长方体转动惯量公式长方体转动惯量公式通过以上公式，我们可以计算出许多常见形状的物体的转动惯量。
等效转动惯量的概念在一些复杂的情况下，物体可能不是一个简单的形状，而是由多个部分组成。
在这种情况下，我们可以将物体看作是由无数个小块组成的，并将每个小块的质量乘以其对应的距离平方，然后进行求和来计算转动惯量。
等效转动惯量指的是将复杂物体分解为多个小块后，将所有小块的转动惯量相加得到的总转动惯量。
这样，我们可以用一个等效的简单形状物体的转动惯量来代替复杂物体的转动惯量。
等效转动惯量可以简化问题的计算，并且是应用刚体转动的重要概念。
等效转动惯量的计算方法计算等效转动惯量的方法因情况而异。
对于简单的物体组合，我们可以将物体分解为多个简单形状的物体，并使用转动惯量的计算公式进行求解。
然后，将所有物体的转动惯量相加得到总转动惯量。
对于更复杂的情况，我们可能需要使用积分来计算转动惯量。
利用积分方法，我们可以将复杂物体分解为无穷小的微元，然后对每个微元计算其转动惯量，并将它们相加得到总转动惯量。
这需要一定的数学知识和技巧，但可以应用于更一般和复杂的物体组合。
等效转动惯量在实际应用中的重要性等效转动惯量在物理学和工程学中有广泛的应用。
转动惯量优秀课件
I yz
I
zx
I xy I yy I zy
I xz
I yz
I zz
矩阵元统称 惯量系数
则对转轴旳转动惯量可写成矩阵形式
I I xx 2 I yy 2 I zz 2 2I xy 2I yz 2I zx
I xx
I I
yz zx
I xy I yy I zy
I xz
(
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
zz
2 z
2I xyx y
2I yz yz
2I zxzx )
5
3.5.3 转动惯量旳概念
由转动动能引入转动惯量
T 1 2
i
mivi vi
1 2
i
mi (ω ri ) (ω ri )
ez ω
1 2
i
mi | ω ri |2
1 2 2
i
mi
2 i
两式相减可得 Iyzy+Izxx=0. 因为x,y是任意旳，故必须Iyz=Izx=0 同理可证 I xy 20 0
3.5.5 惯量主轴
主轴系旳优点 ——简洁 在主轴系下，惯量张量对角化为 其中 I1 I xx , I 2 I yy , I3 I zz 对瞬轴l(, , )旳转动惯量：
I1 0 0 0 I2 0 0 0 I3
J J xex J yey J zez
其中 J x I xxx I xy y I xzz
J y I yxx I yy y I yzz
J z I zxx I zy y I zzz
I xx mi ( yi2 zi2 )
i
I yy mi (zi2 xi2 )
等效转动惯量的计算专题培训课件
J
I cq
m i 1
mi
vi
k
2 Leabharlann n j 1Jj
j k
2
vi vi，/ 60
n2/60
m i 1
mi
n
vi，/ 60
I 2/60
2
n j 1
J
j
n n
j I
2/60 2/60
E
EI
1 2
m
m
i
v
2 i
i 1
1 2
n
J
j
2 j
j 1
1 2
J
I eq
2 I
等效惯量：
J
I cq
m i 1
mi
vi I
2
n j 1
J
j
j I
2
3等效转动惯量的推导
等效转动惯量的计算
根据工程上常用的转速 为 n (r / min) ，将时间用分钟表示， 转角由弧度转换成转， 则公式化为：
目
掌握转动惯量及其等效 的分析和计算方法
标 转动惯量的计算公式
转动惯量的等效原则
等效转动惯量的计算 公式及计算分析
说课 等效转动惯量的计算
教 学 内 容 重教点学 与 难内点容 目 标
转动惯量等效的意义 转动惯量的等效原则 转动惯量的计算公式
等效转动惯量的计算公式及计算分析
说课 等效转动惯量的计算
动)相等
拓展 视野
齿轮等效转动惯量计算理论验证
即定轴轮系等效转动惯量与传动比平方成反比。 1.2 瞬时能量法
由能量守恒定理，在系统传动过程中，传动瞬时只有转 动动能，转化前后系统的瞬时动能保持不变，将所有与一轴 相联系的转动件的转动惯量设为 Jc，则有
将⑶式代入⑴式，有 又有
将行星轮系转化为定轴轮系：
行星架角速度为
；
太阳轮角速度为
；
行星轮角速度为
前言
已知齿轮等效转动惯量与传动比平方成反比，以下将针 对定轴轮系和行星轮系分别进行讨论，运用不同的计算方法 验证这一理论。
1 定轴轮系理论验证
以变速器主箱传动部分为例，如下图 1 所示，进一步简 化齿轮传动链。一轴为输入轴，经过中间轴齿轮 Z01 和 Z02 后由二轴输出。J1，J0，J2 分别为一轴、中间轴和二轴齿轮的 固有转动惯量。
又可知
（1） （2）
将(2)式和(3)式代入(1)式中得：
（4）
（ห้องสมุดไป่ตู้）
设∆t 时间内，各传动轴或齿轮的角速度变化为∆ω1，∆ω0， ∆ω2，则运用动量定理同样可以得到：
（6）
将所有与一轴相联系的转动件的等效转动惯量设为 Jc， 则有：
（7） 故中间轴（包括其上固定齿轮）和二轴上齿轮转换到一 轴上的等效转动惯量为：
Abstract: In calculating the equivalent moment of inertia of gears, the known equivalent moment of inertia is inversely proportional to the square of transmission ratio of each mating system, but there is no relevant theoretical calculation to explain it. Through the analysis and calculation of fixed shaft gear train and planetary gear train, the correctness of the above formula is verified theoretically, and the theoretical guidance is provided for the calculation of equivalent rotational inertia. Keywords: fixed axle gear train; planetary gear train; equivalent moment of inertia; theoretical verification CLC NO.: U467 Document Code: A Article ID: 1671-7988(2018)18-121-03
机电一体化计算题
Tamax2n6m0atxJr
求nmax 已知 n2/n1=200/250，Pz0=6mm，vmax=1.5m/min 所以
n m v m a n 1 / x P z a 0 n 2 x 1 2 5 / 6 2 5 0 r / m 0 0 0 3 . 5 r 0 / m i 1 n
fmax
nmax 360
60
表2-2 已知参数
名称 参数
N（r/min） J （kg·m2）
齿轮
G1
G2
250
200
0.0001 0.0006
丝杠 C 200
0.0008
电动机 M 250
0.0014
表 2-3 步进电动机启动矩—频特性
F（Hz） 0～1000
T（N·m）
6
1500 5
1800 4
例：如图数控机床的进给伺服系统中，已
知齿轮1的齿数Z1=25，转动惯量
J1=0.0003Kg.m2 ，齿轮2的齿数
Z2=50，转动惯量J2=0.0048Kg.m2 ，
滚珠丝杠的转动惯量
J3=0.003Kg.m2 ，丝杠螺距P=10mm，
电机的转动惯量JM=0.0016 Kg.m2,
工作台质量m=100Kg,驱动系统总效
（2）系统空载启动和切削进给时转换到 电机轴上的等效力矩分别是多少？
Z2 J2
工作台 m
J3
JM 0.0016 0.41 JMJk 0.00160.0023
电机
Z1 J1
(2)加速力矩Ta T=Ta+Tf+T0
Ta
2 nmax J
60t
23.145000.0039 600.05
4.08(N.M)
转动惯量
转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I 表示，SI 单位为kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。
对于一个质点，I = mr2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量Moment of Inertia刚体绕轴转动惯性的度量。
又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩）其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理[1]：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
等效转动惯量的计算PPT20页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
等效转动惯量的计算
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物
等效转动惯量
由上看出，转化法的关键是确定等效转动惯量Jv和等效力矩Mv，也即是机械中各构件质量的转化和外力的转化。
比较式(10.2.1-2)和式(10.2.1-5)可知，为保证是“等效”的转化，必须遵守以下两个原则：动能相等原则转化件的等效转动惯量所具有的动能应与原机械的总动能相等。
功率相等原则转化件的等效力矩所作的元功（或瞬时功率）应与原机械上作用的全部外力所作的元功（或瞬时功率）相等。
由此可写出等效转动惯量Jv和等效力矩Mv的普遍公式。
按动能相等的原则，列出转化件与一般机械的动能等式由此得(10.2.2-1)(10.2.2-2)式中───—转化件的角速度；n ───机械中的活动构件数；i ───构件号；m i───第i构件的质量；v si───第i构件质心的速度。
───第i构件的移动动能；J si───第i构件绕质心的转动惯量；i───第i构件的角速度；───第i构件的转动动能；由式(10.2.2-2)看出，Jv总是为正。
按功率相等的原则，列出转化件与一般机械上作用外力的功率等式(10.2.2-3)由此得(10.2.2-4)式中Pi ───作用在第i构件上的力；vi ───第i构件上力Pi作用点的速度；ai ───力Pi方向与速度vi方向的夹角；Mi ───作用在第i构件上的力矩；wi ───第i构件的角速度。
思考题在式(10.2.2-4)中如何反应出作用在第i构件上力Pi或力矩Mi为驱动力还是工作阻力？夹角ai<90°，(Pivicosai)为正，说明Pi为驱动力。
反之，ai>90°，(Pivicosai)为负，则Pi为工作阻力。
若Mi方向与wi同向，则Mi为驱动力矩，Mi、wi乘积前取“+”号；反之，取“-”号。
同理，若按式(10.2.2-4)计算得Mv为正，则表示Mv与w方向一致，反之，说明方向相反。
有时也按功率相等的原则，分别将驱动力和工作阻力转化成等效驱动力矩MD和等效阻力矩MR。