2002年第24届国际数学家大会
中国首部数学文化电视片《超越－献给2002年第24届国际数学家大会》（又名《绚丽的数学之花》）(中文、英文版本、各50分钟)在2002年第24届国际数学家大会在北京召开之际，北京星际远航文化传播中心受第24届国际数学家大会组委会委托，由世界著名数学家陈省身先生担任最高科学顾问，创作了中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》(中文、英文版本、各50分钟)。
中国中央电视台以特别节目向全球播放，中国新华社以多种语言播发通稿，中国教育电视台、北京电视台、武汉电视台先后播放，受到社会公众热烈欢迎。
与此同时，应社会要求，北京星际远航文化传播中心将中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》(中文、英文版本、各50分钟)制作成了音像制品《绚丽的数学之花》，在中国出版发行，受到欢迎。
中国数学家将音像制品《绚丽的数学之花》作为中国独特的数学文化礼品馈赠给各国数学家；中国科学技术协会代表团作为礼品，赠送给香港、澳门、台湾地区的著名高等院校和中小学校；北京星际远航文化传播中心还将《绚丽的数学之花》捐助给中国儿童少年基金会的安康计划项目。
音像制品《绚丽的数学之花》通过五个省的电子音像教材招标，被认定为中小学正式推荐电子音像教材，中国上千所大学和中小学配备了音像制品《绚丽的数学之花》，根据社会的反馈，效果非常好。
2003年，《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》被中国广播电视学会评为“对外电视节目奖”二等奖。
中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》(中文、英文版本、各50分钟)的信息在互联网上得到广泛报道。
中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》（又名《绚丽的数学之花》）集数学历史、数学文化于一体，汇数学思想、数学精神于一身，充分应用图像表现形式，形象生动地再现了博大精深的数学世界，介绍了人类数学发展史，数学对整个人类文明进程产生的巨大推动力：从原始数、形的起源到现代通讯和信息时代，数学与天文，数学与生命科学，数学与艺术、建筑，数学与产业革命、经济、军事，数学与教育、中外数学家、国际数学家大会，著名数学家陈省身、丁石孙、吴文俊漫谈数学研究、数学思想方法和数学精神，通过展示数学在现代生活中的广泛应用和来源于自然的充满趣味的数学背景材料，让观众自由翱翔在奥妙无穷的数学王国中。
中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》（又名《绚丽的数学之花》中文、英文版本、各50分钟）表现的数学文化知识点基本涵盖了教育部制订的最新全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）1年级至9年级要求介绍的数学背景知识；例如1-3年级的数的概念的起源，数的原始表示法；4-6年级的各种计算工具，特别是计算机的发明、演进历史与数学家的卓越贡献；7-9年级的数学家的介绍、数学在现代生活中的广泛应用：建筑、CT技术、天气预报。
中国的目标是建立21世纪数学大国，中国数学文化在世界数学体系中占据着举足轻重的地位，中国首部数学文化电视片《超越—献给2002年第24届国际数学家大会》制作与播出填补了中国数学文化影视产品的空白，它的播出在中国师范教育、数学教育工作者、中小学数学教师、小学、中学、大学学生、社会公众中引起强烈反响。
《超越－献给2002年第24届国际数学家大会》（又名《绚丽的数学之花》）(中文、英文版本、各50分钟)中国推出第一部数学文化电视片21日开始播出:青少年数学夏令营中也播放了这部电视片。
电视片由北京星际远航文化传播中心和武汉电视台联合制作，英文版已在中央电视台播出，其ＶＣＤ版本已在新华书店发售。
（完）数学之光中国推出第一部数学文化电视片新华网北京８月２１日电（记者陈勇）在第２４届国际数学家大会举办期间，中国发行了第一部数学文化电视片，并从２１日开始陆续由中央电视台、北京电视台等播出。
制片人称，这部名为《超越——献给２００２年第２４届国际数学家大会》的专题片将有助于促进数学教育和数学知识的普及。
这部电视片从“数的起源”开始，着重介绍了数学史、数学文化、数学与其他科学的关系，以及数学对社会各方面的影响，片中对历届数学家大会和历史上的著名数学家也作了介绍。
制片人赵立萍说，这部电视片的摄制得到了本届国际数学家大会组委会的支持，组委会推荐著名华人数学家陈省身作为最高数学顾问，并推荐了数学史、纯粹数学和应用数学三个领域的专家担任顾问。
数学家大会组委会证实，陈省身、吴文俊等著名数学家分别在这部电视片中露面，谈数学的意义、数学研究的手段和数学思想方法。
在本届数学家大会的周边活动－－青少年数学夏令营中也播放了这部电视片。
电视片由北京星际远航文化传播中心和武汉电视台联合制作，英文版已在中央电视台播出，其ＶＣＤ版本已在新华书店发售。
绚丽的数学之花中国首部数学文化电视片《超越-献给2002年第24届国际数学家大会》解说词序篇人类历史长河源远流长，自从盘古开天地，三皇五帝到如今，大自然以它那天工鬼斧的神力，将我们雕凿成不同的肤色，上万个民族。
在这太阳系存在智能生命的蓝色星球上，我们操持着形形色色的语言，使用着千姿百态的文字，创造了各领风骚的文明。
可是，当我们乘现代文明的交通工具在小小地球村漫游的时候，会惊奇地发现1234567890───这神奇的十个数字是联系我们五大洲四大洋的共同纽带。
主题一从原始数、形的起源到现代通讯和信息时代神奇的数学──宇宙的诗篇，美妙的数字──动人心弦，开创出一个又一个人类新时代。
当现代文明的分分秒秒令千千万万双手敲击电脑键盘的时候，谁会想到正是这普普通通的十个手指揭开了我们数字文明的第一幕。
数学──探索宇宙真谛的共同语言！数学──人类文明的象征！数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系。
数学的起源来自人们对自然万物数和形的认识。
据考古专家考证，人类创造文字之前，就已经形成数的概念。
史前人类最初是用石头、竹片、树枝、贝壳等实物记录数目的，以后发展到结绳记数。
中国《周易》一书记载：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。
”结绳方法遍及世界各地，在希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯兰国家都有记载或实物标本，这种古老的结绳制度在秘鲁高原印地安部落一直流行到19世纪。
由于结绳的不便，人们在新石器时期开始在石头、木棍或骨头上刻痕以代替结绳，并逐步演变成了各古老文明创造的不同数字。
随着数字和数码的诞生，产生了记数方法和进位制，这是因为当数目很大时，简单地刻痕记数已经变得非常困难了。
人类历史上曾经流行过许多进位制：2、5、6、10、12、16、20、60等基数都曾经作为基本进位单位。
为什么会选择这些数字作为基数？这个问题曾经引起历代学者的浓厚兴趣。
亚里士多德推测十进位制可能与人有十个手指有关，古代中国人和埃及人早就习惯了十进位制。
可是，玛雅人流行20进制，巴比伦人偏爱60进制的原因至今众说纷纭。
二进位制的应用和普及则与现代信息社会休戚相关。
1679年，与牛顿共享创立微积分盛誉的德国数学家莱布尼兹撰写了《二进制算术》，成为2进位制的发明人。
他还特地制作了一个纪念章，献给对2进制感兴趣的奥古斯特公爵，上面用拉丁文写道：“从虚无创造万有，用一足够了！”1689年数学家莱布尼茨在罗马认识了从中国回国的传教士白晋，得知中国古老的《易经》的《经》部由64个卦组成，每一个卦由被称为阳爻（─）和阴爻（－－）的两种符号，以不同排列组合构成。
莱布尼茨欣喜若狂。
他从古老的东方《易经》中得到了二进制的有力佐证，更坚信一切数都可以由0和1创造出来。
虽然2进位制在莱布尼茨时代曲高和寡，可是却实实在在地流传至今，它伴随着电子计算机普及和信息网络革命，迸发出震惊环球的神威。
莱布尼茨的梦想终于成真了！0作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少。
早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都留出空位表示零,只是没有符号。
公元前3世纪，巴比伦人曾引进专门记号表示空位，玛雅20进制记数中也有表示空位的符号，但他们的表示方法并不完善。
印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号─0。
公元550年印度天文学家瓦拉哈米希拉论述了0的加减运算。
公元628年婆罗摩笈多在《宇宙开端》中写道：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有……”公元8世纪印度数码传入阿拉伯国家，后又传至欧洲。
公元1202年斐波那契在《算盘书》中，正式介绍：“这是印度的九个数码：987654321，加上阿拉伯人称之为零的符号0，任何数都能够表示出来。
”从此以后，经过数百年的演变，到16世纪，0不仅和它的九个兄弟变成了当今世界通用的数码，而且还同2进位制一起构成电子计算机运算程序的编码基础。
用机器代替人工计算始终是人类的梦想与追求，数学和数学家们对计算工具的发明，特别是对电子计算机的发明和创新，发挥了决定性的作用。
古代中国、希腊和罗马的数学家发明了算盘。
1642年，数学家帕斯卡发明了第一台加减运算的机械式计算机。
</p><p>1674年，数学家莱布尼兹在巴黎科学院当众演示了他发明的世界第一台能够做加减乘除四则运算的机械计算机。
1834年，数学家巴贝奇研制成功了机械式的差分机和分析机。
进入20世纪，电子管的出现，为计算机革命开辟了新的道路。
英国数学家图灵为解决数理逻辑中的一个基本理论问题──相容性以及数学问题机械可解性或可计算性的判别，提出了理想计算机理论。
图灵的理想计算机由3部分组成：一条带子，并分成许多小方格、一个读写头、一个控制装置。
整个计算机的动作从读写头视读带子上的第一个方格的数据开始，一旦计算结束，机器就进入一个特别的停止状态，运算过程的任何结果都记录在带子上。
图灵机从理论上预示了计算自动化的可能性，在第二次世界大战期间，图灵本人曾亲自参与研制成功了破译密码的专用电子管计算机。
1945年6月，美国数学家冯.诺依曼等提出了一份全新的通用电子计算机方案──用记忆数据的同样记忆装置储备执行运算命令，使全部运算成为真正的自动化过程，开辟了计算机发展的新时代。
他亲自参与设计了世界第一台通用电子计算机“电子数字积分仪与计算机”（ENIAC）。
该计算机使用了18000个电子管，占地170平方米，功率150千瓦，于1946年投入使用，专门应用于弹道计算。
20世纪50年代，数学家霍普创造性的汇编程序，为计算机软件领域作出了巨大贡献。
1950年美国数学家冯.诺依曼和气象学家首次用电子计算机进行气象预报标志着计算机应用于科学实验迈出了关键的一步。
数学家的努力、数学的发展创造了电子计算机，电子计算机的不断创新，又加速了数学的革命。
电子计算机经过电子管、晶体管、集成电路、超大规模集成电路四代后，正向着高速度、高智能、小型化、廉价化方向迅速发展，开拓出了无限广阔的应用空间和市场空间。
2002年北京国际数学家大会(ICM 2002 北京)
2002年北京国际数学家大会（ICM2002北京）一ICM2002我国做45分钟报告的数学家第24届国际数学家大会于2002年8月20日至28日在北京举行，有101个国家和地区的4270余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。
ICM2002大会其间，马宁（Y.Manin）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。
菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。
作1小时大会报告的20名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。
ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19个学科组，学术交大会提供一切可能的学术交流条件。
凡已注1114人作了15分钟的小组分组报告，1400人。
45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、12大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。
二ICM2002卫星会议、公众报告情况ICM2002举行了46及日本、俄罗斯、新加坡、韩国和越南的6些菲尔兹奖、沃尔夫奖（WolfPrize）和诺贝尔奖获得者的参与使得这些卫星会议更加引人注目。
尽管举办卫星会议一直是国际数学家大会的惯例，但2002年国际数学家大会扩大了卫星会议的规模，并使之对国际数学家大会的圆满成功更有意义。
表2002年国际数学家大会的卫星会议ICM2002是21世纪的首次国际数学家大会，组织委员会对于公众项目给予了相当的关注，为了加强数学与社会的联系，认为激发公众对现代数学的关注和兴趣非常重要。
基于这样的考虑，组织委员会安排了趣味性的公众报告和一些特别活动。
邀请诺贝尔经济学奖获得者、美国普林斯顿大学纳什教授、纽约大学的Poovey教授、着名量子宇宙学家霍金和首届中国国家最高科技奖获得者、本届大会主席吴文俊院士等中外着名数学家，以数学的作用和其他科学乃至对社会的影响为题作公众科普报告。
数学文化1-2(勾股定理)
△KAB≌△CAD
S S △KAB =
△CAD
1AK•AC1AD•AM
G
A•K A C A•D AM
2
2
H
S S 正方形KACH = 四边形
C
F
S S 同理： ADNM 正方形BCGF =
四边形BENM
K
b
a
c
S S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形ADNM + 四边形
A
M
朱出
朱方 青入
青入
朱入
青方
青出
青出
（三）毕达哥拉斯证法（割补法）
b
a c
(a + b)2 = c2 + 4(½ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
（四）欧几里得证法
❖欧几里得的《几何原本》是
古希腊数学成果、思想、方 法和精神的结晶。是整个科 学史上发行最广使用时间最 长的书，成为数学的“圣 经”。
中国数学史上最先完成 勾股定理证明的是三国时 期的赵爽（公元3世纪）。 赵爽在《周髀算经注》中， 采用证明几何问题的割补 原理，利用“弦图”，证 明了勾股定理。
中国最著名、最优秀的数学经典
《九章算术》 中国传统数学的代表作
中国古代数学文献的典范
《九章算术》是一部问题集 形式的算书，共246个问题， 采用“问、答、术”的形式 进行编排，共202术，按不同 算法的类型，分为九章。
B
BENM
S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形
ADEB
∴ a2b2 c2
D
2002年北京国际数学家大会
2002年北京国际数学家大会（ICM 2002 北京）一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行，有101 个国家和地区的4270 余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。
ICM2002大会其间，马宁（）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。
菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。
作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。
ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组，学术交流内容涵盖十分广泛，有174名学者在各学科组作了邀请报告。
此外，为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会，大会提供一切可能的学术交流条件。
凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告，大会予以安排。
1114人作了15 分钟的小组分组报告，张贴了93 篇墙报，报告（含张贴墙报者）总人数超过1400 人。
在往届国际数学家大会上，我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。
陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。
ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告，他们分别是：美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚，华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容，有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告，他们分别是：丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明，ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。
二 ICM2002 卫星会议、公众报告情况ICM2002举行了46 个卫星会议，为大会增添了风光。
菲尔兹奖简介
菲尔兹奖简介Fields(菲尔兹)奖菲尔兹奖（Fields Medal）是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。
每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖。
得奖者须在该年元旦前未满四十岁。
它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的。
菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖。
Fields(菲尔兹)奖获得者1、L.V.Ahlfors（阿尔福斯）(1907--1996)美籍芬兰数学家。
证明了邓若瓦猜想，发展覆盖面理论，对黎曼面作了深入研究，在复分析等领域享有崇高声望。
1936年在第10届国际数学家大会上获奖。
从1948 到1950, Ahlfors担任哈佛大学数学系主任。
他曾任美国数学会副主席。
在1986 ，他担任在美国举行的世界数学家大会名誉主席。
2、J.Douglas(道格拉斯)(1897--1965)美国数学家。
解决了普拉托极小曲面问题，即一种非线性椭圆型偏微分方程的第一边值问题，在几何、群论和变分问题的逆问题等领域均有贡献。
1936年在第10届国际数学家大会上获奖。
没有担任职务。
3、A.Selberg(赛尔伯格)(1917--)美籍挪威数学家。
在筛法理论、素数定理、黎曼假设、弱对称黎曼空间中的调和分析、不连续群及其对于狄里克雷级数的应用、连续群的离子群等领域有突出贡献，在数论学界有崇高声望。
1950年在第11届国际数学家大会上获奖。
4、L.Schwartz（施瓦尔茨）(1915--2002)法国数学家。
创立了广义函数论，在泛函分析、概率论、偏微分方程等领域均有突出工作。
1950年在第11届国际数学家大会上获奖。
没找到任职，但政治上活跃。
5、K.Kodaira（小平邦彦）(1915--1997)日本数学家。
推广了代数几何的一条中心定理——黎曼－罗赫定理，证明了狭义卡勒流形是代数流形，得到了小平邦彦消没定理，在代数几何和微分方程等多个领域都有突出工作。
2002年国际数学联盟主席帕利斯在第24届国际数学家大会的开幕词
2002年国际数学联盟主席帕利斯在第24届国际数学家大会的开幕词时间:2008-10-13 20:26来源:口译网作者:口译网点击:918次Speech by Jacob PalisPresident of IMU（国际数学联盟主席）Dear Colleagues, Ladies and Gentleman:I am greatly honored and pleased to welcome you all to ICM 2002, the 24th International Congress of Mathematicians.亲爱的同事们，女士们，先生们：我非常荣幸也很高兴地欢迎各位参加2002年国际数学家大会，第二十四届国际数学家大会。
This is in many ways a very special Congress. Indeed, it is the first in the new Millennium and, therefore, we are bringing the dreams of Cantor and Felix Klein, dreamed in the late 1900s, into the 21st Century. They realized, then, that mathematics was becoming too large and diversified a subject and that was almost impossible for one person to embrace, like probably was the case of Monge, Laplace, Lagrange and Gauss, among others, at the turn of the 19th Century. Thus, interaction among mathematicians both at a national and international level was the clear road for its development. Their dream was not only robust in time, but has grown in dimension; mathematics has become more and more international, and solidarity across countries has been increasing at a fast pace. This is occurring not only at a world basis, particularly through the activities of IMU, among which the ICM is a major event, but also in regional scenarios, as indicated by the rather recent creations of the European Mathematical Society and the Latin American and Caribbean Mathematical Union, following that of the African Mathematical Union and of the International Council for Industrial and Applied Mathematics. The first two organizations are affiliated to IMU, and we have solid relations with the last ones.从很多方面来讲，这是一个非常特殊的大会。
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数
【新课引入】
第24届国际数学家大会于2002年在北京举行,大会会标看上去像一个旋转的风车,它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽图。
【新课讲解】
定理1：如果a,b 是任意实数，那么a 2+b 2≥ 2ab (当且仅当a=b 时取“ =”号。
)
定理2：如果a,b
是正数，那么2
a b +≥当且仅当a=b 时取“=”号。
) 代数解释：
(1)两个正数的等差中项，不小于它们的等比中项;
(2)两个正数的算术平均数，不小于它们的几何平均数。
几何解释:
(1)直角三角形斜边上的中线长不小于斜边上的高;
(2)或半径不小于半弦。
【推广】
见课本P24：阅读材料 算术平均数：12n a a a n
++⋅⋅⋅+；
； 调和平均数：12111n n
a a a ⋅⋅⋅＋＋＋；
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
【例题讲解】
例1:已知：a,b,c,d 都是正数，求证:(ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd 。
例2:已知：a,b,c 是实数，求证:a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac 。
例3::,,, a b c R +∈已知求证：222
a b c a b c b c a ≥＋＋＋＋。
人教版初中数学七年级数学下册《8.4阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》
古
今
3 2 1 39 2 3 1 34 1 2 3 26
世界领先 发展进步 一脉相承
七、巩固知识 小组竞赛
随机抽组 每组先完成一个《九章算术》方程 一章中利用一次方程组解决实际问题的 原题，再试着完成另一个.比一比！
七、巩固知识 小组竞赛
【题1】7.方程:今有牛五、羊二，直金十两. 牛二、羊五直金八两.问牛羊各直金 几何？
第三站：一次方程组在古代数学中 的发展和繁荣时期
宋元时期，中国数学家创立了“天元 术”，用天元表示未知数进而建立方程，这 种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海 镜》（1248）书中所说的“立天元一”相当 于现在的“设未知数x”.
第四站： 一次方程组的中西方融合时期
第四站：一次方程组的中西方融合时期
第一站： 中国古代数学的萌芽时期
第一站：中国古代数学的萌芽时期
1.原始公社末期，用文字符号取代结绳记事； 2.夏禹治水时使用了规、矩、准、绳等作图与测 量工具； 3.商代中期产生了十进制数字和计数法； 4.周代在八卦的基础上发展为六十四卦； 5.公元前一世纪的《周髀算经》举出勾三、股四、 弦五的例子； 6.西周贵族子弟从九岁要受礼、乐、射、驭、书、 数的“六艺”训练，“数”成为了专门的课程； 7.春秋战国时期，筹算已得到普遍的应用.
第二站：中国古代数学体系的形成时期 操作算筹 筹算方程
6.你能用这个方法操作算筹将第三个 方程中中等谷的系数筹算为0吗？试 一试吧！
第二站：中国古代数学体系的形成时期
古今两种一次方程组的表示及解 法，你选择哪一种？为什么？
第二站：中国古代数学体系的形成时期
外国人眼中的《九章算术》
第三站： 一次方程组在古代数学中的 发展和繁荣时期
课题学习会徽中的数学
面积为1，小正方形的面积为
sinθ＋cosθ＝____
，则
作业3
在平面直角坐标系中，把矩形
OABC的边OA，OC分别放在x轴和y轴的正半轴上，
(2)将图①中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图②，平 移速度是每秒1个单位长度． ①经过几秒，直线EF经过点B? ②设两矩形重叠部分的面积为S， 运动时间为t，写出重叠部分 面积S与时间t之间的函数表达式
②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出 重叠部分面积S与时间t之间的函数表达式
①
1 A5 1 A4 1 A3 1
A6
1
A2
1
A7
1
O 1 A1
A8
1
A9
如图是第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由 一连串如图所示的直角三角形演化而成的。
设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线 段的长计算出来，填在下面的表格中.
（2）求∠A3OA4的度数 （3）利用锐角三角函数可以求出∠A8OA9 的度数。你 知道怎么求吗？
（4）如果∠AnOAn+1是第一个小于20°的角， 那么它是第几个直角三角形的内角？
2 1.414，3 1.732，6 2.449，7 2.646，10 3.162
A5 1 A6 1
1
已知OA＝2 ，OC＝2.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)将矩形OABC绕点C逆时针旋转x°，得
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)一．选择题（共8小题）1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c23．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．48．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169二．填空题（共5小题）9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为米．11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于．12．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是（只填数，不填等式）13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=，c=．三．解答题（共27小题）14．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．15．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？19．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC 边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是m2．21．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S 的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．（2）已知，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．27．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c 的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：∵BC=a+b，AD=又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即∴．28．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）30．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．31．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=，b=，c=．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．33．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形．（2）探究：若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）．（3）设问：请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）34．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+ ；（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？36．如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．37．如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．38．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B 处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．39．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．40．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．如图，带阴影的正方形面积是．5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=．6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016秋•吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2016春•抚顺县期中）下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选C．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．（2016春•南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，∴OA=OB=，∴a=﹣1﹣．故选A．【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．6．（2015春•蓟县期中）一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C 的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m，∴AC===2.4（m）．∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C=2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m，∴B′C==1.5m，∴BB′=B′C﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．故选C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7．（2015春•罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，∴AM=12，BN=5，∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．故选D．【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．8．（2016春•重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2的值．【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．故选C．【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．二．填空题（共5小题）9．（2016春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7cm≤h≤16cm．【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故答案为：7cm≤h≤16cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．10．（2015春•汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（1+）米．【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，AC2+AB2=BC2，则12+22=BC2，∴BC=，∴则树高为：（1+）m．故答案为：（1+）．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．11．（2016春•高安市期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，∴196﹣2ab=100，即ab=48，则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（2016春•嘉祥县期中）观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．13．（2009春•武昌区期中）观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=84，c=85．【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．【解答】解：在32=4+5中，4=，5=；在52=12+13中，12=，13=；…则在13、b、c中，b==84，c==85．【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．三．解答题（共27小题）14．（2016春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．（2016秋•永登县期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，=，S△DAC=，∴S△ABC∵AB=CB=，DA=1，AC=2，=1，S△DAC=1∴S△ABC而S=S△ABC+S△DAC，四边形ABCD=2．∴S四边形ABCD【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．16．（2016春•邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案．【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．17．（2015春•平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．【解答】解：∵AD∥BE∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△ABC中，∴==200，∴A、C两点之间的距离为200km．【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．18．（2015秋•新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？【分析】（1）过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AE⊥BD于E，如图1所示：∵台风中心在BD上移动，∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°，∴AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．（2）∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km，∴CE==120km，∵AC=AD，AE⊥CD，∴CE=ED=120km，∴CD=240km．∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12（小时）．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键．19．（2015春•阳东县期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可．（2）△PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我们可设时间为t，列出方程2t=8﹣1×t，解方程即得结果．（3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ=12，即2t+（8﹣1×t）=12，解方程即可．【解答】解：（1）出发2秒后，AP=2，BQ=4，∴BP=8﹣2=6，PQ==2；（3分）（2）设时间为t，列方程得2t=8﹣1×t，解得t=；（6分）（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，由AB=8cm，BC=6cm，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为8+6+10=24cm，则有BP+BQ=×24=12，设时间为t，列方程得：2t+（8﹣1×t）=12，解得t=4，当t=4时，点Q运动的路程是4×2=8＞6，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分．（10分）【点评】本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强．20．（2014秋•江阴市期中）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．。
06 2002年国际数学家大会的会标
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2002年国际数学家大会的会标
对2002年国际数学家大会的会标作些说明．这一设计的基础是公元3世纪中国数学家赵爽的弦图，是为证明发明于周代的勾股定理而绘制的．对这个图进行加工变化便形成了我们这个会标．让我们来展示一下它的涵义．首先，打开外面正方形的边并放大里面的正方形，这代表着数学家思想的开阔以及中国的开放．颜色的明暗使它看上去更像一个旋转的纸风车，这代表着北京人的热情好客（纸风车是一种民间的玩具，你可能会看到北京胡同里的孩子们在玩纸风车并对你说“欢迎，欢迎”）．。